92. Reglas especiales de multiplicación.

Algunos resultados de la multiplicación son de tanta utilidad para abreviar el trabajo algebraico que deben observarse y recordarse cuidadosamente. Los siguientes son importantes:

93. Cuadrado de la suma de dos números.

$(a + b)^{2} &= (a + b)(a + b) \ &= a(a + b) + b(a + b) \ &= a^{2} + ab + ab + b^{2} \ &= a^{2} + 2ab + b^{2}.$

Dado que $a$ y $b$ representan dos números cualesquiera, tenemos

El cuadrado de la suma de dos números es la suma de sus cuadrados más el doble de su producto.

94. Cuadrado de la diferencia de dos números.

$(a - b)^{2} &= (a - b) (a - b) \ &= a(a - b) - b(a - b) \ &= a^{2} - ab - ab + b^{2} \ &= a^{2} - 2ab + b^{2}.$

Por lo tanto, tenemos

El cuadrado de la diferencia de dos números es la suma de sus cuadrados menos el doble de su producto.

95. Producto de la suma y la diferencia de dos números.

$(a + b) (a - b) & = a (a - b) + b (a - b) & = a^{2} - a b + a b - b^{2} & = a^{2} - b^{2} .$

Por lo tanto, tenemos

El producto de la suma y la diferencia de dos números es la diferencia de sus cuadrados.

Si sustituimos $2 x$ por $a$ y $3$ por $b$ , tenemos

Ejercicio 26.

Escribe por inspección el valor de:

$(m + n)^{2}$ .

$(c - a)^{2}$ .

$(a + 2 c)^{2}$ .

$(3 a - 2 b)^{2}$ .

$(2 a + 3 b)^{2}$ .

$(a - 3 b)^{2}$ .

$(2 x - y)^{2}$ .

$(y - 2 x)^{2}$ .

$(a + 5 b)^{2}$ .

$(2 a - 5 c)^{2}$ .

$(x + y) (x - y)$ .

$(4 a - b) (4 a + b)$ .

$(2 b - 3 c) (2 b + 3 c)$ .

$(x + 5 b) (x + 5 b)$ .

$(y - 2 z) (y - 2 z)$ .

$(y + 3 z) (y - 3 z)$ .

$(2 a - 3 b) (2 a + 3 b)$ .

$(2 a - 3 b) (2 a - 3 b)$ .

$(2 a + 3 b) (2 a + 3 b)$ .

$(5 x + 3 a) (5 x - 3 a)$ .

96. Producto de dos binomios de la forma $x + a$, $x + b$.

El producto de dos binomios que tienen la forma $x + a$ , $x + b$ , debe observarse cuidadosamente y recordarse.

Cada uno de estos resultados tiene tres términos.

El primer término de cada resultado es el producto de los primeros términos de los binomios.

El último término de cada resultado es el producto de los segundos términos de los binomios.

El término central de cada resultado tiene por coeficiente la suma algebraica de los segundos términos de los binomios.

El paso intermedio indicado arriba puede omitirse, y los productos pueden escribirse directamente por simple inspección. Así,

Multiplica $x + 8$ por $x + 7$ .

$& 8 + 7 = 15, 8 \times 7 = 56 . ∴ & (x + 8) (x + 7) = x^{2} + 15 x + 56 .$

Multiplica $x - 8$ por $x - 7$ .

$& (- 8) + (- 7) = - 15, (- 8) (- 7) = + 56 . ∴ & (x - 8) (x - 7) = x^{2} - 15 x + 56 .$

Multiplica $x - 7 y$ por $x + 6 y$ .

$& - 7 + 6 = - 1, (- 7) \times 6 y = - 42 y^{2} . ∴ & (x - 7 y) (x + 6 y) = x^{2} - x y - 42 y^{2} .$

Multiplica $x + 6 y$ por $x - 5 y$ .

$& + 6 - 5 = 1, 6 y \times (- 5 y) = - 30 y^{2} . ∴ & (x + 6 y) (x - 5 y) = x^{2} + x y - 30 y^{2} .$

Ejercicio 27.

Escriba por inspección el producto de:

$(x + 7) (x + 4)$ .

$(x - 3) (x + 7)$ .

$(x - 2) (x - 4)$ .

$(x - 6) (x - 10)$ .

$(x + 7) (x - 4)$ .

$(x + a) (x - 2 a)$ .

$(x + 3 a) (x - a)$ .

$(a + 3 c) (a + 3 c)$ .

$(a + 2 x) (a - 4 x)$ .

$(a - 3 b) (a - 4 b)$ .

$(a^{2} - c) (a^{2} + 2 c)$ .

$(x - 17) (x - 3)$ .

$(x + 6 y) (x - 5 y)$ .

$(3 + 2 x) (3 - x)$ .

$(5 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

$(a - 2 b) (a + 3 b)$ .

$(a^{2} b^{2} - x^{2}) (a^{2} b^{2} - 5 x^{2})$ .

$(a^{3} b - a b^{3}) (a^{3} b + 5 a b^{3})$ .

$(x^{2} y - x y^{2}) (x^{2} y - 3 x y^{2})$ .

$(x^{2} y + x y^{2}) (x^{2} y + x y^{2})$ .

$(x + a) (x + b)$ .

$(x + a) (x - b)$ .

$(x - a) (x + b)$ .

$(x - a) (x - b)$ .

$(x + 2 a) (x + 2 b)$ .

$(x - 2 a) (x + 2 b)$ .

$(x + 2 a) (x - 2 b)$ .

$(x - 2 a) (x - 2 b)$ .

$(x - a) (x + 3 a)$ .

$(x - 2 a) (x + 3 a)$ .

98. Reglas especiales de división.

Algunos resultados en la división son tan importantes para abreviar el trabajo algebraico que deben ser cuidadosamente observados y recordados.

99. Diferencia de dos cuadrados.

Como $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ , $∴ \frac{a^{2} - b^{2}}{a + b} = a - b; y \frac{a^{2} - b^{2}}{a - b} = a + b . \quad\text{Por lo tanto,}$

La diferencia de los cuadrados de dos números es divisible por la suma y por la diferencia de dichos números.

Ejercicio 28.

Escriba por inspección el cociente de:

$\frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ .

$\frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ .

$\frac{a^{2} - 9}{a - 3}$ .

$\frac{a^{2} - 9}{a + 3}$ .

$\frac{c^{2} - 25}{c - 5}$ .

$\frac{c^{2} - 25}{c + 5}$ .

$\frac{49 x^{2} - y^{2}}{7 x - y}$ .

$\frac{49 x^{2} - y^{2}}{7 x + y}$ .

$\frac{9 b^{2} - 1}{3 b - 1}$ .

$\frac{9 b^{2} - 1}{3 b + 1}$ .

$\frac{16 x^{4} - 25 a^{2}}{4 x^{2} - 5 a}$ .

$\frac{16 x^{4} - 25 a^{2}}{4 x^{2} + 5 a}$ .

$\frac{9 x^{2} - 25 y^{2}}{3 x - 5 y}$ .

$\frac{a^{2} - (b - c)^{2}}{a - (b - c)}$ .

$\frac{a^{2} - (b - c)^{2}}{a + (b - c)}$ .

$\frac{a^{2} - (2 b - c)^{2}}{a - (2 b - c)}$ .

$\frac{(5 a - 7 b)^{2} - 1}{(5 a - 7 b) - 1}$ .

$\frac{(5 a - 7 b)^{2} - 1}{(5 a - 7 b) + 1}$ .

$\frac{z^{2} - (x - y)^{2}}{z - (x - y)}$ .

$\frac{z^{2} - (x - y)^{2}}{z + (x - y)}$ .

$\frac{a^{2} - (2 b - c)^{2}}{a + (2 b - c)}$ .

$\frac{(x + 3 y)^{2} - z^{2}}{(x + 3 y) - z}$ .

$\frac{(x + 3 y)^{2} - z^{2}}{x + 3 y + z}$ .

$\frac{(a + 2 b)^{2} - 4 c^{2}}{(a + 2 b) - 2 c}$ .

$\frac{(a + 2 b)^{2} - 4 c^{2}}{(a + 2 b) + 2 c}$ .

$\frac{1 - (3 x - 2 y)^{2}}{1 + (3 x - 2 y)}$ .

100. Diferencia de dos cubos.

Al efectuar la división tenemos que $\frac{a^{3} - b^{3}}{a - b} = a^{2} + a b + b^{2} . \quad\text{Por tanto,}$

La diferencia de los cubos de dos números es divisible por la diferencia de los números, y el cociente es la suma de los cuadrados de los números más su producto.

Ejercicio 29.

Escriba por inspección el cociente de:

$\frac{1 - x^{3}}{1 - x}$ .

$\frac{1 - 8 a^{3}}{1 - 2 a}$ .

$\frac{1 - 27 c^{3}}{1 - 2 c}$ .

$\frac{8 a^{3} - b^{3}}{2 a - b}$ .

$\frac{64 b^{3} - 27 c^{3}}{4 b - 3 c}$ .

$\frac{27 x^{3} - 8 y^{3}}{3 x - 2 y}$ .

$\frac{x^{3} y^{3} - z^{3}}{x y - z}$ .

$\frac{a^{3} b^{3} - 8}{a b - 2}$ .

$\frac{125 a^{3} - b^{3}}{5 a - b}$ .

$\frac{a^{3} - 8 b^{3}}{a - 2 b}$ .

$\frac{a^{3} - 64}{a - 4}$ .

$\frac{a^{9} - 27}{a^{3} - 3}$ .

$\frac{a^{12} - x^{6} y^{6}}{a^{4} - x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{x^{15} - a^{9} b^{9}}{x^{5} - a^{3} b^{3}}$ .

$\frac{27 x^{3} y^{3} - z^{12}}{3 x y - z^{4}}$ .

$\frac{x^{3} y^{3} z^{3} - 1}{x y z - 1}$ .

$\frac{8 a^{3} b^{3} c^{3} - 27}{2 a b c - 3}$ .

$\frac{1 - 64 x^{3} y^{3} z^{3}}{1 - 4 x y z}$ .

101. Suma de dos cubos.

Al realizar la división, encontramos que $\frac{a^{3} + b^{3}}{a + b} = a^{2} - a b + b^{2} . \quad\text{Por tanto,}$

La suma de los cubos de dos números es divisible por la suma de los números, y el cociente es la suma de los cuadrados de los números menos su producto.

Ejercicio 30.

Escriba por inspección el cociente de:

$\frac{1 + x^{3}}{1 + x}$ .

$\frac{1 + 8 a^{3}}{1 + 2 a}$ .

$\frac{1 + 27 c^{3}}{1 + 3 c}$ .

$\frac{8 a^{3} + b^{3}}{2 a + b}$ .

$\frac{64 b^{3} + 27 c^{3}}{4 b + 3 c}$ .

$\frac{27 x^{3} + 8 y^{3}}{3 x + 2 y}$ .

$\frac{8 x^{3} + 125 y^{3}}{2 x + 5 y}$ .

$\frac{x^{3} y^{3} + z^{3}}{x y + z}$ .

$\frac{a^{3} b^{3} + 8}{a b + 2}$ .

$\frac{125 a^{3} + b^{3}}{5 a + b}$ .

$\frac{a^{3} + 8 b^{3}}{a + 2 b}$ .

$\frac{a^{6} + 64}{a^{2} + 4}$ .

$\frac{a^{9} + 27}{a^{3} + 3}$ .

$\frac{8 a^{6} + b^{3}}{2 a^{2} + b}$ .

$\frac{a^{12} + x^{6} y^{6}}{a^{4} + x^{2} y^{2}}$ .

$\frac{x^{15} + a^{9} b^{9}}{x^{5} + a^{3} b^{3}}$ .

$\frac{27 x^{3} y^{3} + z^{12}}{3 x y + z^{4}}$ .

$\frac{x^{3} y^{3} z^{3} + 1}{x y z + 1}$ .

$\frac{8 a^{3} b^{3} c^{3} + 27}{2 a b c + 3}$ .

$\frac{1 + 64 x^{3} y^{3} z^{3}}{1 + 4 x y z}$ .

$\frac{1 + 27 a^{6} b^{3} c^{3}}{1 + 3 a^{2} b c}$ .

Halla por división el cociente de:

$\frac{x^{4} - y^{4}}{x - y}$ .

$\frac{x^{4} - y^{4}}{x + y}$ .

$\frac{x^{5} - y^{5}}{x - y}$ .

$\frac{x^{5} + y^{5}}{x + y}$ .

$\frac{x^{6} - y^{6}}{x - y}$ .

$\frac{x^{6} - y^{6}}{x + y}$ .