Dado que $(x + b)^{2} = x^{2} + 2 b x + b^{2}, y (x - b)^{2} = x^{2} - 2 b x + b^{2},$ es evidente que a la expresión $x^{2} + 2 b x$ o $x^{2} - 2 b x$ solo le falta el tercer término, $b^{2}$ , para ser un cuadrado perfecto.

Este tercer término es el cuadrado de la mitad del coeficiente de $x$ .

Toda ecuación cuadrática afectada puede reducirse a la forma $x^{2} + 2 b x = c$ o $x^{2} - 2 b x = c$ , dividiendo toda la ecuación entre el coeficiente de $x^{2}$ .

Para resolver una ecuación de este tipo:

El primer paso es sumar a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de $x$ . Esto se llama completar el cuadrado.

El segundo paso consiste en extraer la raíz cuadrada de cada miembro de la ecuación resultante.

El tercer paso es reducir las dos ecuaciones simples resultantes.

Resuelve la ecuación $x^{2} - 8 x = 20$ .

Tenemos $x^{2} - 8 x = 20$ . Completamos el cuadrado, $x^{2} - 8 x + 16 = 36$ . Extraemos la raíz cuadrada, $x - 4 = \pm 6$ . Reducimos, usando el signo superior, $x = 4 + 6 = 10$ , o usando el signo inferior, $x = 4 - 6 = - 2$ .

Las raíces son $10$ y $- 2$ .

Verifica sustituyendo estos números por $x$ en la ecuación dada. $r c l < | > r c l x & = & 10, & x & = & - 2, 10^{2} - 8 (10) & = & 20, & (- 2)^{2} - 8 (- 2) & = & 20, 100 - 80 & = & 20 . & 4 + 16 & = & 20 .$

Resuelve la ecuación $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{4 x - 3}{x + 9}$ .

lint Free from fractions, (x + 1)(x + 9) = (x - 1)(4x - 3). lint Therefore, -3x^2 + 17x = -6.

Dado que no se puede extraer la raíz cuadrada de un número negativo, el coeficiente de $x^{2}$ debe cambiarse a $+$ .

lint Dividiendo por $- 3$ , x^2 - 173x = 2. [1] La mitad del coeficiente de $x$ es $\frac{1}{2}$ de $- \frac{17}{3} = - \frac{17}{6}$ , y el cuadrado de $- \frac{17}{6}$ es $\frac{289}{36}$ . Sumando el cuadrado de $- \frac{17}{6}$ a ambos lados, tenemos x^2 - 17x3 + (176)^2 = 2 + 28936. [1] lint Ahora 2 + 28936 = 7236 + 28936 = 36136, lintpor lo tanto, x^2 - 173x + (176)^2 = 36136. [1] lint Extrayendo la raíz, x - 176 = ±196. [1] lint Reduciendo, x - 176 = ±196. x = 176 + 196 = 366 = 6, lintor x = 176 - 196 = -26 = -13.

Las raíces son $6$ y $- \frac{1}{3}$ .

Verifica sustituyendo estos números por $x$ en la ecuación original. $[t]{rcl<{\qquad}|} x &=& 6. \ \dfrac{6 + 1}{6 - 1} &=& \dfrac{24 - 3}{6 + 9}. \ \dfrac{7}{5} &=& \dfrac{21}{15} \ \dfrac{7}{5} &=& \dfrac{7}{5} \

[t]{>{\qquad}rcl} x &=& -\dfrac{1}{3} \ \dfrac{-\dfrac{1}{3} + 1}{-\dfrac{1}{3} - 1} &=& \dfrac{-\dfrac{4}{3} - 3}{-\dfrac{1}{3} + 9}. \ -\dfrac{2}{4} &=& -\dfrac{13}{26}.$

Ejercicio 72.

Resuelve:

$x^{2} - 12 x + 27 = 0$ .

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$ .

$x^{2} - 4 = 4 x - 7$ .

$5 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ .

$4 x - 3 = 2 x - x^{2}$ .

$9 x^{2} - 24 x + 16 = 0$ .

$6 x^{2} - 5 x - 1 = 0$ .

$4 x + 3 = x^{2} + 2 x$ .

$16 x^{2} - 16 x + 3 = 0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$ .

$x^{2} - 14 x - 51 = 0$ .

$34 x - x^{2} - 225 = 0$ .

$x^{2} + x - 20 = 0$ .

$x^{2} - x - 12 = 0$ .

$2 x^{2} - 12 x = - 10$ .

$3 x^{2} + 12 x - 36 = 0$ .

$(2 x - 1)^{2} + 9 = 6 (2 x - 1)$ .

$6 (9 x^{2} - x) = 55 (x^{2} - 1)$ .

$32 - 3 x^{2} - 10 x = 0$ .

$9 x^{2} - 6 x - 143 = 0$ .

$\frac{x}{x - 1} - \frac{x - 1}{x} = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x + 2} = \frac{5}{6}$ .

$\frac{5 x + 7}{x - 1} = 3 x + 11$ .

$\frac{7}{x + 4} - \frac{1}{4 - x} = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{x + 3} + \frac{x + 3}{2} = \frac{10}{3}$ .

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{x + 2}{2 x} = 2$ .

$\frac{3 (x - 1)}{x + 1} - \frac{2 (x + 1)}{x - 1} = 5$ .

$\frac{2 x + 5}{2 x - 5} = \frac{7 x - 5}{2 x}$ .

$\frac{3 x - 1}{4 x + 7} = \frac{x + 1}{x + 7}$ .

$\frac{2 x - 1}{x + 3} = \frac{x + 3}{2 x - 1}$ .

$\frac{x + 4}{x - 4} - \frac{x + 2}{x - 3} = 1$ .

$\frac{4}{x - 1} - \frac{5}{x + 2} = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x - 2} + \frac{2}{x - 4}$ .

$\frac{5}{x - 2} - \frac{3}{x - 1} = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{7 - x} + \frac{7 - x}{x} = \frac{29}{10}$ .

$\frac{2 x - 1}{x - 1} + \frac{1}{6} = \frac{2 x - 3}{x - 2}$ .

164. Problemas con ecuaciones cuadráticas.

Los problemas que implican ecuaciones cuadráticas aparentemente tienen dos soluciones, ya que una ecuación cuadrática tiene dos raíces.

Cuando ambas raíces de la ecuación cuadrática son enteros positivos, por lo general ambas serán soluciones admisibles.

Las raíces fraccionarias y negativas darán en algunos problemas soluciones admisibles; en otros problemas no darán soluciones admisibles.

La razón por la cual no toda raíz de la ecuación satisfará siempre las condiciones del problema es que este puede tener ciertas restricciones, expresadas o implícitas, que no pueden expresarse en la ecuación.

No habrá dificultad en seleccionar el resultado que corresponde al problema particular que estamos resolviendo. A veces, mediante una modificación en el enunciado del problema, podemos formar un nuevo problema que corresponda al resultado que era inaplicable al problema original.

Aquí, como en las ecuaciones simples, la $x$ representa un número desconocido.

La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es $41$ . Encuentra los números.

Sea $x$ un número, y $x + 1$ el otro. Entonces $x^{2} + (x + 1)^{2}$ es la suma de los cuadrados; pero $41$ es la suma de los cuadrados.

$∴ x^{2} + (x + 1)^{2} & = 41 . x^{2} + x^{2} + 2 x + 1 & = 41 . 2 x^{2} + 2 x & = 40 . x^{2} + x & = 20 .$

La solución de esta ecuación da $x = 4$ , o bien $- 5$ .

La raíz positiva $4$ da para los números $4$ y $5$ .

La raíz negativa $- 5$ no es aplicable al problema, ya que se entiende que los números consecutivos son enteros que se suceden en la escala común: $1$ , $2$ , $3$ , $4 \dots$ .

En cierto nido, siete veces el número de aves en el nido es igual al doble del cuadrado del número aumentado en $3$ . Halla el número.

lint Sea x = el número de aves. lint Entonces 7x = $7$ veces el número lint y 2x^2 + 3 = el doble del cuadrado del número más $3$ . Como estas dos expresiones son iguales, tenemos 2x^2 + 3 = 7x.

La solución de esta ecuación da $x = 3$ o $x = \frac{1}{2}$ .

El valor $\frac{1}{2}$ no es aplicable al problema, ya que el número de aves debe ser un número entero.

Un depósito tiene dos tubos. Por uno de ellos se puede llenar $6$ horas antes que por el otro, y por ambos juntos en $4$ horas. Hallar el tiempo que tardará cada tubo solo en llenarlo.

lint Sea x = el número de horas que le toma a la tubería más pequeña. lint Entonces x - 6 = el número de horas que le toma a la tubería más grande.

Por lo tanto, 1x + 1x - 6 = la parte que ambos pueden llenar en una hora.
Pero 14 = la parte que ambos pueden llenar en una hora.
1x + 1x - 6 = 14

La solución de esta ecuación da $x = 12$ o $x = 2$ .

El valor $2$ no es aplicable al problema.

Por lo tanto, a un tubo le toma $12$ h y al otro $6$ h.

Una alfombra es $1$ yarda más larga que ancha. El número de yardas cuadradas en la alfombra es $12$ . Hallar su longitud y su anchura.

lint Sea $x$ el número de yardas en el ancho. lint Entonces $x + 1$ es el número de yardas en el largo linty $x (x + 1)$ es el número de yardas cuadradas en la alfombra. lint Por lo tanto, $x (x + 1) = 12$ .

La solución de esta ecuación da $x = 3$ o $x = - 4$ .

Las dimensiones son, por lo tanto, $3$ yardas y $4$ yardas.

Ejercicio 73.

Halla dos números cuya suma sea $11$ y cuyo producto sea $30$ .

Halla dos números cuya diferencia sea $10$ , y la suma de cuyos cuadrados sea $250$ .

Un hombre tiene cinco veces la edad de su hijo, y el cuadrado de la edad del hijo menos la edad del padre es $24$ . Hallar sus edades.

Un número aumentado en su cuadrado es igual a nueve veces el siguiente número mayor. Hallar el número.

El cuadrado de la suma de dos números consecutivos cualesquiera difiere en $1$ de ser el doble de la suma de los cuadrados de dichos números. Demuestra que esta afirmación es verdadera.

El largo de una cancha rectangular supera a su ancho en $2$ varas. Si el largo y el ancho aumentaran cada uno en $3$ varas, el área de la cancha sería de $80$ varas cuadradas. Hallar las dimensiones de la cancha.

El área de cierto cuadrado se duplicará si sus dimensiones se aumentan en $6$ pies y $4$ pies respectivamente. Halla sus dimensiones.

El perímetro de un suelo rectangular es de $76$ pies y el área del suelo es de $360$ pies cuadrados. Encuentra las dimensiones del suelo.

El largo de una cancha rectangular excede a su ancho en $2$ varas, y su área es de $120$ varas cuadradas. Hallar las dimensiones de la cancha.

Las edades combinadas de un padre y un hijo suman $64$ años. El doble de la edad del padre excede en $8$ años al cuadrado de la edad del hijo. Encuéntrense sus respectivas edades.

Ejercicio 74.

Ej. Un barco navega $30$ millas a una velocidad constante. Si la velocidad hubiera sido de $1$ milla por hora más, el tiempo de navegación habría sido $1$ hora menor. Hallar la velocidad de navegación.

lint Sea x = la velocidad en millas por hora. lint Entonces 30x = el número de horas.

En la otra hipótesis, la velocidad habría sido $x + 1$ millas por hora y el tiempo, $\frac{30}{x + 1}$ .

lint Por tanto, 30x - 30x + 1 = la diferencia en horas para la navegación.
lint Pero 1 = la diferencia en horas para la navegación.
30x - 30x + 1 = 1.

La solución de esta ecuación da $x = 5$ , o bien $x = - 6$ .

Por lo tanto, la velocidad de la navegación es de $5$ millas por hora.

Un barco navega $30$ millas a una velocidad uniforme. Si la velocidad hubiera sido $1$ milla por hora menor, el tiempo de navegación habría sido $1$ hora mayor. Hallar la velocidad de la navegación.

Un obrero construyó $35$ varas de muro de piedra. Si hubiera construido $2$ varas menos cada día, le habría tomado $2$ días más. ¿Cuántas varas construyó por día en promedio?

Un hombre compró harina por $\$ 30$. Si hubiera comprado $1$ barril más por la misma suma, la harina le habría costado $\$ 1$ menos por barril. ¿Cuántos barriles compró?

Un hombre compró unos cuchillos por $\$ 6$. Si hubiera comprado $2$ menos por el mismo dinero, habría pagado $25$ centavos más por cada cuchillo. ¿Cuántos cuchillos compró?

¿Qué número excede a su raíz cuadrada en $30$ ?

Sea $x^{2}$ el número.