Ecuaciones simultáneas de primer grado.

Si tenemos dos números desconocidos pero una sola relación entre ellos, podemos encontrar un número ilimitado de pares de valores para los cuales la relación dada será verdadera.

Así, si $x$ e $y$ son desconocidos, y se nos da únicamente la relación $x+y=10$, podemos asumir cualquier valor para $x$, y luego, a partir de la relación $x+y=10$, encontrar el valor correspondiente de $y$. Pues de $x+y=10$ encontramos que $y=10-x$.

Si $x$ representa $1$, $y$ representa $9$; si $x$ representa $2$, $y$ representa $8$; si $x$ representa $-2$, $y$ representa $12$; y así sin fin.

Podemos, sin embargo, tener dos ecuaciones que expresen relaciones diferentes entre los dos números incógnita. Tales ecuaciones se denominan ecuaciones independientes. Así, $x+y=10$ y $x-y=2$ son ecuaciones independientes, ya que evidentemente expresan relaciones diferentes entre $x$ e $y$.

Las ecuaciones independientes que involucran los mismos números incógnitos se llaman ecuaciones simultáneas.

Si tenemos dos números desconocidos, y dos ecuaciones independientes que los relacionan, existe un solo par de valores que se cumplirá para ambas ecuaciones.

Así, si además de la relación $x+y=10$, tenemos también la relación $x-y=2$, el único par de valores para el cual ambas ecuaciones se cumplirán es el par $x=6$, $y=4$.

Observe que en este problema $x$ representa el mismo número en ambas ecuaciones; lo mismo ocurre con $y$.

Las ecuaciones simultáneas se resuelven combinando las ecuaciones de modo que se obtenga una sola ecuación con un número desconocido.

Este proceso se llama Eliminación.

155. Eliminación por suma o resta.

Multiplica (1) por $5$ y (2) por $3$,

25x - 15y = 100 (3) 6x + 15y = 117 (4) lint Sumar (3) y (4), 31x + 15y = 217 x = 7. Sustituir el valor de $x$ en (2), 14 + 5y = 39. 5y = 25. y = 5.

En esta solución, $y$ se elimina por adición.

Multiplica (1) por $4$ y (2) por $3$,

24x + 140y = 708 (3) 24x - 063y = 099 (4) lint Restar, 203y = 609 y = 3. Sustituir el valor de $y$ en (2), 8x - 63 = 33. 8x = 96. x = 12.

En esta solución, $x$ se elimina mediante sustracción.

eliminar mediante suma o resta, por lo tanto,

Multiplíquense las ecuaciones por aquellos números que hagan que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales en las ecuaciones resultantes.

Sume las ecuaciones resultantes si dichos coeficientes iguales tienen signos distintos; reste una de la otra si dichos coeficientes iguales tienen signos iguales.

Por lo general, es mejor seleccionar la letra que se va a eliminar que requiera los multiplicadores más pequeños para hacer que sus coeficientes sean iguales; y el multiplicador más pequeño para cada ecuación se encuentra dividiendo el m. c. m. de los coeficientes de esta letra entre el coeficiente dado en esa ecuación.

Así, en el ejemplo 2, el m. c. m. de $6$ y $8$ (los coeficientes de $x$) es $24$, y por lo tanto los multiplicadores más pequeños de las dos ecuaciones son $4$ y $3$, respectivamente.

A veces la solución se simplifica sumando primero las ecuaciones dadas, o restando la una de la otra.

lint Ej. x + 49y = 51 (1) 49x + 49yy = 99 (2) [1] lint Sumar (1) y (2), 50x + 50y = 150 (3) [1] lint Dividir (3) entre $50$, x + y = 3. (4) [1] lint Restar (4) de (1), 48y = 48. y = 1. [1] lint Restar (4) de (2), 48x = 96. x = 2.

Ejercicio 65.

Resuelve por suma o resta:

1. -0.5$.

\$

2. -0.5$.

\$

3. -0.5$.

\$

4. -0.5$.

\$

5. -0.5$.

\$

6. -0.5$.

\$

7. -0.5$.

\$

8. -0.5$.

\$

9. -0.5$.

\$

10. -0.5$.

\$

11. -0.5$.

\$

12. -0.5$.

\$

13. -0,5$.

\$

14. -0,5$.

\$

15. -0.5$.

\$

16. -0,5$.

\$

Clear of fractions and solve:

17. -0.5$.

\$

18. -0.5$.

\$

19. -0,5$.

\$

20. -0,5$

\$

21. -0,5 $.

\$

22. -0,5$.

\$

23. -0.5$.

\$

24. -0,5 $.

\$

25. -0,5$.

\$

26. -0,5$.

\$

Para hallar $x$ en el problema 26, sume las ecuaciones; para hallar $y$, reste la una de la otra. No suprima los denominadores.

157. Problemas que implican dos números desconocidos.

Ej. Si A le da a B $$10$, B tendrá tres veces más dinero que A. Si B le da a A $$10$, A tendrá el doble de dinero que B. ¿Cuánto tiene cada uno?

lint Sea x = el número de dólares que tiene A, linty el número de dólares que tiene B. [1] Entonces, después de que A le da a B $\backslash$10,$ x - 10 = el número de dólares que tiene A, y + 10 = el número de dólares que tiene B. [1] Como el dinero de B es ahora $3$ veces el de A, tenemos que, y + 10 = 3(x - 10). (1) [1]

Si B le da a A $10, x + 10 = el número de dólares que tiene A, y - 10 = el número de dólares que tiene B. [1] Como el dinero de A es ahora $2$ veces el de B, tenemos x + 10 = 2(y - 10). (2)

De la solución de las ecuaciones (1) y (2), $x=22$ y $y=26$.

Por lo tanto, A tiene $$22$, y B tiene $$26$.

Ejercicio 66.

1. Si A le da a B $\backslash$200$, A tendrá entonces la mitad de dinero que B; pero si B le da a A $\backslash$200$, B tendrá la tercera parte de lo que tiene A. ¿Cuánto tiene cada uno?

2. La mitad de la suma de dos números es $20$, y el triple de su diferencia es $18$. Encuentra los números.

3. La suma de dos números es $36$, y su diferencia es igual a una octava parte del número menor aumentada en $2$. Hallar los números.

4. Si $4$ yardas de terciopelo y $3$ yardas de seda se venden por $$33$, y $5$ yardas de terciopelo y $6$ yardas de seda por $$48$, ¿cuál es el precio por yarda del terciopelo y de la seda?

5. Si $7$ fanegas de trigo y $10$ de centeno se venden por $15$, y $4$ fanegas de trigo y $5$ de centeno se venden por $8$, ¿cuál es el precio por fanega del trigo y del centeno?

6. Si $12$ libras de té y $4$ libras de café cuestan $\backslash$7$, y $4$ libras de té y $12$ libras de café cuestan $\backslash$5$, ¿cuál es el precio por libra de té y de café?

7. Se pueden comprar seis caballos y $7$ vacas por $\backslash$1000$, y $11$ caballos y $13$ vacas por $\backslash$1844$. Hallar el valor de un caballo y el de una vaca.

Ejercicio 67.

Ej. Cierta fracción se vuelve igual a $\frac{1}{2}$ si se le suma $2$ a su numerador, e igual a $\frac{1}{3}$ si se le suma $3$ a su denominador. Hallar la fracción.

lint Sea xy = la fracción requerida. lint Entonces x + 2y = 12, lint y xy + 3 = 13.

La solución de estas ecuaciones da $7$ para $x$, y $18$ para $y$.

Por lo tanto, la fracción requerida es $\frac{7}{18}$.

1. Si el numerador de cierta fracción aumenta en $2$ y su denominador disminuye en $2$, su valor será $1$. Si el numerador aumenta en el denominador y el denominador disminuye en $5$, su valor será $5$. Hallar la fracción.

2. Si se suma $1$ al denominador de una fracción, su valor será $\frac{1}{2}$. Si se suma $2$ a su numerador, su valor será $\frac{3}{5}$. Halle la fracción.

3. Si se añade $1$ al numerador de una fracción, su valor será $\frac{1}{5}$. Si se añade $1$ a su denominador, su valor será $\frac{1}{7}$. Halla la fracción.

4. Si el numerador de una fracción se duplica y su denominador disminuye en $1$, su valor será $\frac{1}{2}$. Si su denominador se duplica y su numerador aumenta en $1$, su valor será $\frac{1}{7}$. Hallar la fracción.

5. En cierta fracción propia, la diferencia entre el numerador y el denominador es $15$. Si el numerador se multiplica por $4$ y el denominador aumenta en $6$, su valor será $1$. Hallar la fracción.

Ejercicio 68.

La expresión $64$ significa $60+4$, es decir, $10$ veces $6+4$, y tiene por dígitos $6$ y $4$. Si los dígitos fueran desconocidos y estuvieran representados por $x$ e $y$, el número se representaría mediante $10x+y$.

Ej. La suma de los dos dígitos de un número es $10$, y si se le suma $18$ al número, los dígitos se invertirán. Hallar el número.

Sea $x=$ el dígito de las decenas, y $y=$ el dígito de las unidades. [1] Entonces $10x+y=$ el número. [1] Por lo tanto $x+y=10$, (1) y $10x+y+18=10y+x$. (2) [1] De (2), $9x-9y=-18$, o $x-y=-2$. (3) [1] Suma (1) y (3), $2x=8$, y por lo tanto $x=4$. Resta (3) de (1), $2y=12$, y por lo tanto $y=6$.

Por lo tanto, el número es $46$.

1. La suma de los dos dígitos de un número es $9$, y si se le suma $9$ al número, los dígitos se invertirán. Hallar el número.

2. Un cierto número de dos cifras es igual a ocho veces la suma de sus dígitos, y si se resta $45$ del número, los dígitos se invertirán. Hallar el número.

3. La suma de cierto número de dos cifras y el número formado al invertir sus dígitos es $132$, y la diferencia de estos números es $18$. Encuentre los números.

4. La suma de los dos dígitos de un número es $9$, y si el número se divide por la suma de sus dígitos, el cociente es $6$. Encuentre el número.

Ejercicio 69.

Ej. Una suma de dinero, a interés simple, ascendió a $$2480$ en $4$ años, y a $$2600$ en $5$ años. Halle la suma y la tasa de interés.

• lint Sea x = el número de dólares del capital,
• lint y y = la tasa de interés.

El interés por un año es ${\displaystyle \frac{y}{100}}$ del capital; es decir, ${\displaystyle \frac{xy}{100}}$. Para $4$ años el interés es ${\displaystyle \frac{4xy}{100}}$, y para $5$ años ${\displaystyle \frac{5xy}{100}}$. El monto es capital $+$ interés, lintor x + 4xy100 = 2480. x + 5xy100 = 2600. lint Por tanto 100x + 4xy = 248,000. (1) 100x + 5xy = 260,000. (2) [1] Dividiendo (1) por $4$ y (2) por $5$, tenemos 25x + xy = 62,000 20x + xy = 52,000 [1] lint Restando, 5x + xy = 10,000. [1] lint Por tanto 5xx + xy = 10,0002000.

Sustituye el valor de $x$ en (1), $y=6$.

Por lo tanto, la suma es $$2000$, y la tasa $6$

1. Una suma de dinero, a interés simple, ascendió en $5$ años a $\backslash$3000$ y en $6$ años a $\backslash$3100$. Hallar la suma y la tasa de interés.

2. Una suma de dinero, a interés simple, ascendió en $10$ meses a $\backslash$1680$, y en $18$ meses a $\backslash$1744$. Hallar la suma y el tipo de interés.

3. Un hombre tiene invertidos $10.000$, una parte al $4$% y el resto al $5$%. Los ingresos anuales de su inversión al $4$% son $40$ más que los de su inversión al $5$%. Hallar la suma invertida al $4$% y al $5$%.

Ejercicio 70.