Números positivos y negativos.

### 56. Cantidades de especie opuesta.

Si una persona se dedica al comercio, su capital aumentará con sus ganancias y disminuirá con sus pérdidas.

El aumento de temperatura se mide por el número de grados que el mercurio asciende en un termómetro, y la disminución de temperatura por el número de grados que el mercurio desciende.

Al considerar cualquier cantidad que sea, una cantidad que aumenta la cantidad considerada se llama cantidad positiva; y una cantidad que disminuye la cantidad considerada se llama cantidad negativa.

57. Números positivos y negativos.

Si desde un punto dado, marcado con el $0$ , trazamos una línea recta hacia la derecha, y a partir del punto cero marcamos unidades de longitud en esta línea, las sucesivas repeticiones de la unidad se expresarán mediante la serie natural de números, $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , etc.

Así: 1

Si deseamos sumar $2$ a $5$ , empezamos en el $5$ , contamos $2$ unidades hacia adelante y llegamos a $7$ , la suma requerida.

Si deseamos restar $2$ de $5$ , empezamos en el $5$ , contamos $2$ unidades hacia atrás y llegamos a $3$ , la diferencia requerida.

Si deseamos restar $5$ de $5$ , contamos $5$ unidades hacia atrás y llegamos a $0$ .

Si deseamos restar $5$ de $2$ , no podemos hacerlo, porque cuando hemos contado hacia atrás desde $2$ hasta llegar a $0$ , la serie natural de los números llega a su fin.

Para restar un número mayor de uno menor, es necesario asumir una nueva serie de números, que comience en cero y se extienda a la izquierda del cero.

La serie a la izquierda del cero debe proceder a partir del cero mediante la repetición de la unidad, exactamente igual que la serie natural a la derecha del cero; y la oposición entre la serie de la derecha y la serie de la izquierda debe señalarse con claridad.

Esta oposición se indica llamando número positivo a cada número de la serie de la derecha, y anteponiéndole, al escribirlo, el signo $+$ ; y llamando número negativo a cada número de la serie de la izquierda, y anteponiéndole el signo $-$ .

Las dos series de números pueden denominarse la serie algebraica de números, y escribirse así: 2

Si, ahora, deseamos restar $7$ de $4$ , empezamos en el $4$ de la serie positiva, contamos $7$ unidades en la dirección negativa (hacia la izquierda), y llegamos al $- 3$ en la serie negativa; es decir, $4 - 7 = - 3$ .

El resultado obtenido al restar un número mayor de otro menor, cuando ambos son positivos, es siempre un número negativo.

En general, si $a$ y $b$ representan dos números cualesquiera de la serie positiva, la expresión $a - b$ será un número positivo cuando $a$ sea mayor que $b$ ; será cero cuando $a$ sea igual a $b$ ; será un número negativo cuando $a$ sea menor que $b$ .

Al contar de izquierda a derecha en la serie algebraica, los números aumentan en magnitud; al contar de derecha a izquierda, los números disminuyen en magnitud.

Así, $- 3$ , $- 1$ , $0$ , $+ 2$ , $+ 4$ , están ordenados en orden ascendente de magnitud.

Todo número algebraico, como $+ 4$ o $- 4$ , consta de un signo $+$ o $-$ y del valor absoluto del número. El signo indica si el número pertenece a la serie de los números positivos o negativos; el valor absoluto muestra el lugar que ocupa el número en la serie positiva o negativa.

Cuando ningún signo precede a un número, siempre se sobreentiende el signo $+$ . Así, $4$ significa lo mismo que $+ 4$ , $a$ significa lo mismo que $+ a$ . Pero el signo $-$ nunca se omite.

Dos números algebraicos que tienen, uno el signo $+$ , y el otro el signo $-$ , se dice que tienen signos distintos.

Dos números algebraicos que tienen el mismo valor absoluto, pero signos distintos, siempre se anulan mutuamente al combinarse. Así, $+ 4 - 4 = 0$ ; $+ a - a = 0$ .

60. Doble significado de los signos $+$ y $-$.

El uso de los signos $+$ y $-$ para indicar la adición y la sustracción debe distinguirse cuidadosamente del uso de los signos $+$ y $-$ para indicar a qué serie, la positiva o la negativa, pertenece un número dado.

En el primer sentido son signos de operaciones, y son comunes a la Aritmética y al Álgebra; en el segundo sentido son signos de oposición, y se emplean únicamente en el Álgebra.

En Aritmética, si las cosas contadas son unidades enteras, los números que las cuentan se llaman números enteros o enteros, donde el adjetivo se transfiere de las cosas contadas a los números que las cuentan.

Pero si las cosas contadas son solo partes de unidades, los números que las cuentan se llaman números fraccionarios, o simplemente fracciones, donde nuevamente el adjetivo se transfiere de las cosas contadas a los números que las cuentan.

Asimismo en el Álgebra, si las unidades contadas son negativas, los números que las cuentan se llaman números negativos, donde el adjetivo que define la naturaleza de las unidades contadas se transfiere a los números que las cuentan.

Un número entero significa un número de unidades enteras, un número fraccionario significa un número de partes de unidades, y un número negativo significa un número de unidades negativas.

61. Adición y sustracción de números algebraicos.

Un número algebraico que ha de sumarse o restarse se suele encerrar entre paréntesis, para que los signos $+$ y $-$ , que se usan para distinguir los números positivos y negativos, no se confundan con los signos $+$ y $-$ que denotan las operaciones de adición y sustracción.

Así, $+ 4 + (- 3)$ expresa la suma, y $+ 4 - (- 3)$ expresa la diferencia, de los números $+ 4$ y $- 3$ .

62. Adición.

Para sumar dos números algebraicos, comenzamos en el lugar de la serie que ocupa el primer número, y contamos, en la dirección indicada por el signo del segundo número, tantas unidades como hay en el valor absoluto del segundo número. 3

Así, la suma de $+ 4 + (+ 3)$ se encuentra contando a partir de $+ 4$ tres unidades en la dirección positiva; es decir, hacia la derecha, y es, por tanto, $+ 7$ .

El resultado de $+ 4 + (- 3)$ se halla contando desde $+ 4$ tres unidades en dirección negativa; es decir, hacia la izquierda, y es, por lo tanto, $+ 1$ .

El resultado de $- 4 + (+ 3)$ se encuentra contando desde $- 4$ tres unidades en dirección positiva, y es, por lo tanto, $- 1$ .

El resultado de $- 4 + (- 3)$ se encuentra contando desde $- 4$ tres unidades en dirección negativa y es, por lo tanto, $- 7$ .

63. Sustracción.

Para restar un número algebraico de otro, empezamos en el lugar de la serie que ocupa el minuendo y contamos, en la dirección opuesta a la indicada por el signo del sustraendo, tantas unidades como hay en el valor absoluto del sustraendo.

Así, el resultado de restar $+ 3$ de $+ 4$ se halla contando desde $+ 4$ tres unidades en la dirección negativa; es decir, en la dirección opuesta a la indicada por el signo $+$ delante de $3$ , y es, por lo tanto, $+ 1$ .

El resultado de restar $- 3$ a $+ 4$ se obtiene contando desde $+ 4$ tres unidades en dirección positiva, y es, por tanto, $+ 7$ .

El resultado de restar $+ 3$ a $- 4$ se obtiene contando desde $- 4$ tres unidades en dirección negativa, y es, por lo tanto, $- 7$ .

El resultado de restar $- 3$ a $- 4$ se obtiene contando desde $- 4$ tres unidades en dirección positiva, y es, por lo tanto, $- 1$ .

Reuniendo los resultados obtenidos en la suma y en la resta, tenemos: $c > c \textsc S u m a . & \textsc R e s t a . + 4 + (- 3) = + 4 - 3 = + 1 . & + 4 - (+ 3) = + 4 - 3 = + 1 . + 4 + (+ 3) = + 4 + 3 = + 7 . & + 4 - (- 3) = + 4 + 3 = + 7 . - 4 + (- 3) = - 4 - 3 = - 7 . & - 4 - (+ 3) = - 4 - 3 = - 7 . - 4 + (+ 3) = - 4 + 3 = - 1 . & - 4 - (- 3) = - 4 + 3 = - 1 .$

A partir de estos cuatro casos de adición, por lo tanto,

Sumar números algebraicos,

Si los números tienen el mismo signo, halle la suma de sus valores absolutos y anteponga el signo común al resultado.

Si los números tienen signos diferentes, encuentre la diferencia de sus valores absolutos y anteponga el signo del número mayor al resultado.

Si hay más de dos números, halle la suma de los números positivos y la suma de los números negativos, tome la diferencia entre los valores absolutos de estas dos sumas y anteponga el signo de la suma mayor al resultado.

Como el orden en que se suman los números es irremediable, podemos sumar dos cualesquiera de los números, y luego esta suma a cualquier tercer número, y así sucesivamente.

El resultado se denomina por lo general suma algebraica, a diferencia de la suma aritmética; es decir, la suma de los valores absolutos de los números.

De los cuatro casos de sustracción del § 64, vemos que restar un número positivo equivale a sumar un número negativo igual, y restar un número negativo equivale a sumar un número positivo igual.

Resta de un número algebraico de otro,

Cambia el signo del sustraendo y suma el sustraendo al minuendo.

68. Ejemplos.

Halla la suma de $3 a$ , $2 a$ , $a$ , $5 a$ , $7 a$ .

La suma de los coeficientes es $3 + 2 + 1 + 5 + 7 = 18$ .

Por lo tanto, la suma de los números es $18 a$ .

Halla la suma de $- 5 c$ , $- c$ , $- 3 c$ , $- 4 c$ , $- 2 c$ .

La suma de los coeficientes es $- 5 - 1 - 3 - 4 - 2 = - 15$ .

Por lo tanto, la suma de los números es $- 15 c$ .

Halla la suma de $8 x$ , $- 9 x$ , $- x$ , $3 x$ , $4 x$ , $- 12 x$ , $x$ .

La suma de los coeficientes positivos es $8 + 3 + 4 + 1 = 16$ .

La suma de los coeficientes negativos es $- 9 - 1 - 12 = - 22$ .

La diferencia entre $16$ y $22$ es $6$ , y el signo del mayor es negativo.

Por tanto, la suma requerida es $- 6 x$ .

Ejercicio 15.

Encuentra la suma de:

$5 c$ , $23 c$ , $c$ , $11 c$ .

$4 a$ , $3 a$ , $7 a$ , $10 a$ .

$7 x$ , $12 x$ , $11 x$ , $9 x$ .

$6 y$ , $8 y$ , $2 y$ , $35 y$ .

$- 3 a$ , $- 5 a$ , $- 18 a$ .

$- 5 x$ , $- 6 x$ , $- 18 x$ , $- 11 x$ .

$- 3 b$ , $- b$ , $- 9 b$ , $- 4 b$ .

$- z$ , $- 2 z$ , $- 10 z$ , $- 53 z$ .

$- 11 m$ , $- 3 m$ , $- 5 m$ , $- m$ .

$5 d$ , $- d$ , $- 4 d$ , $2 d$ .

$13 n$ , $13 n$ , $- 11 n$ , $- 6 n$ , $- 9 n$ , $n$ , $2 n$ , $- 3 n$ .

$5 g$ , $- 3 g$ , $- 6 g$ , $- 4 g$ , $20 g$ , $- 5 g$ , $- 11 g$ , $- 14 g$ .

$- 9 a^{2}$ , $5 a^{2}$ , $6 a^{2}$ , $a^{2}$ , $2 a^{2}$ , $- a^{2}$ , $- 3 a^{2}$ .

$3 x^{3}$ , $- 2 x^{3}$ , $- 5 x^{3}$ , $- 7 x^{3}$ , $- x^{3}$ , $2 x^{3}$ , $- 10 x^{3}$ , $- x^{3}$ .

$4 a^{2} b^{2}$ , $- a^{2} b^{2}$ , $- 6 a^{2} b^{2}$ , $4 a^{2} b^{2}$ , $- 2 a^{2} b^{2}$ , $a^{2} b^{2}$ .

$6 m n$ , $- 5 m n$ , $m n$ , $- 3 m n$ , $4 m n$ .

$3 x y z$ , $- 2 x y z$ , $5 x y z$ , $- 7 x y z$ , $x y z$ .

$5 a^{3} b^{3} c^{3}$ , $- 7 a^{3} b^{3} c^{3}$ , $- 3 a^{3} b^{3} c^{3}$ , $2 a^{3} b^{3} c^{3}$ .

$11 a b c d$ , $- 10 a b c d$ , $- 9 a b c d$ , $- a b c d$ .

Resta $- a$ de $- b$ , y encuentra el valor del resultado si $a = - 4$ , $b = - 5$ .

Cuando $a = 4$ , $b = - 2$ , $c = - 3$ , encuentra la diferencia en los valores de:

$a - b + c$ y $- a + b + c$ .

$a + (- b) + c$ y $a - (- b) + c$ .

$- a - (- b) + c$ y $- (- a) + (- b) - c$ .

$a - b + (- c)$ y $a - (- b) - (- c)$ .