107. Cuando los términos se pueden agrupar de modo que se muestre un factor común en cada grupo.

Descomponer en factores $a c + a d + b c + b d$ .

Se observa que los dos primeros términos de $a c + a d + b c + b d$ tienen el factor común $a$ , y los dos últimos términos, el factor común $b$ .

Por lo tanto, agrupamos entre paréntesis los dos primeros términos y también los dos últimos términos. Luego sacamos el factor $a$ de $(a c + a d)$ y $b$ de $(b c + b d)$ , y obtenemos la ecuación (2).

Dado que en (2) se observa que un factor es $c + d$ , al dividir por $c + d$ , obtenemos el otro factor, $a + b$ .

Encuentra los factores de $a c + a d - b c - b d$ .

Aquí los dos últimos términos, $- b c - b d$ , al colocarse dentro de un paréntesis precedido por el signo $-$ , ven sus signos cambiados a $+$ .

Factorizar $2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 6$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 6 & = (2 x^{3} - 3 x^{2}) - (4 x - 6) & = x^{2} (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) & = (x^{2} - 2) (2 x - 3) .$

Descomponer en factores $x^{3} + x^{2} - a x - a$ .

$x^{3} + x^{2} - ax - a &= (x^{3} + x^{2}) - (ax + a) \ &= x^{2}(x + 1) - a(x + 1) \ &= (x^{2} - a)(x + 1).$

Factoriza $x^{3} + 3 a x^{2} + x + 3 a$ .

$x^{3} + 3ax^{2} + x + 3a &= (x^{3} + 3ax^{2}) + (x + 3a) \ &= x^{2}(x + 3a) + 1(x + 3a) \ &= (x^{2} + 1)(x + 3a).$

Ejercicio 32.

Descomponer en factores:

$x^{3} + x^{2} + x + 1$ .

$x^{3} - x^{2} + x - 1$ .

$x^{2} + x y + x z + y z$ .

$a x - b x - a y + b y$ .

$a^{2} - a c + a b - b c$ .

$x^{2} - b x + 3 x - 3 b$ .

$2 x^{3} - x^{2} + 4 x - 2$ .

$a^{2} - 3 a - a b + 3 b$ .

$6 a^{2} + 2 a b - 3 a c - b c$ .

$a b x y + c x y + a b c + c^{2}$ .

$a x - a y - b x + c y - c x + b y$ .

$(a - b)^{2} - 2 c (a - b)$ .