Puesto que el cubo de $a+b$ es $a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$, la raíz cúbica de $a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ es $a+b$.

Se requiere idear un método para extraer la raíz cúbica $a+b$ cuando se da $a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$.

1. Halla la raíz cúbica de $a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$.

$$\begin{gathered} rl<rcll\&\&a^3\&+\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\&a+b \\ \mathrm{\backslash cline}6-63a^2\&\&a^3 \\ \mathrm{\backslash cline}3-3\&+3ab+b^2\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\&\&3a^{2}b+3a{b}^2+b^3 \\ \mathrm{\backslash cline}1-33a^2\&+3ab+b^2\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\&\&3a^{2}b+3a{b}^2+b^3 \\ \mathrm{\backslash cline}4-5 \end{gathered}$$

El primer término $a$ de la raíz es evidentemente la raíz cúbica del primer término $a^3$ de la expresión dada.

Si se resta $a^3$, el resto es $3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$; por lo tanto, el segundo término $b$ de la raíz se obtiene dividiendo el primer término de este resto entre tres veces el cuadrado de $a$.

Además, dado que $3a^{2}b+3a{b}^2+b^3=(3a^2+3ab+b^2)b$, el divisor completo se obtiene sumando $3ab+b^2$ al divisor de prueba $3a^2$.

2. Halla la raíz cúbica de $8x^3+36x^{2}y+54x{y}^2+27y^3$.

$$\begin{gathered} rlrlcll\&\&\&8x^3\&+\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|36x^{2}y+54x{y}^2+27y^3\&2x+3y \\ \mathrm{\backslash cline}7-7\&12x^2\&\&8x^3 \\ \mathrm{\backslash cline}4-4(6x+3y)3y=\&\&18xy+\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|9y^2\&\&36x^{2}y+54x{y}^2+27y^3 \\ \mathrm{\backslash cline}2-4\&12x^2\&+18xy+\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|9y^2\&\&36x^{2}y+54x{y}^2+27y^3 \\ \mathrm{\backslash cline}5-6 \end{gathered}$$

La raíz cúbica del primer término es $2x$, y este es, por tanto, el primer término de la raíz.

$8x^3$, el cubo de $2x$, se resta.

El segundo término de la raíz, $3y$, se obtiene dividiendo $36x^{2}y$ entre $3(2x{)}^2=12x^2$, lo cual corresponde a $3a^2$ en la forma típica, y el divisor se completa añadiendo a $12x^2$ la expresión $\backslash \{3(2x)+3y\backslash \}3y=18xy+9y^2,$ que corresponde a $3ab+b^2$ en la forma típica.

El mismo método puede aplicarse a expresiones más largas considerando que $a$, en la forma típica $3a^2+3ab+b^2$, representa en cada etapa del proceso la parte de la raíz ya hallada.

Así, si la parte de la raíz ya hallada es $x+y$, entonces $3a^2$ de la forma típica estará representado por $3(x+y{)}^2$; y si el tercer término de la raíz es $+z$, entonces $3ab+b^2$ estará representado por $3(x+y)z+z^2$.

De modo que el divisor completo, $3a^2+3ab+b^2$, estará representado por $3(x+y{)}^2+3(x+y)z+z^2$.

Ej. Halla la raíz cúbica de $x^6-3x^5+5x^3-3x-1$.

$$\begin{gathered} \mathrm{\backslash ifthenelse}\text{⧸}\mathrm{\backslash boolean}ForPrinting*2r@*3r*4l\&\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\&x^2\&\mathrm{\backslash multicolumn}3@l-x-1 \\ \mathrm{\backslash cline}5-6\&\&\&\&x^6\&-3x^5\&\mathrm{\backslash multicolumn}2@l\phantom{+3x^4}+5x^3-3x-1 \\ \&3x^4\&\&\&x^6 \\ \mathrm{\backslash cline}5-5(3x^2-x)(-x)=\&\&-3x^3\&+\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|x^2\&-3x^5\&\phantom{+3x^4}+5x^3 \\ \mathrm{\backslash cline}3-5\&3x^4\&-3x^3\&+\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|x^2\&-3x^5\&+3x^4-\phantom{0}{x}^3 \\ \mathrm{\backslash cline}6-7\&\&\&\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\&-3x^4+6x^3-3x-1 \\ 3(x^2-x{)}^2=\&3x^4\&-6x^3\&+\&3x^2\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r| \\ \text{{} \end{gathered}$$(3x^{2} - 3x - 1)$$\begin{gathered} \}(-1)=\&\&\&-\&3x^2\&\mathrm{\backslash multicolumn}1l|+3x+1 \\ \mathrm{\backslash cline}2-6\&3x^4\&-6x^3\&\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1l|+3x+1\&-3x^4+6x^3-3x-1 \\ \mathrm{\backslash cline}7-7 \end{gathered}$$

El radical se coloca encima de la expresión dada porque no hay espacio para él en la página a la derecha de la expresión.

El primer término de la raíz, $x^2$, se obtiene tomando la raíz cúbica del primer término de la expresión dada; y el primer divisor de prueba, $3x^4$, se obtiene tomando tres veces el cuadrado de este término.

El siguiente término de la raíz se encuentra dividiendo $-3x^5$, el primer término del residuo después de restar $x^6$, entre $3x^4$, y el primer divisor completo, $3x^4-3x^3+x^2$, se encuentra añadiendo al divisor de prueba $(3x^2-x)(-x)$, cuya expresión corresponde a $(3a+b)b$ en la forma típica.

La parte de la raíz ya hallada ($a$) se representa ahora por $x^2-x$, por lo tanto, $3a^2$ está representado por $3(x^2-x{)}^2=3x^4-6x^3+3x^2$, el segundo divisor de prueba, y $(3a+b)b$ por $(3x^2-3x-1)(-1)$, ya que en este caso se encuentra que $b$ es $-1$; por lo tanto, en el segundo divisor completo, $3a^2+(3a+b)b$ está representado por $(3x^4-6x^3+3x^2)+(3x^2-3x-1)(-1)=3x^4-6x^3+3x+1.$

Exercise 80.

Encuentra la raíz cúbica de

1. $x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$.

2. $8x^3-12x^2+6x-1$.

3. $8x^3-36x^{2}y+54x{y}^2-27y^3$.

4. $64a^3-144a^{2}x+108a{x}^2-27x^3$.

5. $1+3x+6x^2+7x^3+6x^4+3x^5+x^6$.

6. $x^6-3x^5+6x^4-7x^3+6x^2-3x+1$.

187. Raíces cúbicas aritméticas.

Al extraer la raíz cúbica de un número expresado en cifras, el primer paso es separarlo en grupos.

Como $1=1^3$, $1000={10}^3$, $1,000,000={100}^3$ y así sucesivamente, se deduce que la raíz cúbica de cualquier número entre $1$ y $1000$, es decir, de cualquier número que tenga una, dos o tres cifras, es un número de una sola cifra, y que la raíz cúbica de cualquier número entre $1000$ y $1,000,000$, es decir, de cualquier número que tenga cuatro, cinco o seis cifras, es un número de dos cifras, y así sucesivamente.

Si, por consiguiente, se divide un número cúbico entero en grupos de tres cifras cada uno, de derecha a izquierda, el número de cifras en la raíz será igual al número de grupos. El último grupo de la izquierda podrá constar de una, dos o tres cifras.

Si la raíz cúbica de un número tiene cifras decimales, el número mismo tendrá tres veces más. Por tanto, si $0.11$ es la raíz cúbica de un número, el número es $0.11\times 0.11\times 0.11=0.001331$.

De ahí que, si un número dado contiene decimales, dividimos las cifras del número en grupos de tres cifras cada uno, comenzando en el punto decimal y avanzando hacia la izquierda para la parte entera, y hacia la derecha para la decimal. Debemos tener cuidado de que el último grupo a la derecha del punto decimal contenga tres cifras, añadiendo ceros cuando sea necesario.

Extrae la raíz cúbica de $42875$.

$$\begin{gathered} rrrlll\&\&\&42\&875\&(35 \\ \&\&a^3=\&27 \\ \mathrm{\backslash cline}4-53a^2=\&3\times {30}^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|2700\&15\&875 \\ 3ab=\&3\times (30\times 5)=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|450 \\ {b}^2=\&5^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|25 \\ \mathrm{\backslash cline}3-3\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|3175\&15\&875 \\ \mathrm{\backslash cline}4-5 \end{gathered}$$

Como $42875$ tiene dos grupos, la raíz tendrá dos cifras.

El primer grupo, $42$, contiene el cubo de las decenas de la raíz.

El mayor cubo en $42$ es $27$, y la raíz cúbica de $27$ es $3$. Por lo tanto, $3$ es la cifra de las decenas de la raíz.

Restamos $27$ de $42$, y bajamos el siguiente grupo, $875$.

Puesto que $a$ es $3$ decenas o $30$, $3a^2=3\times {30}^2$, o $2700$.

Este divisor de prueba está contenido $5$ veces en $15875$.

El divisor de prueba se completa sumando $3ab+b^2$; es decir, $450+25$, al divisor de prueba.

El mismo método se aplicará a números de más de dos grupos de cifras, considerando en cada caso a $a$, la parte de la raíz ya hallada, como tantas decenas con respecto a la siguiente cifra de la raíz.

12pt

Extraiga la raíz cúbica de $57512456$.

$$\begin{gathered} *3r*4l\&\&\&57\&512\&456\&(386 \\ \&\&a^3=\&27 \\ \mathrm{\backslash cline}4-53a^2=\&3\times {30}^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|2700\&30\&512 \\ 3ab=\&3\times (30\times 8)=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|720 \\ {b}^2=\&8^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|64 \\ \mathrm{\backslash cline}3-3\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|3484\&27\&872 \\ \mathrm{\backslash cline}4-6\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\&\phantom{0}2\&640\&456 \\ 3a^2=\&3\times {380}^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|433200 \\ 3ab=\&3\times (380\times 6)=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|6840 \\ {b}^2=\&6^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|36 \\ \mathrm{\backslash cline}3-3\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|440076\&\phantom{0}2\&640\&456 \\ \mathrm{\backslash cline}4-6 \end{gathered}$$

Extraiga la raíz cúbica de $187.149248$.

$$\begin{gathered} *3r@*4rl\&\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}2r187\text{.}\&149\&248\&(5.72 \\ \&\&a^3=\&\mathrm{\backslash multicolumn}2r125 \\ \mathrm{\backslash cline}4-63a^2=\&3\times {50}^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|7500\&\&62\&149 \\ 3ab=\&3\times (50\times 7)=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|1050 \\ {b}^2=\&7^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|49 \\ \mathrm{\backslash cline}3-3\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|8599\&\&60\&193 \\ \mathrm{\backslash cline}4-7\&\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\&1\&956\&248 \\ 3a^2=\&3\times {570}^2=\&9747\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|00 \\ 3ab=\&3\times (570\times 2)=\&34\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|20 \\ {b}^2=\&2^2=\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|4 \\ \mathrm{\backslash cline}3-4\&\&9781\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|24\&1\&956\&248 \\ \mathrm{\backslash cline}5-7 \end{gathered}$$

Se verá por los grupos de cifras que la raíz tendrá una parte entera y dos decimales.

Si el número dado no es un cubo perfecto, se pueden agregar cifras, y se puede hallar un valor de la raíz tan próximo al valor verdadero como queramos.

Extraiga la raíz cúbica de $1250.6894$.

$$\begin{gathered} rrrcclll\&\&\&\&1\&\mathrm{\backslash multicolumn}3l\text{250.689,400,(10.77} \\ \&\&a^3\&=\&1 \\ \mathrm{\backslash cline}4-63a^2=\&\mathrm{\backslash PadTo}3\times (1070\times 7)3\times {10}^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\phantom{0}\phantom{0}300\&\&\&250\&\phantom{999}\&\phantom{999} \end{gathered}$$

Como $300$ no está contenido en $250$, la siguiente cifra de la raíz será $0$.

$$\begin{gathered} rrr@ccrll3a^2=\&3\times {100}^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|30000\&\&\phantom{0}\&250\&689 \\ 3ab=\&3\times (100\times 7)=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|2100 \\ {b}^2=\&7^2=\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|49 \\ \mathrm{\backslash cline}3-3\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|32149\&\&\&225\&043 \\ \mathrm{\backslash cline}4-8\&\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\&\&25\&646\&400 \\ 3a^2=\&3\times {1070}^2=\&34347\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|00 \\ 3ab=\&3\times (1070\times 7)=\&224\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|70 \\ {b}^2=\&7^2=\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|49 \\ \mathrm{\backslash cline}3-4\&\&34572\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|19\&\&24\&200\&533 \\ \mathrm{\backslash cline}5-8\&\&\&\&\&1\&445\&867 \end{gathered}$$

Nótese que si $a$ denota el primer término, y $b$ el segundo término de la raíz, el primer divisor completo es $3a^2+3ab+b^2,$ y el segundo divisor de prueba es $3(a+b{)}^2$, es decir, $3a^2+6ab+3b^2.$

Esta expresión puede obtenerse sumando al divisor completo precedente, $3a^2+3ab+b^2$, su segundo término y el doble de su tercer término. Así: $$\begin{gathered} rr3a^2+3ab+\&b^2 \\ 3ab+\&2b^2 \\ \mathrm{\backslash cline}1-23a^2+6ab+\&3b^2 \end{gathered}$$

Este método para obtener divisores de prueba es de gran importancia para abreviar el trabajo numérico, como puede verse en el ejemplo siguiente:

Ej. Extraiga la raíz cúbica de $5$ a cinco cifras decimales.

$$\begin{gathered} rrr@r@rcrrl\&\&\&\&\&5\text{.}\&\mathrm{\backslash multicolumn}3l000(1.70997 \\ \&\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}3r{a}^3=1 \\ \mathrm{\backslash cline}4-73a^2=\&3\times {10}^2=\&300\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\&\&4\&000 \\ 3ab=\&3(10\times 7)=\&210\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r| \\ {b}^2=\&7^2=\&49\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r| \\ \mathrm{\backslash cline}3-3\&\&559\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\mathrm{\backslash BB}\&\&3\&913 \\ \mathrm{\backslash cline}5-9\&\&259\&\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\&87\&000\&000 \\ \mathrm{\backslash cline}3-53a^2=\&3\times {1700}^2=\&867\&00\&00\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r| \\ 3ab=\&3(1700\times 9)=\&4\&59\&00\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r| \\ {b}^2=\&9^2=\&\&\&81\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r| \\ \mathrm{\backslash cline}3-5\&\&871\&59\&81\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\mathrm{\backslash BB}\&78\&443\&829 \\ \mathrm{\backslash cline}7-9\&\&4\&59\&81\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\&8\&556\&1710 \\ \mathrm{\backslash cline}3-53a^2=\&3\times {1709}^2=\&876\&20\&43\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\&7\&885\&8387 \\ \mathrm{\backslash cline}7-9\&\&\&\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\&\&670\&33230 \\ \&\&\&\&\&\mathrm{\backslash multicolumn}1@r|\&\&613\&34301 \\ \mathrm{\backslash cline}7-9 \end{gathered}$$

Después de hallar las dos primeras cifras de la raíz, el siguiente divisor de prueba se obtiene bajando $259$, la suma de $210$ y $49$ obtenida al completar el divisor precedente, sumando luego las tres líneas unidas por la llave y añadiendo dos ceros al resultado.

Este divisor de prueba es $86.700$, y si sumamos $3ab+b^2$ para completar el divisor, cuando $b=1$, el divisor completo será $86.700+511=87.211$, y este es mayor que el dividendo $87.000$.

Por lo tanto, ponemos $0$ para la siguiente cifra de la raíz. A continuación, bajamos otro grupo y agregamos dos ceros más al divisor de prueba.

Las últimas dos cifras de la raíz se hallan por división. La regla en tales casos es que dos cifras menos que el número de cifras ya obtenidas se pueden hallar sin error mediante división, siendo el divisor tres veces el cuadrado de la parte de la raíz ya encontrada.

La raíz cúbica de una fracción común cuyo denominador no es un cubo perfecto se puede hallar de manera aproximada reduciendo la fracción a un número decimal y extrayendo después la raíz.

Ejercicio 81.

Encuentra la raíz cúbica de:

1. $46.656$.

2. $42.875$.

3. $91.125$.

4. $274,625$.

5. $110.592$.

6. $258,474,853$.

7. $109,215,352$.

8. $259,694,072$.

9. $127.263\mathrm{.527}$.

10. $385.828\mathrm{.352}$.

11. $1879.080904$.

12. $1838.265625$.

Encuentra a cuatro decimales la raíz cúbica de:

13. $0.01$.

14. $0,05$.

15. $0.2$.

16. $4$.

17. $10$.

18. $87$.

19. $2.5$.

20. $2.05$.

21. $3.02$.

22. $\frac{2}{3}$.

23. $\frac{3}{4}$.

24. $\frac{9}{11}$.

[7]Ejercicio 1.

1. $14$.

2. $10$.

3. $13$.

4. $11$.

5. $13$.

6. $7$.

7. $9$.

8. $7$.

9. $6$.

10. $2$.

11. $3$.

12. $6$.

13. $2$.

14. $8$.

15. $4$.

16. $3$.

17. $1$.

18. $1$.

19. $3$.

20. $4$.

21. $10$.

[7]Ejercicio 2.

1. $91$.

2. $21$.

3. $60$.

4. $24$.

5. $96$.

6. $16$.

7. $36$.

[3] 8. $4a+4b$.

9. $4a-4b$.

10. $2a^2+2b^2$.

11. $2a^2-2b^2$.

12. $3ab+3c$.

13. $3ab-3c$.

14. $3c-3ab$.

15. $ab+ac$.

16. $ab-ac$.

17. $3ab+3ac$.

18. $3ab-3ac$.

19. $5a{b}^2+5ac$.

20. $5a{b}^2-5a{c}^2$.

21. $5a^2{b}^2-5a^{2}c$.

[5]Ejercicio 3.

1. $63$.

2. $280$.

3. $300$.

4. $98$.

5. $81$.

6. $1250$.

7. $105$.

8. $105$.

9. $315$.

10. $35$.

11. $105$.

12. $105$.

13. $0$.

14. $135$.

15. $120$.

16. $0$.

17. $1800$.

18. $540$.

19. $0$.

20. $270$.

21. $540$.

[6]Ejercicio 4.

1. $21$.

2. $26$.

3. $72$.

4. $85$.

5. $30$.

6. $17$.

7. $8$.

8. $50$.

9. $24$.

10. $0$.

11. $12$.

12. $100$.

13. $80$.

14. $71$.

15. $139$.

16. $17$.

17. $8$.

18. $5$.

19. $3$.

20. $6$.

21. $5$.

22. $1$.

23. $2$.

24. $2$.

Ejercicio 5.

1. $a$ más $b$; $a$ menos $b$; $a$ por $b$; $a$ dividido por $b$.

3. $a+b$.

5. $a-b$.

7. $x-y$.

9. $4x$; $x^4$.

11. $35-x$.

12. $x-a$.

14. $14-x$.

15. $a-x$.

17. $xy$.

18. ${\displaystyle \frac{x}{y}}$.

[2]Ejercicio6.

2. ${\displaystyle \frac{a}{b}}$.

4. $(x-3)$ a.; $(x+7)$ a.

6. $7(2x-y)$.

8. $x+1$; $x-1$.

9. $20-d$.

11. $x+8$.

13. $x-10$.

14. $10$.

[2]Ejercicio 7.

1. $(40-x)$ años.

2. $(a+y)$ años.

3. $4$.

5. $ab$.

6. $5x-3x$.

8. $2x-3-(x+1)$.

9. $40$.

10. $12$.

11. $100a+25b+10c$.

12. $100-x-y$.

14. $xy+c$.

[2]Ejercicio 8.

2. $xy-a^2$.

3. ${\displaystyle \frac{ph}{gk}}$.

4. $6m^2+5c(d+b-a)$.

5. $5(2n+1)-6(c-a+b)$.

6. $$100-(a+b+2c)$.

8. ${\displaystyle \frac{1}{x}}$.

9. ${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}$.

[1] 10. $n+(n+1)+(n+2)$; $n(n+1)(n+2)$.

[4] 11. ${\displaystyle \frac{36}{x}}$.

12. $qd$.

13. $qd+r$.

14. $2x$.

15. ${\displaystyle \frac{10x}{12}}$.

16. ${\displaystyle \frac{6a}{b}}$.

17. $4m$.

18. $x+17$.

19. $x+y+c$.

20. $36x$.

21. ${\displaystyle \frac{c}{4}}$.

22. $x-1$, $x$, $x+1$.

23. $2n+3$.

[5]Exercise9.

1. $4$.

2. $5$.

3. $3$.

4. $1$.

5. $13$.

6. $0$.

7. $5$.

8. $5$.

9. $7$.

10. $4$.

11. $4$.

12. $1$.

13. $25$.

14. $32\frac{1}{2}$.

15. $6$.

16. $10$.

17. $3$.

18. $1$.

19. $7$.

20. $13$.

21. $12$.

22. $14$.

23. $7$.

24. $5$.

25. $0$.

26. $15$.

27. $10\frac{1}{2}$.

28. $4$.

29. $3$.

30. $4$.

31. $\frac{2}{5}$.

32. $6$.

33. $9$.

34. $7$.

35. $5$.

36. $6$.

37. $6$.

[2]Ejercicio10.

1. $30$.

2. Hijo, $10$ a.; padre, $50$ a.

3. $78$, $13$.

4. $80$ pies rotos; $10$ pies en pie.

5. $23$, $30$.

6. $36$, $48$.

7. $15$, $20$.

8. $20$.

9. $12$.

10. $10$, $40$.

11. $26$, $10$.

12. $25$, $15$.

13. $10$, $20$.

14. $7$, $20$.

15. $12$, $20$.

Ejercicio11.

1. Vaca, $$42$; caballo, $$168$.

2. $81$.

3. $2$.

4. $30$, $40$.

5. $25$, $26$, $27$.

6. $5$, $6$, $7$, $8$, $9$.

7. A, $30$ años; B, $10$ años.

8. Padre, $40$ a., hijo, $10$ a.

9. $40$.

10. $10$.

11. $$40$.

12. $9$.

[2]Ejercicio12.

• $15$ hombres;
• $30$ mujeres;
• $45$ niños.

2. $50$.

3. $16$.

4. $7$.

5. $35$.

6. $24$.

7. $24$.

8. $20$.

9. $970$; $1074$.

[2]Ejercicio13.

1. $24$.

2. A, $$60$; B, $$30$.

3. $$3$ quarters; $6$ bills.

4. $14$.

5. $$4$ monedas de veinticinco centavos; $20$ monedas de cincuenta centavos.

6. $$7$ billetes de diez dólares; $21$ billetes de un dólar.

7. Padre, $32$ años; hijo, $8$ años.

8. $20$.

[2]Ejercicio14.

1. $9$ millas.

2. $$60$.

3. $$20$ lb. a $65$ cts.; $60$ lb. a $45$ cts.

4. $40$.

5. $15,000$.

6. $15$ pulg.; $21$ pulg.

7. $$2$ doc. a $25$ cts.; $5$ doc. a $20$ cts.

8. $$6$ monedas de veinticinco centavos, $18$ monedas de diez centavos.

[4]Ejercicio 15.

1. $40c$.

2. $24a$.

3. $39x$.

4. $51y$.

5. $-26a$.

6. $-40x$.

7. $-17b$.

8. $-66z$.

9. $-20m$.

10. $2d$.

11. $0$.

12. $-18g$.

13. $a^2$.

14. $-21x^3$.

15. $0$.

16. $3mn$.

17. $0$.

18. $-3a^3{b}^3{c}^3$.

19. $-9abcd$.

20. $1$.

21. $12$.

22. $4$.

23. $-18$.

24. $10$.

Ejercicio 16.

1. $30a^5$.

2. $40a^4{b}^3$.

3. $63x^2{y}^2$.

4. $2a^5{b}^5{c}^2$.

5. $9a^7{b}^9{c}^9$.

6. $-10a^2$.

7. $12ab$.

8. $-a^4{b}^3$.

9. $10a^5{b}^{5}c$.

10. $12x^7{y}^5{z}^2$.

11. $105a^7{b}^5$.

12. $6a^6{b}^5{c}^7$.

13. $-12a^5{b}^5{c}^5{x}^5$.

14. $24a^7{b}^6{c}^5$.

15. $-42a^6{m}^5{x}^7$.

16. $30x^8{y}^4{z}^6$.

17. $-46$.

18. $-3$.

19. $-8$.

20. $-17$.

21. $9$.

22. $12$.

23. $-102$.

24. $-41$.

25. $174$.

26. $6$.

27. $30$.

28. $372$.

[4]Ejercicio17.

1. $x^2$.

2. $3x^2$.

3. $-7$.

4. $-7$.

5. $7x^4$.

6. $9x$.

7. $-4a$.

8. $4x^2{y}^2$.

9. $-9x$.

10. $5x$.

11. $3y^2$.

12. $-4a{b}^2$.

13. $12x{y}^4$.

14. ${\displaystyle \frac{3x^3{y}^3}{5}}$.

15. $-{\displaystyle \frac{3a}{2}}$.

16. $-bd$.

17. $ac{d}^2$.

18. $-{\displaystyle \frac{2xy}{3}}$.

19. $5ab$.

20. $4mn$.

21. ${\displaystyle \frac{y{z}^3}{3}}$.

22. $-17cd$.

23. $2n^{2}p$.

24. ${\displaystyle \frac{3r^2}{p}}$.

25. $-13agt$.

26. ${\displaystyle \frac{1}{abc}}$.

27. ${\displaystyle \frac{3}{2x{y}^2{z}^3}}$.

28. ${\displaystyle \frac{2}{mnp}}$.

29. $-{\displaystyle \frac{a}{3b^2}}$.

30. $-{\displaystyle \frac{g}{3mt}}$.

[2]Ejercicio18.

1. $2a^2+2b^2$.

2. $9a^2-2a+6$.

3. $0$.

4. $4x+4y+4z$.

5. $2b+2c$.

6. $4a+4b+4c$.

7. $3a^2+5a-2$.

8. $8ab+3ac$.

9. $6x^3$.

10. $5x^2+3xy-2y^2$.

11. $a^2-2b^2$.

12. $4a^3+6a+2$.

13. $3m^3+7m^2+2$.

14. $2x^3-2x^2+4x+y$.

15. $7x^3+7x^2+2$.

16. $a^3+3a^{2}b-5a{b}^2-b^3$.

17. $-a^3-a^{2}b-2a{b}^2-2b^3$.

18. $2x^3+2x^{2}y-x{y}^2+6y^3$.

[2]Exercise19.

1. $a-b+c$.

2. $2a-2b+6c$.

3. $2a+3y-8z$.

4. $x+4y+5z$.

5. $2ac+2bc$.

6. $2ab-3ac+4bc$.

7. $x^3+3x^2+2x-8$.

8. $x^3-7x^2+4x$.

9. $2b^3+18abc-15c^3$.

10. $2-x-2x^2+2x^3$.

11. $-3b^3-4c^3+6abc$.

12. $-x^4-2x^3+4x^2-7x+5$.

13. $2x+x^2+x^3+x^5$.

14. $2b^3-4a^{2}b+2a{b}^2$.

15. $2b^4-2a^3{b}^3-a{b}^2$.

16. $4x^3-3x^{2}y-4x{y}^2+7y^3$.

Ejercicio 20.

1. $c$.

2. $y-b$.

3. $x-3y-7c$.

4. $7a+2b-2$.

5. $2a+x$.

6. $13x-15y+13z$.

7. $2a-2b+2c$.

8. $5a+b-4c$.

9. $4x-5y+2z$.

10. $3a-b$.

11. $2x+3y+z$.

12. $-8x+y$.

13. $6z-2y-z$.

15. $(a+c)x-(a-b)y+(a-c)z$.

16. $(2a+5c)x-(3a+4b)y-(6b+7c)z$.

17. $(ac-an)x-(bm+cn)y+(a+3c)z$.

18. $(mn-1)x-(mn+1)y+(mn+1)z$.

[2]Ejercicio21.

1. $x^2+7x$.

2. $8x^2-12xy$.

3. $14xy-21y^2$.

4. $2ax-4a^2$.

5. $bx-3b^2$.

6. $-6a^3+9a^{2}b$.

7. $10x^{2}z+15x{z}^2$.

8. $5a^{3}b-25a^2{b}^2$.

9. $-x^2{y}^2+3x{y}^3$.

10. $4x^5-6x^4$.

11. $4x^{2}y-12y^3$.

12. $-x^4+3x^2{y}^2$.

13. $-a^3{b}^3+a^5{b}^2$.

14. $a^4{b}^2+a^5$.

15. $4x^5-6x^4+2x^3$.

16. $5a^{3}b-25a^2{b}^2-5a{b}^3$.

17. $a^5+2a^{4}b+2a^3{b}^2$.

18. $a^3{b}^3+2a^2{b}^4+2a{b}^5$.

19. $8x^3-12x^{2}y-18x{y}^2$.

20. $x^{2}y+2x{y}^2-y^3$.

21. $a^5+a^4{b}^2+a^2{b}^3$.

22. $x^2{y}^2-2x{y}^3+y^4$.

23. $15a^4{b}^4-20a^3{b}^5+5a^5{b}^3$.

24. $3a^2{x}^2{y}^2-9a^{2}x{y}^4+3a^2{y}^6$.

25. $x^{15}{y}^2-x^{13}{y}^5-x^6{y}^{12}$.

26. $4x^5{y}^3-6x^4{y}^5+4x^3{y}^6$.