86. Multiplicación. Polinomios por Monomios.

Tenemos para números positivos (§ 39),

La misma ley se aplica a los números negativos.

multiplicar un polinomio por un monomio, por lo tanto,

Multiplica cada término del polinomio por el monomio y suma los productos parciales.

Encuentra el producto de $a b + a c - b c$ y $a b c$ . $r c r a b + a c - b c & & a b c & & \hline a^{2} b^{2} c + a^{2} b c^{2} & - & a b^{2} c^{2}$

Multiplicamos $a b$ , el primer término del multiplicando, por $a b c$ , y avanzamos hacia la derecha.

Ejercicio 21.

Encuentra el producto de:

$x + 7$ y $x$ .

$2 x - 3 y$ y $4 x$ .

$2 x - 3 y$ y $7 y$ .

$x - 2 a$ y $2 a$ .

$- x + 3 b$ y $- b$ .

$2 a^{2} - 3 a b$ y $- 3 a$ .

$2 x^{2} + 3 x z$ y $5 z$ .

$a^{2} - 5 a b$ y $5 a b$ .

$x^{2} - 3 x y$ y $- y^{2}$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 3 y^{2}$ y $4 y$ .

$x^{2} - 3 y^{2}$ y $- x^{2}$ .

$b^{3} - a^{2} b^{2}$ y $- a^{3}$ .

$- a^{2} b^{2} - a^{3}$ y $- a^{2}$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} + x$ y $2 x^{2}$ .

$a^{2} - 5 a b - b^{2}$ y $5 a b$ .

$a^{3} + 2 a^{2} b + 2 a b^{2}$ y $a^{2}$ .

$a^{3} + 2 a^{2} b + 2 a b^{2}$ y $b^{3}$ .

$4 x^{2} - 6 x y - 9 y^{2}$ y $2 x$ .

$- x^{2} - 2 x y + y^{2}$ y $- y$ .

$- a^{3} - a^{2} b^{2} - b^{3}$ y $- a^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x y - y^{2}$ y $- y^{2}$ .

$3 a^{2} b^{2} - 4 a b^{3} + a^{3} b$ y $5 a^{2} b^{2}$ .

$- a x^{2} + 3 a x y^{2} - a y^{4}$ y $- 3 a y^{2}$ .

$x^{12} - x^{10} y^{3} - x^{3} y^{10}$ y $x^{3} y^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 3 x^{2} y^{2} - 2 x y^{3}$ y $- 2 x^{2} y^{3}$ .

$a^{3} x^{2} y^{5} - a^{2} x y^{4} - a y^{3}$ y $a^{7} x^{3} y^{5}$ .

$3 a^{2} b^{2} - 2 a b^{3} + 5 a^{3} b$ y $5 a^{2} b^{3}$ .

87. Multiplicación. Polinomios por polinomios.

Si hemos de multiplicar $m + n + p$ por $a + b + c$ , podemos sustituir el multiplicador $a + b + c$ por $M$ . Entonces

$M (m + n + p) = M m + M n + M p .$

Si ahora sustituimos $a + b + c$ por $M$ , habremos hallado el producto de dos polinomios; por lo tanto,

Multiplica cada término del multiplicando por cada término del multiplicador y suma los productos parciales.

Al multiplicar polinomios, resulta una disposición conveniente escribir el multiplicador debajo del multiplicando, y colocar los términos semejantes de los productos parciales en columnas.

Multiplicar $2 x - 3 y$ por $5 x - 4 y$ . $c c r r c r 2 x & - & 3 & y & & 5 x & - & 4 & y & & \cline 1 - 4 10 x^{2} & - & 15 & x y & & & - & 8 & x y & + & 12 y^{2} \hline 10 x^{2} & - & 23 & x y & + & 12 y^{2}$

Multiplicamos $2 x$ , el primer término del multiplicando, por $5 x$ , el primer término del multiplicador, y obtenemos $10 x^{2}$ ; luego $- 3 y$ , el segundo término del multiplicando, por $5 x$ , y obtenemos $- 15 x y$ .

La primera línea de productos parciales es $10 x^{2} - 15 x y$ .

Al multiplicar por $- 4 y$ , obtenemos para una segunda línea de productos parciales $- 8 x y + 12 y^{2}$ , la cual se coloca un lugar hacia la derecha, de modo que los términos semejantes $- 15 x y$ y $- 8 x y$ queden en la misma columna.

Luego sumamos los coeficientes de los términos semejantes y obtenemos el producto completo en su forma más simple.

Multiplica $2 a + 3 - 4 a^{2}$ por $3 - 2 a^{2} - 3 a$ .

Ordena tanto el multiplicando como el multiplicador según las potencias ascendentes de $a$ . $r * 4 c r 3 & + & 2 a & - & 4 a^{2} & & & & 3 & - & 3 a & - & 2 a^{2} & & & & \cline 1 - 5 9 & + & 6 a & - & 12 a^{2} & & & & & - & 9 a & - & 6 a^{2} & + & 12 a^{3} & & & & & - & 6 a^{2} & - & 4 a^{3} & + & 8 a^{4} \hline 9 & - & 3 a & - & 24 a^{2} & + & 8 a^{3} & + & 8 a^{4}$

Multiplica $3 x + x^{4} - 2 x^{2}$ por $x^{3} - 2 - x$ .

Arrange according to the descending powers of $x$ .

$r * 5 c r x^{4} & - & 2 x^{2} & + & \PadTo [l] 3 x^{4} 3 x & & & & & & x^{3} & - & \PadTo [c] 2 x^{2} x & - & \PadTo [l] 3 x^{4} 2 & & & & & & \cline 1 - 5 x^{7} & - & 2 x^{5} & + & 3 x^{4} & & & & & & & - & x^{5} & & & + & 2 x^{3} & - & 3 x^{2} & & & & & - & 2 x^{4} & & & + & 4 x^{2} & - & 6 x \hline x^{7} & - & 3 x^{5} & + & x^{4} & + & 2 x^{3} & + & x^{2} & - & 6 x$

Multiplica $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c$ por $a + b + c$ .

Ordenado en potencias decrecientes de $a$ . $l * 8 c r a^{2} & - & a b & - & a c & + & b^{2} & - & b c & + & c^{2} a & + & b & + & c \cline 1 - 11 a^{3} & - & a^{2} b & - & a^{2} c & + & a b^{2} & - & a b c & + & a c^{2} & + & a^{2} b & & & - & a b^{2} & - & a b c & & & + & b^{3} & - & b^{2} c + b c^{2} & & & + & a^{2} c & & & - & a b c & - & a c^{2} & & & + & b^{2} c - b c^{2} & + & c^{3} \hline a^{3} & & & & & & & - & 3 a b c & & & + & b^{3} & & & + & c^{3}$

El alumno debe observar que, con el fin de colocar en columnas los términos semejantes de los productos parciales, los términos del multiplicando y del multiplicador se disponen en el mismo orden.

# Ejercicio 22.

Encuentra el producto de:

$x + 7$ y $x + 6$ .

$x - 7$ y $x + 6$ .

$x + 7$ y $x - 6$ .

$x - 7$ y $x - 6$ .

$x + 8$ y $x - 5$ .

$2 x + 3$ y $2 x + 3$ .

$2 x - 3$ y $2 x - 3$ .

$2 x + 3$ y $2 x - 3$ .

$3 x - 2$ y $2 - 3 x$ .

$5 x - 3$ y $4 x - 7$ .

$a - 2 b$ y $a + 3 b$ .

$a - 7 b$ y $a - 5 b$ .

$5 x - 3 y$ y $5 x - 3 y$ .

$x - b$ y $x - c$ .

$2 m - p$ y $4 m - 3 p$ .

$a + b + c$ y $a - c$ .

$a^{2} - a b + b^{2}$ y $a^{2} + b^{2}$ .

$x^{3} - 3 x^{2} + 7$ y $x^{2} - 3$ .

$a^{2} + a b + b^{2}$ y $a - b$ .

$a^{2} - a b + b^{2}$ y $a + b$ .

$x^{2} + 5 x - 10$ y $2 x^{2} + 3 x - 4$ .

$3 x^{3} - 2 x^{2} + x$ y $3 x^{2} + 2 x - 2$ .

$x^{3} + 2 x^{2} y + 3 x y^{2}$ y $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ .

$a^{2} - 3 a b - b^{2}$ y $- a^{2} + a b + 2 b^{2}$ .

$3 a^{2} b^{2} + 2 a b^{3} - 5 a^{3} b$ y $5 a^{2} b^{2} - a b^{3} - b^{4}$ .

$a^{2} - 2 a b + b^{2}$ y $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

$a b + a c + c d$ y $a b - a c + c d$ .

$3 x^{2} y^{2} + x y^{3} - 2 x^{3} y$ y $x^{2} y^{2} + x y^{3} - 3 y^{4}$ .

$x^{2} + 2 x y - y^{2}$ y $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ .

$3 x^{2} + x y - y^{2}$ y $x^{2} - 2 x y - 3 y^{2}$ .

$a^{2} - 2 a b - b^{2}$ y $b^{2} - 2 a b - a^{2}$ .

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - a c$ y $a^{2} - b^{2} - c^{2}$ .

$a^{2} + 4 a b x - 4 a^{2} b^{2} x^{2}$ y $a^{2} - 4 a b x + 4 a^{2} b^{2} x^{2}$ .

$3 a^{2} - 2 a b x + b^{2} x^{2}$ y $2 a^{2} + 3 a b x - 2 b^{2} x^{2}$ .

$2 x^{3} y + 4 x^{2} y^{2} - 8 x y^{3}$ y $2 x y^{3} - 3 x^{2} y^{2} + 5 x^{3} y$ .

89. División. Polinomios por monomios.

lint

Since a(b + c - d) = ab + ac - ad, ab + ac - ada = aba + aca - ada = b + c - d.

dividir un polinomio entre un monomio, por lo tanto,

Divide cada término del dividendo entre el divisor y suma los cocientes parciales.

Divide $3 a^{4} b^{2} c - 9 a^{3} b c^{2} - 6 a^{2} c^{3}$ entre $3 a^{2} c$ .

$\frac{3 a^{4} b^{2} c - 9 a^{3} b c^{2} - 6 a^{2} c^{3}}{3 a^{2} c} & = \frac{3 a^{4} b^{2} c}{3 a^{2} c} - \frac{9 a^{3} b c^{2}}{3 a^{2} c} - \frac{6 a^{2} c^{3}}{3 a^{2} c} & = a^{2} b^{2} - 3 a b c - 2 c^{2} .$

Ejercicio 23.

Divide:

$2 a^{3} - a^{2}$ entre $a$ .

$42 a^{5} - 6 a^{2}$ entre $6 a$ .

$21 x^{4} + 3 x^{2}$ entre $3 x^{2}$ .

$35 m^{4} - 7 p^{2}$ entre $7$ .

$27 x^{5} - 45 x^{4}$ entre $9 x^{2}$ .

$24 x^{6} - 8 x^{3}$ entre $- 8 x^{3}$ .

$34 x^{3} - 51 x^{2}$ entre $17 x$ .

$5 x^{5} - 10 x^{3}$ entre $- 5 x^{3}$ .

$- 3 a^{2} - 6 a c$ entre $- 3 a$ .

$- 5 x^{3} + x^{2} y$ entre $- x^{2}$ .

$2 a^{5} x^{3} - 2 a^{4} x^{2}$ entre $2 a^{4} x^{2}$ .

$- x^{2} y - x^{2} y^{2}$ entre $- x y$ .

$9 a - 12 b + 6 c$ por $- 3$ .

$a^{3} b^{2} - a^{2} b^{5} - a^{4} b^{2}$ por $a^{2} b$ .

$3 x^{3} - 6 x^{2} y - 9 x y^{2}$ entre $3 x$ .

$x^{2} y^{2} - x^{3} y - x y^{3}$ entre $x y$ .

$a^{3} - a^{2} b - a b^{2}$ por $- a$ .

$a^{2} b - a b + a b^{2}$ entre $- a b$ .

$x y - x^{2} y^{2} + x^{3} y^{3}$ entre $- x y$ .

$- x^{6} - 2 x^{5} - x^{4}$ entre $- x^{4}$ .

$a^{2} x - a b x - a c x$ entre $a x$ .

$3 x^{5} y^{2} - 3 x^{4} y^{3} - 3 x^{2} y^{4}$ entre $3 x^{2} y^{2}$ .

$a^{2} b^{2} - 2 a b - 3 a b^{3}$ entre $a b$ .

$3 a^{3} c^{3} + 3 a^{2} c - 3 a c^{2}$ entre $3 a c$ .

# 90. División. Polinomios entre polinomios.

$l * 4 c r Si el divisor (un factor) & = & & & a & + & b & + & c, y el cociente (otro factor) & = & & & n & + & p & + & q, \cline 5 - 9 & & & & a n & + & b n & + & c n entonces el dividendo (producto) & = & {& + & a p & + & b p & + & c p & & & + & a q & + & b q & + & c q .$

El primer término del dividendo es $a n$ ; es decir, el producto de $a$ , el primer término del divisor, por $n$ , el primer término del cociente.

El primer término $n$ del cociente se halla, por tanto, dividiendo $a n$ , el primer término del dividendo, entre $a$ , el primer término del divisor.

Si el producto parcial formado al multiplicar todo el divisor por $n$ se resta del dividendo, el primer término del residuo $a p$ es el producto de $a$ , el primer término del divisor, por $p$ , el segundo término del cociente; es decir, el segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del residuo entre el primer término del divisor.

Del mismo modo, el tercer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del nuevo residuo entre el primer término del divisor; y así sucesivamente.

dividir un polinomio entre otro, por lo tanto,

Ordena tanto el dividendo como el divisor en potencias ascendentes o descendentes de una letra común.

Divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.

Escribe el resultado como el primer término del cociente.

Multiplica todos los términos del divisor por el primer término del cociente.

Resta el producto del dividendo.

Si hay un resto, considérelo como un nuevo dividendo y proceda como antes.

Es de fundamental importancia ordenar el dividendo y el divisor en el mismo orden con respecto a una letra común, y mantener este orden durante toda la operación.

El principiante debe estudiar detenidamente los procesos de los siguientes ejemplos:

Divide $x^{2} + 18 x + 77$ entre $x + 7$ . $r * 2 c r | l x^{2} & + & 18 x & + & 77 & x + 7 \cline 6 - 6 x^{2} & + & 7 x & & & x + 11 \cline 1 - 5 & & 11 x & + & \multicolumn 1 @ r 77 & & 11 x & + & \multicolumn 1 @ r 77 \cline 3 - 5$

El alumno notará que mediante este proceso hemos separado en realidad el dividendo en dos partes, $x^{2} + 7 x$ y $11 x + 77$ , y dividido cada parte por $x + 7$ , y que el cociente completo es la suma de los cocientes parciales $x$ y $11$ . Así,

$x^{2} + 18 x + 77 & = x^{2} + 7 x + 11 x + 77 = (x^{2} + 7 x) + (11 x + 77) . ∴ \frac{x^{2} + 18 x + 77}{x + 7} & = \frac{x^{2} + 7 x}{x + 7} + \frac{11 x + 77}{x + 7} = x + 11 .$

Divide $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ entre $a - b$ . $r * 2 c r | l a^{2} & - & 2 a b & + & b^{2} & a - b \cline 6 - 6 a^{2} & - & a b & & & a - b \cline 1 - 5 & - & a b & + & \multicolumn 1 @ r b^{2} & - & a b & + & \multicolumn 1 @ r b^{2} \cline 2 - 5$

Divide $a^{4} - a b^{3} + b^{4} + 2 a^{2} b^{2} - a^{3} b$ by $a^{2} + b^{2}$ .

Ordena según las potencias decrecientes de $a$ .

$r * 4 c r | l a^{4} & - & a^{3} b & + & 2 a^{2} b^{2} & - & a b^{3} & + & b^{4} & a^{2} + b^{2} \cline 10 - 10 a^{4} & & & + & a^{2} b^{2} & & & & & a^{2} - a b + b^{2} \cline 1 - 9 & - & a^{3} b & + & a^{2} b^{2} & - & a b^{3} & + & \multicolumn 1 @ r b^{4} & - & a^{3} b & & & - & a b^{3} \cline 2 - 9 & & & + & a^{2} b^{2} & & & + & \multicolumn 1 @ r b^{4} & & & + & a^{2} b^{2} & & & + & \multicolumn 1 @ r b^{4} \cline 4 - 9$

Divide $10 a^{2} b^{2} - 20 b^{4} - 17 a^{3} b + 6 a^{4} + a b^{3}$ by $2 a^{2} - 4 b^{2} - 3 a b$ .

Ordenar según las potencias descendentes de $a$ . $r * 4 c r | l 6 a^{4} & - & 17 a^{3} b & + & 10 a^{2} b^{2} & + & a b^{3} & - & 20 b^{4} & 2 a^{2} - 3 a b - 4 b^{2} \cline 10 - 10 6 a^{4} & - & 9 a^{3} b & - & 12 a^{2} b^{2} & & & & & 3 a^{2} - 4 a b + 5 b^{2} \cline 1 - 9 & - & 8 a^{3} b & + & 22 a^{2} b^{2} & + & a b^{3} & - & \multicolumn 1 @ r 20 b^{4} & - & 8 a^{3} b & + & 12 a^{2} b^{2} & + & 16 a b^{3} \cline 2 - 9 & & & & 10 a^{2} b^{2} & - & 15 a b^{3} & - & \multicolumn 1 @ r 20 b^{4} & & & & 10 a^{2} b^{2} & - & 15 a b^{3} & - & \multicolumn 1 @ r 20 b^{4} \cline 5 - 9$

Divide $5 x^{3} - 3 x^{4} - 4 x^{2} + 1 + x$ by $1 + 2 x - 3 x^{2}$ .

Arrange according to ascending powers of $x$ . $r * 4 c r | l * 2 c r 1 & + & x & - & 4 x^{2} & + & 5 x^{3} & - & 3 x^{4} & 1 & + & 2 x & - & 3 x^{2} \cline 10 - 14 1 & + & 2 x & - & 3 x^{2} & & & & & 1 & - & x & + & x^{2} \cline 1 - 9 & - & x & - & x^{2} & + & 5 x^{3} & - & \multicolumn 1 @ r 3 x^{4} & - & x & - & 2 x^{2} & + & 3 x^{3} \cline 2 - 9 & & & & x^{2} & + & 2 x^{3} & - & \multicolumn 1 @ r 3 x^{4} & & & & x^{2} & + & 2 x^{3} & - & \multicolumn 1 @ r 3 x^{4}$

Divide $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c$ by $a + b + c$ .

Ordénese según las potencias decrecientes de $a$ . $r * 4 c r c l c r | l a^{3} & & & & & - & 3 a b c & & & + & b^{3} & + & c^{3} & a + b + c \cline 14 - 14 a^{3} & + & a^{2} b & + & a^{2} c & & & & & & & & & [t] a^{2} & - a b - a c & + b^{2} - b c + c^{2} \cline 1 - 13 & - & a^{2} b & - & a^{2} c & - & 3 a b c & & & + & b^{3} & + & \multicolumn 1 @ r c^{3} & - & a^{2} b & - & a b^{2} & - & a b c \cline 2 - 13 & - & a^{2} c & + & a b^{2} & - & 2 a b c & & & + & b^{3} & + & \multicolumn 1 @ r c^{3} & - & a^{2} c & & & - & a b c & - & a c^{2} \cline 2 - 13 & & & & a b^{2} & - & a b c & + & a c^{2} & + & b^{3} & + & \multicolumn 1 @ r c^{3} & & & & a b^{2} & & & & & + & b^{3} & + & \multicolumn 1 @ r b^{2} c \cline 4 - 13 & & & & & - & a b c & + & a c^{2} & - & b^{2} c & + & \multicolumn 1 @ r c^{3} & & & & & - & a b c & & & - & b^{2} c & - & \multicolumn 1 @ r b c^{2} \cline 6 - 13 & & & & & & & & a c^{2} & + & b c^{2} & + & \multicolumn 1 @ r c^{3} & & & & & & & & a c^{2} & + & b c^{2} & + & \multicolumn 1 @ r c^{3} \cline 9 - 13$

Ejercicio 24.

Divide:

$x^{2} + 15 x + 56$ entre $x + 7$ .

$x^{2} - 15 x + 56$ entre $x - 7$ .

$x^{2} + x - 56$ por $x - 7$ .

$x^{2} - x - 56$ por $x + 7$ .

$2 a^{2} + 11 a + 5$ entre $2 a + 1$ .

$6 a^{2} - 7 a - 3$ por $2 a - 3$ .

$4 a^{2} + 23 a + 15$ entre $4 a + 3$ .

$3 a^{2} - 4 a - 4$ por $2 - a$ .

$x^{4} + x^{2} + 1$ entre $x^{2} + x + 1$ .

$x^{8} + x^{4} + 1$ entre $x^{4} - x^{2} + 1$ .

$1 - a^{3} b^{3}$ entre $1 - a b$ .

$x^{3} - 8 x - 3$ entre $x - 3$ .

$a^{2} - 2 a b + b^{2} - c^{2}$ entre $a - b - c$ .

$a^{2} + 2 a b + b^{2} - c^{2}$ entre $a + b + c$ .

$x^{2} - y^{2} + 2 y z - z^{2}$ entre $x - y + z$ .

$c^{4} + 2 c^{2} - c + 2$ entre $c^{2} - c + 1$ .

$x^{2} - 4 y^{2} - 4 y z - z^{2}$ por $x + 2 y + z$ .

Organizar y dividir:

$x^{3} - 6 a^{3} + 11 a^{2} x - 6 a x^{2}$ por $x^{2} + 6 a^{2} - 5 a x$ .

$a^{2} - 4 b^{2} - 9 c^{2} + 12 b c$ entre $a - 3 c + 2 b$ .

$2 a^{3} - 8 a + a^{4} + 12 - 7 a^{2}$ entre $2 + a^{2} - 3 a$ .

$q^{4} + 6 q^{3} + 4 + 12 q + 13 q^{2}$ entre $3 q + 2 + q^{2}$ .

$27 a^{3} - 8 b^{3}$ entre $3 a - 2 b$ .

Encuentre el resto al:

Se divide $a^{4} + 9 a^{2} + 15 - 11 a - 7 a^{3}$ entre $a - 5$ .

$7 - 8 c^{2} + 5 c^{3} + 8 c$ se divide por $5 c - 3$ .

$3 + 11 a^{3} + 30 a^{4} - 82 a^{2} - 5 a$ se divide entre $3 a^{2} - 4 + 2 a$ .

$2 x^{3} - 16 x + 10 - 39 x^{2} + 17 x^{4}$ se divide entre $2 - 5 x^{2} - 4 x$ .

[Miscellaneous Examples.]25.

Sumar $2 a^{2} - 3 a c - 3 a b$ ; $2 b^{2} + 3 a c + a^{2}$ ; $- a^{2} - 2 b^{2} + 3 a b$ .

Resta $3 a^{4} - 2 a^{3} b + 4 a^{2} b^{2}$ de $4 b^{4} - 2 a b^{3} + 4 a^{2} b^{2}$ .

Simplify $x - y - {z - x - (y - x + z)}$ .

Multiplica $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d^{2}$ por $a^{2} + b^{2} - c^{2} + d^{2}$ .

Divide $10 y^{6} + 2 - 12 y^{5}$ by $1 + y^{2} - 2 y$ .

Si $a = 1$ , $b = 2$ y $c = - 3$ , encuentra el valor de $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c$ .

Simplifica $x - (y - z) - \{4 y + [2 y - (z - x)] \}$ .

Multiplica $a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - a c - b c$ por $a + b + c$ .

Divide $16 y^{4} - 21 x^{2} y^{2} + 21 x^{3} y - 10 x^{4}$ by $4 y^{2} - 5 x^{2} + 3 x y$ .

Sumar $- 2 a^{4} + 3 a^{3} b - 4 a^{2} b^{2}$ ; $2 a^{3} b - 3 a^{2} b^{2}$ ; $7 a^{2} b^{2} + 2 a^{4} - b^{4}$ .

De $3 x^{3} + 5 x - 1$ restar la suma de $x - 5 + 5 x^{2}$ y $3 + 4 x - 3 x^{2}$ .

El minuendo es $9 c^{2} + 11 c - 5$ , y el resto es $6 c^{2} - 13 c + 7$ . ¿Cuál es el sustraendo?

Halla el resto cuando $a^{4} + 6 b^{4}$ se divide entre $a^{2} + 2 a b + 2 b^{2}$ .

Multiplica $2 - 5 x^{2} - 4 x$ por $5 + 2 x - 3 x^{2}$ .

Divide $a^{6} + a^{5} x + a^{4} x^{2} - a^{3} x^{3} + x^{6}$ entre $a^{2} + a x + x^{2}$ .

Agrupe entre corchetes los coeficientes de las distintas potencias de $x$ :

$a x^{3} - c x + b x^{2} - b x^{3} + c x^{2} - x$ .

$a x^{4} - 2 x + b x^{4} - c x - a x^{3} + b x^{3}$ .

$x^{3} - b x^{2} - c x + b x - c x^{2} + a x^{3}$ .

[Reglas especiales en la multiplicación y división.] VI. Multiplicación y División.