Suma y resta de fracciones

La suma algebraica de dos o más fracciones que tienen el mismo denominador es una fracción cuyo numerador es la suma algebraica de los numeradores de las fracciones dadas, y cuyo denominador es el denominador común de las fracciones dadas.

Por lo tanto, para sumar fracciones,

Redúzcanse las fracciones a fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador; y escríbase la suma algebraica de los numeradores de estas fracciones sobre el denominador común.

133. Cuando los denominadores son expresiones simples.

1. Simplifica ${\displaystyle \frac{3a-4b}{4}}-{\displaystyle \frac{2a-b+c}{3}}+{\displaystyle \frac{a-4c}{12}}$.

El $\text{m.,c.,m.}=12$.

Los multiplicadores, es decir, los cocientes obtenidos al dividir $12$ entre $4$, $3$ y $12$, son $3$, $4$ y $1$.

Por lo tanto, la suma de las fracciones es igual a

$$\begin{gathered} \&\frac{9a-12b}{12}-\frac{8a-4b+4c}{12}+\frac{a-4c}{12} \\ \&=\frac{9a-12b-8a+4b-4c+a-4c}{12} \\ \&=\frac{2a-8b-8c}{12}=\frac{a-4b-4c}{6}. \end{gathered}$$

El trabajo precedente puede organizarse del siguiente modo:

El $\text{m.,c.,m.}=12$.

Los multiplicadores son $3$, $4$ y $1$, respectivamente.

{l*{5}{cr}cl} 3(3a &-& 4b & & ) &=& 9a &-&12b & & &=& \text{1.er numerador.} \ \llap{$-$} 4(2a &-& b &+& c) &=&-8a &+& 4b &-& 4c &=& \text{2.º numerador.} \ 1( a &-& & &4c) &=& a & & &-& 4c &=& \text{3.er numerador.} \ \cline{7-11} & & & & & & 2a &-& 8b &-& 8c \ & & & & &\rlap{o}& 2(a &-& 4b &-& 4c) &=& \text{la suma de los numeradores.} \ \therefore\ \text{suma de fracciones} = \frac{2(a - 4b - 4c)}{12} = \frac{a - 4b - 4c}{6}.

Ejercicio 46.

Encuentra la suma de:

1. ${\displaystyle \frac{x+1}{2}}+{\displaystyle \frac{x-3}{5}}+{\displaystyle \frac{x+5}{10}}$.

2. ${\displaystyle \frac{2x-1}{3}}+{\displaystyle \frac{x+5}{4}}+{\displaystyle \frac{x-4}{6}}$.

3. ${\displaystyle \frac{7x-1}{6}}-{\displaystyle \frac{3x-2}{7}}+{\displaystyle \frac{x-5}{3}}$.

4. ${\displaystyle \frac{3x-2}{9}}-{\displaystyle \frac{x-2}{6}}+{\displaystyle \frac{5x+3}{4}}$.

5. ${\displaystyle \frac{x-1}{6}}-{\displaystyle \frac{x-3}{3}}+{\displaystyle \frac{x-5}{2}}$.

6. ${\displaystyle \frac{x-2y}{2x}}+{\displaystyle \frac{x+5y}{4x}}-{\displaystyle \frac{x+7y}{8x}}$.

7. ${\displaystyle \frac{5x-11}{3}}-{\displaystyle \frac{2x-1}{10}}-{\displaystyle \frac{11x-5}{15}}$.

8. ${\displaystyle \frac{x-3}{3x}}-{\displaystyle \frac{x^2-6x}{5x^2}}-{\displaystyle \frac{7x^2-x^3}{15x^3}}$.

9. ${\displaystyle \frac{ac-b^2}{ac}}-{\displaystyle \frac{ab-c^2}{ab}}+{\displaystyle \frac{a^2-bc}{bc}}$.

134. Cuando los denominadores tienen expresiones compuestas, ordenadas en el mismo orden.

1. Simplifica ${\displaystyle \frac{a+b}{a-b}}-{\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}-{\displaystyle \frac{4ab}{a^2-b^2}}$.

El M. C. D. es $(a-b)(a+b)$.

Los multiplicadores son $a+b$, $a-b$ y $1$, respectivamente.

{l*{3}{cr}cl} (a + b)(a + b) &=& a^{2} &+& 2ab &+& b^{2} &=& \text{1er numerador.} \ \llap{$-$} (a - b)(a - b) &=&-a^{2} &+& 2ab &-& b^{2} &=& \text{2do numerador.} \ \llap{$-$} 1(4ab) &=& &-& 4ab & & &=& \text{3er numerador.} \ \cline{3-7} & & \multicolumn{5}{c}{0} &=& \text{suma de numeradores.} \ \therefore\ \text{Suma de fracciones$=0$.}

Ejercicio 47.

Encuentra la suma de:

1. ${\displaystyle \frac{1}{x+3}}+{\displaystyle \frac{1}{x-2}}$.

2. ${\displaystyle \frac{1}{x+1}}+{\displaystyle \frac{1}{x-1}}$.

3. ${\displaystyle \frac{4}{x-8}}-{\displaystyle \frac{1}{x+2}}$.

4. ${\displaystyle \frac{a+x}{a-x}}-{\displaystyle \frac{a-x}{a+x}}$.

5. ${\displaystyle \frac{x}{x-a}}-{\displaystyle \frac{x^2}{x^2-a^2}}$.

6. ${\displaystyle \frac{4a^2+b^2}{4a^2-b^2}}-{\displaystyle \frac{2a+b}{2a-b}}$.

7. ${\displaystyle \frac{7}{9-a^2}}-{\displaystyle \frac{1}{3+a}}-{\displaystyle \frac{1}{3-a}}$.

8. ${\displaystyle \frac{1}{a-b}}-{\displaystyle \frac{1}{a+b}}-{\displaystyle \frac{b}{a^2-b^2}}$.

9. ${\displaystyle \frac{2}{x-2}}-{\displaystyle \frac{2}{x+2}}+{\displaystyle \frac{5x}{x^2-4}}$.

10. ${\displaystyle \frac{3-x}{1-3x}}-{\displaystyle \frac{3+x}{1+3x}}-{\displaystyle \frac{15x-1}{1-9x^2}}$.

11. ${\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{a+3}}+{\displaystyle \frac{3}{a+1}}$.

12. ${\displaystyle \frac{x}{x-1}}-{\displaystyle \frac{1}{-}}{\displaystyle \frac{1}{x+1}}$.

13. ${\displaystyle \frac{x+1}{x+2}}+{\displaystyle \frac{x-2}{x-3}}+{\displaystyle \frac{2x+7}{x^2-x-6}}$.

14. ${\displaystyle \frac{1}{x(x-1)}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2-1}}+{\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}}$.

Ejercicio 48.

Encuentra la suma de:

1. ${\displaystyle \frac{1}{2x+1}}+{\displaystyle \frac{1}{2x-1}}-{\displaystyle \frac{4x}{4x^2-1}}$.

2. ${\displaystyle \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}}+{\displaystyle \frac{a}{a+b}}-{\displaystyle \frac{b}{a-b}}$.

3. ${\displaystyle \frac{3a}{1-a^2}}+{\displaystyle \frac{2}{1-a}}-{\displaystyle \frac{2}{1+a}}$.

4. ${\displaystyle \frac{1}{2x+5y}}-{\displaystyle \frac{3x}{4x^2-25y^2}}+{\displaystyle \frac{1}{2x+5y}}$.

5. ${\displaystyle \frac{1}{x+4y}}-{\displaystyle \frac{8y}{x^2-16y^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x-4y}}$.

6. ${\displaystyle \frac{3}{2x-3}}-{\displaystyle \frac{2}{2x+3}}-{\displaystyle \frac{3}{4x^2-9}}$.