Progresión aritmética.

Se dice que una serie de números forma una progresión aritmética si la diferencia entre cualquier término y el término precedente es la misma en toda la serie.

Por tanto, $a$, $b$, $c$, $d$, etc., están en progresión aritmética si $b-a$, $c-b$, $d-c$, etc., son todos iguales.

Esta diferencia se llama la diferencia común de la progresión y se representa por $d$.

• Si $d$ es positiva, la progresión es una serie creciente;
• si $d$ es negativa, la progresión es una serie decreciente.

¿Cuál es la diferencia común en cada una de las siguientes sucesiones? $$\begin{gathered} r*4>r1,\&\phantom{-}4,\&7,\&10,\&\dots \\ 5,\&7,\&9,\&11,\&\dots \\ 10,\&9,\&8,\&7,\&\dots \\ 7,\&3,\&-1,\&-5,\&\dots \end{gathered}$$

If the first term of an arithmetical progression is represented by $a$ and the common difference by $d$, then {2} &\text{the \emph{second} term will be } && a + d, \ &\text{the \emph{third} term will be } && a + 2d, \ &\text{the \emph{fourth} term will be } && a + 3d, and so on, the coefficient of $d$ in each term being always less by $1$ than the number of the term.

De ahí que el término $n$-ésimo sea $a+(n-1)d$.

Si representamos el término $n$-ésimo mediante $l$, tenemos $l=a+(n-1)d.\text{Fórmula (1)}$

Por consiguiente, podemos encontrar cualquier término de una progresión aritmética si se dan el primer término y la diferencia común, o si se dan dos términos cualesquiera.

1. Halla el décimo término de una progresión aritmética si el primer término es $3$ y la diferencia común es $4$.

Por la fórmula (1), el décimo término es $3+(10-1)4$, o $39$.

2. Si el octogésimo término de una progresión aritmética es $25$, y el vigesimotercero es $70$, hágase la serie.

Por la fórmula (1), el término 23 es $a+22d$, y el término 8 es $a+7d$.

Por tanto, a + 22d = 70 y a + 07d = 25. [1] Restando, 15d = 45 y d = 3, de donde a = 4.

Por lo tanto, la serie es $4$, $7$, $10$, $13$, etc.

169. Media aritmética.

Si tres números están en progresión aritmética, el número del medio se llama la media aritmética de los otros dos números.

Si $a$, $A$, $b$ están en progresión aritmética, $A$ es la media aritmética de $a$ y $b$. Por lo tanto, por la definición de una serie aritmética,

A - a = b - A, de donde A = a + b2. rintFórmula (2)

Por lo tanto, la media aritmética de dos números cualesquiera se halla tomando la mitad de su suma.

A veces se requiere insertar varias medias aritméticas entre dos números.

Si $m=$el número de medias aritméticas, y $n=$el número total de términos, entonces $m+2=n$. Si se sustituye $m+2$ por $n$ en la fórmula (1), $l=a+(n-1)d$, el resultado es $l=a+(m+1)d$. [1] lint Al despejar $a$, $l-a=(m+1)d$. $\frac{l-a}{m+1}=d$. Fórmula (3)

Por tanto, si se requiere insertar seis medios entre $3$ y $17$, el valor de $d$ resulta ser ${\displaystyle \frac{17-3}{6+1}}=2$; y la serie será $3$, $5$, $7$, $9$, $11$, $13$, $15$, $17$.

Ejercicio 75.

1. Halla el vigesimoquinto término de la serie $3$, $6$, $9$, $\dots$.

2. Encuentra el decimotercer término de la serie $50$, $49$, $48$, $\dots$.

3. Halla el décimo quinto término de la serie $\frac{1}{7}$, $\frac{3}{7}$, $\frac{5}{7}$, $\dots$.

4. Encuentra el décimo noveno término de la serie $\frac{1}{4}$, $-\frac{1}{4}$, $-\frac{3}{4}$, $\dots$.

5. Halla el décimo término de una progresión aritmética cuyo primer término es $5$ y su tercer término $9$.

6. Halla el undécimo término de una progresión aritmética cuyo primer término es $10$ y cuyo sexto término es $5$.

7. Si el tercer término de una progresión aritmética es $20$ y el decimotercer término es $100$, ¿cuál es el vigésimo término?

8. ¿Qué término de la serie $5$, $7$, $9$, $11$, $\dots$, es $43$?

9. ¿Qué término de la serie $\frac{4}{3}$, $\frac{3}{2}$, $\frac{5}{3}$, $\dots$, es $18$?

10. ¿Cuál es la media aritmética de $20$ y $32$?

11. ¿Cuál es la media aritmética de $a+b$ y $a-b$?

12. Inserta $8$ medios aritméticos entre $20$ y $29$.

171. Para hallar la suma de un número cualquiera de términos de una serie aritmética.

Si $l$ denota el último término, $a$ el primer término, $n$ el número de términos, $d$ la diferencia común y $s$ la suma de los términos, es evidente que la serie comenzando con el primer término será $a$, $a+d$, $a+2d$, etc., y comenzando con el último término será $l$, $l-d$, $l-2d$, etc. Por lo tanto,

{r*{12}{c}} s &=& a &+& (a + d) &+& (a + 2d) &+& \dots &+& (l - d) &+& l, \rlap{\quad\text{o}} \ s &=& l &+& (l - d) &+& (l - 2d) &+& \dots &+& (a + d) &+& a \ \hline 2s &=& (a + l) &+& (a + l) &+& (a + l) &+& \dots &+& (a + l) &+& (a + l) \ 2s &=& \multicolumn{11}{l}{\text{$(a+l)$ tomado tantas veces como \emph{términos} haya,}} \displaybreak[1] \ [b] 2s &= n(a + l), \ \text{y } s &= \frac{n}{2}(a + l).

\tag*{Fórmula (4)}

Sustituyendo $l$ por su valor $a+(n-1)d$, en la fórmula (4), tenemos

$$\begin{gathered} s\&=\frac{n}{2}\backslash \{a+a+(n-1)d\backslash \} \\ \&=\frac{n}{2}\backslash \{2a+(n-1)d\backslash \}\text{Fórmula (5)} \end{gathered}$$

1. Halla la suma de los primeros $16$ términos de la serie $5$, $7$, $9$, $11$.

lint Here a = 5, d = 2, n = 16. Putting these values in formula (5) we have s = 162(10 + 15 × 2) = 320

2. Demuestra que la suma de cualquier cantidad de números impares, comenzando por el $1$, es un número cuadrado.

La serie de los números impares es $1$, $3$, $5$, $7$, $\dots$.

lint Here a = 1 d = 2. Putting these values in formula (5) we have s = n2 \2 + (n - 1)2\ = n2 × 2n = n^2.

Por lo tanto, la suma de los primeros $5$ números impares es $5^2$ o $25$, la de los primeros $8$ números impares es $8^2$ o $64$, y así sucesivamente.

3. La suma de $20$ términos de una progresión aritmética es $420$, y el primer término es $2$. Hallar la diferencia común.

lint Aquí $s=420$, $n=20$, $a=2$. Sustituyendo estos valores en la fórmula (5), tenemos $420=\frac{20}{2}(4+19d)=40+190d$ $190d=380$ $d=2$.

Por lo tanto, la diferencia común es $2$.

Ejercicio 76.

1. Halla la suma de $3$, $5$, $7$, $\dots$, hasta $20$ términos.

2. Halla la suma de $14$, $14\frac{1}{2}$, $15$, $\dots$, hasta $12$ términos.

3. Halla la suma de $\frac{7}{6}$, $1$, $\frac{5}{6}$, $\dots$, hasta $10$ términos.

4. Halla la suma de $-7$, $-5$, $-3$, $\dots$, hasta $16$ términos.

5. Halla la suma de $12$, $9$, $6$, $\dots$, hasta $21$ términos.

6. Hallar la suma de $-10\frac{1}{2}$, $-9$, $-7\frac{1}{2}$, $\dots$, hasta $25$ términos.

7. La suma de tres números en progresión aritmética es $9$, y la suma de sus cuadrados es $35$. Hallar los números.

Sea $x-y$, $x$, $x+y$, que representan los números.

8. Un reloj común da las campanadas de las horas de $1$ a $12$. ¿Cuántas veces toca cada $24$ horas?

9. El reloj de Greenwich da las horas de $1$ a $24$. ¿Cuántas veces toca en $24$ horas?

10. En una carrera de patatas, cada hombre recogió $50$ patatas colocadas en línea a una yarda de distancia entre sí, estando la primera patata a una yarda de la cesta, recogiendo una patata cada vez y trayéndola a la cesta. ¿Cuántas yardas corrió cada hombre, tomando la salida desde la cesta?

11. Un cuerpo pesado que cae desde una altura cae $16.1$ pies el primer segundo, y en cada segundo sucesivo $32.2$ pies más que en el segundo inmediatamente anterior. ¿Qué distancia caerá un cuerpo en $19$ segundos?

12. Una piedra dejada caer desde un puente llegó al agua en solo $3$ segundos. Hallar la altura del puente. (Véase el ej. 11.)

13. La media aritmética entre dos números es $13$, y la media entre el doble del primero y el triple del segundo es $33\frac{1}{2}$. Hallar los números.

14. Hallar tres números de una progresión aritmética cuya suma sea $27$, y la suma del primero y del segundo sea $\frac{4}{5}$ de la suma del segundo y del tercero.

15. A viaja uniformemente $20$ millas al día; B viaja $8$ millas el primer día, $12$ el segundo, y así sucesivamente, en progresión aritmética. Si parten el lunes por la mañana desde el mismo lugar y viajan en la misma dirección, ¿a qué distancia estarán el sábado por la noche?

16. La suma de tres términos de una progresión aritmética es $36$, y el cuadrado del término central excede al producto de los otros dos términos en $49$. Hallar los números.