Progresión Geométrica.

Se dice que una serie de números está en progresión geométrica cuando el cociente de cualquier término dividido por el término precedente es el mismo en toda la serie.

Por lo tanto, $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , etc., están en progresión geométrica si $\frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c}$ , etc.

Este cociente se llama razón común, y se representa por $r$ .

Indique la razón común de las siguientes series: $r * 4 > r 1, & 3, & 9, & 27, & \dots 2, & 4, & 8, & 16, & \dots 16, & 8, & 4, & 2, & \dots \frac{2}{3}, & 1, & \frac{3}{2}, & \frac{9}{4}, & \dots 4, & - 2, & 1, & - \frac{1}{2}, & \dots$

Si el primer término de una progresión geométrica se representa por $a$ , y la razón común por $r$ , entonces

&\text{el \emph{segundo} término será~ $a r$ ,} \ &\text{el \emph{tercer} término será~ $a r^{2}$ ,} \ &\text{el \emph{cuarto} término será~ $a r^{3}$ ,}

y así sucesivamente, siendo el índice de $r$ siempre menor en $1$ que el número del término en la serie.

De ahí que el término $n$ -ésimo sea $a r^{n - 1}$ .

Si denotamos el $n$ -ésimo término por $l$ , tenemos que $l = a r^{n - 1} . Fórmula (1)$

Si se dan el primer término y la razón común, o si se dan dos términos cualesquiera, podemos hallar la serie.

Encuentra el quinto término de una progresión geométrica si el primero es $3$ y la razón común es $2$ .

En la fórmula (1), sustituya $n$ por $5$ , $a$ por $3$ y $r$ por $2$ .

Por lo tanto, el quinto término es $48$ .

Halla la serie geométrica si el 5.° término es $48$ y el 7.° término es $192$ .

El 5.º y el 7.º término son $a r^{4}$ y $a r^{6}$ , respectivamente.

lint De donde ar^4 = 48, (1) linty ar^6 = 192. (2) lint Dividiendo (2) entre (1), r^2 = 4. r = ±2. lint De (1), a = 4816 = 3.

Por lo tanto, la serie es $3$ , $\pm 6$ , $12$ , $\pm 24$ , $\dots$ .

176. Media geométrica.

Si tres números están en progresión geométrica, el número del medio se llama la media geométrica de los otros dos números.

Por lo tanto, si $a$ , $G$ , $b$ están en progresión geométrica, $G$ es la media geométrica de $a$ y $b$ .

Por la definición de una progresión geométrica,

Ga = bG. G^2 = ab, lintand G = ± ab. Formula (2)

, la media geométrica de cualesquiera dos números es la raíz cuadrada de su producto.

177. Para hallar la suma de un número cualquiera de términos de una progresión geométrica.

Si $l$ denota el último término, $a$ el primer término, $n$ el número de términos, $r$ la razón común, y $s$ la suma de los $n$ términos, entonces s = a + ar + ar^2 + ar^3 + + ar^n - 1. lint Multiplicando por $r$ , rs = ar + ar^2 + ar^3 + + ar^n - 1 + ar^n.

Por lo tanto, restando la primera ecuación de la segunda,

rs - s = ar^n - a,

lo que da (r - 1)s = a(r^n - 1).

s = a(r^n - 1)r - 1.

Fórmula (3)

Cuando $r$ es $< 1$ , esta fórmula será más conveniente si se escribe $s = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r} .$

Halla la suma de $8$ términos de la serie $1, 2, 4, \dots .$

lint Here a = 1, r = 2, n = 8.

lint From formula (3), s = 1(2^8 - 1) = 255.

Halla la suma de $6$ términos de la serie $2, 3, \frac{9}{2}, \dots .$

Ejercicio 77.

Encuentra el 5.° término de $3$ , $9$ , $27$ , $\dots$ .

Halla el séptimo término de $3$ , $6$ , $12$ , $\dots$ .

Encuentra el octavo término de $6$ , $3$ , $\frac{3}{2}$ , $\dots$ .

Halla el noveno término de $1$ , $- 2$ , $4$ , $\dots$ .

Halla la media geométrica entre $2$ y $8$ .

Halla la razón común si el 1.er y el 3.er término son $2$ y $32$ .

Encuentra la suma de la serie:

$3$ , $9$ , $27$ , $\dots$ hasta $6$ términos.

$3$ , $6$ , $12$ , $\dots$ hasta $8$ términos.

$6$ , $3$ , $\frac{3}{2}$ , $\dots$ hasta $7$ términos.

$8$ , $4$ , $2$ , $\dots$ hasta $8$ términos.

$64$ , $32$ , $16$ , $\dots$ hasta $9$ términos.

$64$ , $- 32$ , $16$ , $\dots$ a $5$ términos.

$\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{2}{9}$ , $\dots$ hasta $4$ términos.

Si un herrero usa siete clavos para ponerle una herradura a un caballo, y recibe $1$ centavo por el primer clavo, $2$ centavos por el segundo clavo, y así sucesivamente, ¿cuánto recibe por poner la herradura?

Si un muchacho recibe $2$ centavos por su primer día de trabajo, $4$ centavos por su segundo día, $8$ centavos por el tercer día, y así sucesivamente durante $12$ días, ¿a cuánto ascenderá su salario?

Si la población de una ciudad es de $10, 000$ y aumenta un $10$ % al año durante cuatro años, ¿cuál será su población al final de los cuatro años? (Aquí $l = a r^{4}$ .)