Ecuaciones cuadráticas puras.

161. Ejemplos.

Resuelve la ecuación $5 x^{2} - 48 = 2 x^{2}$ .

lint Tenemos $5 x^{2} - 48 = 2 x^{2}$ . lint Agrupamos los términos, $3 x^{2} = 48$ . [1] lint Dividimos entre $3$ , $x^{2} = 16$ . lint Extraemos la raíz cuadrada, $x = \pm 4$ .

El signo $\pm$ antes del $4$ , que se lee más o menos, indica que la raíz es $+$ o bien $-$ . Pues $(+ 4) \times (+ 4) = 16$ , y $(- 4) \times (- 4) = 16$

La raíz cuadrada de cualquier número es positiva o negativa. Hasta ahora hemos dado solo el valor positivo. En este capítulo daremos ambos valores.

Este signo $\sqrt$ , llamado signo radical, se usa para indicar que ha de extraerse una raíz.

Así pues, $\sqrt{4}$ significa que se requiere la raíz cuadrada de $4$ .
$\sqrt[3]{4}$ significa que se requiere la tercera raíz de $4$ ; la pequeña cifra colocada sobre el signo radical se llama índice de la raíz y muestra la raíz requerida.

Resuelve la ecuación $3 x^{2} - 15 = 0$ .

Tenemos $3 x^{2} = 15$ , o bien $x^{2} = 5$ . Extraemos la raíz cuadrada, $x = \pm \sqrt{5}$ .

Las raíces no se pueden hallar de forma exacta, ya que la raíz cuadrada de $5$ no se puede encontrar exactamente; puede, sin embargo, determinarse de manera aproximada con cualquier grado de precisión requerido; por ejemplo, las raíces se encuentran entre $2.23606$ y $2.23607$ , y entre $- 2.23606$ y $- 2.23607$ .

Resuelve la ecuación $3 x^{2} + 15 = 0$ .

lint Tenemos 3x^2 = -15, lintor x^2 = -5. lint Al extraer la raíz cuadrada, x = ±-5.

No existe la raíz cuadrada de un número negativo, ya que el cuadrado de cualquier número, positivo o negativo, es positivo; $(- 5) \times (- 5) = + 25$ .

La raíz cuadrada de $- 5$ difiere de la raíz cuadrada de $+ 5$ en que esta última puede hallarse con tanta precisión como queramos, mientras que la primera no puede hallarse en absoluto.

Una raíz que puede encontrarse de manera exacta se llama raíz exacta o racional. Dichas raíces son números enteros o fracciones.

Una raíz que está indicada pero que solo puede hallarse de manera aproximada se llama surda.

Tales raíces implican las raíces de potencias imperfectas.

Las raíces racionales e irracionales se denominan conjuntamente raíces reales.

Una raíz que está indicada pero no puede encontrarse, ni exacta ni aproximadamente, se llama raíz imaginaria. Tales raíces involucran las raíces pares de números negativos.

Ejercicio 71.

Resuelve:

$5 x^{2} - 2 = 3 x^{2} + 6$ .

$3 x^{2} + 1 = 2 x^{2} + 10$ .

$4 x^{2} - 50 = x^{2} + 25$ .

$(x - 6) (x + 6) = 28$ .

$(x - 5) (x + 5) = 24$ .

$3 (x^{2} - 11) + 2 (x^{2} - 5) = 82$ .

$11 (x^{2} + 5) + 6 (3 - x^{2}) = 198$ .

$5 x^{2} + 3 - 2 (17 - x^{2}) = 32$ .

$4 (x + 1) - 4 (x - 1) = x^{2} - 1$ .

$86 - 52 x = 2 (8 - x) (2 - 3 x)$ .

Hallar dos números que estén entre sí como $3$ es a $4$ , y la diferencia de cuyos cuadrados sea $112$ .

Sea $3 x$ el número menor y $4 x$ el mayor.

Un muchacho compró cierto número de naranjas por $36$ centavos. El precio de una naranja era respecto al número comprado como $1$ es a $4$ . ¿Cuántas naranjas compró y cuántos centavos costó cada naranja?

Ciertas calles contienen $144$ varas cuadradas, y la longitud es $16$ veces el ancho. Encuentra el ancho.

Hallar el número de varas en el largo y en el ancho de un campo rectangular que contiene $3 \frac{3}{5}$ acres, si el largo es $4$ veces el ancho.