La Transformación de Lorentz

Los resultados de las tres secciones anteriores muestran que la incompatibilidad aparente de la ley de propagación de la luz con el principio de relatividad ([chapter:VII]Sección VII) se ha deducido por medio de una consideración que tomó prestadas dos hipótesis injustificables de la mecánica clásica; las cuales son las siguientes:

(1) El intervalo temporal (tiempo) entre dos eventos es independiente del estado de movimiento del cuerpo de referencia.

(2) El intervalo espacial (distancia) entre dos puntos de un cuerpo rígido es independiente del estado de movimiento del cuerpo de referencia.

Si abandonamos estas hipótesis, el dilema de la [chapter:VII]Sección VII desaparece, porque el teorema de la suma de velocidades deducido en la [chapter:VI]Sección VI deja de ser válido.

Se presenta la posibilidad de que la ley de la propagación de la luz en el vacío sea compatible con el principio de relatividad, y surge la pregunta: ¿Cómo tenemos que modificar las consideraciones de la [chapter:VI]Sección VI para eliminar el aparente desacuerdo entre estos dos resultados fundamentales de la experiencia?

Esta pregunta conduce a una de carácter general. En la discusión de

[chapter:VI]Section VI tenemos que habérnoslas con lugares y tiempos relativos tanto al tren como al terraplén. ¿Cómo hemos de hallar el lugar y el tiempo de un suceso en relación con el tren, cuando conocemos el lugar y el tiempo del suceso con respecto al terraplén de la vía férrea? ¿Hay una respuesta pensable a esta pregunta de tal naturaleza que la ley de la propagación de la luz en el vacío no contradiga el principio de relatividad? En otras palabras: ¿Podemos concebir una relación entre el lugar y el tiempo de los sucesos individuales relativa a ambos cuerpos de referencia, tal que cada rayo de luz posea la velocidad de propagación $c$ en relación con el terraplén y en relación con el tren? Esta pregunta conduce a una respuesta afirmativa bien definida, y a una ley de transformación perfectamente definida para las magnitudes espacio-temporales de un suceso al pasar de un cuerpo de referencia a otro.

Antes de ocuparnos de esto, introduciremos la siguiente consideración incidental. Hasta el presente sólo hemos considerado acontecimientos que tienen lugar a lo largo del terraplén, el cual tenía que asumir matemáticamente la función de una línea recta.

De la manera indicada en [chapter:II]la Sección II podemos imaginar este cuerpo de referencia complementado lateralmente y en dirección vertical por medio de un entramado de barras, de modo que un acontecimiento que tenga lugar en cualquier parte pueda ser localizado con referencia a este entramado.

De manera similar, podemos imaginar que el tren que marcha con la velocidad $v$ se prolonga a través de todo el espacio, de modo que cada acontecimiento, por muy alejado que esté, también podría ser localizado con respecto al segundo entramado.

Sin cometer ningún error fundamental, podemos prescindir del hecho de que en realidad estos entramados interferirían continuamente el uno con el otro, debido a la impenetrabilidad de los cuerpos sólidos.

En cada uno de estos marcos imaginamos tres superficies perpendiculares entre sí delimitadas, y designadas como «planos coordenados» («sistema de coordenadas»).

A un sistema de coordenadas $K$ le corresponde entonces el terraplén, y a un sistema de coordenadas $K^{\prime }$ el tren.

Un suceso, dondequiera que haya tenido lugar, quedaría determinado en el espacio con respecto a $K$ mediante las tres perpendiculares $x$, $y$, $z$ a los planos coordenados, y con respecto al tiempo mediante un valor temporal $t$.

En relación con $K^{\prime }$, el mismo suceso quedaría determinado en cuanto al espacio y al tiempo mediante los valores correspondientes $x^{\prime }$, $y^{\prime }$, $z^{\prime }$, $t^{\prime }$, los cuales, por supuesto, no son idénticos a $x$, $y$, $z$, $t$.

Ya se ha expuesto en detalle cómo deben considerarse estas magnitudes como resultados de mediciones físicas.

Evidently nuestro problema puede formularse exactamente de la siguiente manera. ¿Cuáles son los valores $x^{\prime }$, $y^{\prime }$, $z^{\prime }$, $t^{\prime }$, de un evento con respecto a $K^{\prime }$, cuando se dan las magnitudes $x$, $y$, $z$, $t$, del mismo evento con respecto a $K$?

Las relaciones deben elegirse de tal manera que la ley de la transmisión de la luz en el vacío se satisfaga para uno y el mismo rayo de luz (y por supuesto para cada rayo) con respecto a $K$ y a $K^{\prime }$.

Para la orientación relativa en el espacio de los sistemas de coordenadas indicados en el diagrama ([fig:2]Fig. 2), este problema se resuelve mediante las ecuaciones:

$x^{\prime }\&=\frac{x-vt}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}},\mathrm{\backslash displaybreak}[1]$

$$\begin{gathered} y^{\prime }\&=y, \\ {z}^{\prime }\&=z, \\ {t}^{\prime }\&=\frac{t-{\displaystyle \frac{v}{c^2}}·x}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}. \end{gathered}$$

Este sistema de ecuaciones se conoce como la «transformación de Lorentz». En el [appendix:I]Apéndice I se ofrece una sencilla deducción de la transformación de Lorentz.

Si en lugar de la ley de propagación de la luz hubiéramos tomado como base las hipótesis tácitas de la mecánica clásica en cuanto al carácter absoluto de los tiempos y las longitudes, entonces, en lugar de las anteriores, habríamos obtenido las siguientes ecuaciones:

Este sistema de ecuaciones se denomina a menudo «transformación de Galileo».

La transformación de Galileo se puede obtener a partir de la transformación de Lorentz sustituyendo un valor infinitamente grande para la velocidad de la luz $c$ en esta última.

Ayudados por la siguiente ilustración, podemos ver fácilmente que, de acuerdo con la transformación de Lorentz, la ley de la propagación de la luz en el vacío se satisface tanto para el cuerpo de referencia $K$ como para el cuerpo de referencia $K^{\prime }$.

Se envía una señal luminosa a lo largo del eje $x$ positivo, y este estímulo luminoso avanza de acuerdo con la ecuación $x=ct,$

es decir, con la velocidad $c$. De acuerdo con las ecuaciones de la transformación de Lorentz, esta simple relación entre $x$ y $t$ implica una relación entre $x^{\prime }$ y $t^{\prime }$. De hecho, si sustituimos $x$ por el valor $ct$ en la primera y la cuarta ecuación de la transformación de Lorentz, obtenemos:

$$\begin{gathered} x^{\prime }\&=\frac{(c-v)t}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}, \\ {t}^{\prime }\&=\frac{(1-{\displaystyle \frac{v}{c}})t}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}, \end{gathered}$$

de donde, por división, se sigue inmediatamente la expresión $x^{\prime }=c{t}^{\prime }$.

Si se refiere al sistema $K^{\prime }$, la propagación de la luz tiene lugar de acuerdo con esta ecuación. Vemos así que la velocidad de transmisión relativa al cuerpo de referencia $K^{\prime }$ es también igual a $c$.

El mismo resultado se obtiene para rayos de luz que avancen en cualquier otra dirección. Naturalmente, esto no es sorprendente, ya que las ecuaciones de la transformación de Lorentz se dedujeron de conformidad con este punto de vista.