XXVI. El continuo espacio-temporal de la teoría especial de la relatividad considerado como un continuo euclídeo

El continuo espacio-tiempo de la teoría especial de la relatividad considerado como un continuo euclidiano

Nos hallamos ahora en condiciones de formular con mayor exactitud la idea de Minkowski, que solo se había esbozado vagamente en la [chapter:XVII]sección XVII. De acuerdo con la teoría especial de la relatividad, ciertos sistemas de coordenadas tienen preferencia para la descripción del continuo espacio-temporal tetradimensional. A estos los denominamos «sistemas de coordenadas galileanos». Para estos sistemas, las cuatro coordenadas $x$, $y$, $z$, $t$, que determinan un acontecimiento o —en otras palabras— un punto del continuo tetradimensional, se definen físicamente de manera sencilla, tal como se expone detalladamente en la primera parte de este libro. Para la transición de un sistema galileano a otro, que se mueve uniformemente con respecto al primero, son válidas las ecuaciones de la transformación de Lorentz. Estas últimas constituyen la base para la deducción de consecuencias a partir de la teoría especial de la relatividad y, en sí mismas, no son más que la expresión de la validez universal de la ley de propagación de la luz para todos los sistemas de referencia galileanos.

Minkowski encontró que las transformaciones de Lorentz satisfacen las siguientes condiciones simples. Consideremos dos acontecimientos vecinos, cuya posición relativa en el continuo tetradimensional viene dada respecto a un cuerpo de referencia galileo $K$ por las diferencias de coordenadas espaciales $dx$, $dy$, $dz$ y la diferencia temporal $dt$. Respecto a un segundo sistema galileo supondremos que las diferencias correspondientes para estos dos acontecimientos son $d{x}^{\prime }$, $d{y}^{\prime }$, $d{z}^{\prime }$, $d{t}^{\prime }$. Entonces estas magnitudes satisfacen siempre la condiciónCf. Apéndices I y II. Las relaciones que allí se deducen para las coordenadas mismas son válidas también para las diferencias de coordenadas, y por tanto también para los diferenciales de coordenadas (diferencias infinitamente pequeñas). $d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2-c^{2}d{t}^2=d{x}^{\prime 2}+d{y}^{\prime 2}+d{z}^{\prime 2}-c^{2}d{t}^{\prime 2}.$

La validez de la transformación de Lorentz se deduce de esta condición. Podemos expresarla del siguiente modo:

La magnitud $d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2-c^{2}d{t}^2,$ que pertenece a dos puntos adyacentes del continuo espacio-temporal de cuatro dimensiones, tiene el mismo valor para todos los cuerpos de referencia (galileanos) elegidos.

Si reemplazamos $x$, $y$, $z$, $\sqrt{-1}ct$ por $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, obtenemos también el resultado de que $d{s}^2={d{x}_1}^2+{d{x}_2}^2+{d{x}_3}^2+{d{x}_4}^2$ es independiente de la elección del cuerpo de referencia. Llamamos a la magnitud $ds$ la «distancia» que separa a los dos acontecimientos o puntos tetradimensionales.

Así, si elegimos como variable temporal la variable imaginaria $\sqrt{-1}ct$ en lugar de la cantidad real $t$, podemos considerar el continuo espacio-temporal —de acuerdo con la teoría especial de la relatividad— como un «euclidiano»

continuo tetradimensional, un resultado que se desprende de las consideraciones de la sección anterior.