Continuo Euclidiano y No Euclidiano

La superficie de una mesa de mármol se extiende ante mí. Puedo ir de cualquier punto de esta mesa a cualquier otro pasando de forma continua de un punto a uno «vecino», y repitiendo este proceso un número (grande) de veces, o, en otras palabras, yendo de punto en punto sin realizar «saltos».

Estoy seguro de que el lector comprenderá con suficiente claridad lo que quiero decir aquí con «vecino» y con «saltos» (si no es demasiado pedante). Expresamos esta propiedad de la superficie describiéndola como un continuo.

Imaginemos ahora que se ha fabricado un gran número de varillas pequeñas de igual longitud, siendo esta pequeña en comparación con las dimensiones de la losa de mármol. Cuando digo que son de igual longitud, quiero decir que se puede colocar una sobre cualquier otra sin que los extremos sobresalgan.

A continuación, colocamos cuatro de estas varillas pequeñas sobre la losa de mármol de modo que constituyan una figura cuadrilátera (un cuadrado), cuyas diagonales son de igual longitud. Para asegurar la igualdad de las diagonales, nos servimos de una pequeña varilla de prueba.

A este cuadrado le añadimos otros similares, cada uno de los cuales tiene una varilla en común con el primero. Procedemos de igual manera con cada uno de estos cuadrados hasta que finalmente toda la losa de mármol queda cubierta de cuadrados. La disposición es tal que cada lado de un cuadrado pertenece a dos cuadrados y cada esquina a cuatro cuadrados.

Es una verdadera maravilla que podamos llevar a cabo este asunto sin meternos en las mayores dificultades. Solo necesitamos pensar en lo siguiente. Si en cualquier momento tres cuadrados se encuentran en una esquina, entonces dos lados del cuarto cuadrado ya están colocados y, como consecuencia, la disposición de los dos lados restantes del cuadrado ya está completamente determinada. Pero ahora ya no soy capaz de ajustar el cuadrilátero para que sus diagonales puedan ser iguales. Si son iguales por sí mismas, entonces esto es un favor especial de la losa de mármol y de las varillas, por lo cual solo puedo sentir una agradecida sorpresa. Debemos experimentar muchas sorpresas de este tipo si la construcción ha de tener éxito.

Si todo ha marchado realmente sobre ruedas, entonces afirmo que los puntos de la losa de mármol constituyen un continuo euclidiano con respecto a la varilla pequeña que se ha utilizado como «distancia» (intervalo lineal).

Eligiendo una esquina de un cuadrado como «origen», puedo caracterizar cualquier otra esquina de un cuadrado con referencia a este origen mediante dos números. Solo necesito indicar cuántas varillas debo recorrer cuando, partiendo del origen, avanzo hacia la «derecha» y luego hacia «arriba», para llegar a la esquina del cuadrado en cuestión.

Estos dos números son entonces las «coordenadas cartesianas» de esta esquina con referencia al «sistema de coordenadas cartesianas» que está determinado por la disposición de las varillas pequeñas.

Haciendo uso de la siguiente modificación de este experimento abstracto, reconocemos que también debe haber casos en los que el experimento no tendría éxito.

Supondremos que las varillas se «dilatan» en una cantidad proporcional al aumento de temperatura. Calentamos la parte central de la losa de mármol, pero no la periferia, en cuyo caso dos de nuestras pequeñas varillas aún pueden hacerse coincidir en cada posición sobre la mesa.

Pero nuestra construcción de cuadrados debe entrar necesariamente en desorden durante el calentamiento, porque las pequeñas varillas de la región central de la mesa se dilatan, mientras que las de la parte exterior no lo hacen.

Con referencia a nuestras varillas pequeñas —definidas como longitudes unitarias—, la losa de mármol deja de ser un continuo euclidiano, y tampoco nos encontramos ya en condiciones de definir coordenadas cartesianas directamente con su ayuda, puesto que la construcción anterior ya no puede llevarse a cabo.

Pero dado que hay otras cosas que no se ven influidas de manera similar a las varillas pequeñas (o tal vez no lo separen en absoluto) por la temperatura de la mesa, es perfectamente posible mantener de forma natural el punto de vista de que la losa de mármol es un «continuo euclidiano». Esto puede hacerse de manera satisfactoria formulando una estipulación más sutil sobre la medición o la comparación de longitudes.

Pero si las varillas de todo tipo (es decir, de cualquier material) se comportaran de la misma manera en lo que respecta a la influencia de la temperatura cuando están sobre la losa de mármol calentada de forma variable, y si no tuviéramos otro medio para detectar el efecto de la temperatura que el comportamiento geométrico de nuestras varillas en experimentos análogos al descrito anteriormente, entonces nuestro mejor plan sería asignar la distancia uno a dos puntos de la losa, siempre que los extremos de una de nuestras varillas pudieran hacerse coincidir con estos dos puntos; pues, ¿cómo habríamos de definir de otro modo la distancia sin que nuestro procedimiento fuera en el grado máximo groseramente arbitrario? El método de las coordenadas cartesianas tendría entonces que ser descartado y reemplazado por otro que no presuponga la validez de la geometría euclidiana para los cuerpos rígidos.

Los matemáticos se han enfrentado a nuestro problema de la siguiente forma. Si se nos da una superficie (por ejemplo, un elipsoide) en el espacio tridimensional euclidiano, entonces existe para esta superficie una geometría bidimensional, exactamente igual que para una superficie plana. Gauss asumió la tarea de tratar esta geometría bidimensional a partir de los principios primeros, sin hacer uso del hecho de que la superficie pertenece a un continuo euclidiano de tres dimensiones. Si imaginamos que se realizan construcciones con varillas rígidas en la superficie (de manera similar a la realizada arriba con la losa de mármol), encontraríamos que en ella rigen leyes diferentes de las que resultan sobre la base de la geometría plana euclidiana. La superficie no es un continuo euclidiano respecto a las varillas, y no podemos definir coordenadas cartesianas en la superficie. Gauss indicó los principios de acuerdo con los cuales podemos tratar las relaciones geométricas en la superficie, señalando así el camino hacia el método de Riemann para tratar continuos pluridimensionales no euclidianos. Así es como los matemáticos resolvieron hace mucho tiempo los problemas formales a los que nos conduce el postulado general de la relatividad. El lector notará que la situación aquí descrita corresponde a la provocada por el postulado general de la relatividad ([chapter:XXIII]Sección XXIII).