El continuo espacio-tiempo de la teoría de la relatividad general no es un continuo euclidiano
En la primera parte de este libro pudimos hacer uso de coordenadas espacio-temporales que permitían una interpretación física simple y directa y que, según la [chapter:XXVI]sección XXVI, pueden considerarse como coordenadas cartesianas tetradimensionales.
Esto fue posible sobre la base de la ley de la constancia de la velocidad de la luz. Pero según la [chapter:XXI]sección XXI, la teoría general de la relatividad no puede mantener esta ley. Por el contrario, llegamos al resultado de que, según esta última teoría, la velocidad de la luz debe depender siempre de las coordenadas cuando está presente un campo gravitatorio.
En relación con una ilustración específica en la [chapter:XXIII]sección XXIII, encontramos que la presencia de un campo gravitatorio invalida la definición de las coordenadas y del tiempo, la cual nos condujo a nuestro objetivo en la teoría especial de la relatividad.
A la vista de los resultados de estas consideraciones, llegamos al convencimiento de que, según el principio general de la relatividad, el continuo espacio-temporal no puede considerarse como euclídeo, sino que aquí nos encontramos ante el caso general, correspondiente a la losa de mármol con variaciones locales de temperatura, y con el cual nos familiarizamos como ejemplo de un continuo bidimensional.
Del mismo modo que allí resultaba imposible construir un sistema de coordenadas cartesiano a partir de varillas iguales, así aquí es imposible construir un sistema (cuerpo de referencia) a partir de cuerpos rígidos y relojes, que sea de tal naturaleza que las varillas de medir y los relojes, dispuestos rígidamente unos respecto de otros, indiquen directamente la posición y el tiempo.
Tal fue la esencia de la dificultad con la que tropezamos en [chapter:XXIII]la Sección XXIII.
Pero las consideraciones de las secciones [chapter:XXV]XXV y [chapter:XXVI]XXVI nos muestran el camino para superar esta dificultad. Referimos el continuo espacio-temporal tetradimensional de un modo arbitrario a coordenadas de Gauss. Asignamos a cada punto del continuo (evento) cuatro números, , , , (coordenadas), que no tienen la más mínima significación física directa, sino que solo sirven al propósito de numerar los puntos del continuo de una manera definida pero arbitraria. Esta disposición ni siquiera necesita ser de tal índole que debamos considerar , , como coordenadas de «espacio» y como una coordenada de «tiempo».
El lector puede pensar que tal descripción del mundo sería bastante inadecuada.
¿Qué significa asignar a un acontecimiento las coordenadas particulares , , , , si en sí mismas estas coordenadas no tienen significado?
Una consideración más cuidadosa muestra, sin embargo, que esta inquietud es infundida. Consideremos, por ejemplo, un punto material con cualquier tipo de movimiento. Si este punto tuviera solo una existencia momentánea sin duración, entonces sería descrito en el espacio-tiempo por un único sistema de valores , , , .
Así, su existencia permanente debe estar caracterizada por un número infinitamente grande de tales sistemas de valores, cuyos valores de coordenadas están tan próximos entre sí como para dar continuidad;
correspondiente al punto material, tenemos así una línea (unidimensional) en el continuo cuatridimensional.
De igual manera, cualquiera de tales líneas en nuestro continuo corresponde a muchos puntos en movimiento.
Las únicas afirmaciones relativas a estos puntos que pueden reclamar una existencia física son en realidad las afirmaciones sobre sus encuentros.
En nuestro tratamiento matemático, tal encuentro se expresa en el hecho de que las dos líneas que representan los movimientos de los puntos en cuestión tienen en común un sistema particular de valores de coordenadas, , , , .
Tras una madura reflexión, el lector admitirá sin duda que en realidad tales encuentros constituyen la única evidencia real de naturaleza espacio-temporal con la que nos encontramos en las afirmaciones físicas.
Cuando describíamos el movimiento de un punto material en relación con un cuerpo de referencia, no afirmábamos nada más que los encuentros de este punto con puntos particulares del cuerpo de referencia.
También podemos determinar los valores correspondientes del tiempo mediante la observación de los encuentros del cuerpo con relojes, en combinación con la observación del encuentro de las manecillas de los relojes con puntos particulares de las esferas.
Ocurre exactamente lo mismo en el caso de las mediciones espaciales por medio de varillas de medir, como un breve análisis lo demostrará.
Las siguientes afirmaciones son generalmente válidas:
- Toda descripción física se reduce a una serie de afirmaciones, cada una de las cuales se refiere a la coincidencia espacio-temporal de dos eventos y .
- En términos de coordenadas gaussianas, cada una de dichas afirmaciones se expresa mediante la concordancia de sus cuatro coordenadas , , , .
Así, en realidad, la descripción del continuo espacio-temporal por medio de coordenadas de Gauss sustituye por completo a la descripción con ayuda de un cuerpo de referencia, sin adolecer de los defectos de este último modo de descripción; no está ligada al carácter euclidiano del continuo que ha de ser representado.