El espacio cuatridimensional de Minkowski

El no matemático se ve asaltado por un misterioso estremecimiento cuando oye hablar de cosas «cuatridimensionales», un sentimiento muy parecido al que despiertan las ideas de lo oculto. Y, sin embargo, no hay afirmación más trivial que la de que el mundo en que vivimos es un continuo espacio-temporal de cuatro dimensiones.

El espacio es un continuo tridimensional. Por esto entendemos que es posible describir la posición de un punto (en reposo) mediante tres números (coordenadas) $x$ , $y$ , $z$ , y que hay un número indefinido de puntos en las proximidades de este, cuya posición puede describirse mediante coordenadas tales como $x_{1}$ , $y_{1}$ , $z_{1}$ , las cuales pueden estar tan cerca como elijamos de los valores respectivos de las coordenadas $x$ , $y$ , $z$ del primer punto.

En virtud de esta última propiedad hablamos de un "continuo", y debido al hecho de que hay tres coordenadas, hablamos de él como "tridimensional".

Del mismo modo, el mundo de los fenómenos físicos, al que Minkowski llamó brevemente "mundo", es naturalmente tetradimensional en el sentido del espacio-tiempo.

Pues se compone de acontecimientos individuales, cada uno de los cuales se describe mediante cuatro números, a saber, tres coordenadas espaciales $x$ , $y$ , $z$ y una coordenada temporal, el valor temporal $t$ . El "mundo" es en este sentido también un continuo; pues para cada acontecimiento hay otros tantos "vecinos"

acontecimientos (realizados o al menos pensables) que queramos elegir, cuyas coordenadas $x_{1}$ , $y_{1}$ , $z_{1}$ , $t_{1}$ difieren en una cantidad infinitamente pequeña de las del acontecimiento $x$ , $y$ , $z$ , $t$ considerado originalmente.

Que no hayamos estado acostumbrados a considerar el mundo en este sentido como un continuo tetradimensional se debe a que en la física, antes de la llegada de la teoría de la relatividad, el tiempo desempeñaba un papel diferente y más independiente en comparación con las coordenadas espaciales.

Es por esta razón que hemos tenido la costumbre de tratar el tiempo como un continuo independiente. De hecho, según la mecánica clásica, el tiempo es absoluto, es decir, es independiente de la posición y del estado de movimiento del sistema de coordenadas. Vemos esto expresado en la última ecuación de la transformación de Galileo ( $t^{'} = t$ ).

El modo tetradimensional de considerar el "mundo" es natural en la teoría de la relatividad, ya que, según esta teoría, al tiempo se le despoja de su independencia. Esto se muestra mediante la cuarta ecuación de la transformación de Lorentz: $t^{'} = \frac{t - \frac{v}{c^{2}} x}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} .$ Además, según esta ecuación, la diferencia temporal $Δ t^{'}$

de dos acontecimientos con respecto a $K^{'}$ no se anula por lo general, ni siquiera cuando la diferencia de tiempo $Δ t$ de los mismos acontecimientos con referencia a $K$ se anula. La pura «distancia espacial» de dos acontecimientos con respecto a $K$ da lugar a una «distancia temporal» de los mismos acontecimientos con respecto a $K^{'}$ .

Pero el descubrimiento de Minkowski, que fue de importancia para el desarrollo formal de la teoría de la relatividad, no radica aquí. Se encuentra más bien en el hecho de su reconocimiento de que el continuo espacio-temporal tetradimensional de la teoría de la relatividad, en sus propiedades formales más esenciales, muestra una relación pronunciada con el continuo tridimensional del espacio geométrico euclidiano. Cf. la exposición algo más detallada en el [appendix:II]Apéndice II.

Para dar la debida relevancia a esta relación, sin embargo, debemos reemplazar la coordenada temporal habitual $t$ por una magnitud imaginaria $\sqrt{- 1} \cdot c t$ proporcional a ella. Bajo estas condiciones, las leyes naturales que satisfacen las exigencias de la teoría (especial) de la relatividad adoptan formas matemáticas en las cuales la coordenada temporal desempeña exactamente el mismo papel que las tres coordenadas espaciales. Formalmente, estas cuatro coordenadas corresponden exactamente a las tres coordenadas espaciales en la geometría euclidiana. Debe resultar evidente incluso para el no matemático que, como consecuencia de esta aportación puramente formal a nuestro conocimiento, la teoría ganó necesariamente en claridad en no pequeña medida.

Estas observaciones inadecuadas solo pueden darle al lector una vaga noción de la importante idea aportada por Minkowski. Sin ella, la teoría general de la relatividad, cuyas ideas fundamentales se desarrollan en las páginas siguientes, tal vez no habría pasado de pañales. El trabajo de Minkowski es sin duda de difícil acceso para quien carezca de experiencia en matemáticas, pero dado que no es necesario poseer una comprensión muy exacta de este trabajo para entender las ideas fundamentales de la teoría de la relatividad, ya sea la especial o la general, lo dejaré por ahora aquí, y solo volveré a él hacia el final de la [part:II]Parte II.

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