La estructura del espacio según la teoría general de la relatividad

Según la teoría general de la relatividad, las propiedades geométricas del espacio no son independientes, sino que están determinadas por la materia.

Así pues, solo podemos extraer conclusiones sobre la estructura geométrica del universo si basamos nuestras consideraciones en el estado de la materia como algo que se conoce.

Sabemos por experiencia que, para un sistema de coordenadas elegido adecuadamente, las velocidades de las estrellas son pequeñas en comparación con la velocidad de transmisión de la luz. Por tanto, podemos llegar a una conclusión aproximada sobre la naturaleza del universo en su conjunto, si tratamos la materia como si estuviera en reposo.

Ya sabemos por nuestra discusión anterior que el comportamiento de las varas de medir y de los relojes está influenciado por los campos gravitatorios, es decir, por la distribución de la materia.

Esto por sí solo es suficiente para excluir la posibilidad de la validez exacta de la geometría euclidiana en nuestro universo.

Pero es concebible que nuestro universo difiera solo ligeramente de uno euclídeo, y esta noción parece tanto más probable cuanto que los cálculos muestran que la métrica del espacio circundante está influenciada solo en una medida extremadamente pequeña por masas incluso de la magnitud de nuestro sol. Podríamos imaginar que, en lo que respecta a la geometría, nuestro universo se comporta de manera análoga a una superficie que está curvada irregularmente en sus partes individuales, pero que en ninguna parte se aparta apreciablemente de un plano: algo así como la superficie rizada de un lago. Tal universo podría denominarse adecuadamente universo cuasieuclídeo. En cuanto a su espacio, sería infinito. Pero el cálculo muestra que en un universo cuasieuclídeo la densidad media de la materia sería necesariamente nula. Por lo tanto, tal universo no podría estar habitado por materia en todas partes; nos presentaría esa imagen insatisfactoria que describimos en la sección [chapter:XXX]XXX.

Si hemos de tener en el universo una densidad media de materia que difiera de cero, por pequeña que sea esa diferencia, entonces el universo no puede ser cuasi euclidiano.

Por el contrario, los resultados del cálculo indican que, si la materia se distribuye uniformemente, el universo sería necesariamente esférico (o elíptico). Puesto que en realidad la distribución detallada de la materia no es uniforme, el universo real se desviará en partes individuales de la forma esférica, es decir, el universo será cuasi esférico.

Pero será necesariamente finita. De hecho, la teoría nos proporciona una simple conexiónPara el "radio" $R$ del universo obtenemos la ecuación $R^2=\frac{2}{\kappa \rho }.$ El uso del sistema C.G.S. en esta ecuación da ${\displaystyle \frac{2}{\kappa }}=1.08\times {10}^{27}$; es la densidad media de la materia. entre la expansión espacial del universo y la densidad media de la materia en él.

Deducción simple de la Transformación de LorentzA [Suplemento a la [chapter:XI]Sección XI]

Para la orientación relativa de los sistemas de coordenadas indicada en [fig:2]Fig. 2, los ejes $x$ de ambos sistemas coinciden permanentemente.

En el presente caso podemos dividir el problema en partes considerando primero únicamente los eventos que están localizados sobre el eje $x$. Cualquiera de tales eventos se representa con respecto al sistema de coordenadas $K$ mediante la abscisa $x$ y el tiempo $t$, y con respecto al sistema $K^{\prime }$ mediante la abscisa $x^{\prime }$ y el tiempo $t^{\prime }$. Requerimos hallar $x^{\prime }$ y $t^{\prime }$ cuando se dan $x$ y $t$.

Una señal luminosa, que avanza a lo largo del eje positivo de $x$, se transmite de acuerdo con la ecuación $x=ct$ o $x-ct=0.(1)$ Puesto que la misma señal luminosa ha de transmitirse respecto a $K^{\prime }$ con la velocidad $c$, la propagación relativa al sistema $K^{\prime }$ vendrá representada por la fórmula análoga $x^{\prime }-c{t}^{\prime }=0.(2)$ Aquellos puntos espacio-temporales (eventos) que satisfacen eqn:(1) deben satisfacer también eqn:(2). Obviamente este será el caso cuando se cumpla en general la relación $(x^{\prime }-c{t}^{\prime })=\lambda (x-ct)(3)$, donde $\lambda$ denota una constante; pues, según eqn:(3), la anulación de $(x-ct)$ implica la anulación de $(x^{\prime }-c{t}^{\prime })$.

Si aplicamos consideraciones bastante similares a los rayos de luz que se transmiten a lo largo del eje $x$ negativo, obtenemos la condición

$(x^{\prime }+c{t}^{\prime })=\mu (x+ct).(4)$

Sumando (o restando) las ecuaciones eqn:(3) y eqn:(4), e introduciendo por conveniencia las constantes $a$ y $b$ en lugar de las constantes $\lambda$ y $\mu$, donde

$a\&=\frac{\lambda +\mu }{2}\mathrm{\backslash intertext}yb\&=\frac{\lambda -\mu }{2},$

obtenemos las ecuaciones $\left.

x' &= ax - bct, \ ct' &= act - bx.

\right} (5)$

Tendríamos así la solución de nuestro problema, si las constantes $a$ y $b$ fuesen conocidas. Estas se deducen de la siguiente discusión.

Para el origen de $K^{\prime }$ tenemos permanentemente $x^{\prime }=0$, y por tanto, según la primera de las ecuaciones eqn:(5), $x=\frac{bc}{a}t.$

Si llamamos $v$ a la velocidad con la que se mueve el origen de $K^{\prime }$ en relación con $K$, tenemos entonces que $v=\frac{bc}{a}.(6)$

El mismo valor $v$ puede obtenerse de la ecuación eqn:(5), si calculamos la velocidad de otro punto de $K^{\prime }$ respecto a $K$, o la velocidad (dirigida hacia el eje $x$ negativo) de un punto de $K$ con respecto a $K^{\prime }$. En resumen, podemos designar a $v$ como la velocidad relativa de los dos sistemas.

Además, el principio de relatividad nos enseña que, a juzgar desde $K$, la longitud de una varilla de medida patrón que está en reposo con respecto a $K^{\prime }$ debe ser exactamente la misma que la longitud, a juzgar desde $K^{\prime }$, de una varilla de medida patrón que está en reposo en relación con $K$.

Para ver cómo aparecen los puntos del eje $x^{\prime }$ vistos desde $K$, solo necesitamos tomar una «instantánea» de $K^{\prime }$

de $K$; esto significa que tenemos que insertar un valor particular de $t$ (tiempo de $K$), por ejemplo $t=0$. Para este valor de $t$ obtenemos entonces de la primera de las ecuaciones eqn:(5)

$x^{\prime }=ax.$

Dos puntos del eje $x^{\prime }$ que están separados por la distancia $\Delta x^{\prime }=1$ cuando se miden en el sistema $K^{\prime }$ están, por tanto, separados en nuestra fotografía instantánea por la distancia $\Delta x=\frac{1}{a}.(7)$

Pero si la instantánea se toma desde $K^{\prime }$ ($t^{\prime }=0$), y si eliminamos $t$ de las ecuaciones eqn:(5), teniendo en cuenta la expresión eqn:(6), obtenemos

$x^{\prime }=a(1-\frac{v^2}{c^2})x.$

De esto concluimos que dos puntos situados sobre el eje $x$ y separados por la distancia $1$ (relativa a $K$) estarán representados en nuestra instantánea por la distancia $\Delta x^{\prime }=a(1-\frac{v^2}{c^2}).(7a)$

Pero por lo que se ha dicho, las dos instantáneas deben ser idénticas; por tanto, $\Delta x$ en la eqn:(7) debe ser igual a $\Delta x^{\prime }$ en la eqn:(7a), de modo que obtenemos $a^2=\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}.(7b)$

Las ecuaciones eqn:(6) y eqn:(7b) determinan las constantes $a$ y $b$. Sustituyendo los valores de estas constantes en eqn:(5), obtenemos la primera y la cuarta de las ecuaciones dadas en [chapter:XI]la Sección XI. $\left.

$$\begin{gathered} x^{\prime }\&=\frac{x-vt}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}, \\ {t}^{\prime }\&=\frac{t-{\displaystyle \frac{v}{c^2}}x}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}. \end{gathered}$$

\right} (8)$

Así hemos obtenido la transformación de Lorentz para los eventos en el eje $x$. Satisface la condición $x^{\prime 2}-c^2{t}^{\prime 2}=x^2-c^2{t}^2.(8a)$

La extensión de este resultado, para incluir eventos que tienen lugar fuera del eje $x$, se obtiene conservando las ecuaciones eqn:(8) y complementándolas con las relaciones

$\left.

\right} (9)$

De este modo satisfacemos el postulado de la constancia de la velocidad de la luz en el vacío para rayos de luz de dirección arbitraria, tanto para el sistema $K$ como para el sistema $K^{\prime }$. Esto puede demostrarse de la siguiente manera.

Suponemos una señal luminosa emitida desde el origen de $K$ en el tiempo $t=0$. Esta se propagará de acuerdo con la ecuación $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=ct,$

o, si elevamos esta ecuación al cuadrado, según la ecuación $x^2+y^2+z^2-c^2{t}^2=0.(10)$

La ley de la propagación de la luz exige, en conjunción con el postulado de la relatividad, que la transmisión de la señal en cuestión tenga lugar —a juzgar desde $K^{\prime }$— de acuerdo con la fórmula correspondiente $r^{\prime }=c{t}^{\prime }$, o bien $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^2{t}^{\prime 2}=0.(10a)$ Para que la ecuación eqn:(10a) pueda ser consecuencia de la ecuación eqn:(10), debemos tener $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^2{t}^{\prime 2}=\sigma (x^2+y^2+z^2-c^2{t}^2).(11)$

Puesto que la ecuación eqn:(8a) debe cumplirse para los puntos del eje $x$, tenemos por tanto que $\sigma =1$. Se ve fácilmente que la transformación de Lorentz satisface verdaderamente la ecuación eqn:(11)

para $\sigma =1$; para eqn:(11) es una consecuencia de eqn:(8a) y eqn:(9), y por tanto también de eqn:(8) y eqn:(9). Hemos deducido así la transformación de Lorentz.

La transformación de Lorentz representada por eqn:(8) y eqn:(9) todavía necesita ser generalizada.

Evidentemente, es indiferente que los ejes de $K^{\prime }$ se escojan de modo que sean espacialmente paralelos a los de $K$. Tampoco es esencial que la velocidad de traslación de $K^{\prime }$ con respecto a $K$ sea en la dirección del eje $x$.

Una simple consideración muestra que somos capaces de construir la transformación de Lorentz en este sentido general a partir de dos tipos de transformaciones, a saber, de transformaciones de Lorentz en el sentido especial y de transformaciones puramente espaciales, las cuales corresponden al reemplazo del sistema de coordenadas rectangulares por un nuevo sistema con sus ejes apuntando en otras direcciones.

Matemáticamente, podemos caracterizar la transformación de Lorentz generalizada de la siguiente manera:

Expresa $x^{\prime }$, $y^{\prime }$, $z^{\prime }$, $t^{\prime }$ en función de funciones lineales homogéneas de $x$, $y$, $z$, $t$, de tal manera que la relación $x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^2{t}^{\prime 2}=x^2+y^2+z^2-c^2{t}^2(11a)$ se satisface idénticamente. Es decir: si sustituimos sus expresiones en $x$, $y$, $z$, $t$, en lugar de $x^{\prime }$, $y^{\prime }$, $z^{\prime }$, $t^{\prime }$, en el miembro izquierdo, entonces el miembro izquierdo de eqn:(11a) coincide con el miembro derecho.

El espacio tetradimensional de Minkowski («Mundo») [Suplementario a la [chapter:XVII]sección XVII]

Podemos caracterizar la transformación de Lorentz de un modo aún más sencillo si introducimos el imaginario $\sqrt{-1}·ct$ en lugar de $t$ como variable temporal. Si, de acuerdo con esto, insertamos

$$\begin{gathered} x_1\&=x, \\ {x}_2\&=y, \\ {x}_3\&=z, \\ {x}_4\&=\sqrt{-1}·ct, \end{gathered}$$

y de manera similar para el sistema con tilde $K^{\prime }$, entonces la condición que se satisface idénticamente mediante la transformación puede expresarse así:

${x_1^{\prime }}^2+{x_2^{\prime }}^2+{x_3^{\prime }}^2+{x_4^{\prime }}^2={x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2+{x_4}^2.(12)$

Es decir, por la susodicha elección de «coordenadas», eqn:(11a) se transforma en esta ecuación.

Vemos a partir de eqn:(12) que la coordenada de tiempo imaginario $x_4$

entra en la condición de transformación exactamente de la misma manera que las coordenadas espaciales $x_1$, $x_2$, $x_3$. Se debe a este hecho que, de acuerdo con la teoría de la relatividad, el "tiempo" $x_4$ entra en las leyes naturales en la misma forma que las coordenadas espaciales $x_1$, $x_2$, $x_3$.

Un continuo tetradimensional descrito por las "co-or-de-na-das" $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, fue denominado "mundo" por

Minkowski, que también denominó "punto del mundo" a un evento puntual.

De un «acontecimiento» en el espacio tridimensional, la física se convierte, por así decirlo, en una «existencia» en el «mundo» tetradimensional.

Este «mundo» tetradimensional guarda una gran similitud con el «espacio» tridimensional de la geometría analítica (euclidiana). Si introducimos en este último un nuevo sistema de coordenadas cartesianas $(x_1^{\prime },x_2^{\prime },x_3^{\prime })$ con el mismo origen, entonces $x_1^{\prime }$, $x_2^{\prime }$, $x_3^{\prime }$ son funciones lineales homogéneas de $x_1$, $x_2$, $x_3$, que satisfacen idénticamente la ecuación ${x_1^{\prime }}^2+{x_2^{\prime }}^2+{x_3^{\prime }}^2={x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2.$ La analogía con eqn:(12) es completa. Podemos considerar el «mundo» de Minkowski de manera formal como un espacio euclidiano tetradimensional (con coordenada temporal imaginaria); la transformación de Lorentz corresponde a una «rotación» del sistema de coordenadas en el «mundo» tetradimensional.

III La confirmación experimental de la teoría general de la relatividad

Desde un punto de vista teórico sistemático, podemos imaginar el proceso de evolución de una ciencia empírica como un proceso continuo de inducción.

Las teorías se desarrollan y se expresan brevemente como declaraciones de un gran número de observaciones individuales en forma de leyes empíricas, a partir de las cuales se pueden determinar las leyes generales mediante comparación.

Visto de este modo, el desarrollo de una ciencia guarda cierto parecido con la compilación de un catálogo clasificado. Es, por así decirlo, una empresa puramente empírica.

Pero este punto de vista no abarca en modo alguno la totalidad del proceso real, ya que pasa por alto el importante papel que desempeñan la intuición y el pensamiento deductivo en el desarrollo de una ciencia exacta.

Tan pronto como una ciencia ha emergido de sus etapas iniciales, los avances teóricos ya no se logran meramente mediante un proceso de ordenación. Guiado por datos empíricos, el investigador desarrolla más bien un sistema de pensamiento que, por lo general, se construye lógicamente a partir de un pequeño número de suposiciones fundamentales, los llamados axiomas.

Llamamos a tal sistema de pensamiento una teoría. La teoría encuentra la justificación de su existencia en el hecho de que correlaciona un gran número de observaciones aisladas, y es precisamente aquí donde radica la «verdad» de la teoría.

Correspondiendo al mismo conjunto de datos empíricos, puede haber varias teorías que difieren entre sí en una medida considerable.

Pero en lo que respecta a las deducciones de las teorías que son susceptibles de ser probadas, la concordancia entre las mismas puede ser tan completa, que resulta difícil encontrar aquellas deducciones en las que ambas teorías difieran entre sí.

Como ejemplo, se dispone de un caso de interés general en el ámbito de la biología: la teoría darwiniana del desarrollo de las especies por selección en la lucha por la existencia, y la teoría del desarrollo basada en la hipótesis de la transmisión hereditaria de los caracteres adquiridos.

Tenemos otro ejemplo de acuerdo de gran alcance entre las deducciones de dos teorías: de la mecánica newtoniana, por un lado, y de la teoría general de la relatividad, por el otro.

Este acuerdo llega tan lejos que, hasta el presente, solo hemos podido encontrar unas pocas deducciones de la teoría general de la relatividad que sean susceptibles de investigación y a las que la física de la época anterior a la relatividad no conduzca también, y esto a pesar de la profunda diferencia en las suposiciones fundamentales de ambas teorías.

A continuación, volveremos a considerar estas importantes deducciones, y también discutiremos la evidencia empírica pertinente que se ha obtenido hasta el momento.

Movimiento del perihelio de Mercurio

Según la mecánica newtoniana y la ley de la gravitación de Newton, un planeta que gira alrededor del Sol describiría una elipse en torno a este último, o, más exactamente, en torno al centro de gravedad común del Sol y el planeta. En un sistema así, el Sol, o el centro de gravedad común, se encuentra en uno de los focos de la elipse orbital de tal manera que, en el transcurso de un año planetario, la distancia sol-planeta crece de un mínimo a un máximo, y luego vuelve a decrecer hasta un mínimo. Si en lugar de la ley de Newton introducimos en el cálculo una ley de atracción algo diferente, hallamos que, según esta nueva ley, el movimiento seguiría teniendo lugar de tal manera que la distancia sol-planeta presenta variaciones periódicas; pero en este caso el ángulo descrito por la línea que une el Sol y el planeta durante dicho periodo (desde el perihelio —la proximidad más cercana al Sol— hasta el perihelio) diferiría de $360°$. La línea de la órbita no sería entonces cerrada, sino que con el tiempo llenaría una parte anular del plano orbital, a saber, la comprendida entre el círculo de menor distancia y el círculo de mayor distancia del planeta al Sol.

De acuerdo también con la teoría general de la relatividad, que difiere por supuesto de la teoría de Newton, debe tener lugar una pequeña variación respecto al movimiento de Newton-Kepler de un planeta en su órbita, y de tal manera que el ángulo descrito por el radio Sol-planeta entre un perihelio y el siguiente debe exceder al correspondiente a una revolución completa en una cantidad dada por

$+\frac{24{\pi }^3{a}^2}{T^2{c}^2(1-e^2)}.$

(N.B.–-One complete revolution corresponds to the angle $2\pi$ in the absolute angular measure customary in physics, and the above expression gives the amount by which the radius sun-planet exceeds this angle during the interval between one perihelion and the next.) In this expression $a$ represents the major semi-axis of the ellipse, $e$ its eccentricity, $c$ the velocity of light, and $T$ the period of revolution of the planet. Our result may also be stated as follows: According to the general theory of relativity, the major axis of the ellipse rotates round the sun in the same sense as the orbital motion of the planet. Theory requires that this rotation should amount to $43$ seconds of arc per century for the planet Mercury, but for the other planets of our solar system its magnitude should be so small that it would necessarily escape detection.Especially since the next planet Venus has an orbit that is almost an exact circle, which makes it more difficult to locate the perihelion with precision.

De hecho, los astrónomos han descubierto que la teoría de Newton no basta para calcular el movimiento observado de Mercurio con una exactitud que corresponda a la delicadeza de la observación alcanzable en la actualidad. Tras tener en cuenta todas las influencias perturbadoras ejercidas sobre Mercurio por los demás planetas, se descubrió (Leverrier—1859—y

Newcomb–1895) que aún quedaba un movimiento periélico inexplicado de la órbita de Mercurio, cuya magnitud no difiere sensiblemente de los mencionados $+43$ segundos de arco por siglo. La incertidumbre del resultado empírico asciende a unos pocos segundos únicamente.

Desviación de la luz por un campo gravitacional

En [chapter:XXII]la sección XXII ya se ha mencionado que, según la teoría general de la relatividad, un rayo de luz experimentará una curvatura en su trayectoria al pasar a través de un campo gravitatorio, siendo esta curvatura similar a la experimentada por la trayectoria de un cuerpo que es proyectado a través de un campo gravitatorio. Como resultado de esta teoría, debemos esperar que un rayo de luz que pase cerca de un cuerpo celeste sea desviado hacia este último. Para un rayo de luz que pasa junto al sol a una distancia de $\Delta$ radios solares de su centro, el ángulo de desviación ($\alpha$) debería ascender a $\alpha =\frac{\text{{}}{}$1.7$ segundos de arco}}{\Delta}.$ Puede añadirse que, según la teoría, la mitad de esta desviación es producida por el campo de atracción newtoniano del sol, y la otra mitad por la modificación geométrica («curvatura») del espacio causada por el sol.

1in127 Este resultado admite una comprobación experimental mediante el registro fotográfico de estrellas durante un eclipse total de sol. La única razón por la cual debemos esperar a un eclipse total es porque en cualquier otro momento la atmósfera está tan fuertemente iluminada por la luz del sol que las estrellas situadas cerca del disco solar son invisibles.

El efecto pronosticado puede verse claramente en el diagrama adjunto. Si el sol ($S$) no estuviera presente, una estrella prácticamente infinitamente distante se vería en la dirección $D_1$, tal como se observa desde la tierra. Pero como consecuencia de la desviación de la luz de la estrella por parte del sol, la estrella se verá en la dirección $D_2$, es decir, a una distancia algo mayor del centro del sol de lo que corresponde a su posición real.

En la práctica, la cuestión se comprueba del modo siguiente.

Se fotografían las estrellas vecinas al sol durante un eclipse solar. Además, se toma una segunda fotografía de esas mismas estrellas cuando el sol se encuentra en otra posición en el cielo, es decir, unos meses antes o después.

En comparación con la fotografía estándar, las posiciones de las estrellas en la fotografía del eclipse deben aparecer desplazadas radialmente hacia afuera (alejándose del centro del sol) en una cantidad correspondiente al ángulo $\alpha$.

Debemos agradecimiento a la Royal Society y a la Royal Astronomical Society por la investigación de esta importante deducción. Sin dejarse intimidar por la guerra y por las dificultades tanto de índole material como psicológica suscitadas por la misma, estas sociedades equiparon dos expediciones —a Sobral (Brasil) y a la isla de Príncipe (África Occidental)— y enviaron a varios de los astrónomos más célebres de Gran Bretaña (Eddington, Cottingham,

Crommelin, Davidson), con el fin de obtener fotografías del eclipse solar del 29 de mayo de 1919.

Las discrepancias relativas que cabía esperar entre las fotografías estelares obtenidas durante el eclipse y las fotografías de comparación ascendían a tan solo unas pocas centésimas de milímetro.

Por lo tanto, era necesaria una gran precisión al realizar los ajustes requeridos para la toma de las fotografías y en su posterior medición.

Los resultados de las mediciones confirmaron la teoría de manera sumamente satisfactoria. Las componentes rectangulares de las desviaciones observadas y calculadas de las estrellas (en segundos de arco) se exponen en la siguiente tabla de resultados: ${@{}c*{2}{>{\quad}cc}@{}}

\ColHead{1}{Número de}{Número de\ la Estrella.} & \ColHead{2}{Observado. Calculado.}{Primera Coordenada. \$\overbrace{\text{Observado. Calculado.}}$\}\&\mathrm{\backslash ColHead}2Observado.Calculado.SegundaCoordenada.$\overbrace{\text{Observado. Calculado.}}$$\begin{gathered} \} \\ 11\&-0,19\&-0,22\&+0,16\&+0,02 \\ \phantom{0}5\&+0,29\&+0,31\&-0,46\&-0,43 \\ \phantom{0}4\&+0,11\&+0,10\&+0,83\&+0,74 \\ \phantom{0}3\&+0,20\&+0,12\&+1,00\&+0,87 \\ \phantom{0}6\&+0,10\&+0,04\&+0,57\&+0,40 \\ 10\&-0,08\&+0,09\&+0,35\&+0,32 \\ \phantom{0}2\&+0,95\&+0,85\&-0,27\&-0,09 \end{gathered}$$

Desplazamiento de las líneas espectrales hacia el rojo

En [chapter:XXIII]la Sección XXIII se ha demostrado que en un sistema $K^{\prime }$ que está en rotación respecto a un sistema galileano $K$, los relojes de construcción idéntica, y que se consideran en reposo respecto al cuerpo de referencia en rotación, marchan a ritmos que dependen de las posiciones de los relojes. Examinaremos ahora esta dependencia cuantitativamente. Un reloj, situado a una distancia $r$ del centro del disco, tiene una velocidad relativa a $K$ que viene dada por $v=\omega r,$ donde $\omega$ representa la velocidad angular de rotación del disco $K^{\prime }$ respecto a $K$. Si ${\nu }_0$ representa el número de oscilaciones del reloj por unidad de tiempo («ritmo» del reloj) relativo a $K$ cuando el reloj está en reposo, entonces el «ritmo» del reloj ($\nu$) cuando se mueve en relación con $K$ con una velocidad $v$, pero en reposo respecto al disco, vendrá dado, de acuerdo con [chapter:XII]la Sección XII, por $\nu ={\nu }_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},$

o con la precisión suficiente mediante

$\nu ={\nu }_0(1-\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}).$

Esta expresión también puede formularse de la siguiente manera:

$\nu ={\nu }_0(1-\frac{1}{c^2}\frac{{\omega }^2{r}^2}{2}).$

Si representamos la diferencia de potencial de la fuerza centrífuga entre la posición del reloj y el centro del disco mediante $\varphi$, es decir, el trabajo, considerado negativamente, que debe realizarse sobre la unidad de masa en contra de la fuerza centrífuga para transportarla desde la posición del reloj en el disco giratorio hasta el centro del disco, entonces tenemos

$\varphi =-\frac{{\omega }^2{r}^2}{2}.$

De esto se deduce que

$\nu ={\nu }_0(1+\frac{\varphi }{c^2}).$

En primer lugar, vemos a partir de esta expresión que dos relojes de construcción idéntica marcharán a ritmos diferentes cuando estén situados a diferentes distancias del centro del disco. Este resultado también es válido desde el punto de vista de un observador que esté girando con el disco.

Ahora bien, a juzgar por el disco, este último se encuentra en un campo gravitatorio de potencial $\varphi$, por lo que el resultado que hemos obtenido será válido de manera general para los campos gravitatorios. Además, podemos considerar un átomo que emite líneas espectrales como un reloj, de modo que se cumplirá la siguiente afirmación:

Un átomo absorbe o emite luz de una frecuencia que depende del potencial del campo gravitatorio en el que está situado.

La frecuencia de un átomo situado en la superficie de un cuerpo celeste será algo menor que la frecuencia de un átomo del mismo elemento situado en el espacio libre (o en la superficie de un cuerpo celeste más pequeño). Ahora bien, $\varphi =-K{\displaystyle \frac{M}{r}}$, donde $K$ es la constante de gravitación de Newton, y $M$ es la masa del cuerpo celeste. Por lo tanto, debería producirse un desplazamiento hacia el rojo en las líneas espectrales producidas en la superficie de las estrellas en comparación con las líneas espectrales del mismo elemento producidas en la superficie de la tierra, siendo la magnitud de este desplazamiento $\frac{{\nu }_0-\nu }{{\nu }_0}=\frac{K}{c^2}\frac{M}{r}.$

Para el Sol, el desplazamiento hacia el rojo predicho por la teoría asciende a unos dos millonésimos de la longitud de onda.

Un cálculo fidedigno no es posible en el caso de las estrellas, porque por lo general no se conoce ni la masa $M$ ni el radio $r$.

Es una cuestión abierta si este efecto existe o no, y en la actualidad los astrónomos trabajan con gran entusiasmo para resolverla.

Debido a la pequeñez del efecto en el caso del sol, es difícil formarse una opinión en cuanto a su existencia. Mientras que Grebe y Bachem (Bonn), como resultado de sus propias mediciones y las de Evershed y Schwarzschild sobre las bandas de cianógeno, han situado la existencia del efecto casi fuera de duda, otros investigadores, en particular St. John, se han visto conducidos a la opinión opuesta como consecuencia de sus mediciones.

Los desplazamientos medios de las líneas hacia el extremo menos refrangible del espectro se revelan ciertamente mediante investigaciones estadísticas de las estrellas fijas; pero hasta el presente el examen de los datos disponibles no permite llegar a ninguna decisión definitiva acerca de si estos desplazamientos deben atribuirse o no en realidad al efecto de la gravitación.

Los resultados de la observación han sido recopilados y discutidos en detalle desde el punto de vista de la cuestión que aquí ha estado ocupando nuestra atención, en un artículo de E. Freundlich titulado "Zur Prüfung der allgemeinen Relativitäts-Theorie" (Die Naturwissenschaften, 1919, n.º 35, p. 520: Julius Springer, Berlín).

En todo caso, en el transcurso de los próximos años se tomará una decisión definitiva.

Si el desplazamiento de las líneas espectrales hacia el rojo por el potencial gravitatorio no existe, entonces la teoría general de la relatividad será insostenible.

Por otra parte, si la causa del desplazamiento de las líneas espectrales se atribuye definitivamente al potencial gravitatorio, el estudio de este desplazamiento nos proporcionará información importante sobre la masa de los cuerpos celestes.

[-1]Back MatterBack Matter OBRAS EN INGLÉS SOBRE LA TEORÍA DE EINSTEIN

Introductorio

Los fundamentos de la teoría de la gravitación de Einstein Erwin Freundlich (traducción de H. L. Brose). Camb. Univ. Press, 1920.

Space and Time in Contemporary Physics Moritz Schlick (translation by H. L. Brose). Clarendon Press, Oxford, 1920.

La teoría especial

El principio de relatividad. E. Cunningham. Camb. Univ. Press.

Relativity and the Electron Theory E. Cunningham, Monographs on Physics. Longmans, Green Co.

The Theory of RelativityL. Silberstein. Macmillan Co.

El colector espacio-tiempo de la relatividad E. B. Wilson y G. N. Lewis, Proc. Amer. Soc. Arts Science, vol. xlviii., núm. 11, 1912.

La Teoría General

Informe sobre la teoría de la relatividad de la gravitación. A. S. Eddington. Fleetway Press Ltd., Fleet Street, London.

Sobre la teoría de la gravitación de Einstein y sus consecuencias astronómicas W. de Sitter, M. N. Roy. Astron. Soc., lxxvi. p. 699, 1916; lxxvii. p. 155, 1916; lxxviii. p. 3, 1917.

Sobre la teoría de la gravitación de Einstein H. A. Lorentz, Proc. Amsterdam Acad., vol. xix, p. 1341, 1917.

Space, Time and GravitationW. de Sitter: The Observatory, No. 505, p. 412. Taylor Francis, Fleet Street, London.

El eclipse total del 29 de mayo de 1919 y la influencia de la gravitación sobre la luz A. S. Eddington, ibíd., marzo de 1919.

Discussion on the Theory of Relativity M. N. Roy. Astron. Soc., vol. lxxx. No. 2, p. 96, December 1919.

El desplazamiento de las líneas espectrales y la hipótesis de equivalencia W. G. Duffield, M. N. Roy. Astron. Soc., vol. lxxx. N.º 3, p. 262, 1920.

Space, Time and GravitationA. S. Eddington, Camb. Univ. Press, 1920.

Además, los Capítulos en

The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism J. H. Jeans (4.ª edición). Imp. de la Univ. de Camb., 1920.

La teoría electrónica de la materia O. W. Richardson. Camb. Univ. Press.

ÍNDICE

Aberración 49

Absorción de energía 46

Aceleración 64, 67, 70

Acción a distancia 48

Suma de velocidades 16, 38

Puntos adyacentes 89

Aether 52 drift@-drift#drift 52, 53

Sustituciones arbitrarias 98

Astronomía 7, 102

Día astronómico 11

Axiomas 2, 123 verdad de 2

Bachem 131

Base de la teoría 44

Being@"Being"#Being 66, 108 rayos beta@$\beta$-rays#rays 50

Biología 124

Sistema cartesiano de coordenadas 7, 84, 122

Rayos catódicos 50

Mecánica celeste 105

Fuerza centrífuga 80, 130

Cofre 66

Concepción de masa

45 posición 6

• Conservación de la energía 45, 101
• impulso 101
• masa 45, 47

Continuidad 95

• Continuum 55, 83
• bidimensional 94
• tridimensional 57
• tetradimensional 89, 91, 92, 94, 122
• espacio-tiempo 78, 91-96
  • euclidiano 84, 86, 88, 92
  • no euclidiano 86, 90

Coordenada@Coordenada#Diferencias de coordenadas 92 diferenciales 92 planos 32

Cottingham 128

Contrapunto 112

Covariant@Co-variant#Co-variant 43

Crommelin 128

Curvatura de los rayos de luz 104, 127 del espacio 127

Movimiento curvilíneo 74

Bandas de cianógeno 131

Teoría darwiniana 124

Davidson 128

Pensamiento deductivo 123

Derivación de las leyes 44

Desitter@De Sitter#De Sitter 17

Desplazamiento de las líneas espectrales 104, 129

Distancia (intervalo de líneas) 3, 5, 8, 28, 29, 84, 88, 109 interpretación física de 5 relatividad de 28

Principio Doppler 50

Estrellas dobles 17

Eclipse de la estrella 17

Eddington 104, 128

Electricidad 76

Electrodinámica 13, 19, 41, 44, 76

Teoría electromagnética 49 ondas 63

Electrón 44, 50 masas eléctricas de 51

Electrostática 76

Espacio elíptico 112

Leyes empíricas 123

Encounter (coincidencia espacio-temporal) 95

Equivalent 14

Geometría euclidiana

• 1, 2, 57, 82, 86, 88, 108, 109, 113, 122 proposiciones de 3, 8

Espacio euclidiano 57, 86, 122

Evershed 131

Experimenta 49, 60

Faraday 48, 63

FitzGerald 53

Estrellas fijas 11

Fizeau 39, 49, 51 experimento de 39

Frecuencia del átomo 131

Transformación de Galilei 11: 33, 36, 38, 42, 52

sistema de coordenadas galileano 11, 13, 14, 46, 79, 91, 98, 100

Coordenadas gaussianas 88-90, 94, 96-100

Teoría general de la relatividad 59-104, 97

Ideas geométricas

• 2, 3 proposiciones
• 1 verdad de 2-4

Gravitación 64, 69, 78, 102

Campo gravitatorio 64, 67, 74, 77, 93, 98, 100, 101, 113 * potencial de 130, 131

Masa gravitacional 65, 68, 102

Grebe 131

Densidad de grupo de estrellas 106

Helmholtz 108

Valor heurístico de la relatividad#Heurística 42

Inducción 123

Inercia 65

Masa inercial 47, 65, 69, 101, 102

Fotografía instantánea (instantánea) 117

Intensidad del campo gravitatorio 106

Intuición 123

Ions 44

Kepler 125

Energía cinética 45, 101

Lattice 108

Ley de inercia 11, 61, 62, 98

Leyes de Galilei-Newton * 13 de la Naturaleza * 60, 71, 99

Leverrier 103, 126

Señal luminosa 33, 115, 118

Estímulo luminoso 33

Velocidad límite ($c$)#Límite 36, 37

Líneas de fuerza 106

Mach, E.#Mach 72

Campo magnético 63

Manifold|seeContinuum 0

Masa de los cuerpos celestes 132

Matter 101

• Maxwell 41, 44, 48-50, 52
• ecuaciones fundamentales 46, 77

Medición de longitud 85

Mercury 103, 126 orbit of 103, 126

Michelson 52-54

Minkowski 55-57, 91, 122

Morley 53, 54

• Movimiento 14, 60 de los cuerpos celestes 13, 15, 44, 102, 113

Newcomb 126

• constante de gravitación de Newton 131
• ley de la gravitación 48, 80, 106, 124
• ley del movimiento 64

Geometría no euclidiana 108

Cuerpos de referencia no galileanos 98

Movimiento no uniforme 62

Óptica 13, 19, 44

Tubo de órgano, nota de 14

Parábola 9, 10

Curva de trayectoria 10

Perihelio de Mercurio 124-126

Física 7 de medición 7

Especificación de lugar 5, 6

Poincare@Poincaré#Poincaré 108

• Point 1

Masa puntual, energía de#Masa puntual 45

Posición 9

Principio de relatividad 13-15, 19, 20, 60

Processes of Nature 42

Propagación de la luz 17, 19, 20, 32, 91, 119 en líquido 40 en campos gravitacionales 75

Universo cuasi euclidiano 114

Universo cuasi esférico 114

Radiación 46

Sustancias radiactivas 50

Referencia-molusco 99-101

Posición relativa 3 velocidad 117

Descanso 14

Riemann 86, 108, 111

Rotation 81, 122

Schwarzschild 131

Reloj de segundos 36

Seeliger 105, 106

• Simultaneidad 22, 24-26, 81
  • relatividad de 26

Relaciones de tamaño 90

Eclipse solar 75, 127, 128

Espacio 9, 52, 55, 105 concepción de 19

Coordenadas espaciales 55, 81, 99

Space interval@-interval#interval 30, 56 point@-point#point 99 bidimensional 108 tridimensional 122

Teoría especial de la relatividad 1-57, 20

Superficie esférica 109 espacio 111, 112

St. John@St. John#St. John 131

Universo estelar

106 fotografías 128

Sistema de coordenadas 5, 10, 11

Espacio terrestre 15

Teoría 123 verdad de 124

Tridimensional 55

Concepción del tiempo de 19, 52, 105 coordenada@coordenada#coordenada 55, 99 en la Física 21, 98, 122 de un evento 24, 26

Intervalo de tiempo 30, 56

Trayectoria 10

Truth@"Truth"#Truth 2

Traducción uniforme 12, 59

Estructura del Universo (Mundo) de 108, 113 circunferencia de 111

Universe

• elliptical 112, 114
• Euclidean 109, 111
• space expanse (radius) of 114
• spherical 111, 114

Valor de $\pi$#$\pi$ 82, 110

Velocidad de la luz 10, 17, 18, 76, 118

Venus 126

Peso (pesadez) 65

World * point@-point#point 122 * radius@-radius#radius 112 * sphere@-sphere#sphere 110, 111

Zeeman 41

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