Coordenadas gaussianas

Según Gauss, a este modo analítico y geométrico combinado de abordar el problema se puede llegar de la siguiente manera. Imaginamos un sistema de curvas arbitrarias (véase [fig:4]Fig. 4) trazadas sobre la superficie de la mesa. A estas las denominamos curvas $u$ , e indicamos cada una de ellas mediante un número. Las curvas $u = 1$ , $u = 2$ y $u = 3$ están trazadas en el diagrama. Entre las curvas $u = 1$ y $u = 2$ debemos imaginar que se ha trazado un número infinitamente grande, las cuales corresponden todas

2in087 a números reales comprendidos entre $1$ y $2$ . Tenemos entonces un sistema de curvas- $u$ , y este sistema "infinitely dense" [infinitamente denso] cubre toda la superficie de la mesa.

Estas curvas- $u$ no deben cruzarse entre sí, y por cada punto de la superficie debe pasar una y solo una curva. Por lo tanto, a cada punto de la superficie de la placa de mármol le corresponde un valor perfectamente definido de $u$ .

De igual manera imaginamos un sistema de curvas- $v$ trazadas sobre la superficie. Estas satisfacen las mismas condiciones que las curvas- $u$ , se les asignan números de manera correspondiente, y asimismo pueden tener una forma arbitraria.

De ello se deduce que a cada punto de la superficie de la mesa le corresponde un valor de $u$ y un valor de $v$ . A estos dos números los llamamos las coordenadas de la superficie de la mesa (coordenadas gaussianas).

Por ejemplo, el punto $P$ del diagrama tiene las coordenadas gaussianas $u = 3$ , $v = 1$ . Dos puntos vecinos $P$ y $P^{'}$ sobre la superficie corresponden entonces a las coordenadas donde $d u$ y $d v$ significan números muy pequeños. De manera similar podemos indicar la distancia (intervalo lineal)

entre $P$ y $P^{'}$ , medidos con una pequeña varilla, mediante el número muy pequeño $d s$ . Entonces, según Gauss, tenemos $d s^{2} = g_{11} d u^{2} + 2 g_{12} d u d v + g_{22} d v^{2},$ donde $g_{11}$ , $g_{12}$ , $g_{22}$ son magnitudes que dependen de un modo perfectamente determinado de $u$ y $v$ . Las magnitudes $g_{11}$ , $g_{12}$ y $g_{22}$ determinan el comportamiento de las varillas en relación con las $u$ -curvas y $v$ -curvas, y por tanto también en relación con la superficie de la mesa. Para el caso en el que los puntos de la superficie considerados formen un continuo euclidiano con referencia a las varillas de medición, pero solo en este caso, es posible trazar las $u$ -curvas y $v$ -curvas y asignarles números de tal manera que simplemente tengamos: $d s^{2} = d u^{2} + d v^{2} .$ Bajo estas condiciones, las $u$ -curvas y $v$ -curvas son líneas rectas en el sentido de la geometría euclidiana, y son perpendiculares entre sí. Aquí las coordenadas de Gauss son simplemente cartesianas. Es evidente que las coordenadas de Gauss no son más que una asociación de dos conjuntos de números con los puntos de la superficie considerada, de tal naturaleza que a los puntos "en el espacio" vecinos se les asocian valores numéricos que difieren muy poco entre sí.

Hasta ahora, estas consideraciones son válidas para un continuo de dos dimensiones. Pero el método gaussiano puede aplicarse también a un continuo de tres, cuatro o más dimensiones.

Si, por ejemplo, se supone disponible un continuo de cuatro dimensiones, podemos representarlo de la siguiente manera. A cada punto del continuo le asociamos arbitrariamente cuatro números, $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , que se conocen como "coordenadas".

Los puntos adyacentes corresponden a valores adyacentes de las coordenadas. Si se asocia una distancia $d s$ a los puntos adyacentes

$P$ y $P^{'}$ , siendo esta distancia medible y bien definida desde un punto de vista físico, se cumple entonces la siguiente fórmula: $d s^{2} = g_{11} {d x_{1}}^{2} + 2 g_{12} d x_{1} d x_{2} + \dots + g_{44} {d x_{4}}^{2},$ donde las magnitudes $g_{11}$ , etc., tienen valores que varían con la posición en el continuo. Solo cuando el continuo es euclidiano es posible asociar las coordenadas $x_{1}$ , $\dots$ , $x_{4}$ con los puntos del continuo de modo que tengamos simplemente $d s^{2} = {d x_{1}}^{2} + {d x_{2}}^{2} + {d x_{3}}^{2} + {d x_{4}}^{2} .$ En este caso se cumplen en el continuo tetradimensional relaciones análogas a las que se cumplen en nuestras mediciones tridimensionales.

Sin embargo, el tratamiento de Gauss para $d s^{2}$ que hemos dado más arriba no siempre es posible. Solo es posible cuando regiones suficientemente pequeñas del continuo en consideración pueden considerarse como continuos euclídeos.

Por ejemplo, esto es obviamente válido en el caso de la losa de mármol de la mesa y la variación local de temperatura. La temperatura es prácticamente constante para una pequeña parte de la losa y, por tanto, el comportamiento geométrico de las varillas es casi como debe ser según las reglas de la geometría euclidiana. De ahí que las imperfecciones en la construcción de cuadrados de la sección anterior no se manifiesten claramente hasta que dicha construcción se extiende sobre una porción considerable de la superficie de la mesa.

Podemos resumir esto del siguiente modo:

Gauss inventó un método para el tratamiento matemático de medios continuos en general, en el que se definen "relaciones de tamaño" ("distancias" entre puntos vecinos). A cada punto de un continuo se le asignan tantos números (coordenadas gausianas) como dimensiones tenga el continuo. Esto se hace de tal manera que a la asignación solo se le pueda atribuir un único significado, y que los números (coordenadas gausianas)

que difieren en una cantidad infinitamente pequeña se asignan a puntos adyacentes.

El sistema de coordenadas gaussiano es una generalización lógica del sistema de coordenadas cartesiano. También es aplicable a los continuos no euclidianos, pero solo cuando, con respecto al "tamaño" o la "distancia" definidos, las partes pequeñas del continuo en consideración se comportan más semejantemente a un sistema euclidiano cuanto más pequeña sea la parte del continuo bajo nuestra consideración.