La posibilidad de un universo «finito» y a la vez «sin límites»

Pero las especulaciones sobre la estructura del universo también marchan en una dirección completamente distinta. El desarrollo de la geometría no euclidiana condujo al reconocimiento del hecho de que podemos poner en duda la infinitud de nuestro espacio sin entrar en conflicto con las leyes del pensamiento o con la experiencia (Riemann,

Helmholtz). Estas cuestiones ya han sido tratadas en detalle y con insuperable lucidez por Helmholtz y Poincaré, mientras que aquí yo solo puedo tocarlas brevemente.

En primer lugar, nos imaginamos una existencia en un espacio bidimensional. Seres planos con útiles planos, y en particular varillas de medir planas y rígidas, tienen libertad de movimiento en un plano. Para ellos no existe nada fuera de este plano: aquello que observan que les sucede a ellos mismos y a sus "cosas" planas es la realidad que lo abarca todo de su plano.

En particular, las construcciones de la geometría euclídea plana pueden llevarse a cabo por medio de las varillas, por ejemplo, la construcción en retícula, considerada en [chapter:XXIV]la Sección XXIV.

En contraste con el nuestro, el universo de estos seres es bidimensional; pero, al igual que el nuestro, se extiende hasta el infinito. En su universo hay espacio para un número infinito de cuadrados idénticos formados por varillas, es decir, su volumen (superficie) es infinito. Si estos seres dicen que su universo es "plano", la afirmación tiene sentido, porque quieren decir que pueden realizar las construcciones de la geometría euclídea plana con sus varillas.

A este respecto, las varillas individuales representan siempre la misma distancia, con independencia de su posición.

Consideremos ahora una segunda existencia bidimensional, pero esta vez sobre una superficie esférica en lugar de sobre un plano. Los seres planos con sus varas de medir y otros objetos encajan exactamente en esta superficie y son incapaces de abandonarla. Todo su universo de observación se extiende exclusivamente sobre la superficie de la esfera.

¿Son capaces estos seres de considerar la geometría de su universo como geometría plana y sus varas, al mismo tiempo, como la realización de la "distancia"? No pueden hacer esto. Pues si intentan realizar una línea recta, obtendrán una curva, que nosotros, los "seres tridimensionales", denominamos círculo máximo, es decir, una línea cerrada de longitud finita definida, que puede medirse por medio de una vara de medir.

De manera similar, este universo tiene un área finita que puede compararse con el área de un cuadrado construido con varas. El gran encanto que resulta de esta consideración radica en el reconocimiento del hecho de que el universo de estos seres es finito y, sin embargo, no tiene límites.

Pero los seres de superficie esférica no necesitan hacer un viaje alrededor del mundo para percibir que no viven en un universo euclidiano. Pueden convencerse de esto en cualquier parte de su «mundo», siempre que no utilicen una porción demasiado pequeña de él. Partiendo de un punto, trazan «líneas rectas» (arcos de círculos a juzgar en el espacio tridimensional) de igual longitud en todas las direcciones. Llamarán «círculo» a la línea que une los extremos libres de estas líneas. Para una superficie plana, la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, midiéndose ambas longitudes con la misma vara, es, según la geometría euclidiana del plano, igual a un valor constante $\pi$, que es independiente del diámetro del círculo. Sobre su superficie esférica, nuestros seres planos hallarían para esta razón el valor $\pi =\frac{\sin \left({\displaystyle \frac{r}{R}}\right)}{\left({\displaystyle \frac{r}{R}}\right)},$ es decir, un valor menor que $\pi$, siendo la diferencia tanto más considerable cuanto mayor es el radio del círculo en comparación con el radio $R$ de la «esfera-mundo».

Por medio de esta relación, los seres esféricos pueden determinar el radio de su universo («mundo»), incluso cuando solo dispongan de una parte relativamente pequeña de su esfera-mundo para sus mediciones. Pero si esta parte es en verdad muy pequeña, ya no podrán demostrar que se encuentran en un «mundo» esférico y no en un plano euclidiano, pues una pequeña parte de una superficie esférica difiere muy poco de un trozo de plano del mismo tamaño.

Así, si los seres de superficie esférica viven en un planeta de cuyo sistema solar solo ocupa una parte despreciablemente pequeña del universo esférico, no tienen medios para determinar si viven en un universo finito o infinito, porque el «trozo de universo» al que tienen acceso es en ambos casos prácticamente plano, o euclidiano.

Se sigue directamente de esta discusión que, para nuestros seres esféricos, la circunferencia de un círculo primero aumenta con el radio hasta que se alcanza la «circunferencia del universo», y que a partir de ahí disminuye gradualmente hasta cero para valores aún mayores del radio. Durante este proceso, el área del círculo sigue aumentando cada vez más, hasta que finalmente se vuelve igual al área total de la «esfera del mundo» entera.

Quizás el lector se pregunte por qué hemos colocado nuestros «seres» sobre una esfera en lugar de sobre otra superficie cerrada.

Pero esta elección tiene su justificación en el hecho de que, de todas las superficies cerradas, la esfera es la única que posee la propiedad de que todos sus puntos son equivalentes. Admito que la razón entre la circunferencia $c$ de un círculo y su radio $r$ depende de $r$, pero para un valor dado de $r$ es la misma para todos los puntos de la «esfera-mundo»; en otras palabras, la «esfera-mundo» es una «superficie de curvatura constante».

A esta esfera-universo bidimensional le corresponde una analogía tridimensional, a saber, el espacio esférico tridimensional que fue descubierto por Riemann. Sus puntos son asimismo todos equivalentes. Posee un volumen finito, el cual está determinado por su «radio» ($2{\pi }^2{R}^3$).

¿Es posible imaginar un espacio esférico? Imaginar un espacio no significa otra cosa que imaginar un epítome de nuestra experiencia de «espacio», es decir, de la experiencia que podemos tener en el movimiento de cuerpos «rígidos». En este sentido podemos imaginar un espacio esférico.

Supongamos que trazamos líneas o estiramos cuerdas en todas las direcciones desde un punto, y medimos a partir de este, sobre cada una de ellas, la distancia $r$ con una vara de medir. Todos los extremos libres de estas longitudes se encuentran sobre una superficie esférica. Podemos medir especialmente el área ($F$) de esta superficie por medio de un cuadrado hecho de varas de medir.

Si el universo es euclidiano, entonces $F=4\pi r^2$; si es esférico, entonces $F$ es siempre menor que $4\pi r^2$. Con valores crecientes de $r$, $F$ aumenta desde cero hasta un valor máximo que está determinado por el «radio del mundo», pero para valores de $r$ que continúan aumentando, el área disminuye gradualmente hasta cero.

Al principio, las líneas rectas que irradian desde el punto de partida divergen cada vez más unas de otras, pero luego se acercan mutuamente y finalmente vuelven a confluir en un «contrapunto» al punto de partida. En tales condiciones, han recorrido todo el espacio esférico.

Se ve fácilmente que el espacio esférico tridimensional es bastante análogo a la superficie esférica bidimensional. Es finito (es decir, de volumen finito) y no tiene límites.

Puede mencionarse que existe todavía otra clase de espacio curvo: el "espacio elíptico".

Puede considerarse como un espacio curvo en el cual los dos "antipodas" son idénticos (indistinguibles entre sí). Un universo elíptico puede considerarse así, hasta cierto punto, como un universo curvo que posee simetría central.

Se deduce de lo que antecede que son concebibles espacios cerrados sin límites.

De entre ellos, el espacio esférico (y el elíptico) sobresale por su simplicidad, ya que todos sus puntos son equivalentes.

Como resultado de esta discusión, surge una pregunta de máximo interés para los astrónomos y físicos, a saber, si el universo en el que vivimos es infinito o si es finito a la manera del universo esférico.

Nuestra experiencia está lejos de ser suficiente para permitirnos responder a esta pregunta. Pero la teoría general de la relatividad permite responderla con un grado moderado de certeza, y en relación con esto, la dificultad mencionada en [chapter:XXX]Section XXX encuentra su solución.