El comportamiento de las varillas de medición y de los relojes en movimiento

Coloco una barra métrica en el eje $x^{\prime }$ de $K^{\prime }$ de tal manera que un extremo (el origen) coincide con el punto $x^{\prime }=0$, mientras que el otro extremo (el final de la barra) coincide con el punto $x^{\prime }=1$. ¿Cuál es la longitud de la barra métrica en relación con el sistema $K$? Para saber esto, solo necesitamos preguntar dónde se encuentran el origen de la barra y el extremo de la barra con respecto a $K$ en un tiempo particular $t$ del sistema $K$. Mediante la primera ecuación de la transformación de Lorentz se puede demostrar que los valores de estos dos puntos en el tiempo $t=0$ son x_{\text{(origen de la barra)}} &= 0·\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}, \ x_{\text{(extremo de la barra)}} &= 1·\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}, siendo la distancia entre los puntos $\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}$. Pero la barra métrica se mueve con la velocidad $v$ en relación con $K$. De ello se deduce que la longitud de una barra métrica rígida que se mueve en la dirección de su longitud con una velocidad $v$ es $\sqrt{1-v^2/c^2}$ metros. Por lo tanto, la barra rígida es más corta cuando está en movimiento que cuando está en reposo, y cuanto más rápido se mueve, más corta es la barra. Para la velocidad $v=c$ tendríamos $\sqrt{1-v^2/c^2}=0$, y para velocidades aún mayores la raíz cuadrada se vuelve imaginaria. A partir de esto concluimos que en la teoría de la relatividad la velocidad $c$ desempeña el papel de una velocidad límite, que no puede ser alcanzada ni superada por ningún cuerpo real.

Por supuesto, esta característica de la velocidad $c$ como velocidad límite se desprende también claramente de las ecuaciones de la transformación de Lorentz, ya que estas pierden su sentido si elegimos valores de $v$ mayores que $c$.

Si, por el contrario, hubiésemos considerado una varilla métrica en reposo en el eje $x$ con respecto a $K$, habríamos encontrado que la longitud de la varilla, juzgada desde $K^{\prime }$, habría sido $\sqrt{1-v^2/c^2}$; esto está completamente de acuerdo con el principio de relatividad que constituye la base de nuestras consideraciones.

A priori es bastante evidente que debemos poder deducir algo acerca del comportamiento físico de las varillas de medición y los relojes a partir de las ecuaciones de transformación, ya que las magnitudes $x$, $y$, $z$, $t$ no son ni más ni menos que los resultados de mediciones obtenibles por medio de varillas de medición y relojes. Si hubiésemos basado nuestras consideraciones en la transformación de Galilei, no habríamos obtenido una contracción de la varilla como consecuencia de su movimiento.

Consideremos ahora un reloj de segundos situado permanentemente en el origen ($x^{\prime }=0$) de $K^{\prime }$. $t^{\prime }=0$ y $t^{\prime }=1$ son dos tics sucesivos de este reloj. La primera y la cuarta ecuación de la transformación de Lorentz dan para estos dos tics:

$$\begin{gathered} t\&=0 \\ \mathrm{\backslash intertext}yt\&=\frac{1}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}. \end{gathered}$$

A juzgar desde $K$, el reloj se mueve con la velocidad $v$; a juzgar desde este cuerpo de referencia, el tiempo que transcurre entre dos golpes del reloj no es un segundo, sino ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{v^2}{c^2}}}}}$ segundos, es decir, un tiempo algo mayor.

Como consecuencia de su movimiento, el reloj marcha más lentamente que cuando está en reposo. Aquí también la velocidad $c$ desempeña el papel de una velocidad límite inalcanzable.