Teorema de la adición de velocidades. El experimento de Fizeau

Ahora bien, en la práctica solo podemos mover relojes y varillas de medir con velocidades que son pequeñas en comparación con la velocidad de la luz; por tanto, difícilmente podremos comparar directamente los resultados de la sección anterior con la realidad.

Pero, por otra parte, estos resultados deben parecerle muy singulares, y por esa razón voy a extraer ahora otra conclusión de la teoría, una que puede deducirse fácilmente de las consideraciones anteriores y que ha sido confirmada del modo más elegante por la experiencia.

En [chapter:VI]la sección VI dedujimos el teorema de la adición de velocidades en una sola dirección bajo la forma que también se deriva de las hipótesis de la mecánica clásica. Este teorema también puede deducirse fácilmente a partir de la transformación de Galilei ([chapter:XI]sección XI).

En lugar del hombre que camina dentro del vagón, introducimos un punto que se mueve en relación con el sistema de coordenadas $K^{\prime }$ de acuerdo con la ecuación $x^{\prime }=w{t}^{\prime }$. Mediante la primera y la cuarta ecuación de la transformación de Galilei podemos expresar $x^{\prime }$ y $t^{\prime }$ en función de $x$ y $t$, y obtenemos entonces $x=(v+w)t.$

Esta ecuación no expresa otra cosa que la ley del movimiento del punto con referencia al sistema $K$ (del hombre con referencia al terraplén). Denotamos esta velocidad con el símbolo $W$, y obtenemos entonces, como en [chapter:VI]la Sección VI, $W=v+w.(A)$

Pero podemos llevar a cabo esta consideración igualmente bien sobre la base de la teoría de la relatividad. En la ecuación $x^{\prime }=w{t}^{\prime }$ debemos entonces expresar $x^{\prime }$ y $t^{\prime }$ en función de $x$ y $t$, haciendo uso de la primera y la cuarta ecuaciones de la transformación de Lorentz. En lugar de la ecuación eqn:(A) obtenemos entonces la ecuación $W=\frac{v+w}{1+{\displaystyle \frac{vw}{c^2}}},(B)$ que corresponde al teorema de adición para velocidades en una dirección según la teoría de la relatividad. Surge ahora la cuestión de cuál de estos dos teoremas está más de acuerdo con la experiencia. Sobre este punto nos ilumina un experimento sumamente importante que el brillante físico Fizeau llevó a cabo hace más de medio siglo, y que ha sido repetido desde entonces por algunos de los mejores físicos experimentales, de modo que no puede haber duda sobre su resultado. El experimento se refiere a la siguiente cuestión. La luz se propaga en un líquido inmóvil con una velocidad particular $w$. ¿Con qué rapidez se propaga en la dirección de la flecha en el tubo $T$ (véase el diagrama adjunto, [fig:3]Fig. 3) cuando el líquido antes mencionado fluye a través del tubo con una velocidad $v$?

De acuerdo con el principio de relatividad, ciertamente tendremos que dar por sentado que la propagación de la luz tiene lugar siempre con la misma velocidad $w$ con respecto al líquido, ya esté este último en movimiento con referencia a otros cuerpos o no.

La velocidad de la luz en relación con el líquido y la velocidad de este último en relación con el tubo son, por tanto, conocidas, y necesitamos hallar la velocidad de la luz en relación con el tubo.

Es evidente que tenemos de nuevo ante nosotros el problema del [chapter:VI]apartado VI. El tubo desempeña el papel del terraplén de la vía férrea o del sistema de coordenadas $K$, el líquido desempeña el papel del vagón o del sistema de coordenadas $K^{\prime }$, y, por último, la luz desempeña el papel del

040 hombre que camina a lo largo del carruaje, o del punto en movimiento en la presente sección. Si denotamos la velocidad de la luz en relación con el tubo por $W$, entonces esta viene dada por la ecuación eqn:(A) o eqn:(B), según que la transformación de Galilei o la transformación de Lorentz se corresponda con los hechos.

Experimento Fizeau halló $W=w+v(1-{\displaystyle \frac{1}{n^2}})$, donde $n={\displaystyle \frac{c}{w}}$ es el índice de refracción del líquido. Por otra parte, debido a la pequeñez de ${\displaystyle \frac{vw}{c^2}}$ en comparación con $1$, podemos reemplazar eqn:(B) en primer lugar por $W=(w+v)(1-{\displaystyle \frac{vw}{c^2}})$, o al mismo orden de aproximación por $w+v(1-{\displaystyle \frac{1}{n^2}})$, lo cual concuerda con el resultado de Fizeau. decide a favor de la ecuación eqn:(B) derivada de la teoría de la relatividad, y la concordancia es, en verdad, muy exacta. De acuerdo con recientes y muy excelentes mediciones de Zeeman, la influencia de la velocidad de flujo $v$ en la propagación de la luz está representada por la fórmula eqn:(B) con un margen de aproximación inferior al uno por ciento.

Sin embargo, debemos llamar ahora la atención sobre el hecho de que H. A. Lorentz dio una teoría de este fenómeno mucho antes del enunciado de la teoría de la relatividad. Esta teoría era de naturaleza puramente electrodinámica, y se obtuvo mediante el uso de hipótesis particulares sobre la estructura electromagnética de la materia.

Esta circunstancia, sin embargo, no disminuye en lo más lo con vincente del experimento como prueba decisiva a favor de la teoría de la relatividad, ya que la electrodinámica de Maxwell-Lorentz, en la que se basaba la teoría original, no se opone en modo alguno a la teoría de la relatividad.

Más bien ha sido desarrollada esta última a partir de la electrodinámica como una combinación y generalización asombrosamente simples de las hipótesis, antes independientes entre sí, sobre las cuales se construyó la electrodinámica.