De Methodo Rationum primarum & ultimarum, cujus ope sequentia demonstrantur.

# LEMA I.

* Quantitates, ut & quantitatum rationes, quæ ad æqualitatem dato tempore constanter tendunt & eo pacto propius ad invicem accedere possunt quam pro data quavis differentia; fiunt ultimo æquales.

Si lo niegas, sea D su última diferencia. Por tanto, no pueden acercarse más a la igualdad que según la diferencia dada D: en contra de la hipótesis.

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# Lema II.

*Si in figura quavis* AacE *rectis* Aa *,* AE *, &* *curva* acE *comprehensa, inscribantur parallelogramma quotcunq;* Ab *,* Bc *,* Cd *, &c. sub basibus* AB *,* BC *,* CD *, &c. æqualibus, & lateribus* Bb *,* Cc *,* Dd *, &c. figuræ lateri* Aa *parallelis* *contenta; & compleantur parallelogramma* aKbl *,* bLcm *,* cMdn *, &c. Dein horum parallelogrammorum latitudo minuatur,* *& numerus augeatur in infinitum: dico quod ultimæ rationes, quas* *habent ad se invicem figura inscripta* AKbLcMdD *, circumscripta* AalbmcndoE *, & curvilinea* AabcdE *, sunt rationes* *æqualitatis.*

Nam figuræ inscriptæ & circumscriptæ differentia est summa parallelogrammorum Kl + Lm + Mn + Do, hoc est (ob æquales omnium bases) rectangulum sub unius basi Kb & altitudinum summa Aa, id est rectangulum ABla.

Sed hoc rectangulum, eo quod latitudo ejus AB in infinitum minuitur, sit minus quovis dato. Ergo, per Lemma I, figura inscripta & circumscripta & multo magis figura curvilinea intermedia fiunt ultimo æquales.

Q. E. D.

### Lema III.

*Eædem rationes ultimæ sunt etiam æqualitatis, ubi parallelogrammorum latitudines*AB*,*BC*,*CD*,*&c.*sunt inæquales, & omnes minuuntur in infinitum.*

Sea AF igual a la latitud máxima y complétese el paralelogramo FAaf. Este será mayor que la diferencia entre la figura inscrita y la figura circunscrita, pero con su latitud AF Page 28 en infinito disminuida, se hará menor que cualquier rectángulo dado.

Corol. 1. Hinc summa ultima parallelogrammorum evanescentium coincidit omni ex parte cum figura curvilinea.

Corol. 2. Et multo magis figura rectilinea, quæ chordis evanescentium arcuum ab, bc, cd, &c. comprehenditur, coincidit ultimo cum figura curvilinea.

Corol. 3. Ut & figura rectilinea quæ tangentibus eorundem arcuum circumscribitur.

Corol. 4. Et propterea hæ figuræ ultimæ (quoad perimetros acE,) non sunt rectilineæ, sed rectilinearum limites curvilinei.

# Lema IV.

*Si in duabus figuris*AacE*,*PprT*, inscribantur (ut supra) duæ parallelogrammorum series, sitq; idem amborum numerus, & ubi latitudines in infinitum diminuitur, rationes ultimæ parallelogrammorum in una figura ad parallelogramma in altera, singulorum ad singula, sint eædem; dico quod figuræ duæ*AacE*,*PprT*, sunt ad invicem in eadem illa ratione.*

Etenim ut sunt parallelogramma singula ad singula, ita (componendo) fit summa omnium ad summam omnium, & ita figura Page 29 ad figuram; existente nimirum figura priore (per Lemma III.) ad summam priorem, & posteriore figura ad summam posteriorem in ratione æqualitatis.

Corol. Hinc si duæ cujuscunq; generis quantitates in eundem partium numerum utcunq; dividantur, & partes illæ, ubi numerus earum augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, datam obtineant rationem ad invicem, prima ad primam, secunda ad secundam cæteræq; suo ordine ad cæteras; erunt tota ad invicem in eadem illa data ratione.

Nam si in Lemmatis hujus figuris sumantur parallelogramma inter se ut partes, summæ partium semper erunt ut summæ parallelogrammorum; atq; adeo, ubi partium & parallelogrammorum numerus augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, in ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum, id est (per hypothesin) in ultima ratione partis ad partem.

### Lemma V.

*Similium figurarum latera omnia, quæ sibi mutuo respondent, sunt proportionalia, tam curvilinea quam rectilinea, & areæ sunt in duplicata ratione laterum.*

# Lema VI.

*Si arcus quilibet positione datus* AB *subtendatur chorda* AB *, & in puncto aliquo* A *, in medio curvaturæ continuæ, tangatur a recta utrinq; producta* AD *; dein puncta* A *,* B *ad invicem accendant & coeant; dico quod angulus* BAD *sub chorda & tangente contentus minuetur in infinitum & ultimo evanescet.*

Nam producatur AB ad b & AD ad d, & punctis A, B coeuntibus, nullaq; adeo ipsius Ab parte AB jacente amplius intra curvam, manifestum esi quod hæc recta Ab, Page 30 vel coincidet cum tangente Ad, vel ducetur inter tangentem & curvam. Sed casus posterior est contra naturam Curvaturæ, ergo prior obtinet. Q. E. D.

Lema VII.

*Iisdem positis, dico quod ultima ratio arcus, chordæ & tangentis ad invicem est ratio æqualitatis. Vide*Fig.*Lem. 6 & 8 vi.*

Producantur enim AB & AD ad b & d secanti BD parallela agatur bd. Sitq; arcus Ab similis arcui AB. Et punctis A, B coeuntibus, angulus dAb, per Lemma superius, evanescet; adeoq; rectæ Ab, Ad arcus intermedius Ab coincident, & propterea æquales erunt. Unde & hisce semper proportionales rectæ AB, AD, & arcus intermedius AB rationem ultimam habebunt æqualitatis.

Q. E. D.

Corol. 1. Unde si per B ducatur tangenti parallela BF rectam quamvis AF per A transeuntem perpetuo secans in F, hæc ultimo ad arcum evanescentem AB rationem habebit æqualitatis, eo quod completo parallelogrammo AFBD, rationem semper habet æqualitatis ad AD.

Corol. 2. Y si por B y A se trazan varias rectas BE, BD, AF, AG, que cortan a la tangente AD y a su paralela BF, la razón última de todas las abscisas AD, AE, BF, BG, y de la cuerda y el arco AB entre sí será la razón de igualdad.

Corol. 3. Y por esta razón todas estas líneas, en toda demostración de razones últimas, pueden ser empleadas las unas en lugar de las otras.

# Lema VIII.

*Si rectæ datæ* AR*,* BR *cum arcu* AB*, chorda* AB *& tangente* AD*, triangula tria* ARB*,* ARB*,* ARD *constituunt, dein puncta* A, B *accedunt ad invicem: dico quod ultima forma triangulorum evanescentium est similitudinis, & ultima ratio æqualitatis.*

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Producantur autem AB, AD, AR ad b, d & r. Ipsi RD agatur parallela rbd, & arcui AB similis ducatur arcus Ab.

Coeuntibus punctis A, B, angulus bAd evanescet, & propterea triangula tria rAb, rAb, rAd coincident, suntq; eo nomine similia & æqualia. Unde & hisce semper similia & proportionalia RAB, RAB, RAD fient ultimo sibi invicem similia & æqualia.

Q. E. D.

Corol. Et hinc triangula illa in omni de rationibus ultimis argumentatione pro se invicem usurpari possunt.

# Lema IX.

*Si recta*AE*& Curva*AC*positione datæ se mutuo secent in angulo dato*A*, & ad rectam illam in alio dato angulo ordinatim applicentur*BD*,*EC*, curvæ occurrentes in*B*,*C*; dein puncta*B*,*C*accedant ad punctum*A*: dico quod areæ triangulorum*ADB*,*AEC*erunt ultimo ad invicem in duplicata ratione laterum.*

Y en verdad, prolongandose AD y tómense Ad, Ae proporcionales a las mismas AD, AE, y levántense ordenadas db, ec paralelas y proporcionales a las ordenadas DB, EC.

Prodúzcase AC hasta c, condúzcase la curva Abc semejante a la misma ABC, y la recta Ag toque a ambas curvas en A; y córtense las aplicadas ordenadamente en F, G, f, g.

Entonces, coencidan los puntos B, C con el punto A, y difuminándose el ángulo cAg, coencidirán las áreas curvilíneas Abd, Ace con las rectilíneas Afd, Age, y por tanto por el Lema V, estarán en la Página 32 en razón duplicada de los lados Ad, Ae: Mas a estas áreas son siempre proporcionales las áreas ABD, ACE, y a estos lados los lados AD, AE.

Por ende, también las áreas ABD, ACE están últimamente en razón duplicada de los lados AD, AE. Q. E. D.

Lema X.

*Spatia, quæ corpus urgente quacunq; vi regulari describit, sunt ipso motus initio in duplicata ratione temporum.*

Exponantur tempora per lineas AD, AE, & velocitates genitæ per ordinatas DB, EC, & spatia his velocitatibus descripta erunt ut areæ ABD, ACE his ordinatis descriptæ, hoc est ipso motus initio (per Lemma IX) in duplicata ratione temporum AD, AE. Q. E. D.

Corol. 1. Et hinc facile colligitur, quod corporum similes similium figurarum partes temporibus proportionalibus describentium errores, qui viribus æqualibus in partibus istis ad corpora similiter applicatis generantur, & mensurantur a locis figurarum, ad quæ corpora temporibus ijsdem proportionalibus absq; viribus istis pervenirent, sunt ut quadrata temporum in quibus generantur quam proxime.

Corol. 2. Errores autem qui viribus proportionalibus similiter applicatis generantur, sunt ut vires & quadrata temporum conjunctim.

# Lema XI.

*Subtensa evanescens anguli contactus est ultimo in ratione duplicata subtensæ arcus contermini.*

Cas. 1. Sea el arco AB, su tangente AD, la subtensa del ángulo de contacto perpendicular a la tangente BD, y la subtensa del arco AB. A esta subtensa AB y a la tangente AD levántense perpendiculares AG, BG, que concurran en G; acérquense después los puntos D, B, G, a los puntos d, b, g, y sea J la intersección de las líneas BG, AG última hecha cuando los puntos D, B se acercan hasta A. Es manifiesto que Page 33 la distancia GJ menor ser puede que cualquier cantidad asignada. Es además (por la naturaleza de los círculos que pasan por los puntos ABG, Abg) AB quad. igual a AG × BD y Ab quad. igual a Ag × bd, por lo cual la razón de AB quad. a Ab quad. se compone de las razones de AG a Ag y de BD a bd. Mas puesto que JG puede tomarse menor que cualquier longitud asignada, puede suceder eque la razón de AG a Ag difiera menos de la razón de igualdad que por cualquier diferencia asignada, y por tanto que la razón de AB quad. a Ab quad. difiera menos de la razón de BD a bd que por cualquier diferencia asignada. Es, pues, por el Lema I, la razón última de AB quad. a Ab quad. igual a la razón última de BD a bd. Q. E. D.

Cas. 2. Inclínese ya BD hacia AD en un ángulo cualquiera dado, y la razón última de BD a bd será siempre la misma que antes, y por consiguiente la misma que la de AB quad. a Ab quad. Q. E. D.

Cas. 3. Y aunque el ángulo D no se dé, sin embargo los ángulos D, d tenderán siempre hacia la igualdad y se acercarán mutuamente más que para cualquier diferencia asignada, y por lo tanto a la postre serán iguales, por el Lem. I., y por eso las líneas BD, bd [estarán] en la misma razón entre sí que antes. Q. E. D.

Corol. 1. Unde cum tangentes AD, Ad, arcus AB, Ab & eorum sinus BC, bc fiant ultimo chordis AB, Ab æquales; erunt etiam illorum quadrata ultimo ut subtensæ BD, bd.

Corol. 2. Triangula rectilinea ADB, Adb sunt ultimo in triplicata ratione laterum AD, Ad, inq; sesquiplicata laterum DB, db: Utpote in composita ratione laterum AD & DB, Ad & db existentia.

Sic & triangula ABC, Abc sunt ultimo in triplicata ratione laterum BC, bc.

Corol. 3. Y puesto que DB, db son en último término paralelas y están en razón duplicada de las mismas AD, Ad; las áreas últimas curvilíneas Page 34 ADB, Adb (por la naturaleza de la parábola) serán dos terceras partes de los triángulos rectilíneos ADB, Adb, y los segmentos AB, Ab las terceras partes de esos mismos triángulos. Y de ahí estas áreas y estos segmentos estarán en razón triplicada tanto de las tangentes AD, Ad; como de las cuerdas y arcos AB, Ab.

# Escolio.

Cæterum in his omnibus supponimus angulum contactus nec infinite majorem esse angulis contactuum, quos circuli continent cum tangentibus suis, nec iisdem infinite minorem; hoc est curvaturam ad punctum A, nec infinite parvam esse nec infinite magnam, seu intervallum AJ finitæ esse magnitudinis.

Capi enim potest DB ut AD³: quo in casu circulus nullus per punctum A inter tangentem AD & curvam AB duci potest, proindeq; angulus contactus erit infinite minor circularibus.

Et simili argumento si fiat DB successive ut AD⁴, AD⁵, AD⁶, AD⁷, &c. habebitur series angulorum contactus pergens in infinitum, quorum quilibet posterior est infinite minor priore.

Y si se hace DB sucesivamente igual a AD², AD^³/₂, AD^⁴/₃, AD^⁵/₄, AD^⁶/₅, AD^⁷/₆, &c., se tendrá otra serie infinita de ángulos de contacto, cuyo primero es del mismo género que los circulares, el segundo infinitamente mayor, y cada uno de los siguientes infinitamente mayor que el anterior.

Sed & inter duos quosvis ex his angulis potest series utrinq; in infinitum pergens angulorum intermediorum inseri, quorum quilibet posterior erit infinite major priore. Ut si inter terminos AD² & AD³ inseratur series AD^¹³/₆, AD^¹¹/₅, AD^⁹/₄, AD^⁷/₃, AD^⁵/₂, AD^⁸/₃, AD^¹¹/₄, AD^¹⁴/₅, AD^¹⁷/₆, &c. Et rursus inter binos quosvis angulos hujus seriei inseri potest series nova angulorum intermediorum ab invicem infinitis intervallis differentium.

Neq; novit natura limitem.

Lo que se ha demostrado acerca de las líneas curvas y de las superficies comprendidas se aplica fácilmente a las superficies curvas de los sólidos y Page 35 a sus contenidos.

He premis익호 vero hæc Lemmata ut effugerem tædium deducendi perplexas demonstrationes, more veterum Geometrarum, ad absurdum. Contractiores enim redduntur demonstrationes per methodum indivisibilium. Sed quoniam durior est indivisibilium Hypothesis; & propterea Methodus illa minus Geometrica censetur, malui demonstrationes rerum sequentium ad ultimas quantitatum evanescentium summas & rationes, primasq; nascentium, id est, ad limites summarum & rationum deducere, & propterea limitum illorum demonstrationes qua potui breuitate præmittere. His enim idem præstatur quod per methodum indivisibilium, & principiis demonstratis jam tutius utemur. Proinde in sequentibus, siquando quantitates tanquam ex particulis constantes consideravero, vel si pro rectis usurpavero lineolas curvas, nolim indivisibilia sed evanescentia divisibilia, non summas & rationes partium determinatarum, sed summarum & rationum limites semper intelligi, vimq; talium demonstrationum ad methodum præcedentium Lemmatum semper revocari.

Objeción es que de las cantidades evanescentes no hay ninguna proporción última; puesto que esta, antes de que evanescan, no es última, y, cuando han evanescido, no es ninguna.

Pero con el mismo argumento se podría sostener igualmente que no hay ninguna velocidad última de un cuerpo que se dirige a un cierto lugar. Pues esta, antes de que el cuerpo alcance el lugar, no es última; cuando lo ha alcanzado, no es ninguna.

Y la respuesta es fácil. Por velocidad última ha de entenderse aquella con la que el cuerpo se mueve ni antes de que alcance el último lugar y el ceso del movimiento, ni después, sino entonces cuando lo alcanza, es decir, aquella misma velocidad con la que el cuerpo alcanza el último lugar y con la que el movimiento cesa. Y de manera semejante, por la razón última de las cantidades evanescentes ha de entenderse la razón de las cantidades no antes de que evaneszcan, no después, sino con la que evanescen.

Igualmente, la razón primera de las nacientes es la razón con la que nacen. Y la suma primera y última es con la que empiezan y cesan de ser (o de ser aumentadas y disminuidas). Existe un límite que la velocidad puede alcanzar al final del movimiento, pero no transgredir.

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Esta es la velocidad última. Y semejante es la razón del límite de todas las cantidades y proporciones que empiezan y cesan. Y puesto que este límite es cierto y definido, es un problema verdaderamente geométrico el determinarlo. Y todas las cosas geométricas son legítimamente usurpadas en la determinación y demostración de otras cosas geométricas.

Contiéndese también que, si se dan las razones últimas de las cantidades evanescentes, se darán también las magnitudes últimas; y así toda cantidad constará de indivisibles, contra lo que Euclides acerca de los inconmensurables, en el libro décimo de los Elementos, demostró.

Mas esta objeción se apoya en una falsa hipótesis. Aquellas razones últimas con las cuales las cantidades evanescen no son en verdad razones de las cantidades últimas, sino límites a los cuales las razones de las cantidades que decrecen sin límite siempre se aproximan, y a los cuales pueden alcanzar más de cerca que por cualquier diferencia dada, pero nunca sobrepasarlos ni alcanzarlos antes de que las cantidades disminuyan hasta el infinito.

La cosa se entenderá más claramente en las magnitudes infinitamente grandes. Si dos cantidades cuya diferencia es dada se aumentan hasta el infinito, se dará la última razón de estas, a saber, la razón de igualdad, ni sin embargo por ello se darán las cantidades últimas o máximas de las cuales aquella es la razón.

Por tanto, en lo que sigue, si alguna vez, atendiendo a la fácil imaginación de las cosas, dijere cantidades mínimas, o evanescentes, o últimas, guárdate de entender cantidades determinadas por su magnitud, sino piensa siempre en cantidades que deben ser disminuidas sin límite.

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