De inventione motuum in Orbibus datis.
Prop. XXX. Prob. XXII.
* Corporis in data Trajectoria Parabolica moventis, invenire locum ad tempus assignatum.
Sit S umbilicus & A vertex principalis Parabolæ, sitq; 4AS × M area Parabolica APS, quæ radio SP, vel post excessum corporis de vertice descripta fuit, vel ante appulsum ejus ad verticem describenda est.
Innotescit area illa ex tempore ipsi proportionali. Biseca AS in G, erigeq; perpendiculum GH æquale 3M, & circulus centro H, intervallo HS descriptus secabit Parabolam in loco quæsito P.
Nam demissa ad axem perpendiculari PO, est HGq. + GSq. (= HSq. = HPq. = GOq. + PO - HGq.) = GOq. + HGq. - 2HG × PO + POq. Et deleto utrinq; HGq. fiet GSq. = GOq. - 2HG × PO + POq. seu 2HG × PO (= GOq. + POq. - GSq. = AOq. - 2GAO + POq.) = AOq. + ¾POq.
Pro AOq. scribe AO × POq. ÷ 4AS, & applicatis terminis omnibus ad 3PO, ductisq; in 2AS, fiet 4/3GH × AS (= 1/6AO × PO + ½AS × PO = {AO + 3AS} ÷ 6 × PO = {4AO - 3SO} ÷ 6 × PO = areæ APO - SPO) = areæ APS.
Sed GH erat 3M, & inde Page 105 4/3HG × AS est 4AS × M. Ergo area APS æqualis est 4AS × M.
Q. E. D.
Corol. 1. Hinc GH est ad AS, ut tempus quo corpus descripsit arcum AP ad tempus quo corpus descripsit arcum inter verticem A & perpendiculum ad axem ab umbilico S erectum.
Corol. 2. Y moviéndose el cuerpo por el círculo ASP continuamente de pasada, la velocidad del punto H es a la velocidad que el cuerpo tuvo en el vértice A, como 3 a 8; y por tanto en esa misma razón está la línea GH a la línea recta que el cuerpo, en el tiempo de su movimiento desde A hasta P, con la velocidad que tuvo en el vértice A, podría describir.
Corol. 3. Hinc etiam viceversa inveniri potest tempus quo corpus descripsit arcum quemvis assignatum AP. Junge AP & ad medium ejus punctum erige perpendiculum rectæ GH occurrens in H.
Lema XXVIII.
*Nulla extat figura Ovalis cujus area, rectis pro lubitu abscissa, possit per æquationes numero terminorum ac dimensionum finitas generaliter inveniri.*
Dentro del Óvalo, dése un punto cualquiera, alrededor del cual, a modo de polo, se revuelva perpetuamente una línea recta, y entretanto, en esa recta, salga un punto móvil del polo, y progrese siempre con aquella velocidad que sea como la longitud de aquella recta dentro del Óvalo.
Con este movimiento, dicho punto describirá una Espiral de infinitas vueltas.
Ahora bien, si el área del Óvalo puede hallarse mediante una ecuación finita, se hallará también por la misma ecuación la distancia del punto al polo; la cual es proporcional a esta área, y por tanto todos los puntos de la Espiral pueden hallarse mediante una ecuación finita; y por ello la intersección de una recta cualquiera de posición dada con la espiral puede hallarse también mediante una ecuación finita.
Atqui recta omnis infinite producta spiralem secat in punctis numero infinitis, & æquatio, qua intersectio aliqua duarum linearum invenitur, exhibet earum intersectiones omnes radicibus totidem, Page 106 adeoq; ascendit ad tot dimensiones quot sunt intersectiones.
Quoniam circuli duo se mutuo secant in punctis duobus, intersectio una non invenitur nisi per æquationem duarum dimensionum, qua intersectio altera etiam inveniatur.
Quoniam duarum sectionum Conicarum quatuor esse possunt intersectiones, non potest aliqua earum generaliter inveniri nisi per æquationem quatuor dimensionum, qua omnes simul inveniantur. Nam si intersectiones illæ seorsim quærantur, quoniam eadem est omnium lex & conditio, idem erit calculus in casu unoquoq; & propterea eadem semper conclusio, quæ igitur debet omnes intersectiones simul complecti & indifferenter exhibere.
Unde etiam intersectiones Sectionum Conicarum & curvarum tertiæ potestatis, eo quod sex esse possunt, simul prodeunt per æquationes sex dimensionum, & intersectiones duarum curvarum tertiæ potestatis, quia novem esse possunt, simul prodeunt per æquationes dimensionum novem. Id nisi necessario fieret, reducere liceret Problemata omnia Solida ad Plana, & plusquam solida ad solida.
Eadem de causa intersectiones binæ rectarum & sectionum Conicarum prodeunt semper per æquationes duarum dimensionum; ternæ rectarum & curvarum tertiæ potestatis per æquationes trium, quaternæ rectarum & curvarum quartæ potestatis per æquationes dimensionum quatuor, & sic in infinitum.
Ergo intersectiones numero infinitæ rectarum, propterea quod omnium eadem est lex & idem calculus, requirunt æquationes numero dimensionum & radicum infinitas, quibus omnes possunt simul exhiberi.
Si a polo in rectam illam secantem demittatur perpendiculum, & perpendiculum una cum secante revolvatur circa polum, intersectiones spiralis transibunt in se mutuo, quæq; prima erat seu proxima, post unam revolutionem secunda erit, post duas tertia, & sic deinceps: nec interea mutabitur æquatio nisi pro mutata magnitudine quantitatum per quas positio secantis determinatur.
Unde cum quantitates illæ post singulas revolutiones redeunt ad magnitudines primas, æquatio redibit ad formam primam, adeoq; una eademq; exhibebit Page 107 intersectiones omnes, & propterea radices habebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi possunt.
Nequit ergo intersectio rectæ & spiralis per æquationem finitam generaliter inveniri, & idcirco nulla extat Ovalis cujus area, rectis imperatis abscissa, possit per talem æquationem generaliter exhiberi.
Por el mismo argumento, si el intervalo entre el polo y el punto con el que se describe la espiral se toma proporcional a la abscisa del perímetro del óvalo, se puede demostrar que la longitud del perímetro no puede expresarse generalmente mediante una ecuación finita.
# Corollarium.
Hinc area Ellipseos, quæ radio ab umbilico ad corpus mobile ducto describitur, non prodit ex dato tempore, per æquationem finitam; & propterea per descriptionem Curuarum Geometrice rationalium determinari nequit.
Curvas Geometrice rationales appello quarum puncta omnia per longitudines æquationibus definitas, id est, per longitudinum rationes complicatas, determinari possunt; cæterasq; (ut Spirales, Quadratrices, Trochoides) Geometrice irrationales.
Nam longitudines quæ sunt vel non sunt ut numerus ad numerum (quemadmodum in decimo Elementorum) sunt Arithmetice rationales vel irrationales.
Aream igitur Ellipseos tempori proportionalem abscindo per Curvam Geometrice irrationalem ut sequitur.
Prop. XXXI. Prob. XXIII.
*Corporis in data Trajectoria Elliptica moventis invenire locum ad tempus assignatum.*
Sea APB una elipse, siendo A el vértice principal, S el foco, O el centro, y sea P la posición del cuerpo que debe hallarse.
Prolónguese OA hasta G de modo que OG Page 108 sea a OA como OA es a OS. Levántese la perpendicular GH, y con centro en O y radio OG descríbase un círculo EFG, y sobre la regla GH, como base, avance la rueda GEF girando alrededor de su eje, y describiendo entre tanto con su punto A una troyoide ALI.
Hecho esto, tómese GK en razón al perímetro de la rueda GEFG como el tiempo en que el cuerpo, al avanzar desde A, ha descrito el arco AP, es al tiempo de una revolución en la elipse. Levántese la perpendicular KL que corta a la troyoide en L, y trazada LP paralela a GK, esta cortará a la elipse en la posición buscada del cuerpo P.
Nam centro O intervallo OA describatur semicirculus AQB, & arcui AQ occurrat LP producta in Q, junganturq; SQ, OQ. Arcui EFG occurrat OQ in F, & in eandem OQ demittatur perpendiculum SR. Area APS est ut area AQS, id est, ut differentia inter sectorem OQA & triangulum OQS, sive ut differentia rectangulorum ½OQ × AQ & ½OQ × SR, hoc est, ob datam ½OQ, ut differentia inter arcum AQ & rectam SR, adeoq; (ob æqualitatem rationum SR ad sinum arcus AQ, OS ad OA, OA ad OG, AQ ad GF, & divisim AQ - SR ad GF - sin. arc. AQ) ut GK differentia inter arcum GF & sinum arcus AQ. Q. E. D. Page 109
# Escolio.
Cæterum ob difficultatem describendi hanc curvam præstat constructiones vero proximas in praxi Mechanica adhibere.
Ellipseos cujusvis APB sit AB axis major, O centrum, S umbilicus, OD semiaxis minor, & AK dimidium lateris recti.
Secetur AS in G, ut sit AG ad AS ut BO ad BS; & quæratur longitudo L, quæ sit ad ½GK ut est AO quad. ad rectangulum AS × OD.
Bisecetur OG in C, centroq; C & intervallo CG describatur semicirculus GFO.
Deniq; capiatur angulus GCF in ea ratione ad angulos quatuor rectos, quam habet tempus datum, quo corpus descripsit arcum quæsitum AP, ad tempus periodicum seu revolutionis unius in Ellipsi:
Ad AO demittatur normalis FE, & producatur eadem versus F ad usq; N, ut sit EN ad longitudinem L, ut anguli illius sinus EF ad radium CF; centroq; N & intervallo AN descriptus circulus secabit Ellipsin in corporis loco quæsito P quam proxime.
Completo vero dimidio temporis periodici, corpus P semper reperietur in Apside summa B, & completo altero temporis dimidio, redibit ad Apsidem imam, ut oportet. Ubi vero proxime abest ab Apsidibus, ratio prima nascentium sectorum ASP, GCF, & ratio ultima evanescentium BSP & OCF, eadem est rationi Ellipseos totius ad circulum totum.
Nam punctis Page 110 P, F & N incidentibus in loca p, f & n axi AB quam proximis; ob æquales An, pn, recta nq, quæ ad arcum Ap perpendicularis est, adeoq; concurrit cum axe in puncto K, bisecat arcum Ap. Proinde est ½Ap ad Gn ut AK ad GK, & Ap ad Gn ut 2AK ad GK.
Est & Gn ad Gf ut EN ad EF, seu L ad CF, id est, ut {GK × AOq.} ÷ {2AS × OD} ad CF, seu GK × AOq. ad 2AS × OD × CF, & ex æquo Ap ad Gf ut 2AK ad GK + GK × AOq. ad 2AS × OD × CF, id est, ut AK × AOq. ad AS × OD × CF, hoc est, ob æqualia AK × AO × ODq. ut AO × OD ad AS × CF.
Proinde Ap × ½AS est ad Gf × ½GC ut AO × OD × AS ad AS × CF × GC, seu AO × OD ad CGq. id est, sector nascens ASp ad sectorem nascentem GCf ut AO × OD ad CGq. & propterea ut area Ellipseos totius ad aream circuli totius. Q. E. D.
Argumento prolixiore probari potest analogia ultima in Sectoribus evanescentibus BSP, OCF: ideoq; locus puncti P prope Apsides satis accurate inventus est.
In quadraturis error quasi quingentesimæ partis areæ Ellipseos totius vel paulo major obvenire solet: qui tamen propemodum evanescet per ulteriorem Constructionem sequentem.
Por los puntos G, O, traza un arco circular GTO de la magnitud adecuada; después prolonga EF a ambos lados hasta T y N de modo que EN sea a FT como ½L a CF; y con centro en N y radio AN describe un círculo que corte la elipse en P, como se indicó arriba.
El arco GTO, por su parte, se determinara Page 111 buscando algún punto suyo T; el cual hará exacta la construcción en ese caso.
Si el eje transversal de la Elipse fuere mucho mayor que el lado recto, y se deseare el movimiento del cuerpo cerca del vértice de la Elipse (cuyo caso ocurre en la Teoría de los Cometas), se puede sacar desde el punto G una recta GI perpendicular al eje AB, y en aquella razón respecto a GK que tiene el área AVPS respecto al rectángulo AK × AS; y después, con el centro I y el intervalo AI, describir un círculo.
Pues este cortará la Elipse en el lugar buscado del cuerpo P con toda aproximación. Y por la misma construcción (mutatis mutandis) se resuelve el Problema en la Hipérbola. Estas construcciones, empero, se demuestran como arriba, y si la Figura (alejándose el vértice ulterior B al infinito) se convierte en Parábola, pasan a ser aquella construcción exacta del Problema XXII.
Si quando locus ille P accuratius determinandus sit, inveniatur tum angulus quidam B, qui sit ad angulum graduum 57,29578 quem arcus radio æqualis subtendit, ut est umbilicorum distantia SH ad Ellipseos diametrum AB; tum etiam longitudo quædam L, quæ sit ad radium in eadem ratione inverse. Quibus semel inventis, Problema deinceps confit per sequentem Analysin.
Per constructionem superiorem (vel utcunq; conjecturam faciendo) cognoscatur corporis locus P quam proxime. Demissaq; ad axem Ellipseos ordinatim applicata PR, ex proportione diametrorum Ellipseos, dabitur circuli circumscripti AQB ordinatim applicata RQ, quæ sinus est anguli ACQ Page 112 existente AC radio. Sufficit angulum illum rudi calculo in numeris proximis invenire.
Cognoscatur etiam angulus tempori proportionalis, id est, qui sit ad quatuor rectos ut est tempus quo corpus descripsit arcum AP, ad tempus revolutionis unius in Ellipsi. Sit angulus iste N. Tum capiatur & angulus D ad angulum B, ut est sinus iste anguli ACQ ad Radium, & angulus E ad angulum N - ACQ + D, ut est longitudo L ad longitudinem eandem L cosinu anguli ACQ + ½D diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major.
Postea capiatur tum angulus F ad angulum B, ut est sinus anguli ACQ + E ad radium, tum angulus G ad angulum N - ACQ - E + F ut est longitudo L ad longitudinem eandem cosinu anguli ACQ + E + ½F diminutam ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major.
Tertia vice capiatur angulus H ad angulum B, ut est sinus anguli ACQ + E + G ad radium; & angulus I ad angulum N - ACQ - E - G + H, ut est longitudo L ad eandem longitudinem cosinu anguli ACQ + E + G + ½H diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Et sic pergere licet in infinitum.
Denique capiatur angulus ACq æqualis angulo ACQ + E + G + I &c. & ex sinu ejus Cr & ordinata pr, quæ est ad sinum qr ut Ellipseos axis minor ad axem majorem, habebitur corporis locus correctus p.
Si quando angulus N - ACQ + D negativus est, debet signum + ipsius E ubiq; mutari in -, & signum - in +. Idem intelligendum est de signis ipsorum G & I, ubi anguli N - ACQ - E + F, & N - ACQ - E - G + H Page 113 negative prodeunt.
Convergit autem series infinita ACQ + E + G + I quam celerrime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra progredi quam ad terminum secundum E. Et fundatur calculus in hoc Theoremate, quod area APS sit ut differentia inter arcum AQ & rectam ab umbilico S in Radium CQ perpendiculariter demissam.
Con un cálculo no disimil se resuelve el Problema en la Hipérbola. Séase su centro C, Vértice A, Umbilico S y Asentota CK. Conózcase la cantidad del área APS proporcional al tiempo. Séase aquella A, y hágase conjetura sobre la posición de la recta SP, que abscinda aquella área lo más próximamente. Únase CP, y de A y P a la Asentota háganse AI, PK paralelas a la otra Asentota, y por la Tabla de los Logaritmos se dará el área AIKP, y a ella igual el área CPA, la cual, subducta del triángulo CPS, relinquirá el área APS. Aplicando la semidiferencia de las áreas A y APS ½APS - ½A o ½A - ½APS a la línea SN, que desde el umbilico S a la tangente PT es perpendicular, orirá la longitud PQ. Cápiase empero PQ entre A y P, si el área APS fuere mayor que el área A, si no a las partes contrarias del punto P: y el punto Q será el lugar del cuerpo más a las claras. Y repetida la computación se hallará lo mismo más a las claras en perpetuo.
Atq; his calculis Problema generaliter confit Analytice. Verum usibus Astronomicis accommodatior est calculus particularis qui sequitur.
Existentibus AO, OB, OD semiaxibus Ellipseos, (Vide fig. pag. 109. 110.) & L ipsius latere recto, quære tum angulum Y, cujus Tangens sit ad Radium ut est semiaxium differentia AO - OD ad eorum summam AO + OD; tum angulum Z, cujus tangens sit ad Radium ut rectangulum sub umbilicorum distantia SH & semiaxium differentia AO - OD ad triplum rectangulum sub OQ semiaxe minore & AO - ¼L differentia inter Page 114 semiaxem majorem & quartam partem lateris recti.
His angulis semel inventis, locus corporis sic deinceps determinabitur.
Sume angulum T proportionalem tempori quo arcus BP descriptus est, seu motui medio (ut loquuntur) æqualem; & angulum V (primam medii motus æquationem) ad angulum Y (æquationem maximam primam) ut est sinus anguli T duplicati ad radium; atq; angulum X (æquationem secundam) ad angulum Z (æquationem maximam secundam) ut est sinus versus anguli T duplicati ad radium duplicatum, vel (quod eodem recidit) ut est quadratum sinus anguli T ad quadratum Radii.
Los ángulos T, V, X o la suma T + X + V, si el ángulo T es menor que el recto, o la diferencia T + X - V, si este es mayor que el recto y menor que dos rectos, tómese igual al ángulo BHP (movimiento medio ecuado); y si HP corta a la elipse en P, trazada SP abscindirá un área BSP proporcional al tiempo muy aproximadamente.
Hæc Praxis satis expedita videtur, propterea quod angulorum perexiguorum V & X (in minutis secundis, si placet, positorum) figuras duas tresve primas invenire sufficit.
Invento autem angulo motus medii æquati BHP, angulus veri motus HSP & distantia SP in promptu sunt per methodum notissimam Dris. Sethi Wardi Episcopi Salisburiensis mihi plurimum colendi.
Hasta aquí sobre el movimiento de los cuerpos en líneas curvas. Puede suceder, sin embargo, que un móvil descienda en línea recta o ascienda en línea recta, y lo que concierne a este tipo de movimientos paso ahora a exponerlo.
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