Secc. X.

De Motu Corporum in Superficiebus datis, deq; Funipendulorum Motu reciproco.

# Prop. XLVI. Prob. XXXII.

* Posita cujuscunq; generis vi centripeta, datoq; tum virium centro tum plano quocunq; in quo corpus revolvitur, & concessis Figurarum curvilinearum quadraturis: requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum Rectam in Plano illo datam egressi.

Sea S el centro de fuerzas, SC la distancia mínima de este centro a un plano dado, P el cuerpo que sale del lugar P según la recta PZ, Q el mismo cuerpo que gira en su trayectoria, y PQR aquella trayectoria descrita en el plano dado, la cual se debe hallar.

Únanse CQ, QS, y si en QS se toma SV proporcional a la fuerza centrípeta con la cual el cuerpo es atraído hacia el centro S, y se conduce VT que sea paralela a CQ y ocurra a SC en T: la fuerza SV se resolverá (por el Corol. 2 de las Leyes) en las fuerzas ST, TV; de las cuales ST, al atraer al cuerpo según una línea perpendicular al plano, no altera en nada su movimiento en este plano.

La otra fuerza, en cambio, TV, actuando según la posición del plano, atrae al cuerpo directamente hacia el punto C dado en el plano Page 146, y por lo tanto hace que este se mueva en dicho plano del mismo modo que si la fuerza ST fuera suprimida y el cuerpo girara alrededor del centro C en el espacio libre mediante la sola fuerza TV.

Dada, no obstante, la fuerza centrípeta TV con la cual el cuerpo Q gira en el espacio libre alrededor del centro dado C, se da por la Prop. XLII. tanto la trayectoria PQR que el cuerpo describe, como el lugar Q en el que el cuerpo se encontrará en un tiempo dado cualquiera, y finalmente la velocidad del cuerpo en ese lugar Q; y recíprocamente. Q. E. I.

Prop. XLVII. Theor. XV.

* Posito quod vis centripeta proportionalis sit distantiæ corporis a centro; corpora omnia in planis quibuscunq; revolventia describent Ellipses, & revolutiones temporibus æqualibus peragent; quæq; moventur in lineis rectis ultro citroq; discurrendo, singulas eundi & redeundi periodos iisdem temporibus absolvent.

Nam stantibus quæ in superiore Propositione; vis SV qua corpus Q in plano quovis PQR revolvens trahitur versus centrum S est ut distantia SQ; atq; adeo ob proportionales SV & SQ, TV & CQ, vis TV qua corpus trahitur versus punctum C in Orbis plano datum, est ut distantia CQ.

Vires igitur, quibus corpora in plano PQR versantia trahuntur versus punctum C, sunt pro ratione distantiarum æquales viribus quibus corpora unaquaq; trahuntur versus centrum S; & propterea corpora movebuntur iisdem temporibus in iisdem figuris in plano Page 147 quovis PQR circa punctum C, atq; in spatiis liberis circa centrum S, adeoq; (per Corol. 2. Prop. X. & Corol. 2. Prop. XXXVIII.) temporibus semper æqualibus, vel describent Ellipses in plano illo circa centrum C, vel periodos movendi ultro citroq; in lineis rectis per centrum C in plano illo ductis, complebunt.

Q. E. D.

# Escolio.

Huc affines sunt ascensus ac descensus corporum in superficiebus curvis. Concipe lineas curvas in plano describi, dein circa axes quosvis datos per centrum virium transeuntes revolvi, & ea revolutione superficies curvas describere; tum corpora ita moveri ut eorum centra in his superficiebus perpetuo reperiantur. Si corpora illa oblique ascendendo & descendendo currant ultro citroq; peragentur eorum motus in planis per axem transeuntibus, atq; adeo in lineis curvis quarum revolutione curvæ illæ superficies genitæ sunt. Istis igitur in casibus sufficit motum in his lineis curvis considerare.

Prop. XLVIII. Theor. XVI.

* Si rota globo extrinsecus ad angulos rectos insistat, & more rotarum revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris curvilinei, quod punctum quodvis in rotæ perimetro datum, ex quo globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum ex eo tempore inter eundem tetigit, ut summa diametrorum globi & rotæ ad semidiametrum globi.

Prop. XLIX. Theor. XVII.

*Si rota concavo globo ad rectos angulos intrinsecus insistat & revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris curvilinei Page 148 quod punctum quodvis in Rotæ Perimetro datum, ex quo globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum toto hoc tempore inter eundum tetigit, ut differentia diametrorum globi & rotæ ad semidiametrum globi.*

Sit ABL globus, C centrum ejus, BPV rota ei insistens, E centrum rotæ, B punctum contactus, & P punctum datum in perimetro rotæ. Concipe hanc Rotam pergere in circulo maximo ABL ab A per B versus L, & inter eundum ita revolvi ut arcus AB, PB sibi invicem semper æquentur, atq; punctum illud P in Perimetro rotæ datum interea describere viam curvilineam AP.

Sit autem AP via tota curvilinea descripta ex quo Rota globum tetigit in A, & erit viæ hujus longitudo AP ad duplum sinum versum arcus ½PB, ut 2CE ad CB. Nam recta CE (si Page 149 opus est producta) occurrat Rotæ in V, junganturq; CP, BP, EP, VP, & in CP productam demittatur Normalis VF. Tangant PH, VH circulum in P & V concurrentes in H, secetq; PH ipsam VF in G, & ad VP demittantur Normales GI, HK. Centro item C & intervallo quovis describatur circulus nom secans rectam CP in n, Rotæ perimetrum Bp in o & viam curvilineam AP in m, centroq; V & intervallo Vo describatur circulus secans VP productam in q.

Quoniam Rota eundo semper revolvitur circa punctum contactus B, manifestum est quod recta BP perpendicularis est ad lineam illam curvam AP, quam Rotæ punctum P describit, atq; adeo quod recta VP tanget hanc curvam in puncto P.

Aumentándose sensuadamente el radio del círculo nom, iguálese al fin a la distancia CP, y por la semejanza de la figura evanescente Pnomq y de la figura PFGVI, la razón última de las líneolas evanescentes Pm, Pn, Po, Pq, esto es, la razón de los incrementos momentáneos de la curva AP, de la recta CP y del arco circular BP, y del decremento de la recta VP, será la misma que la de las líneas PV, PF, PG, PI respectivamente.

Cum autem VF ad CF & VH ad CV perpendiculares sunt, anguliq; HVG, VCF propterea æquales; & angulus VHP, (ob angulos quadrilateri HVEP ad V & P rectos,) complet angulum VEP ad duos rectos, adeoq; angulo CEP æqualis est, similia erunt triangula VHG, CEP; & inde fiet ut EP ad CE ita HG ad HV seu HP, & ita KI ad KP, & divisim ut CB ad CE ita PI ad PK, & duplicatis consequentibus ut CB ad 2CE ita PI ad PV.

Es, por tanto, el decremento de la línea VP, esto es, el incremento de la línea BV - VP, al incremento de la línea curva AP en la razón dada de CB a 2CE, y por consiguiente (por el Corol. del Lem. IV.) las longitudes BV - VP y AP generadas por esos incrementos están en la misma razón.

Sed existente BV radio, est VP cosinus anguli VPB seu ½BEP, adeoq; BV - VP sinus versus ejusdem anguli, & propterea in hac Rota cujus radius est ½BV, erit BV - VP duplus sinus versus arcus ½BP.

Ergo AP est ad duplum sinum versum arcus ½BP ut 2CE ad CB.

Q. E. D.

Page 150

La línea AP la denominaremos, en aras de la distinción, cicloide exterior a la esfera en la proposición anterior, y la otra, cicloide interior a la esfera en la posterior.

Corol. 1. Hinc si describatur Cyclois integra ASL & bisecetur ea in S, erit longitudo partis PS ad longitudinem VP (quæ duplus est sinus anguli VBP, existente EB radio) ut 2CE ad CB atq; adeo in ratione data.

Corol. 2. Et longitudo semiperimetri Cycloidis AS æquabitur lineæ rectæ, quæ est ad Rotæ diametrum BV ut 2CE ad CB.

Corol. 3. Ideoq; longitudo illa est ut rectangulum BEC, si modo Globi detur semidiameter.

Prop. L. Prob. XXXIII.

*Facere ut Corpus pendulum oscilletur in Cycloide data.*

Dentro del Globo QVS descrito con centro C, dése una Cicloide QRS bisecada en R y que toca por ambos lados con sus puntos extremos Q y S a la superficie del Globo. Conduzcase CR bisecando el arco QS en O, y prodúzcase hasta A, de modo que CA sea a CO como CO es a CR.

Con centro C y el intervalo CA descríbase el Globo exterior ABD, y dentro de este globo una Rueda, cuyo diámetro sea AO, descríbanse dos semicicloides AQ, AS, que toquen al globo interior en Q y S y concurran con el globo exterior en A.

Desde aquel punto A, con un hilo APT que iguale la longitud AR, deudasé un cuerpo T, y oscílese de tal manera dentro de las semicicloides AQ, AS, que cuantas veces el péndulo se aparta de la perpendicular AR, el hilo por su parte superior AP se aplique a aquella semicicloide APS hacia la cual se realiza el movimiento, y se flexe alrededor de ella a modo de obstáculo, y con la parte restante PT a la que todavía no se opone la semicicloide, se extienda en línea recta; y el peso T oscilará en la Cicloide dada QRS.

Q. E. F.

Occurrat enim filum PT tum Cycloidi QRS in T, tum circulo QOS in V, agaturq; CV occurrens circulo ABD in B; & ad fili partem rectam PT, e punctis extremis P ac T, erigantur Page 151 perpendicula PB, TW, occurrentia rectæ CV in B & W.

Patet enim ex genesi Cycloidis, quod perpendicula illa PB, TW, abscindent de CV longitudines VB, VW rotarum diametris OA, OR æquales, atq; adeo quod punctum B incidet in circulum ABD.

Est igitur TP ad VP (duplum sinum anguli VBP existente ½BV radio) ut BW ad BV, seu AO + OR ad AO, id est (cum sint CA ad CO, CO ad CR & divisim AO ad OR proportionales,) ut CA + CO seu 2CE ad CA.

Proinde per Corol. 1. Prop. XLIX. longitudo PT æquatur Cycloidis arcui PS, & filum totum APT æquatur Cycloidis arcui dimidio APS, hoc est (per Corollar. 2. Prop. XLIX) longitudini AR. Et propterea vicissim si filum manet semper æquale longitudini AR movebitur punctum T in Cycloide QRS.

Q. E. D.

Corol. El hilo AR es igual a la mitad del arco cicloidal APS.

Prop. LI. Theor. XVIII.

*Si vis centripeta tendens undiq; ad Globi centrum*C*sit in locis singulis ut distantia loci cujusq; a centro, & hac sola vi agente Corpus*T*Page 152 oscilletur (modo jam descripto) in perimetro Cycloidis*QRS*: dico quod oscillationum utcunq; inæqualium æqualia erunt Tempora.*

Nam in Cycloidis tangentem TW infinite productam cadat perpendiculum CX & jungatur CT.

Quoniam vis centripeta qua corpus T impellitur versus C est ut distantia CT, (per Legum Corol. 2.) resolvitur in partes CX, TX, quarum CX impellendo corpus directe a P distendit filum PT & per cujus resistentiam tota cessat, nullum alium edens effectum; pars autem altera TX urgendo corpus transversim seu versus X, directe accelerat motum ejus in Cycloide; manifestum est quod corporis acceleratio huic vi acceleratrici proportionalis sit singulis momentis ut longitudo TX, id est, ob datas CV, WV iisq; proportionales TX, TW, ut longitudo TW, hoc est (per Corol. 1. Prop. XLIX.) ut longitudo arcus Cycloidis TR.

Siendo, pues, dos péndulos APT, Apt suspendidos desigualmente del péndulo perpendicular AR y soltados simultáneamente, las aceleraciones de ambos serán siempre como los arcos por describir TR, tR.

Mas las partes descritas al principio son como las aceleraciones, esto es, como los todos por describir al principio, y por tanto las partes que restan por describir y las aceleraciones subsiguientes proporcionales a estas partes son asimismo como los todos; y así sucesivamente.

Son, por consiguiente, las aceleraciones y, por ende, las velocidades engendradas y las partes descritas por estas velocidades y las partes por describir, siempre como los todos; y por tanto las partes por describir, conservando entre sí una razón dada, desaparecerán simultáneamente, esto es, los dos cuerpos oscilantes llegarán al mismo tiempo al perpendicular AR.

Cumq; vicissim ascensus perpendiculorum de loco infimo R, per eosdem arcus Trochoidales motu retrogrado facti, retardentur in locis singulis a viribus iisdem a quibus descensus accelerabantur, patet velocitates ascensuum ac descensuum per eosdem arcus factorum æquales esse, atq; adeo temporibus æqualibus fieri; & propterea, cum Cycloidis partes duæ RS & RQ ad utrumq; perpendiculi latus jacentes sint similes & æquales, pendula duo oscillationes suas tam totas quam dimidias iisdem temporibus semper peragent.   Q. E. D.

Page 153

Prop. LII. Prob. XXXIV.

* Definire & velocitates Pendulorum in locis singulis, & Tempora quibus tum oscillationes totæ, tum singulæ oscillationum partes peraguntur.

Centro en un punto cualquiera G, con un intervalo GH que sea igual al arco RS de la cicloide, describe un semicírculo HKMG bisecado por el semidiámetro GK. Y si la fuerza centrípeta, proporcional a las distancias de los lugares al centro, tiende hacia el centro G, y sea esta en el perímetro HIK igual a la fuerza centrípeta en el perímetro del globo QOS (Véase la Fig. de la Prop. L. y LI.) que tiende hacia el centro del mismo; y al mismo tiempo que el péndulo T es soltado desde el lugar supremo S, caiga algún cuerpo L desde H hasta G: puesto que las fuerzas con que los cuerpos son impulsados son iguales al principio y los espacios que deben describir TR, GL son siempre proporcionales, y por tanto, si se igualan TR y LG, son iguales en los lugares T y L; es evidente que dichos cuerpos describen espacios ST, HL iguales al principio, y por tanto prosiguen después siendo impulsados igualmente y describiendo espacios iguales.

Por lo cual, por la Prop. XXXVIII, el tiempo en que el cuerpo describe el arco ST es al tiempo de una oscilación, como el arco HI (el tiempo en que el cuerpo H llegará a L) es al semicírculo HKM (el tiempo en que el cuerpo H llegará a M).

Y la velocidad del cuerpo péndulo en el lugar T es a la velocidad del mismo en el lugar inferior R, (esto es, la velocidad del cuerpo H en el lugar L a su velocidad en el lugar G, o el incremento momentáneo de la línea HL al incremento momentáneo de la línea HG, creciendo los arcos HI, HK con flujo equitable) como la ordenada aplicada LI al radio GK, o como √SRq. - TRq. a SR.

Y como en las Oscilaciones desiguales se describen en tiempos iguales arcos proporcionales a los arcos totales de las Oscilaciones, a partir de los tiempos dados se tienen tanto las velocidades como los arcos descritos en las Oscilaciones universales. Lo cual era lo primero que había que hallar.

Oscillentur jam funipendula duo corpora in Cycloidibus inæqualibus & earum semiarcubus æquales capiantur rectæ GH, gh, centrisq; G, g & intervallis GH, gh describantur semicirculi HZKM, hzkm. In eorum diametris HM, hm capiantur lineolæ æquales HY, hy, & erigantur normaliter YZ, yz circumferentiis occurrentes in Z & z.

Quoniam corpora pendula sub initio motus versantur in circumferentia globi QOS, adeoq; a viribus æqualibus urgentur in centrum, incipiuntq; directe versus centrum moveri, spatia simul consecta æqualia erunt sub initio.

Urgeantur igitur corpora H, h a viribus iisdem in H & h, sintq; HY, hy spatia æqualia ipso motus initio descripta, & arcus HZ, hz denotabunt æqualia tempora.

Horum arcuum nascentium ratio prima duplicata est eadem quæ rectangulorum GHY, ghy, id est, eadem quæ linearum GH, gh adeoq; arcus capti in dimidiata ratione semidiametrorum denotant æqualia tempora.

Est ergo tempus totum in circulo HKM, Oscillationi in una Cycloide respondens, ad tempus totum in circulo hkm Oscillationi in altera Cycloide respondens, ut semiperiferia HKM ad medium proportionale inter hanc semiperiferiam & semiperiferiam circuli alterius hkm, id est in dimidiata ratione diametri HM ad diametrum hm, hoc est in dimidiata ratione perimetri Cycloidis primæ ad perimetrum Cycloidis alterius, adeoq; tempus illud in Page 155 Cycloide quavis est (per Corol. 3. Prop. XLIX.) ut latus quadratum rectanguli BEC contenti sub semidiametro Rotæ, qua Cyclois descripta fuit, & differentia inter semidiametrum illam & semidiametrum globi. Q. E. I.

Est & idem tempus (per Corol. Prop. L.) in dimidiata ratione longitudinis fili AR. Q. E. I.

Porro si in globis concentricis describantur similes Cycloides: quoniam earum perimetri sunt ut semidiametri globorum & vires in analogis perimetrorum locis sunt ut distantiæ locorum a communi globorum centro, hoc est ut globorum semidiametri, atq; adeo ut Cycloidum perimetri & perimetrorum partes similes, æqualia erunt tempora quibus perimetrorum partes similes Oscillationibus similibus describuntur, & propterea Oscillationes omnes erunt Isochronæ.

Cum igitur Oscillationum tempora in Globo dato sint in dimidiata ratione longitudinis AR, atq; adeo (ob datam AC) in dimidiata ratione numeri AR ÷ AC, id est in ratione integra numeri √{AR ÷ AC}; & hic numerus √{AR ÷ AC} servata ratione AR ad AC (ut fit in Cycloidibus similibus) idem semper maneat, & propterea in globis diversis, ubi Cycloides sunt similes, sit ut tempus: manifestum est quod Oscillationum tempora in alio quovis globo dato, atq; adeo in globis omnibus concentricis sunt ut numerus √{AR ÷ AC}, id est, in ratione composita ex dimidiata ratione longitudinis fili AR directe & dimidiata ratione semidiametri globi AC inverse. Q. E. I.

Deniq; si vires absolutæ diversorum globorum ponantur inæquales, accelerationes temporibus æqualibus factæ, erunt ut vires. Unde si tempora capiantur in dimidiata ratione virium inverse, velocitates erunt in eadem dimidiata ratione directe, & propterea spatia erunt æqualia quæ his temporibus describuntur. Ergo Oscillationes in globis & Cycloidibus omnibus, quibuscunq; cum viribus absolutis factæ, sunt in ratione quæ componitur ex Page 156 dimidiata ratione longitudinis Penduli directe, & dimidiata ratione distantiæ inter centrum Penduli & centrum globi inverse, & dimidiata ratione vis absolutæ etiam inverse, id est, si vis illa dicatur V, in ratione numeri √{AR ÷ {AC × V}}. Q. E. I.

Corol. 1. Hinc etiam Oscillantium, cadentium & revolventium corporum tempora possunt inter se conferri.

Nam si Rotæ, qua Cyclois intra globum describitur, diameter constituatur æqualis semidiametro globi, Cyclois evadet linea recta per centrum globi transiens, & Oscillatio jam erit descensus & subsequens ascensus in hac recta. Unde datur tum tempus descensus de loco quovis ad centrum, tum tempus huic æquale quo corpus uniformiter circa centrum globi ad distantiam quamvis revolvendo arcum quadrantalem describit.

Est enim hoc tempus (per Casum secundum) ad tempus semioscillationis in Trochoide quavis APS ut ½BC ad √BEC.

Corol. 2. Hinc etiam consectantur quæ D. C. Wrennus & D. C. Hugenius de Cycloide vulgari adinvenerunt. Nam si globi diameter augeatur in infinitum, mutabitur ejus superficies Sphærica in planum, visq; centripeta aget uniformiter secundum lineas huic plano perpendiculares, & Cyclois nostra abibit in Cycloidem vulgi. Isto autem in casu, longitudo arcus Cycloidis, inter planum illud & punctum describens, æqualis evadet quadruplicato sinui verso dimidii arcus Rotæ inter idem planum & punctum describens; ut invenit D. C. Wrennus: Et pendulum inter duas ejusmodi Cycloides in simili & æquali Cycloide temporibus æqualibus Oscillabitur, ut demonstravit Hugenius. Sed & descensus gravium, tempore Oscillationis unius, is erit quem Hugenius indicavit.

Aptantur autem Propositiones a nobis demonstratæ ad veram constitutionem Terræ, quatenus Rotæ eundo in ejus circulis maximis describunt motu clavorum Cycloides extra globum; & Pendula inferius in fodinis & cavernis Terra suspensa, in Cycloidibus Page 157 intra globos Oscillari debent, ut Oscillationes omnes evadant Isochronæ. Nam Gravitas (ut in Libro tertio docebitur) decrescit in progressu a superficie Terræ, sursum quidem in duplicata ratione distantiarum a centro ejus, deorsum vero in ratione simplici.

Prop. LIII. Prob. XXXV.

*Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, invenire vires quibus corpora in datis curvis lineis Oscillationes semper Isochronas peragent.*

Oscílese un cuerpo T en una línea curva cualquiera STRQ, cuyo eje sea OR pasando por el centro de fuerzas C. Trázese TX, que toque dicha curva en un lugar cualquiera del cuerpo T, y tómese en esta Tangente TX un segmento TY igual al arco TR.

Pues la longitud de dicho arco se conoce a partir de las Quadraturas de las figuras mediante los Métodos vulgares.

Del punto Y sáquese una recta YZ perpendicular a la Tangente. Trázese CT intersecando a aquella perpendicular en Z, y la fuerza centrípeta será proporcional a la recta TZ.

Q. E. I.

Nam si vis, qua corpus trahitur de T versus C, exponatur per rectam TZ captam ipsi proportionalem, resolvetur hæc in vires Page 158 TY, YZ; quarum YZ trahendo corpus secundum longitudinem fili PT, motum ejus nil mutat, vis autem altera TY motum ejus in curva STRQ directe accelerat vel directe retardat. Proinde cum hæc sit ut via describenda TR, accelerationes corporis vel retardationes in Oscillationum duarum (majoris & minoris) partibus proportionalibus describendis, erunt semper ut partes illæ, & propterea facient ut partes illæ simul describantur. Corpora autem quæ partes totis semper proportionales simul describunt, simul describent totas.   Q. E. D.

Corol. 1. Hinc si corpus T filo rectilineo AT a centro A pendens, describat arcum circularem STRQ, & interea urgeatur secundum lineas parallelas deorsum a vi aliqua, quæ sit ad vim uniformem gravitatis, ut arcus TR ad ejus sinum TN: æqualia erunt Oscillationum singularum tempora. Etenim ob parallelas TZ, AR, similia erunt triangula ANT, TYZ; & propterea TZ erit ad AT ut TY ad TN; hoc est, si gravitatis vis uniformis exponatur per longitudinem datam AT, vis TZ, qua Oscillationes evadent Isochronæ, erit ad vim gravitatis AT, ut arcus TR ipsi TY æqualis ad arcus illius sinum TN.

Corol. 2. Igitur in Horologiis, si vires a Machina in Pendulum ad motum conservandum impressæ ita cum vi gravitatis componi possint, ut vis tota deorsum semper sit ut linea quæ oritur applicando rectangulum sub arcu TR & radio AR, ad sinum TN, Oscillationes omnes erunt Isochronæ.

Prop. LIV. Prob. XXXVI.

*Concessis figurarum curvilinearum quadraturis, invenire tempora quibus corpora vi qualibet centripeta in lineis quibuscunq; curvis in plano per centrum virium transeunte descriptis, descendent & ascendent.*

Desciendat enim corpus de loco quovis S per lineam quamvis curvam STtR in plano per virium centrum C transeunte datam. Jungatur CS & dividatur eadem in partes innumeras æquales, Page 159 sitq; Dd partium illarum aliqua. Centro C, intervallis CD, Cd describantur circuli DT, dt, Lineæ curvæ STtR occurrentes in T & t. Et ex data tum lege vis centripetæ, tum altitudine CS de qua corpus cecidit; dabitur velocitas corporis in alia quavis altitudine CT, per Prop. XXXIX. Tempus autem, quo corpus describit lineolam Tt, est ut lineolæ hujus longitudo (id est ut secans anguli tTC) directe, & velocitas inverse. Tempori huic proportionalis sit ordinatim applicata DN ad rectam CS per punctum D perpendicularis, & ob datam Dd erit rectangulum Dd × DN, hoc est area DNnd, eidem tempori proportionale. Ergo si SNn sit curva illa linea quam punctum N perpetuo tangit, erit area SNDS proportionalis tempori quo corpus descendendo descripsit lineam ST; proindeq; ex inventa illa area dabitur tempus.   Q. E. I.

Prop. LV. Theor. XIX.

* Si corpus movetur in superficie quacunq; curva, cujus axis per centrum virium transit, & a corpore in axem demittatur perpendicularis, eiq; parallela & æqualis ab axis puncto quovis ducatur: dico quod parallela illa aream tempori proportionalem describet.

Sea BSKL una superficie curva, T un cuerpo que gira en ella, STtR la trayectoria que el cuerpo describe en la misma, S el inicio de la trayectoria, OMNK el eje de la superficie curva, TN una línea recta perpendicular desde el cuerpo hasta el eje, OP una línea recta paralela e igual a esta, trazada desde un punto O dado en el eje, AP la huella de la trayectoria descrita por el punto P Page 160 en el plano AOP de la línea móvil OP, A el inicio de la huella correspondiente al punto S, TC una línea recta trazada desde el cuerpo hasta el centro; TG la parte de ella proporcional a la fuerza centrípeta con la que el cuerpo es impulsado hacia el centro C; TM una línea recta perpendicular a la superficie curva; TI la parte de ella proporcional a la fuerza de presión con la que el cuerpo presiona la superficie, y a su vez es presionado hacia M por la superficie; PHTF una línea recta paralela al eje que pasa a través del cuerpo, y GF, IH líneas rectas bajadas perpendicularmente desde los puntos G e I sobre esa paralela PHTF.

Dico jam quod area AOP, radio OP ab initio motus descripta, sit tempori proportionalis.

Nam vis TG (per Legum Corol. 2.) resolvitur in vires TF, FG; & vis TI in vires TH, HI: Vires autem TF, TH agendo secundum lineam PF plano AOP perpendicularem mutant solummodo motum corporis quatenus huic plano perpendicularem. Ideoq; motus ejus quatenus secundum positionem plani factus, hoc est motus puncti P, quo Trajectoriæ vestigium AP in hoc plano describitur, idem est ac si vires TF, TH tollerentur, & corpus solis viribus FG, HI agitaretur, hoc est idem ac si corpus in plano AOP vi centripeta ad centrum O tendente & summam virium FG & HI æquante, describeret curvam AP.

Sed vi tali describetur area AOP (per Prop. I.) tempori proportionalis.

Q. E. D.

Corol. Eodem argumento si corpus a viribus agitatum ad centra Page 161 duo vel plura in eadem quavis recta CO data tendentibus, describeret in spatio libero lineam quamcunq; curvam ST, foret area AOP tempori semper proportionalis.

# Prop. LVI. Prob. XXXVII.

* Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, datisq; tum lege vis centripetæ ad centrum datum tendentis, tum superficie curva cujus axis per centrum illud transit; invenienda est Trajectoria quam corpus in eadem superficie describet, de loco dato, data cum velocitate versus plagam in superficie illa datam egressum.

Stantibus quæ in superiore Propositione constructa sunt, exeat corpus de loco S in Trajectoriam inveniendam STtR & ex data ejus velocitate in altitudine SC dabitur ejus velocitas in alia quavis altitudine TC.

Ea cum velocitate, dato tempore quam minimo, describat corpus Trajectoriæ suæ particulam Tt, sitq; Pp vestigium ejus plano AOP descriptum. Jungatur Op, & circelli centro T intervallo Tt in superficie curva descripti sit PpQ vestigium Ellipticum in eodem plano OAPp descriptum. Et ob datum magnitudine & positione circellum, dabitur Ellipsis illa PpQ.

Cumq; area POp sit tempori proportionalis, atq; adeo ex dato tempore detur, dabitur Op positione, & inde dabitur communis ejus & Ellipseos intersectio p, una cum angulo OPp, in quo Trajectoriæ vestigium APp secat lineam OP.

Inde autem invenietur Trajectoriæ vestigium illud APp, eadem methodo qua curva linea VIKk in Propositione XLI. ex similibus datis inventa fuit.

Tum ex singulis vestigii punctis P erigendo ad planum AOP perpendicula PT superficiei curvæ occurrentia in T, dabuntur singula Trajectoriæ puncta T.

Q. E. I.

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