Prop. XI. Theor. VIII.

De motu corporum quæ resistuntur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata.

# Prop. XI. Theor. VIII.

* Si corpus resistitur partim in ratione velocitatis, partim in velocitatis ratione duplicata, & sola vi insita in Medio similari movetur, sumantur autem tempora in progressione Arithmetica: quantitates velocitatibus reciproce proportionales, data quadam quantitate auctæ, erunt in progressione Geometrica.

Centro C, Asymptotis rectangulis CADd & CH describatur Hyperbola BEeS, & Asymptoto CH parallelæ sint AB, DE, de. In Asymptoto CD dentur puncta A, G: Et si tempus exponatur per aream Hyperbolicam ABED uniformiter crescentem; dico quod velocitas exponi potest per longitudinem DF, cujus reciproca GD una cum data CG componat longitudinem CD in progressione Geometrica crescentem.

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Sit enim areola DEed datum temporis incrementum quam minimum, & erit Dd reciproce ut DE, adeoque directe ut CD. Ipsius autem 1 ÷ GD decrementum, quod (per hujus Lem. II.) est Dd ÷ GDq. erit ut CD ÷ GDq. seu {CG + GD} ÷ GDq., id est, ut {1 ÷ GD} + {CG ÷ GDq.}.

Igitur tempore ABED per additionem datarum particularum EDde uniformiter crescente, decrescit 1 ÷ GD in eadem ratione cum velocitate. Nam decrementum velocitatis est ut resistentia, hoc est (per Hypothesin) ut summa duarum quantitatum, quarum una est ut velocitas, altera ut quadratum velocitatis; & ipsius 1 ÷ GD decrementum est ut summa quantitatum 1 ÷ GD & CG ÷ GDq., quarum prior est ipsa 1 ÷ GD, & posterior CG ÷ GDq. est ut 1 ÷ GDq..

Proinde 1 ÷ GD, ob analogum decrementum, est ut velocitas. Et si quantitas GD ipsi 1 ÷ GD reciproce proportionalis quantitate data CG augeatur, summa CD, tempore ABED uniformiter crescente, crescet in progressione Geometrica.

Q. E. D.

Corol. 1. Igitur si datis punctis A, G, exponatur tempus per aream Hyperbolicam ABED, exponi potest velocitas per ipsius GD reciprocam 1 ÷ GD.

Corol. 2. Sumendo autem GA ad GD ut velocitatis reciproca sub initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporis Page 276 cujusvis ABED, invenietur punctum G. Eo autem invento, velocitas ex dato quovis alio tempore inveniri potest.

Prop. XII. Theor. IX.

*Iisdem positis, dico quod si spatia descripta sumantur in progressione Arithmetica, velocitates data quadam quantitate auctæ erunt in progressione Geometrica.*

En la asíntota CD dase el punto R, y levantada la perpendicular RS, que concurra con la Hipérbola en S, expóngase el espacio descrito mediante el área hiperbólica RSED; y la velocidad será como la longitud GD, la cual con la dada CG compone la longitud CD, decreciente en progresión geométrica, mientras el espacio RSED aumenta en progresión aritmética.

Y en efecto, dado el incremento de espacio EDde, la pequeña línea Dd, que es el decremento de la propia GD, será recíprocamente como ED, y por lo tanto directamente como CD, esto es, como la suma de la misma GD y de la longitud dada CG.

Mas el decremento de la velocidad, en el tiempo recíprocamente proporcional a sí mismo en el que se describe la dada partícula de espacio DdeE, es como la resistencia y el tiempo conjuntamente, esto es, directamente como la suma de dos cantidades, de las cuales una es la velocidad, la otra como el cuadrado de la velocidad, e inversamente como la velocidad; y por tanto directamente como la suma de dos cantidades, de las cuales una es dada, la otra es como la velocidad.

Por consiguiente, el decremento tanto de la velocidad como de la línea GD es como la cantidad dada y la cantidad decreciente conjuntamente, y debido a los decrementos análogos, las cantidades decrecientes serán siempre análogas: a saber, la velocidad y la línea GD.

Q. E. D.

Corol. 1. Igitur si velocitas exponatur per longitudinem GD, spatium descriptum erit ut area Hyperbolica DESR.

Corol. 2. Y si de cualquier modo se toma el punto R, se hallará el punto G, tomando GD respecto a GR como es la velocidad al inicio respecto a la velocidad tras haberse descrito un espacio cualquiera ABED. Hallado además el punto G, se da el espacio a partir de la velocidad dada, y a la inversa.

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Corol. 3. Unde cum, per Prop. XI. detur velocitas ex dato tempore, & per hanc Propositionem detur spatium ex data velocitate; dabitur spatium ex dato tempore: & contra.

Prop. XIII. Theor. X.

*Posito quod corpus ab uniformi gravitate deorsum attractum recta ascendit vel descendit, & resistitur partim in ratione velocitatis, partim in ejusdem ratione duplicata: dico quod si Circuli & Hyperbolæ diametris parallelæ rectæ per conjugatarum diametrorum terminos ducantur, & velocitates sint ut segmenta quædam parallelarum a dato puncto ducta, Tempora erunt ut arearum Sectores, rectis a centro ad segmentorum terminos ductis abscissi: & contra.*

Cas. 1. Supóngase primero que el cuerpo asciende, y con el centro D y un semidiámetro cualquiera DB descríbase el cuadrante de círculo BETF, y por el extremo B del semidiámetro DB trácese la infinita BAP, paralela al semidiámetro DF. En ella dése el punto A, y tómese el segmento AP proporcional a la velocidad. Y como cierta parte de la resistencia sea como la velocidad y otra parte como el cuadrado de la velocidad, la resistencia total en P resulta como AP quad. + 2PAB. Únanse DA, DP cortando al círculo en E y T, y expóngase la gravedad por el cuadrado de DA, de modo que la gravedad sea a la resistencia en P como DAq. a APq. + 2PAB: y el tiempo de todo el ascenso futuro será como el sector circular EDTE.

Agatur enim DVQ, abscindens & velocitatis AP momentum PQ, & Sectoris DET momentum DTV dato temporis Page 278 momento respondens: & velocitatis decrementum illud PQ erit ut summa virium gravitatis DBq. & resistentiæ APq. + 2BAP, id est (per Prop. 12. Lib. II. Elem.) ut DP quad. Proinde area DPQ, ipsi PQ proportionalis, est ut DP quad.; & area DTV, (quæ est ad aream DPQ ut DTq. ad DPq.) est ut datum DTq. Decrescit igitur area EDT uniformiter ad modum temporis futuri, per subductionem datarum particularum DTV, & propterea tempori ascensus futuri proportionalis est.

Q. E. D.

Cas. 2. Si la velocidad en el ascenso del cuerpo se representa por la longitud AP como antes, y se supone que la resistencia es como APq. + 2BAP, y si la fuerza de gravedad es menor que la que puede representarse por DAq., tómese BD de la longitud tal que ABq. - BDq. sea proporcional a la gravedad, y sea DF perpendicular e igual a la misma DB, y por el vértice F descríbase una hipérbola FTVE cuyos semidiámetros conjugados sean DB y DF, y que corte a DA en E, y a DP, DQ en T y V; y el tiempo del ascenso futuro será como el sector de la hipérbola TDE.

Nam velocitatis decrementum PQ, in data temporis particula factum, est ut summa resistentiæ APq. + 2ABP & gravitatis ABq. - BDq. id est ut BPq. - BDq.

Est autem area DTV ad aream DPQ ut DTq. ad DPq. adeoque, si ad DF demittatur perpendiculum GT, ut GTq. seu GDq. - DFq. ad BDq. utque GDq. ad PBq. & divisim ut DFq. ad BPq. - DBq. Quare cum area DPQ sit ut PQ, id est ut BPq. - BDq. erit area DTV ut datum DFq.

Decrescit igitur area EDT Page 279 uniformiter singulis temporis particulis æqualibus, per subductionem particularum totidem datarum DTV, & propterea tempori proportionalis est.

Q. E. D.

Cas. 3. Sea AP la velocidad en el descenso del cuerpo, y APq. + 2ABP la resistencia, y DBq. - ABq. la fuerza de gravedad, siendo recto el ángulo DAB. Y si con centro D, vértice principal B, se describe una hipérbola equilátera BETV que corta a las prolongaciones de DA, DP y DQ en E, T y V; el sector DET de esta hipérbola será como el tiempo del descenso.

Nam velocitatis incrementum PQ, eiq; proportionalis area DPQ, est ut excessus gravitatis supra resistentiam, id est, ut DBq. - ABq. - 2ABP - APq. seu DBq. - BPq. Et area DTV est ad aream DPQ ut DTq. ad DPq. adeoq; ut GTq. seu GDq. - BDq. ad BPq. utque GDq. ad BDq. & divisim ut BDq. ad BDq. - BPq. Quare cum area DPQ sit ut BDq. - BPq. erit area DTV ut datum BDq. Crescit igitur area EDT uniformiter singulis temporis particulis æqualibus, per additionem totidem datarum particularum DTV, & propterea tempori descensus proportionalis est.   Q. E. D.

Corol. Igitur velocitas AP est ad velocitatem quam corpus tempore EDT, in spatio non resistente, ascendendo amittere vel descendendo acquirere posset, ut area trianguli DAP ad aream sectoris centro D, radio DA, angulo ADT descripti; ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas in Medio non resistente, tempori atque adeo Sectori huic proportionalis est; in Medio resistente est ut triangulum; & in Medio utroq; ubi quam minima est, accedit ad rationem æqualitatis, pro more Sectoris & Trianguli.

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Prop. XIV. Prob. IV.

*Iisdem positis, dico quod spatium ascensu vel descensu descriptum, est ut summa vel differentia areæ per quam tempus exponitur, & areæ cujusdam alterius quæ augetur vel diminuitur in progressione Arithmetica; si vires ex resistentia & gravitate compositæ sumantur in progressione Geometrica.*

Capiatur AC (in Fig. tribus ultimis,) gravitati, & AK resistentiæ proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes puncti A si corpus ascendit, aliter ad contrarias. Erigatur Ab quæ sit ad DB ut DBq. ad 4BAC: & area AbNK augebitur vel diminuetur in progressione Arithmetica, dum vires CK in progressione Geometrica sumuntur.

Dico igitur quod distantia corporis ab ejus altitudine maxima sit ut excessus areæ AbNK supra aream DET.

Nam cum AK sit ut resistentia, id est ut APq. + 2BAP; assumatur data quævis quantitas Z, & ponatur AK æqualis {APq. + 2BAP} ÷ Z; & (per hujus Lem. II.) erit ipsius AK momentum KL æquale {2APQ + 2BA × PB} ÷ Z seu 2BPQ ÷ Z, & areæ AbNK momentum KLON æquale 2BPQ × LO ÷ Z seu {BPQ × BD cub.} ÷ {2Z × CK × AB}.

Cas. 1. Jam si corpus ascendit, sitque gravitas ut ABq. + BDq. existente BET circulo, (in Fig. Cas. 1. Prop. XIII.) linea AC, quæ gravitati proportionalis est, erit {ABq. + BDq.} ÷ Z & DPq. seu APq. + 2BAP + ABq. + BDq. erit AK × Z + AC × Z seu CK × Z; ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DTq. vel DBq. ad CK × Z. Page 281

Cas. 2. Sin corpus ascendit, & gravitas sit ut ABq. - BDq. linea AC (Fig. Cas. 2. Prop. XIII.) erit {ABq. - BDq.} ÷ Z, & DTq. erit ad DPq. ut DFq. seu DBq. ad BPq. - BDq. seu APq. + 2BAP + ABq. - BDq. id est ad AK × Z + AC × Z seu CK × Z. Ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DBq. ad CK × Z.

• Cas. 3. Y por el mismo argumento, si un cuerpo desciende, y por lo tanto la gravedad fuera como BDq. - ABq. y la línea AC (Fig. Cas. 3. Prop. præced.) fuera igual a {BDq. - ABq.} ÷ Z, el área DTV será a la área DPQ como DBq. a CK × Z: como arriba.

Como, por tanto, aquellas áreas estén siempre en esta razón; si por el área DTV, por la cual se expone un momento del tiempo siempre igual a sí mismo, se escribe un rectángulo cualquiera determinado, digamos BD × m, el área DPQ, esto es, ½BD × PQ; será a BD × m como CK en Z a BDq. Y de ahí resulta PQ en BD cub. igual a 2BD × m × CK × Z, y el momento del área AbNK, KLON, hallado antes, resulta BP × BD × m ÷ AB. Quítese el momento del área DET, DTV o BD × m, y quedará AP × BD × m ÷ AB. Es, por tanto, la diferencia de los momentos, esto es, el momento de la diferencia de las áreas, igual a AP × BD × m ÷ AB; y por ello (por ser dado BD × m ÷ AB) como la velocidad AP, esto es, como el momento del espacio que el cuerpo describe al ascender o descender. Y por lo tanto la diferencia de las áreas y aquel espacio, creciendo o decreciendo con momentos proporcionales, y empezando o desvaneciéndose a la vez, son proporcionales.

Q. E. D.

Corol. Si, por tanto, se toma cierta longitud V en aquella razón respecto al arco ET que tiene la línea DA con la línea DE; el espacio que un cuerpo describe en todo su ascenso o descenso en un medio resistente, será al espacio que en el medio no resistente en el mismo tiempo podría describir, como la diferencia de aquellas áreas a BD × V² ÷ 4AB, y por ende, a partir del tiempo dado, queda dado. Pues el espacio en el medio no resistente está en razón duplicada del tiempo, o sea como V², y por dadas BD y AB, como BD × V² ÷ 4AB. El tiempo, en cambio, es como DET o bien ½BD × ET, y los momentos de estas áreas son como BD × V ÷ 2AB multiplicado por el momento del propio V y ½BD multiplicado por el momento del propio ET, esto es, como BD × V ÷ 2AB en DAq. × 2m ÷ DEq. y ½BD × 2m, o bien como {BD × V × DAq. × m} ÷ {AB × DEq.} y BD × m. Y por lo tanto el momento del área V² es al momento de la diferencia de las áreas DET y AKNb, como {BD × V × DA × m} ÷ {AB × DE} a AP × BD × m ÷ AB o bien como V × DA ÷ DE a AP; y por consiguiente, cuando V y AP son mínimas, en razón de igualdad. Es igual, por tanto, el área mínima BD × V² ÷ 4AB a la diferencia mínima de las áreas DET y AKNb. De donde, como los espacios en uno y otro medio, descritos juntamente al principio del descenso o al final del ascenso, se aproximan a la igualdad, y por tanto entonces son entre sí como el área BD × V² ÷ 4AB y la diferencia de las áreas DET y AKNb; debido a sus análogos incrementos es necesario que en cualesquiera tiempos iguales sean entre sí como aquella área BD × V² ÷ 4AB y la diferencia de las áreas DET y AKNb.   Q. E. D.

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