Sect. II.

De motu corporum quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum.

Prop. V. Theor. III.

* Si al cuerpo se le opone resistencia en razón duplicada de la velocidad, y se mueve por un medio semejante únicamente por su fuerza insita, tomándose los tiempos en progresión geométrica que va de los términos menores a los mayores: digo que las velocidades al inicio de cada uno de los tiempos están en la misma progresión geométrica inversamente, y que los espacios que se describen en cada uno de los tiempos son iguales.

Nam quoniam quadrato velocitatis proportionalis est resistentia Medii, & resistentiæ proportionale est decrementum velocitatis; si tempus in particulas innumeras æquales dividatur, quadrata velocitatum singulis temporum initiis erunt velocitatum earundem differentiis proportionalia.

Sunto temporis particulæ illæ AK, KL, LM, &c. in recta CD sumptæ, & erigantur perpendicula AB, Kk, Ll, Mm, &c.

Hyperbolæ BklmG, centro C Asymptotis rectangulis CD, CH descriptæ occurrentia in B, k, l, m, &c. & erit AB ad Kk ut CK ad CA, & divisim AB - Kk ad Kk ut AK ad CA, & vicissim AB - Kk ad AK ut Kk ad CA, adeoq; ut AB × Kk ad AB × CA. Unde cum AK & AB × CA dentur, erit AB - Kk ut AB × Kk; & ultimo, ubi coeunt AB & Kk, ut ABq. Et simili argumento Page 247 erunt Kk - Ll, Ll - Mm, &c. ut Kkq., Llq. &c. Linearum igitur AB, Kk, Ll, Mm quadrata sunt ut earundem differentiæ, & idcirco cum quadrata velocitatum fuerint etiam ut ipsarum differentiæ, similis erit ambarum progressio.

Quo demonstrato, consequens est etiam ut areæ his lineis descriptæ sint in progressione consimili cum spatiis quæ velocitatibus describuntur.

Ergo si velocitas initio primi temporis AK exponatur per lineam AB, & velocitas initio secundi KL per lineam Kk, & longitudo primo tempore descripta per arcam AKkB, velocitates omnes subsequentes exponentur per lineas subsequentes Ll, Mm, &c. & longitudines descriptæ per areas Kl, Lm, &c. & composite, si tempus totum exponatur per summam partium suarum AM, longitudo tota descripta exponetur per summam partium suarum AMmB.

Concibe ahora que el tiempo AM se divida en partes AK, KL, LM, etc., de modo que CA, CK, CL, CM, etc., estén en progresión geométrica, y aquellas partes estarán en la misma progresión, y las velocidades AB, Kk, Ll, Mm, etc., en la misma progresión inversa, y los espacios descritos Ak, Kl, Lm, etc., serán iguales. Q. E. D.

Corol. 1. Patet ergo quod si tempus exponatur per Asymptoti partem quamvis AD, & velocitas in principio temporis per ordinatim applicatam AB; velocitas in fine temporis exponetur per ordinatam DG, & spatium totum descriptum per aream Hyperbolicam adjacentem ABGD; necnon spatium quod corpus aliquod eodem tempore AD, velocitate prima AB in Medio non resistente describere posset, per rectangulum AB × AD.

Corol. 2. Unde datur spatium in Medio resistente descriptum, capiendo illud ad spatium quod velocitate uniformi AB in Medio non resistente simul describi posset, ut est area Hyperbolica ABGD ad rectangulum AB × AD.

Corol. 3. Datur etiam resistentia Medii, statuendo eam ipso motus initio æqualem esse vi uniformi centripetæ, quæ, in cadente corpore, tempore AC, in Medio non resistente, generare posset velocitatem AB. Nam si ducatur BT quæ tangat Hyperbolam Page 248 in B, & occurrat Asymptoto in T; recta AT æqualis erit ipsi AC, & tempus exponet quo resistentia prima uniformiter continuata tollere posset velocitatem totam AB.

Corol. 4. Y de ahí se da también la proporción de esta resistencia a la fuerza de gravedad, u otra fuerza centrípeta dada cualquiera.

Corol. 5. Y viceversa, si se da la proporción de la resistencia a una fuerza centrípeta dada cualquiera, se da el tiempo AC, en el cual la fuerza centrípeta igual a la resistencia puede generar una velocidad cualquiera AB; y de ahí se da el punto B por el cual debe describirse la hipérbola con las asíntotas CH, CD; así como el espacio ABGD, que el cuerpo, al empezar su movimiento con aquella velocidad AB, en un tiempo cualquiera AD, puede describir en un medio similar resistente.

# Prop. VI. Theor. IV.

* Corpora Sphærica homogenea & æqualia, resistentiis in duplicata ratione velocitatum impedita, & solis viribus insitis incitata, temporibus quæ sunt reciproce ut velocitates sub initio, describunt semper æqualia spatia, & amittunt partes velocitatum proportionales totis.

Descripta Hyperbola quavis BbEe, asymptotis rectangulis CD, CH, secante perpendicula AB, ab, DE, de, in B, b, E, e, exponantur velocitates initiales per perpendicula AB, DE, & tempora per lineas Aa, Dd.

Est ergo ut Aa ad Dd ita (per Hypothesin) DE ad AB, & ita (ex natura Hyperbolæ) CA ad CD; & componendo, ita Ca ad Cd.

Ergo areæ ABba, DEed, hoc est spatia descripta æquantur inter se, & velocitates primæ Page 249 AB, DE sunt ultimis ab, de, & propterea (dividendo) partibus etiam suis amissis AB - ab, DE - de proportionales.

Q. E. D.

Prop. VII. Theor. V.

*Corpora Sphærica quibus resistitur in duplicata ratione velocitatum, temporibus quæ sunt ut motus primi directe & resistentiæ primæ inverse, amittent partes motuum proportionales totis, & spatia describent temporibus istis in velocitates primas ductis proportionalia.*

Namq; motuum partes amissæ sunt ut resistentiæ & tempora conjunctim. Igitur ut partes illæ sint totis proportionales, debebit resistentia & tempus conjunctim esse ut motus. Proinde tempus erit ut Motus directe & resistentia inverse.

Quare temporum particulis in ea ratione sumptis, corpora amittent semper particulas motuum proportionales totis, adeoq; retinebunt velocitates in ratione prima. Et ob datam velocitatum rationem, describent semper spatia quæ sunt ut velocitates primæ & tempora conjunctim.

Q. E. D.

Corol. 1. Igitur si æquivelocia corpora resistuntur in duplicata ratione diametrorum, Globi homogenei quibuscunq; cum velocitatibus moti, describendo spatia diametris suis proportionalia, amittent partes motuum proportionales totis. Motus enim Globi cujusq; erit ut ejus velocitas & Massa conjunctim, id est ut velocitas & cubus diametri; resistentia (per Hypothesin) erit ut quadratum diametri & quadratum velocitatis conjunctim; & tempus (per hanc Propositionem) est in ratione priore directe & ratione posteriore inverse, id est ut diameter directe & velocitas inverse; adeoq; spatium (tempori & velocitati proportionale) est ut diameter.

Corol. 2. Si æquivelocia corpora resistuntur in ratione sesquialtera diametrorum: Globi homogenei quibuscunq; cum velocitatibus moti, describendo spatia in sesquialtera ratione Page 250 diametrorum inverse, amittent partes motuum proportionales totis. Nam tempus augetur in ratione resistentiæ diminutæ, & spatium augetur in ratione temporis.

Corol. 3. Y universalmente, si los cuerpos equivelaces son resistidos en razón de cualquier potencia de los diámetros, los espacios en los cuales los globos homogéneos, movidos con cualesquiera velocidades, perderán partes de sus movimientos proporcionales a los totales, serán como los cubos de los diámetros aplicados a dicha potencia.

Sean los diámetros D y E; y si las resistencias son como Dⁿ y Eⁿ, los espacios en los cuales perderán partes de sus movimientos proporcionales a los totales, serán como D^{3 - n} y E^{3 - n}.

Por tanto, describiendo espacios proporcionales a los mismos D^{3 - n} y E^{3 - n}, retendrán las velocidades en la misma razón entre sí que desde el principio.

Corol. 4. Quod si Globi non sint homogenei, spatium a Globo densiore descriptum augeri debet in ratione densitatis. Motus enim sub pari velocitate major est in ratione densitatis, & tempus (per hanc Propositionem) augetur in ratione motus directe, ac spatium descriptum in ratione temporis.

Corol. 5. Y si los Globos se mueven en Medios diversos, el espacio en el Medio que, caeteris paribus, ofrece mayor resistencia, deberá disminuirse en razón de la mayor resistencia. El tiempo pues (por esta Proposición) se disminuirá en razón de la resistencia, y el espacio en razón del tiempo.

# Lema II.

* El momento de una cantidad generada es igual a la suma de los momentos de cada uno de sus términos generadores, multiplicados continuamente por los índices de las potencias de sus respectivos lados y por sus coeficientes.

Genitam voco quantitatem omnem quæ ex Terminis quibuscunq; in Arithmetica per multiplicationem, divisionem, & extractionem radicum; in Geometria per inventionem vel contentorum & laterum, vel extremarum & mediarum proportionalium absq; additione & subductione generatur.

Ejusmodi Page 251 quantitates sunt Facti, Quoti, Radices, rectangula, quadrata, cubi, latera quadrata, latera cubica & similes.

Has quantitates ut indeterminatas & instabiles, & quasi motu fluxuve perpetuo crescentes vel decrescentes hic considero, & eorum incrementa vel decrementa momentanea sub nomine momentorum intelligo: ita ut incrementa pro momentis addititiis seu affirmativis, ac decrementa pro subductitiis seu negativis habeantur.

Cave tamen intellexeris particulas finitas. Momenta, quam primum finitæ sunt magnitudinis, desinunt esse momenta. Finiri enim repugnat aliquatenus perpetuo eorum incremento vel decremento. Intelligenda sunt principia jamjam nascentia finitarum magnitudinum. Neq; enim spectatur in hoc Lemmate magnitudo momentorum, sed prima nascentium proportio.

Eodem recidit si loco momentorum usurpentur vel velocitates incrementorum ac decrementorum, (quas etiam motus, mutationes & fluxiones quantitatum nominare licet) vel finitæ quævis quantitates velocitatibus hisce proportionales.

Termini autem cujusq; Generantis coefficiens est quantitas, quæ oritur applicando Genitam ad hunc Terminum.

Igitur sensus Lemmatis est, ut si quantitatum quarumcunq; perpetuo motu crescentium vel decrescentium A, B, C, &c. Momenta, vel mutationum velocitates dicantur a, b, c, &c. momentum vel mutatio rectanguli AB fuerit Ab + aB, & contenti ABC momentum fuerit ABc + AbC + aBC: & dignitatum A², A³, A⁴, A^1/₂, A^3/₂, A^1/₃, A^2/₃, 1 ÷ A, 1 ÷ A², & 1 ÷ A^1/₂ momenta 2Aa, 3aA², 4aA³, ¹/₂aA^-1/₂, ³/₂aA^1/₂, ¹/₃aA^-2/₃, ²/₃aA^-1/₃, -aA^-2, -2aA^-3, & -¹/₂aA^-3/₂ respective. Et generaliter ut dignitatis cujuscunq; A^{n ÷ m} momentum fuerit n ÷ m aA^{(n-m) ÷ m}.

Item si Genitæ A quad. × B momentum fuerit 2aAB + A²b; & Genitæ A³B⁴C² momentum 3aA²B⁴C² + 4A³bB³C² + 2A³B⁴Cc; & Genitæ A³ ÷ B² sive A³B^-2 momentum 3aA²B^-2 - 2A³bB^-3: & sic in cæteris.

Demonstratur vero Lemma in hunc modum.

Page 252

Cas. 1. Rectangulum quodvis motu perpetuo auctum AB, ubi de lateribus A & B deerant momentorum dimidia ½a & ½b, fuit A - ½a in B - ½b, seu AB - ½aB - ½Ab + ¼ab; & quam primum latera A & B alteris momentorum dimidiis aucta sunt, evadit A + ½a in B + ½b seu AB + ½aB + ½Ab + ¼ab. De hoc rectangulo subducatur rectangulum prius, & manebit excessus aB + Ab. Igitur laterum incrementis totis a & b generatur rectanguli incrementum aB + Ab. Q. E. D.

Cas. 2. Ponatur AB æquale G, & contenti ABC seu GC momentum (per Cas. 1.) erit gC + Gc, id est (si pro G & g scribantur AB & aB + Ab) aBC + AbC + ABc. Et par est ratio contenti sub lateribus quotcunq;. Q. E. D.

Cas. 3. Sean A, B, C iguales; y el momento de A², esto es, del rectángulo AB, será aB + Ab = 2aA, mientras que el momento de A³, esto es, del contenido ABC, será aBC + AbC + ABc = 3aA². Y por el mismo argumento, el momento de cualquier potencia Aⁿ es naA^{n - 1}. Q. E. D.

Cas. 4. De ahí que, como 1 ÷ A en A sea 1, el momento de 1 ÷ A multiplicado por A, junto con 1 ÷ A multiplicado por a, será el momento de 1, es decir, nada. Por tanto, el momento de 1 ÷ A o A^-1 es -a ÷ A². Y en general, como 1 ÷ Aⁿ en Aⁿ sea 1, el momento de 1 ÷ Aⁿ multiplicado por Aⁿ junto con 1 ÷ Aⁿ por naA^{n - 1} será nada. Y por ello el momento de 1 ÷ Aⁿ o A^-n será -na ÷ A^{n + 1}.   Q. E. D.

Cas. 5. Y como A^½ en A^½ es A, el momento del propio A^½ en 2A^½ será a, por el Cas. 3: y por tanto el momento del propio A^½ será a ÷ 2A^½ o bien Page 253 2aA^-½.

Y en general, si se pone A^{m ÷ n} igual a B, A^m será igual a Bⁿ, y por tanto maA^{m - 1} igual a nbB^{n - 1}, y maA^-1 igual a nbB^-1 o sea nb ÷ A^{m ÷ n}, por lo cual {m ÷ n}aA^{(m-n) ÷ n} igual a b, esto es, igual al momento del propio A^{m ÷ n}. Q. E. D.

Cas. 6. Igitur Genitæ cujuscunq; A^m Bⁿ momentum est momentum ipsius A^m ductum in Bⁿ, una cum momento ipsius Bⁿ ducto in A^m, id est maA^{m - 1} + nbB^{n - 1}; idq; sive dignitatum indices m & n sint integri numeri vel fracti, sive affirmativi vel negativi. Et par est ratio contenti sub pluribus dignitatibus.

Q. E. D.

Corol. 1. Hinc in continue proportionalibus, si terminus unus datur, momenta terminorum reliquorum erunt ut iidem termini multiplicati per numerum intervallorum inter ipsos & terminum datum. Sunto A, B, C, D, E, F continue proportionales; & si detur terminus C, momenta reliquorum terminorum erunt inter se ut -2A, -B, D, 2E, 3F.

Corol. 2. Et si en cuatro proporcionales se dan las dos medias, los momentos de las extremas serán como las mismas extremas. Lo mismo ha de entenderse respecto a los lados de cualquier rectángulo dado.

Corol. 3. Et si summa vel differentia duorum quadratorum detur, momenta laterum erunt reciproce ut latera.

# Escolio.

En las cartas que hace diez años intercambié con el perísimo geómetra G. G. Leibniz, al manifestarle que yo estaba en posesión de un método para determinar Máximos y Mínimos, trazar Tangentes y realizar operaciones similares, el cual procedía tanto con términos irracionales como racionales, y al ocultar esto mismo mediante letras transpositorias que envolvían esta sentencia [Dada una ecuación que envuelve cualesquiera cantidades fluentes, encontrar las fluxiones, y viceversa]: el Clarísimo Varón me respondió que él también había dado con un método de esta índole, y me comunicó su método, que apenas difiere del mío salvo en las fórmulas de las palabras y de los signos.

El fundamento de ambos se contiene en este Lema.

Prop. VIII. Theor. VI.

* Si corpus in Medio uniformi, Gravitate uniformiter agente, recta ascendat vel descendat, & spatium totum descriptum distinguatur in partes æquales, inq; principiis singularum partium (addendo resistentiam Medii ad vim gravitatis, quando corpus ascendit, vel subducendo ipsam quando corpus descendit) colligantur vires absolutæ; dico quod vires illæ absolutæ sunt in progressione Geometrica.

Exponédase pues la fuerza de la gravedad por la línea dada AC; la resistencia por la línea indefinida AK; la fuerza absoluta en el descenso del cuerpo por la diferencia KC; la velocidad del cuerpo por la línea AP (que sea media proporcional entre AK y AC, y por tanto en razón sesquiplicada [o duplicada reducida] de la resistencia); el incremento de la resistencia hecho en una partícula dada de tiempo por la línea pequeña KL, y el incremento contemporáneo de la velocidad por la línea pequeña PQ; y, con centro en C y asíntotas rectangulares CA, CH, descríbase una hipérbola cualquiera BNS, que corte en B, N, O, R, S a las perpendiculares AB, KN, LO, PR, QS levantadas.

Quoniam AK est ut APq., erit hujus momentum KL ut illius momentum 2APQ, id est ut AP in KC. Nam velocitatis incrementum PQ, per motus Leg. 2. proportionale est vi generanti KC.

Componatur ratio ipsius KL cum ratione ipsius KN, & fiet rectangulum KL × KN ut AP × KC × KN; hoc est, ob datum rectangulum KC × KN, ut AP.

Atqui areæ Hyperbolicæ Page 255 KNOL ad rectangulum KL × KN ratio ultima, ubi coeunt puncta K & L, est æqualitatis. Ergo area illa Hyperbolica evanescens est ut AP. Componitur igitur area tota Hyperbolica ABOL ex particulis KNOL velocitati AP semper proportionalibus, & propterea spatio velocitate ista descripto proportionalis est.

Dividatur jam area illa in partes æquales ABMI, IMNK, KNOL, &c. & vires absolutæ AC, IC, KC, LC, &c. erunt in progressione Geometrica. Q. E. D.

Y por un argumento semejante, tomándolas en el ascenso del cuerpo hacia la parte contraria al punto A, para las áreas iguales ABmi, imnk, knol, &c., constará que las fuerzas absolutas AC, iC, kC, lC, &c. son continuamente proporcionales. Y por tanto, si todos los espacios en el ascenso y descenso se toman iguales, todas las fuerzas absolutas lC, kC, iC, AC, IC, KC, LC, &c. serán continuamente proporcionales.   Q. E. D.

Page 256

Corol. 1. Hinc si spatium descriptum exponatur per aream Hyperbolicam ABNK; exponi possunt vis gravitatis, velocitas corporis & resistentia Medii per lineas AC, AP & AK respective; & vice versa.

Corol. 2. Et velocitatis maximæ, quam corpus in infinitum descendendo potest unquam acquirere, exponens est linea AC.

Corol. 3. Igitur si in data aliqua velocitate cognoscatur resistentia Medii, invenietur velocitas maxima, sumendo ipsam ad velocitatem illam datam in dimidiata ratione, quam habet vis Gravitatis ad Medii resistentiam illam cognitam.

Corol. 4. Pero también la partícula de tiempo, en el que se describe la partícula de espacio mínimo NKLO en el descenso, es como el rectángulo KN × PQ. Pues puesto que el espacio NKLO es como la velocidad multiplicada por la partícula de tiempo; la partícula de tiempo será como aquel espacio aplicado a la velocidad, es decir, como el rectángulo mínimo KN × KL aplicado a AP. Arriba era KL como AP × PQ. Por tanto, la partícula de tiempo es como KN × PQ, o lo que es igual, como PQ ÷ CK. Q. E. D.

Corol. 5. Eodem argumento particula temporis, quo spatii particula nklo in ascensu describitur, est ut pq ÷ Ck.

Prop. IX. Theor. VII.

*Positis jam demonstratis, dico quod si Tangentes angulorum sectoris Circularis & sectoris Hyperbolici sumantur velocitatibus proportionales, existente radio justæ magnitudinis: erit tempus omne ascensus futuri ut sector Circuli, & tempus omne descensus præteriti ut sector Hyperbolæ.*

Rectæ AC, qua vis gravitatis exponitur, perpendicularis & æqualis ducatur AD. Centro D semidiametro AD describatur tum circuli Quadrans AtE, tum Hyperbola rectangula AVZ Page 257 axem habens AX, verticem principalem A & Asymptoton DC. Jungantur Dp, DP, & erit sector circularis AtD ut tempus ascensus omnis futuri; & Sector Hyperbolicus ATD ut tempus descensus omnis præteriti, si modo Sectorem tangentes Ap & AP sint velocitates.

Cas. 1. Agatur enim Dvq abscindens Sectoris ADt & trianguli ADp momenta, seu particulas quam minimas simul descriptas tDv & pDq.

Cum particulæ illæ, ob angulum communem D, sunt in duplicata ratione laterum, erit particula tDv ut qDp ÷ pD quad.

Sed pD quad. est AD quad. + Ap quad. id est AD quad. + Ak × AD seu AD × Ck; & qDp est ½AD × pq.

Ergo Sectoris particula vDt est ut pq ÷ Ck, id est, per Corol. 5, Prop. VIII. ut particula temporis.

Et componendo fit summa particularum omnium tDv in Sectore ADt, ut summa particularum temporis singulis velocitatis decrescentis Ap particulis amissis pq Page 258 respondentium, usq; dum velocitas illa in nihilum diminuta evanuerit; hoc est, Sector totus ADt est ut ascensus totius futuri tempus.

Q. E. D.

Cas. 2. Agatur DQV abscindens tum Sectoris DAV, tum trianguli DAQ particulas quam minimas TDV & PDQ; & erunt hæ particulæ ad invicem ut DTq. ad DPq. id est (si TX & AP parallelæ sint) ut DXq. ad DAq. vel TXq. ad APq. & divisim ut DXq. - TXq. ad ADq. - APq. Sed ex natura Hyperbolæ DXq. - TXq. est ADq., & per Hypothesin APq. est AD × AK. Ergo particulæ sunt ad invicem ut ADq. ad ADq. - AD × AK; id est ut AD ad AD - AK seu AC ad CK: ideoq; Sectoris particula TDV est PDQ × AC ÷ CK, atq; adeo ob datas AC & AD, ut PQ ÷ CK; & propterea per Corol. 5. Prop. Page 259 VIII. Lib. II. ut particula temporis incremento velocitatis PQ respondens. Et componendo fit summa particularum temporis, quibus omnes velocitatis AP particulæ PQ generantur, ut summa particularum Sectoris ADT, id est tempus totum ut Sector totus. Q. E. D.

Corol. 1. Hinc si AB æquetur quartæ parti ipsius AC, spatium ABRP, quod corpus tempore quovis ATD cadendo describit, erit ad spatium quod corpus semisse velocitatis maximæ AC, eodem tempore uniformiter progrediendo describere potest, ut area ABRP, qua spatium cadendo descriptum exponitur, ad aream ATD qua tempus exponitur. Nam cum sit AC ad AP ut AP ad AK, erit 2APQ æquale AC × KL (per Corol. 1. Lem. II. hujus) adeoq; KL ad PQ ut 2AP ad AC, & inde LKN ad PQ × ½AD seu DPQ ut 2AP × KN ad ½AC × AD. Sed erat DPQ ad DTV ut CK ad AC. Ergo ex æquo LKN est ad DTV ut 2AP × KN × CK ad ½AC cub.; id est, ob æquales CKN & ¼ACq., ut AP ad AC; hoc est ut velocitas corporis cadentis ad velocitatem maximam quam corpus cadendo potest acquirere. Cum igitur arearum ABKN & AVD momenta LKN & DTV sunt ut velocitates, erunt arearum illarum partes omnes simul genitæ ut spatia simul descripta, ideoq; areæ totæ ab initio genitæ ABKN & AVD ut spatia tota ab initio descensus descripta.

Q. E. D.

Corol. 2. Idem consequitur etiam de spatio quod in ascensu describitur. Nimirum quod spatium illud omne sit ad spatium, uniformi cum velocitate AC eodem tempore descriptum, ut est area ABnk ad Sectorem ADt.

Corol. 3. La velocidad del cuerpo que cae en el tiempo ATD es a la velocidad que adquiriría en el mismo tiempo en un espacio no resistente, como el triángulo APD al Sector Hiperbólico ATD. Pues la velocidad en el Medio no resistente sería como el tiempo ATD, y en el Medio resistente es como AP, esto es, como el triángulo APD. Y aquellas velocidades al principio del descenso se aúnan entre sí, de la misma manera que aquellas áreas ATD, APD.

Page 260

Corol. 4. Eodem argumento velocitas in ascensu est ad velocitatem, qua corpus eodem tempore in spatio non resistente omnem suum ascendendi motum amittere posset, ut triangulum ApD ad Sectorem circularem AtD, sive ut recta Ap ad arcum At.

Corol. 5. Es, por tanto, el tiempo en que el cuerpo, al caer en medio resistente, adquiere la velocidad AP, al tiempo en que podría adquirir la velocidad máxima AC al caer en espacio no resistente, como el Sector ADT al triángulo ADC: y el tiempo en que puede perder la velocidad Ap al ascender en medio resistente, al tiempo en que podría perder la misma velocidad al ascender en espacio no resistente, como el arco At a su Tangente Ap.

Corol. 6. Hinc ex dato tempore datur spatium ascensu vel descensu descriptum. Nam corporis in infinitum descendentis datur velocitas maxima, per Corol. 2. & 3. Theor. VI, Lib. II. indeq; datur & spatium quod semisse velocitatis illius dato tempore describi potest, & tempus quo corpus velocitatem illam in spatio non resistente cadendo posset acquirere. Et sumendo Sectorem ADT vel ADt ad triangulum ADC in ratione temporum; dabitur tum velocitas AP vel Ap, tum area ABKN vel ABkn, quæ est ad Sectorem ut spatium quæsitum ad spatium jam ante inventum.

Corol. 7. Et regrediendo, ex dato ascensus vel descensus spatio ABnk vel ABNK, dabitur tempus ADt vel ADT.

Prop. X. Prob. III.

*Tendat uniformis vis gravitatis directe ad planum Horizontis, sitq; resistentia ut medii densitas & quadratum velocitatis conjunctim: requiritur tum Medii densitas in locis singulis, quæ faciat ut corpus in data quavis linea curva moveatur, tum corporis velocitas in iisdem locis.*

Sea AK planum illud plano Schematis perpendiculare; ACK linea curva; C corpus in ipsa motum; & FCf recta ipsam Page 261 tangens in C. Fingatur autem corpus C nunc progredi ab A ad K per lineam illam ACK, nunc vero regredi per eandem lineam; & in progressu impediri a Medio, in regressu æque promoveri, sic ut in iisdem locis eadem semper sit corporis progredientis & regredientis velocitas. Æqualibus autem temporibus describat corpus progrediens arcum quam minimum CG, & corpus regrediens arcum Cg; & sint CH, Ch longitudines æquales rectilineæ, quas corpora de loco C exeuntia, his temporibus, absq; Medii & Gravitatis actionibus describerent: & a punctis C, G, g, ad planum horizontale AK demittantur perpendicula CB, GD, gd, quorum GD ac gd tangenti occurrant in F & f. Per Medii resistentiam fit ut corpus progrediens, vice longitudinis CH, describat solummodo longitudinem CF; & per vim gravitatis transfertur corpus de F in G: adeoq; lineola HF vi resistentiæ, & lineola FG vi gravitatis simul generantur. Proinde (per Lem. X. Lib. I.) lineola FG est ut vis gravitatis & quadratum temporis conjunctim, adeoq; (ob datam gravitatem) ut quadratum temporis; & lineola HF ut resistentia & quadratum temporis, hoc est ut resistentia & lineola FG. Et inde resistentia fit ut HF directe & FG inverse, sive ut HF ÷ FG. Hæc ita se habent in lineolis nascentibus. Nam in lineolis finitæ magnitudinis hæ rationes non sunt accuratæ.

Y por semejante argumento fg es como el cuadrado del tiempo, y por tanto, debido a los tiempos iguales, se iguala al propio FG; y el impulso con el que el cuerpo que retrocede es urgido es como hf ÷ fg. Mas el impulso del cuerpo que retrocede Page 262 y la resistencia del que avanza al propio inicio del movimiento se igualan, y por tanto también los a ellos proporcionales hf ÷ fg y HF ÷ FG se igualan; y por ello, debido a los iguales fg y FG, se igualan también hf y HF, y son por tanto CF, CH (o Ch) y Cf en progresión aritmética, y de ahí HF es la semidiferencia de las propias Cf y CF; y la resistencia que arriba fue como HF ÷ FG, es como {Cf - CF} ÷ FG.

Est autem resistentia ut Medii densitas & quadratum velocitatis. Velocitas autem ut descripta longitudo CF directe & tempus √FG inverse, hoc est ut CF ÷ √FG, adeoq; quadratum velocitatis ut CFq. ÷ FG.

Quare resistentia, ipsiq; proportionalis {Cf - CF} ÷ FG est ut Medii densitas & ut CFq. ÷ FG conjunctim; & inde Medii densitas ut {Cf - CF} ÷ FG directe & CFq. ÷ FG inverse, id est ut {Cf - CF} ÷ CFq.

Q. E. I.

Corol. 1. Y de aquí se infiere que, si en Cf se toma Ck igual a CF, y al plano horizontal AK se baja la perpendicular ki, que corta a la curva ACK en l; la densidad del Medio será como {FG - kl} ÷ {CF × FG + kl}. Pues fC será a kC como √fg o √FG es a √kl, y dividendo fk a kC, esto es, Cf - CF a CF como √FG - √kl a √kl; esto es (si se multiplica uno y otro término por √FG + √kl) como FG - kl a kl + √FG × kl, o a FG + kl. Pues la razón primera de los nacientes kl + √FG × kl y FG + kl es de igualdad. Escríbase, por tanto, {FK - Kl} ÷ {FK + Kl} en lugar de {Cf - CF} ÷ CF; y la densidad del Medio, que era como {Cf - CF} ÷ CF quad., se convertirá en {FG - kl} ÷ {CF × FG + kl}.

Página 263

Corol. 2. Unde cum 2HF & Cf - CF æquentur, & FG & kl (ob rationem æqualitatis) componant 2FG; erit 2HF ad CF ut FG - kl ad 2FG; et inde HF ad FG, hoc est resistentia ad gravitatem, ut rectangulum CF in FG - kl ad 4FG quad.

Corol. 3. Y de aquí, si una línea curva se define por la relación entre la base o abscisa AB y la ordenada aplicada BC (como es costumbre), y el valor de la ordenada aplicada se resuelve en una serie convergente: El problema se resolverá expeditamente mediante los primeros términos de la serie: como en los Ejemplos siguientes.

Exempl. 1. Sea la línea ACK un semicírculo descrito sobre el diámetro AK, y requiérase la densidad del medio que haga que el proyectil se mueva en esta línea.

Bisecetur semicirculi diameter AK in O; & dic OK n, OB a, BC e, & BD vel Bi o: & erit DGq. seu OGq. - ODq. æquale nn - aa - 2ao - oo seu ee - 2ao - oo; & radice per methodum nostram extracta, fiet DG = e - ao ÷ e - oo ÷ 2e - aaoo ÷ 2e³ - ao³ ÷ 2e³ - a³o³ ÷ 2e⁵ &c. Hic scribatur nn pro ee + aa & evadet DG = e - ao ÷ e - nnoo ÷ 2e³ - anno³ ÷ 2e⁵ &c.

Divido esta clase de series en términos sucesivos de este modo. Llamo primer término a aquel en el que la cantidad infinitamente pequeña o no existe; segundo, a aquel en el que dicha cantidad existe en una sola dimensión; tercero, en el que existe en dos; cuarto, en el que hay tres, y así hasta el infinito. Y el primer término, que aquí es e, denotará siempre la longitud de la ordenada BC situada sobre el origen B de la cantidad indefinida; el segundo Page 264 término, que aquí es ao ÷ e, denotará la diferencia entre BC y DF, es decir, la lineíta IF, que se intercepta completando el paralelogramo BC - ID, y por lo tanto determina siempre la posición de la tangente CF: como en este caso tomando IF respecto a IC como ao ÷ e es a o o a a e. El tercer término, que aquí es nnoo ÷ 2e³, designará la lineíta FG, que yace entre la tangente y la curva, y por lo tanto determina el ángulo de contacto FCG, o la curvatura que la línea curva tiene en C. Si dicha lineíta FG es de magnitud finita, será designada por el tercer término junto con los siguientes hasta el infinito. Mas si dicha lineíta se reduce al infinito, los términos siguientes se volverán infinitamente menores que el tercero, y por tanto podrán despreciarse. El cuarto término, que aquí es anno³ ÷ 2e⁵, muestra la variación de la curvatura; el quinto, la variación de la variación, y así sucesivamente. De donde se hace evidente de paso el uso nada despreciable de estas series en la solución de problemas que dependen de las tangentes y de la curvatura de las curvas.

Præterea CF est latus quadratum ex CIq. & IFq. hoc est ex BDq. & quadrato termini secundi. Estq; FG + kl æqualis duplo termini tertii, & FG - kl æqualis duplo quarti. Nam valor ipsius DG convertitur in valorem ipsius il, & valor ipsius FG in valorem ipsius kl, scribendo Bi pro BD, seu -o pro +o. Proinde cum FG sit - nnoo ÷ 2e³ - anno³ ÷ 2e⁵ &c. erit kl = - nnoo ÷ 2e³ + anno³ ÷ 2e⁵, &c. Et horum summa est - nnoo ÷ e³, differentia - anno³ ÷ e⁵. Terminum quintum & sequentes hic negligo, ut infinite minores quam qui in hoc Problemate considerandi veniant.

Itaq; si designetur Series universaliter his terminis ± Qo - Roo - So³ &c. erit CF æqualis √oo + QQoo, FG + kl æqualis 2Roo, & FG - kl æqualis 2So³. Pro CF, FG + kl & FG - kl scribantur Page 265 hi earum valores, & Medii densitas quæ erat ut {FG - kl} ÷ {CF in FG + kl} jam fiet ut S ÷ {R √1 + QQ}.

Deducendo igitur Problema unumquodq; ad seriem convergentem, & hic pro Q, R & S scribendo terminos seriei ipsis respondentes; deinde etiam ponendo resistentiam Medii in loco quovis G esse ad Gravitatem ut S√1 + QQ ad 2RR, & velocitatem esse illam ipsam quacum corpus, de loco C secundum rectam CF egrediens, in Parabola, diametrum CB & latus rectum {1 + QQ} ÷ R habente, deinceps moveri posset, solvetur Problema.

Así pues, en el Problema que ya se está resolviendo, si se escribe $\sqrt{1+aa}÷ee$ o bien $n÷e$ en lugar de $\sqrt{1+QQ}$, $nn÷2e^3$ en lugar de $R$, y $ann÷2e^3$ en lugar de $S$, resultará la densidad del Medio como $a÷ne$, esto es (dado $n$) como $a÷e$ o $OB÷BC$, es decir, como aquella longitud de la tangente $CT$, que termina en el semidiámetro $OL$ situado normalmente respecto a dicho $AK$, y la resistencia será a la gravedad como $a$ es a $n$, esto es, como $OB$ es al semidiámetro del círculo $OK$, mientras que la velocidad será como $\sqrt{2BC}$.

Por tanto, si un cuerpo $C$ con cierta velocidad, según una línea paralela a dicho $OK$, sale del lugar $L$, y la densidad del Medio en los lugares individuales $C$ es como la longitud de la tangente $CT$, y la resistencia también en algún lugar $C$ es a la fuerza de gravedad como $OB$ es a $OK$; dicho cuerpo describirá el cuadrante de círculo $LCK$.   Q. E. I.

At si corpus idem de loco A secundum lineam ipsi AK Page 266 perpendicularem egrederetur, sumenda esset OB seu a ad contrarias partes centri O, & propterea signum ejus mutandum esset, & scribendum -a pro +a. Quo pacto prodiret Medii densitas ut -a ÷ e. Negativam autem densitatem (hoc est quæ motus corporum accelerat) Natura non admittit, & propterea naturaliter fieri non potest ut corpus ascendendo ab A describat circuli quadrantem AL. Ad hunc effectum deberet corpus a Medio impellente accelerari, non a resistente impediri.

Exempl. 2. Sit linea ALCK Parabola, axem habens OL horizonti AK perpendicularem, & requiratur Medii densitas quæ faciat ut projectile in ipsa moveatur.

Ex natura Parabolæ, rectangulum ADK æquale est rectangulo sub ordinata DG & recta aliqua data: hoc est, si dicantur recta illa b, AB a, AK c, BC e & BD o; rectangulum a + o in c - a - o seu ac - aa - 2ao + co - oo æquale est rectangulo b in DG, adeoq; DG æquale {ac - aa} ÷ b + {{c - 2a} ÷ b}o - oo ÷ b.

Jam scribendus esset hujus seriei secundus terminus {{c - 2a} ÷ b} o pro Qo, & ejus coefficiens {c - 2a} ÷ b pro Q; tertius item terminus oo ÷ b pro Roo, & ejus coefficiens 1 ÷ b pro R.

Cum vero plures non sint termini, debebit quarti termini So³ coefficiens S evanescere, & propterea quantitas S ÷ {R√1 + QQ} cui Medii densitas proportionalis est, nihil erit. Nulla igitur Medii densitate movebitur Projectile in Parabola, uti olim demonstravit Galilæus.

Q. E. I.

Exempl. 3. Sea la línea AGK una hipérbola, que tiene como asíntota a NX, perpendicular al plano horizontal AK; y búsquese la densidad del medio que hace que un proyectil se mueva en esta línea.

Sea MX la otra asíntota, que encuentra a la ordenada aplicada DG Page 267 prolongada en V, y por la naturaleza de la Hipérbola, se dará el rectángulo XV por VG. Se da además la razón de DN a VX, y por tanto se da también el rectángulo DN por VG. Sea este bb; y completado el paralelogramo DNXZ, llámese BN a, BD o, NX c, y póngase que la razón dada VZ a ZX o DN es m ÷ n. Y DN será igual a a - o, VG igual a bb ÷ {a - o}, VZ igual a m ÷ n a - o, y GD o NX - VZ - VG igual a c - {m ÷ n}a + {m ÷ n}o - bb ÷ {a - o}.

Redúzcase el término bb ÷ {a - o} en una serie convergente bb ÷ a + {bb ÷ aa}o + {bb ÷ a³}oo + {bb ÷ a⁴}o³ etc. y GD se hará igual a c - {m ÷ n}a - bb ÷ a + {m ÷ n}o - {bb ÷ aa}o - {bb ÷ a³}o² - {bb ÷ a⁴}o³ &c.

El segundo término de esta serie {m ÷ n}o - {bb ÷ aa}o debe emplearse para Qo, el tercero con el signo cambiado {bb ÷ a³}o² para Ro², y el cuarto con el signo también cambiado {bb ÷ a⁴}o³ para So³, y sus coeficientes m ÷ n - bb ÷ aa, bb ÷ a³ y bb ÷ a⁴ deben escribirse, Page 268 en la Regla superior, para Q, R y S. Hecho lo cual, la densidad del medio resulta como

su

est, si in VZ sumatur VY æqualis VG, ut 1 ÷ XY. Namq; aa & {mm ÷ nn}aa - 2mbb ÷ n + b⁴ ÷ aa sunt ipsarum XZ & ZY quadrata.

Resistentia autem invenitur in ratione ad Gravitatem quam habet XY ad YG, & velocitas ea est quacum corpus in Parabola pergeret verticem G diametrum DG & latus rectum YX quad. ÷ VG habente.

Ponatur itaq; quod Medii densitates in locis singulis G sint reciproce ut distantiæ XY, quodq; resistentia in loco aliquo G sit ad gravitatem ut XY ad YG; & corpus de loco A justa cum velocitate emissum describet Hyperbolam illam AGK.

Q. E. I.

Exempl. 4. Supóngase indefinidamente, que la línea AGK es una Hipérbola, descrita con centro X y asíntotas MX, NX, bajo la condición de que, construido el rectángulo XZDN cuyo lado ZD corta a la Hipérbola en G y a su asíntota en V, VG sea recíprocamente proporcional a alguna potencia de la propia ZX o DN, a saber, NDⁿ, cuyo índice es el número n: y se busca la densidad del medio con la que un proyectil avanza en esta curva.

Pro DN, BD, NX scribantur A, O, C respective, sitq; VZ ad ZX vel DN ut d ad e, & VG æqualis bb ÷ DNⁿ, & erit DN æqualis A - O, VG = bb ÷ {A - O}ⁿ, VZ = d ÷ e in A - O, & GD seu NX - VZ - VG æqualis C - {d ÷ e}A + {d ÷ e}O - bb ÷ {A - O}ⁿ. Resolvatur terminus ille bb ÷ {A - O}ⁿ in seriam infinitam

ac fiet GD æqualis

Página 269

El segundo término de esta serie {d ÷ e}O - {nbb ÷ Aⁿ⁺¹}O ha de usarse para Qo, el tercero {{nn + n} ÷ 2Aⁿ⁺²}bbO² para Ro², el cuarto {{n³ + 3nn + 2n} ÷ 6Aⁿ⁺³}bbO³ para So³. Y de ahí la densidad del Medio S ÷ {R × √1 + QQ}, en un lugar cualquiera G, se vuelve

adeoq; si in VZ capiatur VY æqualis n × VG, est reciproce ut XY. Sunt enim A² & {dd ÷ ee}A² - 2dnbb ÷ eAⁿ in A + nnb⁴ ÷ A²ⁿ ipsarum XZ & ZY quadrata.

Resistentia autem in eodem loco G fit ad Gravitatem ut S in XY ÷ A ad 2RR, id est XY ad {{3nn + 3n} ÷ {n + 2}}VG.

Et velocitas ibidem ea ipsa est quacum corpus projectum in Parabola pergeret, verticem G, diametrum GD & Latus rectum {1 + QQ} ÷ R seu 2XY quad. ÷ {nn + n in VG} habente. Q. E. I.

# Escolio.

Quoniam motus non fit in Parabola nisi in Medio non resistente, in Hyperbolis vero hic descriptis fit per resistentiam perpetuam; perspicuum est quod linea, quam Projectile in Medio uniformiter resistente describit, propius accedit ad Hyperbolas hasce quam ad Parabolam.

Est utiq; linea illa Hyperbolici generis, sed quæ circa verticem magis distat ab Asymptotis; in partibus a vertice remotioribus propius ad ipsas accedit quam pro ratione Hyperbolarum quas hic descripsi.

Tanta vero non Page 270 est inter has & illam differentia, quin illius loco possint hæ in rebus practicis non incommode adhiberi. Et utiliores forsan futuræ sunt hæ, quam Hyperbola magis accurata & simul magis composita. Ipsæ vero in usum sic deducentur.

Compleatur parallelogrammum XYGT, & ex natura harum Hyperbolarum facile colligitur quod recta GT tangit Hyperbolam in G, ideoq; densitas Medii in G est reciproce ut tangens GT, & velocitas ibidem ut √{GTq. ÷ GV}, resistentia autem ad vim gravitatis ut GT ad {{3nn + 3n} ÷ {n + 2}}GV.

Proinde si corpus de loco A secundum rectam AH projectum describat Hyperbolam AGK, & AH producta occurrat Asymptoto NX in H, actaq; AI occurrat alteri Asymptoto MX in I: erit Medii densitas in A reciproce ut AH, & corporis velocitas ut √{AHq. ÷ AI}, ac resistentia ibidem ad Gravitatem ut AH ad {3nn + 3n} ÷ {n + 2} in AI. Unde prodeunt sequentes Regulæ.

Reg. 1. Si servetur Medii densitas in A & mutetur angulus NAH, manebunt longitudines AH, AI, HX. Ideoq; si longitudines illæ in aliquo casu inveniantur, Hyperbola deinceps ex dato quovis angulo NAH expedite determinari potest.

Reg. 2. Si servetur tum angulus NAH tum Medii densitas in A, & mutetur velocitas quacum corpus projicitur; servabitur longitudo AH, & mutabitur AI in duplicata ratione velocitatis reciproce.

Reg. 3. Si tam angulus NAH quam corporis velocitas in A, gravitasq; acceleratrix servetur, & proportio resistentiæ in A ad gravitatem motricem augeatur in ratione, quacunque: augebitur proportio AH ad AI eadem ratione, manente Parabolæ latere recto, eiq; proportionali longitudine AHq. ÷ AI; & propterea minuetur AH in eadem ratione, & AI minuetur in ratione illa Page 271 duplicata. Augetur vero proportio resistentiæ ad pondus, ubi vel gravitas specifica sub æquali magnitudine fit minor, vel Medii densitas major, vel resistentia, ex magnitudine diminuta, diminuitur in minore ratione quam pondus.

Reg. 4. Quoniam densitas Medii prope verticem Hyperbolæ major est quam in loco A, ut servetur densitas mediocris, debet ratio minimæ tangentium GT ad Tangentem AH inveniri, & densitas in A, per Regulam tertiam, diminui in ratione paulo minore quam semisummæ Tangentium ad Tangentium AH.

Reg. 5. Si dantur longitudines AH, AI, & describenda sit figura AGK: produc HN ad X, ut sit HX æqualis facto sub n + 1 & AI; centroq; X & Asymptotis MX, NX per punctum A describatur Hyperbola, ea lege ut sit AI ad quamvis VG ut XVⁿ ad XIⁿ.

Reg. 6. Quo major est numerus n, eo magis accuratæ sunt hæ Hyperbolæ in ascensu corporis ab A, & minus accuratæ in ejus descensu ad G; & contra. Hyperbola Conica mediocrem rationem tenet, estq; cæteris simplicior.

Igitur si Hyperbola sit hujus generis, & punctum K, ubi corpus projectum incidet in rectam quamvis AN per punctum A transeuntem, quæratur: occurrat producta AN Asymptotis MX, NX in M & N, & sumatur NK ipsi AM æqualis.

Reg. 7. Y de aquí es evidente el método expedito para determinar esta Hipérbola a partir de los Fenómenos. Proyéctense dos cuerpos similares e iguales con la misma velocidad, en ángulos diferentes HAK, hAk, e incidan en el plano del Horizonte en K y k; y nótese la proporción de AK a Ak. Sea esta de d a e. Luego, erigido un perpendicular de cualquier longitud AI, asúmase a discreción la longitud AH o Ah, y de ahí dedúzcanse gráficamente las longitudes AK, Ak, mediante la Reg. 6. Si la razón de AK a Ak es la misma que la razón de d a e, la longitud AH se asumió correctamente. Si no, tómese en la recta infinita SM la longitud SM igual a la asumida AH, y eríjase una perpendicular MN Page 272 igual a la diferencia de las razones AK ÷ Ak - d ÷ e multiplicada por cualquier recta dada. De similar método, a partir de varias longitudes asumidas AH han de encontrarse varios puntos N: y entonces por fin, si por todos se traza una línea Curva regular NNXN, esta cortará SX igual a la longitud AH buscada. Para usos Mecánicos basta con retener las mismas longitudes AH, AI en todos los ángulos HAK. Mas si la figura ha de determinarse con mayor precisión para hallar la resistencia del Medio, deben corregirse siempre estas longitudas mediante la Regla cuarta.

Reg. 8. Inventis longitudinibus AH, HX; si jam desideretur positio rectæ AH, secundum quam Projectile data illa cum velocitate emissum incidit in punctum quodvis K: ad puncta A & K erigantur rectæ AC, KF horizonti perpendiculares, quarum AC deorsum tendat, & æquetur ipsi AI seu ½HX. Asymptotis AK, KF describatur Hyperbola, cujus Conjugata transeat per punctum C, centroq; A & intervallo AH describatur Circulus secans Hyperbolam illam in Page 273 puncto H; & projectile secundum rectam AH emissum incidet in punctum K. Q. E. I.

Nam punctum H, ob datam longitudinem AH, locatur alicubi in circulo descripto. Agatur CH occurrens ipsis AK & KF, illi in C, huic in F, & ob parallelas CH, MX & æquales AC, AI, erit AE æqualis AM, & propterea etiam æqualis KN. Sed CE est ad AE ut FH ad KN, & propterea CE & FH æquantur. Incidit ergo punctum H in Hyperbolam Asymptotis AK, KF descriptam, cujus conjugata transit per punctum C, atq; adeo reperitur in communi intersectione Hyperbolæ hujus & circuli descripti. Q. E. D.

Notandum est autem quod hæc operatio perinde se habet, sive recta AKN horizonti parallela sit, sive ad horizontem in angulo quovis inclinata: quodq; ex duabus intersectionibus H, H duo prodeunt anguli NAH, NAH, quorum minor eligendus est; & quod in Praxi mechanica sufficit circulum semel describere, deinde regulam interminatam CH ita applicare ad punctum C, ut ejus pars FH, circulo & rectæ FK interjecta, æqualis sit ejus parti CE inter punctum C & rectam HK sitæ.

Lo que se ha dicho sobre las hipérbolas se aplica fácilmente a las parábolas. Pues si XAGK designa una parábola que la recta XV toca en el vértice X, y sean las ordenadas aplicadas IA, VG como cualesquiera potencias de las abscisas XI, XV, a saber, XIⁿ, XVⁿ; condúzcanse XT, TG, HA, de las cuales XT sea paralela a VG, y TG, HA toquen la parábola en G y A: y un cuerpo desde un lugar cualquiera A, según la recta AH prolongada, arrojado con la velocidad justa, describirá esta Parábola, con tal que la densidad del Medio, en los lugares singulares G, sea recíprocamente como la tangente GT.

La velocidad, por su parte, en G será aquella con la que el Proyectil avanzaría, Page 274 en un espacio no resistente, en una Parábola Cónica, teniendo por vértice G, por diámetro VG prolongado hacia abajo, y por lado recto √{2TGq. ÷ {nn - n XVG}}. Y la resistencia en G será a la fuerza de la Gravedad como TG a {{3nn - 3n} ÷ {n - 2}}VG.

De donde si NAK designa una línea horizontal, y permaneciendo tanto la densidad del Medio en A, como la velocidad con la que el cuerpo es proyectado, se cambia de cualquier modo el ángulo NAH; permanecerán las longitudes AH, AI, HX, y de ahí se da el vértice de la parábola X, y la posición de la recta XI, y tomando VG respecto a IA como XVⁿ respecto a XIⁿ, se dan todos los puntos de la Parábola G, por los cuales el Proyectil pasará.