De Corporum Ascensu & Descensu Rectilineo.
Prop. XXXII. Prob. XXIV.
*Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distantiæ locorum a centro, spatia definire quæ corpus recta cadendo datis temporibus describit.*
Cas. 1. Si el cuerpo no cae perpendicularmente, describirá alguna sección cónica cuyo foco inferior coincide con el centro. Esto consta por las Proposiciones XI, XII, XIII y sus Corolarios.
Sea dicha sección cónica ARPB y el foco inferior S. Y primeramente, si aquella Figura es una Elipse, sobre el eje mayor de esta AB descríbase un semicírculo ADB, y por el cuerpo que cae pase la línea recta DPC perpendicular al eje; y trazadas DS, PS, el área ASD será proporcional al área ASP y por tanto también al tiempo.
Permaneciendo el eje AB, redúzcase continuamente la latitud de la Elipse, y siempre el área ASD permanecerá proporcional al tiempo. Redúzcase aquella latitud hasta el infinito, y coincidiendo ya el orbe APB con el eje AB y el foco S con el extremo del eje B, el cuerpo descenderá por la línea recta AC, y el área ABD resultará proporcional al tiempo.
Se dará, por lo tanto, el espacio AC que el cuerpo, al caer perpendicularmente desde el lugar A, describe en un tiempo dado, con tal de que el área ABD se tome proporcional al tiempo, y desde el punto D se baje una perpendicular DC a la línea recta AB.
Q. E. I.
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Cas. 2. Sin figura superior RPB Hyperbola est, describatur ad eandem diametrum principalem AB Hyperbola rectangula BD: & quoniam areæ CSP, CBfP, SPfB sunt ad areas CSD, CBED, SDEB, singulæ ad singulas, in data ratione altitudinum CP, CD; & area SPfB proportionalis est tempori quo corpus P movebitur per arcum PB, erit etiam area SDEB eidem tempori proportionalis. Minuatur latus rectum Hyperbolæ RPB in infinitum manente latere transverso, & coibit arcus PB cum recta CB, & umbilicus S cum vertice B & recta SD cum recta BD. Proinde area BDEB proportionalis erit tempori quo corpus C recto descensu describit lineam CB. Q. E. I.
Cas. 3. Y por un argumento semejante, si la figura RPB es una parábola, y con el mismo vértice principal B se describe otra parábola BED que permanezca siempre dada, mientras la parábola anterior, en cuyo perímetro se mueve el cuerpo P, con su lado recto disminuido y reducido a la nada, coincide con la línea CB, el segmento parabólico BDEB se hará proporcional al tiempo en que dicho cuerpo P o C descienda hacia el centro B. Q. E. I.
### Prop. XXXIII. Theor. IX.
*Positis jam inventis, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis*C*est ad velocitatem corporis centro*B*intervallo*BC*circulum describentis, in dimidiata ratione quam*CA*, distantia corporis a Circuli vel Hyperbolæ vertice ulteriore*A*, habet ad figuræ semidiametrum principalem ½*AB*.*
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Namq; ob proportionales CD, CP, linea AB communis est utriusq; figuræ RPB, DEB diameter. Bisecetur eadem in O, & agatur recta PT quæ tangat figuram RPB in P, atq; etiam secet communem illam diametrum AB (si opus est productam) in T; sitq; SY ad hanc rectam & BQ ad hanc diametrum perpendicularis, atq; figuræ RPB latus rectum ponatur L.
Constat per Cor. 9. Theor. VIII. quod corporis in linea RPB circa centrum S moventis velocitas in loco quovis P sit ad velocitatem corporis intervallo SP circa idem centrum circulum describentis in dimidiata ratione rectanguli ½L × SP ad SY quadratum.
Est autem ex Conicis ACB ad CPq. ut 2AO ad L, adeoq; 2CPq. × AO ÷ ACB æquale L.
Ergo velocitates illæ sunt ad invicem in dimidiata ratione CPq. × AO × SP ÷ ACB ad SY quad.
Porro ex Conicis est CO ad BO ut BO ad TO, & composite vel divisim ut CB ad BT. Unde dividendo vel componendo fit BO - uel + CO ad BO ut CT ad BT, id est AC ad AO ut CP ad BQ; indeq; CPq. × AO × SP ÷ ACB æquale est BQq. × AC × SP ÷ {AO × BC}.
Minuatur jam in infinitum figuræ RPB latitudo CP, sic ut punctum P coeat cum puncto C, punctumq; S cum puncto B, & linea SP cum linea BC, lineaq; SY cum linea BQ; & corporis jam recta descendentis in linea CB velocitas fiet ad velocitatem corporis centro B interuallo BC circulum describentis, in dimidiata ratione ipsius BQq. × AC × SP ÷ {AO × BC} ad SYq. hoc est (neglectis æqualitatis rationibus SP ad BC & BQq. ad SYq.) in dimidiata ratione AC ad AO.
Q. E. D.
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Corol. Punctis B & S coeuntibus, fit TC ad ST ut AC ad AO.
### Prop. XXXIV. Teor. X.
*Si figura*BED*Parabola est, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis*C*æqualis est velocitati qua corpus centro*B*dimidio intervalli sui*BC*circulum uniformiter describere potest.*
Nam corporis Parabolam RPB circa centrum S describentis velocitas in loco quovis P (per Corol. 7. Theor. VIII) æqualis est velocitati corporis dimidio intervalli SP circulum circa idem S uniformiter describentis.
Minuatur Parabolæ latitudo CP in infinitum eo, ut arcus Parabolicus PfB cum recta CB, centrum S cum vertice B, & interuallum SP cum intervallo BP coincidat, & constabit Propositio.
Q. E. D.
Prop. XXXV. Theor. XI.
*Iisdem positis, dico quod area figuræ*DES*, radio indefinito*SD*descripta, æqualis sit areæ quam corpus, radio dimidium lateris recti figuræ*DES*æquante, circa centrum*S*uniformiter gyrando, eodem tempore describere potest.*
Imagínese ahora que un cuerpo C describe al caer una pequeña línea Cc en la menor partícula de tiempo posible, y que entretanto otro cuerpo K, girando uniformemente en un círculo OKk alrededor del centro S, describe el arco Kk Page 119. Levántense perpendiculares CD, cd que concurran con la figura DES en D, d. Unanse SD, SK, Sk y trácese Dd que concurra con el eje AS en T, y a ella bájese la perpendicular SY.
Cas. 1. Si jam si la figura DES es una elipse o una hipérbola, biséquese su diámetro transversal AS en O, y SO será la mitad del lado recto. Y puesto que TC es a TD como Cc es a Dd, y TD es a TS como CD es a SY, por razón aequi [ex æquo] TC será a TS como CD × Cc es a SY × Dd. Mas por el Corolario de la Proposición 33, TC es a ST como AC es a AO, esto es, si en la coincidencia de los puntos D, d se toman las razones últimas de las líneas. Luego AC es a AO, esto es, a SK, como CD × Cc es a SY × Dd. Además, la velocidad del cuerpo que desciende en C es a la velocidad del cuerpo que describe un círculo con el intervalo SC alrededor del centro S en razón subduplicada de AC a AO o SK (por el Teorema IX). Y esta velocidad es a la velocidad del cuerpo que describe el círculo OKk en razón subduplicada de SK a SC por el Corolario 6 del Teorema IV, y por razón aequi la primera velocidad a la última, esto es, la reglilla Cc al arco Kk en razón subduplicada de AC a SC, esto es, en razón de AC a CD. Por lo cual CD × Cc es igual a AC × Kk, y por tanto AC es a SK como AC × Kk es a SY × Dd, y de ahí SK × Kk es igual a SY × Dd, y ½SK × Kk es igual a ½SY × Dd, esto es, el área KSk es igual al área SDd. Por consiguiente, en cada partícula de tiempo se generan partículas de las dos áreas KSk, SDd, las cuales, si su magnitud se disminuye y su número se aumenta hasta el infinito, obtienen una razón de igualdad, y por tanto (por el Corolario del Lema IV) las áreas totales generadas simultáneamente son siempre iguales. Q. E. D.
Cas. 2. Quod si figura DES Parabola sit, invenietur ut supra CD × Cc esse ad SY × Dd ut TC ad ST, hoc est ut 2 ad 1, adeoq; ¼CD × Cc æqualem esse ½SY × Dd. Sed corporis Page 120 cadentis velocitas in C æqualis est velocitati qua circulus intervallo ½SC uniformiter describi possit (per Theor. X.) Et hæc velocitas ad velocitatem qua circulus radio SK describi possit, hoc est, lineola Cc ad arcum Kk est in dimidiata ratione SK ad ½Sc, id est, in ratione SK ad ½CD, per Corol. 6. Theorem. IV. Quare est ½SK × Kk æquale ¼CD × Cc, adeoq; æquale ½SY × Dd, hoc est, area KSk æqualis Areæ SDd, ut supra. Quod erat demonstrandum.
Prop. XXXVI. Prob. XXV.
*Corporis de loco dato* a *cadentis determinare tempora descensus.*
Super diámetro AS (distancia del cuerpo al centro al principio) describe el semicírculo ADS, y también un semicírculo igual OKH alrededor del centro S. Desde cualquier lugar del cuerpo C levanta la ordenada aplicada CD. Junta SD, y constituye la Sección OSK igual al área ASD.
Es evidente por el Teor. XI, que el cuerpo cayendo describirá el espacio AC en el mismo tiempo en que otro cuerpo girando uniformemente alrededor del centro S puede describir el arco OK. Lo cual había que hacer.
Prop. XXXVII. Prob. XXVI.
*Corporis de loco dato sursum vel deorsum projecti definire tempora ascensus vel descensus.*
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Exeat corpus de loco dato G secundum lineam ASG cum velocitate quacunq;.
In duplicata ratione hujus velocitatis ad uniformem in circulo velocitatem, qua corpus ad intervallum datum SG circa centrum S revolvi posset, cape CA ad ½AS.
Si ratio illa est numeri binarii ad unitatem, punctum A cadet ad infinitam distantiam, quo in casu Parabola uertice S, axe SC, latere quovis recto describenda est. Patet hoc per Theorema X.
Sin ratio illa minor vel major est quam 2 ad 1, priore casu Circulus, posteriore Hyperbola rectangula super diametro SA describi debet. Patet per Theorema IX.
Tum centro S, intervallo æquante dimidium lateris recti, describatur circulus HKk, & ad corporis ascendentis vel descendentis loca duo quævis G, C, erigantur perpendicula GI, CD occurrentia Conicæ Sectioni vel circulo in I ac D.
Dein junctis SI, SD, fiant segmentis SEIS, SEDS Sectores HSK, HSk æquales, & per Theorema XI. corpus G describet spatium GC eodem tempore quo corpus K describere potest arcum Kk.
Q. E. F.
### Prop. XXXVIII. Theor. XII.
* Posito quod vis centripeta proportionalis sit altitudini seu distantiæ locorum a centro, dico quod cadentium tempora, velocitates & spatia descripta sunt arcubus arcuumq; sinibus versis & sinibus rectis respective proportionales.
Caiga un cuerpo desde un lugar cualquiera A a lo largo de la línea recta AS; y con centro de las fuerzas S, e intervalo AS, descríbase el cuadrante de círculo AE, y sea CD el seno recto de un arco cualquiera AD, y el cuerpo A, en el tiempo AD, cayendo describirá el espacio AC, y en el lugar C habrá adquirido la velocidad CD.
Se demuestra del mismo modo a partir de la Proposición X. en que la Proposición XXXII. fue demostrada a partir de la Proposición XI. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc æqualia sunt tempora quibus corpus unum de loco A cadendo provenit ad centrum S, & corpus aliud revolvendo describit arcum quadrantalem ADE.
Corol. 2. Proinde æqualia sunt tempora omnia quibus corpora de locis quibusvis ad usq; centrum cadunt. Nam revolventium tempora omnia periodica (per Corol. 3. Prop. IV.) æquantur.
Prop. XXXIX. Prob. XXVII.
* Posita cujuscunq; generis vi centripeta, & concessis figurarum curvilinearum quadraturis, requiritur corporis recta ascendentis vel descendentis tum velocitas in locis singulis, tum tempus quo corpus ad locum quemvis perveniet: Et contra.
De loco quovis A in recta ADEC cadat corpus E, deq; loco ejus E erigatur semper perpendicularis EG, vi centripetæ in loco illo ad centrum C tendenti proportionalis: Sitq; BFG linea curva quam punctum G perpetuo tangit.
Coincidat autem EG ipso motus initio cum perpendiculari AB, & erit corporis velocitas in loco quovis E ut areæ curvilineæ ABGE latus quadratum. Q. E. I.
In EG capiatur EM lateri quadrato areæ ABGE reciproce proportionalis, & sit ALM linea curva quam punctum M perpetuo tangit, & erit tempus quo corpus cadendo describit lineam AE ut area curvilinea ALME. Quod erat Inveniendum.
Etenim in recta AE capiatur linea quam minima DE datæ longitudinis, sitq; DLF locus lineæ EMG Page 123 ubi corpus versabatur in D; & si ea sit vis centripeta, ut area ABGE latus quadratum sit ut descendentis velocitas, erit area ipsa in duplicata ratione velocitatis, id est, si pro velocitatibus in D & E scribantur V & V + I, erit area ABFD ut V2, & area ABGE ut V2 + 2VI + I2, & divisim area DFGE ut 2VI + I2, adeoq; DFGE ÷ DE ut {2I × V + ½I} ÷ DE, id est, si primæ quantitatum nascentium rationes sumantur, longitudo DF ut quantitas 2I × V ÷ DE, adeoq; etiam ut quantitatis hujus dimidium I × V ÷ DE.
Est autem tempus quo corpus cadendo describit lineolam DE, ut lineola illa directe & velocitas V inverse, estq; vis ut velocitatis incrementum I directe & tempus inverse, adeoq; si primæ nascentium rationes sumantur, ut I × V ÷ DE, hoc est, ut longitudo DF. Ergo vis ipsi DF vel EG proportionalis facit corpus ea cum velocitate descendere quæ sit ut areæ ABGE latus quadratum. Q. E. D.
Por lo tanto, como el tiempo en que se describe una línea pequeña DE de cualquier longitud es como la velocidad, y por consiguiente como el lado cuadrado de la área ABFD inversamente; y sea DL, y por consiguiente la área naciente DLME, como el mismo lado cuadrado inversamente: el tiempo será como la área DLME, y la suma de todos los tiempos como la suma de todas las áreas, esto es (por el Corol. del Lem. IV) el tiempo total en que se describe la línea AE como la área total AME.
Q. E. D.
Corol. 1. Si P sit locus de quo corpus cadere debet, ut, urgente aliqua uniformi ui centripeta nota (qualis vulgo supponitur gravitas) velocitatem acquirat in loco D æqualem velocitati quam corpus aliud vi quacunq; cadens acquisivit eodem loco D, & in perpendiculari DF capiatur DR, quæ sit ad DF ut vis illa uniformis ad vim alteram in loco D, & compleatur rectangulum PDRQ, eiq; æqualis abscindatur area ABFD; erit A locus de quo corpus alterum cecidit. Namq; completo rectangulo Page 124 EDRS, cum sit area ABFD ad aream DFGE ut VV ad 2V × I, adeoq; ut ½V ad I, id est, ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis vi inæquabili cadentis; & similiter area PQRD ad aream DRSE ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis uniformi vi cadentis; sintq; incrementa illa (ob æqualitatem temporum nascentium) ut vires generatrices, id est ut ordinatim applicatæ DF, DR, adeoq; ut areæ nascentes DFGE, DRSE; erunt (ex æquo) areæ totæ ABFD, PQRD ad invicem ut semisses totarum velocitatum, & propterea (ob æqualitatem velocitatum) æquantur.
Corol. 2. De aquí que, si se proyecta un cuerpo cualquiera desde un lugar cualquiera D con una velocidad dada, ya hacia arriba, ya hacia abajo, y se da la ley de la fuerza centrípeta, se hallará su velocidad en cualquier otro lugar e levantando una ordenada eg y tomando esa velocidad respecto a la velocidad en el lugar D como es la raíz cuadrada del rectángulo PQRD más el área curvilínea DFge (si el lugar e es inferior al lugar D) o menos ella (si es superior), respecto a la raíz cuadrada del rectángulo solo PQRD, esto es, como a .
Corol. 3. Tempus quoq; innotescet erigendo ordinatam em reciproce proportionalem lateri quadrato ex PQRD + vel - DFge, & capiendo tempus quo corpus descripsit lineam De ad tempus quo corpus alterum vi uniformi cecidit a P & cadendo pervenit ad D, ut area curvilinea DLme ad rectangulum 2PD × DL. Namq; tempus quo corpus vi uniformi descendens descripsit lineam PD est ad tempus quo corpus idem descripsit lineam PE in dimidiata ratione PD ad PE, id est (lineola DE Page 125 jamjam nascente) in ratione PD ad PD + ½DE seu 2PD ad 2PD + DE, & divisim, ad tempus quo corpus idem descripsit lineolam DE ut 2PD ad DE, adeoq; ut rectangulum 2PE × DL ad aream DLME; estq; tempus quo corpus utrumq; descripsit lineolam DE ad tempus quo corpus alterum inæquabili motu descripsit lineam De ut area DLME ad aream DLme, & ex æquo tempus primum ad tempus ultimum ut rectangulum 2PD × DL ad aream DLme.