De Motu Corporum Sphæricorum viribus centripetis se mutuo petentium.
Hactenus exposui motus corporum attractorum ad centrum immobile, quale tamen vix extat in rerum natura. Attractiones enim fieri solent ad corpora; & corporum trahentium & attractorum actiones semper mutuæ sunt & æquales, per Legem tertiam: adeo ut neq; attrahens possit quiescere neq; attractum, si duo sint corpora, sed ambo (per Legum Corollarium quartum) quasi attractione mutua, circum gravitatis centrum commune revolvantur: & si plura sint corpora (quæ vel ab unico attrahantur vel omnia se mutuo attrahant) hæc ita inter se moveri debeant, ut gravitatis centrum commune vel quiescat vel uniformiter moveatur in directum.
Qua de causa jam pergo motum exponere corporum se mutuo trahentium, considerando vires centripetas tanquam Attractiones, quamvis fortasse, si physice loquamur, verius dicantur Impulsus. In Mathematicis enim jam versamur, & propterea missis disputationibus Physicis, familiari utimur sermone, quo possimus a Lectoribus Mathematicis facilius intelligi.
Prop. LVII. Theor. XX.
*Dos cuerpos que se atraen mutuamente describen figuras semejantes, tanto alrededor de su centro de gravedad común, como alrededor el uno del otro.*
Sunt enim distantiæ a communi gravitatis centro reciproce proportionales corporibus, atq; adeo in data ratione ad invicem, & componendo, in data ratione ad distantiam totam inter corpora. Feruntur autem hæ distantiæ circum terminos suos communi Page 163 motu angulari, propterea quod in directum semper jacentes non mutant inclinationem ad se mutuo.
Lineæ autem rectæ, quæ sunt in data ratione ad invicem, & æquali motu angulari circum terminos suos feruntur, figuras circum eosdem terminos (in planis quæ una cum his terminis vel quiescunt vel motu quovis non angulari moventur) describunt omnino similes. Proinde similes sunt figuræ quæ his distantiis circumactis describuntur.
Q. E. D.
Prop. LVIII. Theor. XXI.
* Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahunt, & interea revolvuntur circa gravitatis centrum commune: dico quod figuris, quas corpora sic mota describunt circum se mutuo, potest figura similis & æqualis, circum corpus alterutrum immotum, viribus iisdem describi.
Giran los cuerpos S, P alrededor de su centro común de gravedad C, avanzando de S a T y de P a Q. Desde un punto dado s trácese siempre sp, sq iguales y paralelas a las mismas SP, TQ; y la curva pqv que el punto p, al girar alrededor del punto inmóvil s, describe, será semejante e igual a las curvas que los cuerpos S, P describen uno respecto del otro: y por tanto (por el Teorema XX) semejante a las curvas ST y PQV, que los mismos cuerpos describen alrededor del centro común de gravedad C: y ello debido a que las proporciones de las líneas SC, CP y SP o sp entre sí están dadas.
Cas. 1. Commune illud gravitatis centrum C, per Legum Page 164 Corollarium quartum, vel quiescit vel movetur uniformiter in directum.
Ponamus primo quod id quiescit, inq; s & p locentur corpora duo, immobile in s, mobile in p, corporibus S & P similia & æqualia. Dein tangant rectæ PR & pr Curvas PQ & pq in P & p, & producantur CQ & sq ad R & r.
Et ob similitudinem figurarum CPRQ, sprq, erit RQ ad rq ut CP ad sp, adeoq; in data ratione. Proinde si vis qua Corpus P versus Corpus S, atq; adeo versus centrum intermedium C attrahitur, esset ad vim qua corpus p versus centrum s attrahitur in eadem illa ratione data, hæ vires æqualibus temporibus attraherent semper corpora de tangentibus PR, pr ad arcus PQ, pq, per intervalla ipsis proportionalia RQ, rq; adeoq; vis posterior efficeret ut corpus p gyraretur in curva pqv, quæ similis esset curvæ PQV, in qua vis prior efficit ut corpus P gyretur, & revolutiones iisdem temporibus complerentur.
Mas como aquellas fuerzas no están entre sí en la razón de CP a sp, sino que (por la semejanza e igualdad de los cuerpos S y s, P y p, y la igualdad de las distancias SP, sp) son mutuamente iguales, los cuerpos serán atraídos igualmente desde las Tangentes en tiempos iguales; y por eso, para que el cuerpo posterior p sea atraído a través del intervalo mayor rq, se requiere un tiempo mayor, y ello en la razón subduplicada de los intervalos; debido a que, por el décimo Lema, los espacios descritos en el mismo principio del movimiento están en la razón duplicada de los tiempos.
Supóngase, por tanto, que la velocidad del cuerpo p es a la velocidad del cuerpo P en la razón subduplicada de la distancia sp a la distancia CP, de modo que en tiempos que estén en la misma razón subduplicada Página 165 se describan los arcos PQ, pq, que están en razón simple: Y los cuerpos P, p, atraídos siempre con fuerzas iguales, describirán en torno a centros en reposo C y s figuras semejantes PQV, pqv, de las cuales la posterior pqv es semejante e igual a la figura que el cuerpo P describe en torno al cuerpo móvil S. Q. E. D.
Cas. 2. Supongamos ahora que el centro de gravedad común, junto con el espacio en el que los cuerpos se mueven entre sí, progresa uniformemente en línea recta; y, por el Corolario sexto de las Leyes, todos los movimientos en este espacio se realizarán como antes, y por tanto los cuerpos describirán en torno a los demás unas figuras idénticas a las anteriores y, por ende, las figuras pqv semejantes e iguales.
Q. E. D.
Corol. 1. Hinc corpora duo viribus distantiæ suæ proportionalibus se mutuo trahentia, describunt (per Prop. X.) & circum commune gravitatis centrum, & circum se mutuo, Ellipses concentricas: & vice versa, si tales figuræ describuntur, sunt vires distantiæ proportionales.
Corol. 2. Et corpora duo viribus quadrato distantiæ suæ reciproce proportionalibus describunt (per Prop. XI, XII, XIII.) & circum commune gravitatis centrum, & circum se mutuo sectiones conicas umbilicos habentes in centro circum quod figuræ describuntur. Et vice versa, si tales figuræ describuntur, vires centripetæ sunt quadrato distantiæ reciproce proportionales.
Corol. 3. Corpora duo quævis circum gravitatis centrum commune gyrantia, radiis & ad centrum illud & ad se mutuo ductis, describunt areas temporibus proportionales.
Prop. LIX. Theor. XXII.
*El tiempo periódico de dos cuerpos* *S* *y* *P* *que revolven alrededor del centro de gravedad común* *C*, *es al tiempo periódico del cuerpo cualquiera* *P*, *que gira alrededor del otro inmóvil* *S*, *y describe una figura semejante e igual a las figuras que los cuerpos describen mutuamente alrededor de sí*, *en la razón sesquiplicada* [dimidiata ratione] *del otro cuerpo* *S* *a la suma de los cuerpos* *S*+*P*.*
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Namq; ex demonstratione superioris Propositionis, tempora quibus arcus quivis similes PQ & pq describuntur, sunt in dimidiata ratione distantiarum CP & SP vel sp, hoc est, in dimidiata ratione corporis S ad summam corporum S + P. Et componendo, summæ temporum quibus arcus omnes similes PQ & pq describuntur, hoc est tempora tota quibus figuræ totæ similes describuntur, sunt in eadem dimidiata ratione.
Q. E. D.
Prop. LX. Theor. XXIII.
*Si corpora duo*S*&*P*, viribus quadrato distantiæ suæ reciproce proportionalibus se mutuo trahentia, revolvuntur circa gravitatis centrum commune: dico quod Ellipseos, quam corpus alterutrum*P*hoc motu circa alterum*S*describit, Axis transversus erit ad axem transversum Ellipseos, quam corpus idem*P*circa alterum quiescens*S*eodem tempore periodico describere posset, ut summa corporum duorum*S*+*P*ad primam duarum medie proportionalium inter hanc summam & corpus illud alterum*S*.*
Nam si descriptæ Ellipses essent sibi invicem æquales, tempora periodica, per Theorema superius, forent in dimidiata ratione corporis S ad summam corporum S + P.
Minuatur in hac ratione tempus periodicum in Ellipsi posteriore, & tempora periodica evadent æqualia, Ellipseos autem axis transversus per Theorema VII. minuetur in ratione cujus hæc est sesquiplicata, id est in ratione, cujus ratio S ad S + P est triplicata; adeoq; ad axem transversum Ellipseos alterius, ut prima duarum medie proportionalium inter S + P & S ad S + P.
Et inverse, axis transversus Ellipseos circa corpus mobile descriptæ erit ad axem transversum descriptæ circa immobile, ut S + P ad primam duarum medie proportionalium inter S + P & S. Q. E. D.
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Prop. LXI. Theor. XXIV.
* Si dos cuerpos que se atraen mutuamente mediante cualesquiera fuerzas, sin que ningún otro agente los mueva o impida, se mueven de cualquier manera; los movimientos de estos se comportarán exactamente igual que si no se atrajesen mutuamente, sino que cada uno fuera atraído por un tercer cuerpo situado en el centro de gravedad común mediante esas mismas fuerzas: Y la ley de las fuerzas atractivas será la misma con respecto a la distancia de los cuerpos a ese centro común que con respecto a la distancia total entre los cuerpos.
Pues aquellas fuerzas, con las que los cuerpos se atraen mutuamente, tendiendo hacia los cuerpos, tienden hacia el centro de gravedad intermedio común, y por tanto son las mismas que si manaran de un cuerpo intermedio. Q. E. D.
Et quoniam data est ratio distantiæ corporis utriusvis a centro illo communi ad distantiam corporis ejusdem a corpore altero, dabitur ratio cujusvis potestatis distantiæ unius ad eandem potestatem distantiæ alterius; ut & ratio quantitatis cujusvis, quæ ex una distantia & quantitatibus datis utcunq; derivatur, ad quantitatem aliam, quæ ex altera distantia & quantitatibus totidem datis datamq; illam distantiarum rationem ad priores habentibus similiter derivatur.
Proinde si vis, qua corpus unum ab altero trahitur, sit directe vel inverse ut distantia corporum ab invicem; vel ut quælibet hujus distantiæ potestas; vel deniq; ut quantitas quævis ex hac distantia & quantitatibus datis quomodocunq; derivata: erit eadem vis, qua corpus idem ad commune gravitatis centrum trahitur, directe itidem vel inverse ut corporis attracti distantia a centro illo communi, vel ut eadem distantiæ hujus potestas, vel deniq; ut quantitas ex hac distantia & analogis quantitatibus datis similiter derivata.
Hoc est Vis trahentis eadem erit Lex respectu distantiæ utriusq;.
Q. E. D.
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Prop. LXII. Prob. XXXVIII.
*Corporum duorum quæ viribus quadrato distantiæ suæ reciproce proportionalibus se mutuo trahunt, ac de locis datis demittuntur, determinare motus.*
Los cuerpos, según el Teorema novísimo, se moverán del mismo modo que si fuesen atraídos por un tercer cuerpo situado en el centro de gravedad común; y dicho centro, al principio mismo del movimiento, estará en reposo (según la Hipótesis) y por tanto (según el Corol. 4 de las Leyes) estará siempre en reposo. Han de determinarse, por lo tanto, los movimientos de los cuerpos (según el Probl. XXV) del mismo modo que si fuesen impelidos por fuerzas tendentes a dicho centro, y así se tendrán los movimientos de los cuerpos que se atraen mutuamente.
Q. E. I.
Prop. LXIII. Prob. XXXIX.
*Corporum duorum quæ viribus quadrato distantiæ suæ reciproce proportionalibus se mutuo trahunt, deq; locis datis, secundum datas rectas, datis cum velocitatibus exeunt, determinare motus.*
Ex datis corporum motibus sub initio, datur uniformis motus centri communis gravitatis, ut & motus spatii quod una cum hoc centro movetur uniformiter in directum, nec non corporum motus initiales respectu hujus spatii.
Motus autem subsequentes (per Legum Corollarium quintum & Theorema novissimum) perinde fiunt in hoc spatio, ac si spatium ipsum una cum communi illo gravitatis centro quiesceret, & corpora non traherent se mutuo, sed a corpore tertio sito in centro illo traherentur.
Corporis igitur alterutrius in hoc spatio mobili de loco dato, secundum datam rectam, data cum velocitate exeuntis, & vi centripeta ad centrum illud tendente correpti, determinandus est motus per Problema nonum & vicesimum sextum: & habebitur simul motus corporis alterius e regione.
Cum hoc motu componendus est uniformis ille Systematis spatii & corporum in eo gyrantium Page 169 motus progressivus supra inventus, & habebitur motus absolutus corporum in spatio immobili.
Q. E. I.
Prop. LXIV. Prob. XL.
*Creciendo las fuerzas con que los Cuerpos se atraen mutuamente en razón simple de las distancias desde los centros: se requieren los movimientos de varios Cuerpos entre sí.*
Ponantur imprimis corpora duo T & L commune habentia gravitatis centrum D. Describent hæc per Corollarium primum Theorematis XXI. Ellipses centra habentes in D, quarum magnitudo ex Problemate V. innotescit.
Trahat jam corpus tertium S priora duo T & L viribus acceleratricibus ST, SL, & ab ipsis vicissim trahatur.
Vis ST per Legum Corol. 2. resolvitur in vires SD, DT; & vis SL in vires SD, DL.
Vires autem DT, DL, quæ sunt ut ipsarum summa TL, atq; adeo ut vires acceleratrices quibus corpora T & L se mutuo trahunt, additæ his viribus corporum T & L, prior priori & posterior posteriori, componunt vires distantiis DT ac DL proportionales, ut prius, sed viribus prioribus majores; adeoq; (per Corol. 1. Prop. X. & Corol. 1 & 7. Prop. IV.) efficiunt ut corpora illa describant Ellipses ut prius, sed motu celeriore.
Las demás fuerzas aceleratrices SD y SD, mediante las acciones motrices SD × T y SD × L, que son como los cuerpos, al atraer a esos cuerpos por igual y según las líneas TI, LK, paralelas a la propia DS, no alteran las posiciones de aquellos entre sí, sino que hacen que los mismos se acerquen por igual a la línea IK; la cual, supón trazada por el centro del cuerpo S y perpendicular a la línea DS.
Pero este acceso hacia la línea IK se impedirá Page 170 haciendo que el Sistema de los cuerpos T y L por una parte, y el cuerpo S por la otra, con las velocidades justas, giren alrededor del centro común de gravedad C.
Tali motu corpus S (eo quod summa virium motricium SD × T & SD × L, distantiæ CS proportionalium, trahitur versus centrum C) describit Ellipsin circa idem C; & punctum D ob proportionales CS, CD describet Ellipsin consimilem, e regione.
Corpora autem T & L viribus motricibus SD × T & SD × L, (prius priore, posterius posteriore) æqualiter & secundum lineas parallelas TI & LK (ut dictum est) attracta, pergent (per Legum Corollarium quintum & sextum) circa centrum mobile D Ellipses suas describere, ut prius.
Q. E. I.
Addatur jam corpus quartum V, & simili argumento concludetur hoc & punctum C Ellipses circa omnium commune centrum gravitatis B describere; manentibus motibus priorum corporum T, L & S circa centra D & C, sed paulo acceleratis. Et eadem methodo corpora plura adjungere licebit. Q. E. I.
Esto así se habje ubi corpora T & L trahunt se mutuo viribus acceleratricibus majoribus vel minoribus quam trahunt corpora reliqua pro ratione distantiarum. Sunto mutuæ omnium attractiones acceleratrices ad invicem ut distantiæ ductæ in corpora trahentia, & ex præcedentibus facile deducetur quod corpora omnia æqualibus temporibus periodicis Ellipses varias, circa omnium commune gravitatis centrum B, in plano immobili describunt. Q. E. I.
Prop. LXV. Theor. XXV.
*Corpora plura quorum vires decrescunt in duplicata ratione Page 171 distantiarum ab eorundem centris, moveri posse inter se in Ellipsibus, & radiis ad umbilicos ductis Areas describere temporibus proportionales quam proxime.*
En la proposición anterior se ha demostrado el caso en que múltiples movimientos se realizan exactamente en elipses. Cuanto más se aleja la ley de las fuerzas de la ley allí establecida, más perturbarán los cuerpos sus movimientos mutuos, y no es posible que los cuerpos que se atraen mutuamente según la ley aquí establecida se muevan exactamente en elipses, a menos que mantengan una cierta proporción en sus distancias mutuas. Sin embargo, en los casos siguientes no se diferirá mucho de las elipses.
Cas. 1. Supóngase que varios cuerpos menores se hacen girar alrededor de algún cuerpo mayor a varias distancias de él, y que hacia cada uno de ellos tienden fuerzas absolutas proporcionales a los mismos cuerpos. Y puesto que el centro de gravedad común de todos (por el Corolario cuarto de las Leyes) o bien estará en reposo o bien se moverá uniformemente en línea recta, imaginemos que los cuerpos menores son tan pequeños que el cuerpo mayor nunca dista sensiblemente de este centro; y ese mayor o bien estará en reposo o bien se moverá uniformemente en línea recta, sin error sensible; los menores, en cambio, girarán alrededor de este mayor en elipses, y describirán con radios trazados hacia el mismo áreas proporcionales a los tiempos, excepto en la medida en que se induzcan errores, ya sea por la desviación del mayor respecto de aquel centro de gravedad común, o por las acciones de los cuerpos menores entre sí. Pueden, no obstante, disminuirse los cuerpos menores hasta que ese error y las acciones mutuas sean menores que cualesquiera dados, y por tanto hasta que las órbitas coincidan con las elipses y las áreas respondan a los tiempos, sin un error que no sea menor que cualquier cantidad dada. Q. E. O.
Cas. 2. Fingamus jam Systema corporum minorum modo jam descripto circa maximum revolventium, aliudve quodvis duorum circum se mutuo revolventium corporum Systema progredi uniformiter in directum, & interea vi corporis alterius longe maximi & ad magnam distantiam siti urgeri ad latus.
Y como las fuerzas aceleratrices iguales, con las que los cuerpos son impulsados según líneas paralelas, no modifican las posiciones mutuas de los cuerpos, sino que hacen que —como en la página 172— el sistema entero se traslade simultáneamente, conservados los movimientos de las partes entre sí, es manifiesto que de las atracciones hacia el cuerpo máximo no nacerá en absoluto ninguna modificación en el movimiento mutuo de los atraídos, a no ser por la desigualdad de las fuerzas aceleratrices o por la inclinación recíproca de las líneas según las cuales se realizan las atracciones.
Pone ergo attractiones omnes acceleratrices in corpus maximum esse inter se reciproce ut quadrata distantiarum, & augendo corporis maximi distantiam, donec rectarum ab hoc ad reliqua ductarum minores sint differentiæ & inclinationes ad invicem quam datæ quævis, perseverabunt motus partium Systematis inter se absq; erroribus qui non sint quibusvis datis minores.
Y puesto que, debido a la pequeña distancia de dichas partes entre sí, todo el Sistema es atraído a la manera de un solo cuerpo, este se moverá por dicha atracción a la manera de un solo cuerpo; esto es, describirá con su centro de gravedad alrededor del cuerpo máximo una Sección Cónica (viz. una Hipérbola o una Parabola con atracción débil, una Elipse con una más fuerte), y con el Radio trazado hacia el máximo, barrerá áreas proporcionales a los tiempos, sin error alguno, salvo los que las distancias de las partes (ciertamente muy pequeñas y susceptibles de reducirse a voluntad) puedan ocasionar.
Q. E. O.
Simili argumento pergere licet ad casus magis compositos in infinitum.
Corol. 1. In casu secundo; quo propius accedit corpus omnium maximum ad Systema duorum vel plurium, eo magis turbabuntur motus partium Systematis inter se, propterea quod linearum a corpore maximo ad has ductarum jam major est inclinatio ad invicem, majorq; proportionis inæqualitas.
Corol. 2. Maxime autem turbabuntur, ponendo quod attractiones acceleratrices partium Systematis versus corpus omnium maximum, non sint ad invicem reciproce ut quadrata distantiarum a corpore illo maximo; præsertim si proportionis hujus inæqualitas major sit quam inæqualitas proportionis distantiarum a corpore maximo: Nam si vis acceleratrix, æqualiter & secundum lineas Page 173 parallelas agendo, nil perturbat motus inter se, necesse est ut ex actionis inæqualitate perturbatio oriatur, majorq; sit vel minor pro majore vel minore inæqualitate. Excessus impulsuum majorum agendo in aliqua corpora & non agendo in alia, necessario mutabunt situm eorum inter se. Et hæc perturbatio addita perturbationi, quæ ex linearum inclinatione & inæqualitate oritur, majorem reddet perturbationem totam.
Corol. 3. Unde si Systematis hujus partes in Ellipsibus vel Circulis sine perturbatione insigni moveantur, manifestum est, quod eædem a viribus acceleratricibus ad alia corpora tendentibus, aut non urgentur nisi levissime, aut urgentur æqualiter & secundum lineas parallelas quamproxime.
Prop. LXVI. Theor. XXVI.
* Si corpora tria, quorum vires decrescunt in duplicata ratione distantiarum, se mutuo trahant, & attractiones acceleratrices binorum quorumcunq; in tertium sint inter se reciproce ut quadrata distantiarum; minora autem circa maximum in plano communi revolvantur: Dico quod interius circa intimum & maximum, radiis ad ipsum ductis, describet areas temporibus magis proportionales, & figuram ad formam Ellipseos umbilicum in concursu radiorum habentis magis accedentem, si corpus maximum his attractionibus agitetur, quam si maximum illud vel a minoribus non attractum quiescat, vel multo minus vel multo magis attractum aut multo minus aut multo magis agitetur.
Liquet fere ex demonstratione Corollarii secundi Propositionis præcedentis; sed argumento magis distincto & latius cogente sic evincitur.
Cas. 1. Giren los cuerpos menores P y Q en el mismo plano alrededor del mayor S, de los cuales P describa la órbita interior PAB, y Q la exterior QE. Sea QK la distancia media de los cuerpos P y Q; y la atracción aceleratriz del cuerpo P hacia Q en esa distancia media expóngase por la misma. En razón duplicada de QK Page 174 a QP tómese QL a QK, y será QL la atracción aceleratriz del cuerpo P hacia Q a cualquier distancia QP. Únase PS, y trázase paralela a ella LM que concurra con QS en M, y la atracción QL se resolverá (por el Corol. 2 de las Leyes) en las atracciones QM, LM. Y así el cuerpo P será impelido por una triple fuerza aceleratriz: una tendiente a S y originada por la mutua atracción de los cuerpos S y P. Con esta sola fuerza el cuerpo P, alrededor del cuerpo S ya sea inmóvil o agitado por esta atracción, debería describir tanto las áreas, con el radio PS proporcionales a los tiempos, como la elipse cuyo foco está en el centro del cuerpo S. Esto es evidente por el Prob. VI y los Corolarios del Teorema XXI.
Otra fuerza es la de atracción LM, la cual, puesto que tiende de P a S, sumada a la fuerza anterior, coincidirá con ella y, por tanto, hará que las áreas sigan siendo proporcionales a los tiempos, por el Corolario 3 del Teorema XXI.
Mas, puesto que no es recíprocamente proporcional al cuadrado de la distancia PS, esta compondrá con la fuerza anterior una fuerza que se aparta de dicha proporción, y ello tanto más cuanto mayor sea la proporción de esta fuerza respecto a la fuerza anterior, cæteris paribus.
Por consiguiente, puesto que (por el Corolario 1 del Problema VIII y el Corolario 2 del Teorema XXI) la fuerza con que la elipse es descrita alrededor del foco S debe tender hacia ese foco y ser recíprocamente proporcional al cuadrado de la distancia PS, dicha fuerza compuesta, al apartarse de esta proporción, hará que la órbita PAB se aparte de la forma de la elipse que tiene su foco en S; y ello tanto más cuanto mayor sea la desviación respecto a esta proporción, y por tanto también cuanto mayor sea la proporción de la segunda fuerza LM a la primera fuerza, cæteris paribus.
Jam vero vis tertia QM, trahendo corpus P secundum lineam ipsi QS parallelam, componet cum viribus prioribus vim quæ non amplius dirigitur a P in S, quæq; ab hac determinatione tanto Page 175 magis aberrat, quanto major est proportio hujus tertiæ vis ad vires priores, cæteris paribus; atq; adeo quæ faciet ut corpus P, radio SP, areas non amplius temporibus proportionales describet, atq; aberratio ab hac proportionalitate ut tanto major sit, quanto major est proportio vis hujus tertiæ ad vires cæteras.
Orbis vero PAB aberrationem a forma Elliptica præfata hæc vis tertia duplici de causa adaugebit, tum quod non dirigitur a P ad S, tum etiam quod non sit proportionalis quadrato distantiæ PS.
Quibus intellectis, manifestum est quod areæ temporibus tum maxime fiunt proportionales, ubi vis tertia, manentibus viribus cæteris, fit minima; & quod Orbis PAB tum maxime accedit ad præfatam formam Ellipticam, ubi vis tam secunda quam tertia, sed præcipue vis tertia, fit minima, vi prima manente.
Exponatur corporis S attractio acceleratrix versus Q per lineam QN; & si attractiones acceleratrices QM, QN æquales essent, hæ trahendo corpora S & P æqualiter & secundum lineas parallelas, nil mutarent situm eorum ad invicem. Iidem jam forent corporum illorum motus inter se (par Legum Corol. 6.) ac si hæ attractiones tollerentur. Et pari ratione si attractio QN minor esset attractione QM, tolleret ipsa attractionis QM partem QN, & maneret pars sola MN, qua temporum & arearum proportionalitas & Orbitæ forma illa Elliptica perturbaretur. Et similiter si attractio QN major esset attractione QM, oriretur ex differentia sola MN perturbatio proportionalitatis & Orbitæ. Sic per attractionem QN reducitur semper attractio tertia superior QM ad attractionem MN, attractione prima & secunda manentibus prorsus immutatis: & propterea areæ ac tempora ad proportionalitatem, & Orbita PAB ad formam præfatam Ellipticam tum maxime accedunt, ubi attractio MN vel nulla est, vel quam fieri possit minima; hoc est ubi corporum P & S attractiones acceleratrices, factæ versus corpus Q, accedunt quantum fieri potest ad æqualitatem; id est ubi attractio QN non est nulla, neq; minor minima attractionum omnium QM, sed inter attractionum Page 176 omnium QM maximam & minimam quasi mediocris, hoc est, non multo major neq; multo minor attractione QK. Q. E. D.
Cas. 2. Revolvantur jam corpora minora P, Q circa maximum S in planis diversis, & vis LM, agendo secundum lineam PS in plano Orbitæ PAB sitam, eundem habebit effectum ac prius, neq; corpus P de plano Orbitæ suæ deturbabit.
At vis altera NM, agendo secundum lineam quæ ipsi QS parallela est, (atq; adeo, quando corpus Q versatur extra lineam Nodorum, inclinatur ad planum Orbitæ PAB;) præter perturbationem motus in longitudinem jam ante expositam, inducet perturbationem motus in latitudinem, trahendo corpus P de plano suæ Orbitæ.
Et hæc perturbatio in dato quovis corporum P & S ad invicem situ, erit ut vis illa generans MN, adeoq; minima evadet ubi MN est minima, hoc est (uti jam exposui) ubi attractio QN non est multo major neq; multo minor attractione QK.
Q. E. D.
Corol. 1. Ex his facile colligitur quod si corpora plura minora P, Q, R &c. revolvantur circa maximum S: motus corporis intimi P minime perturbabitur attractionibus exteriorum, ubi corpus maximum S pariter a cæteris, pro ratione virium acceleratricum, attrahitur & agitatur atq; cæteri a se mutuo.
Corol. 2. En el Sistema de tres cuerpos S, P, Q; si las atracciones aceleratrices de cualesquiera dos de ellos hacia el tercero son entre sí recíprocamente como los cuadrados de las distancias, el cuerpo P describirá por medio del radio PS un área alrededor del cuerpo S más rápidamente cerca de la conjunción A y de la oposición B, que cerca de las cuadraturas C, D.
Pues toda fuerza con que el cuerpo P es impelido y el cuerpo S no es impelido, y que no actúa según la línea PS, acelera o retarda la descripción del área, según que ella misma se dirija hacia los antecedentes o hacia los consecuentes. Tal es la fuerza NM. Esta, en el tránsito del cuerpo P de C a A, tiende hacia los antecedentes y acelera el movimiento; después, hasta D, hacia los consecuentes, y retarda el movimiento; luego hacia los antecedentes hasta B, y por último hacia los consecuentes al pasar de B a C.
Corol. 3. Et eodem argumento patet quod corpus P, cæteris Page 177 paribus, velocius movetur in Conjunctione & Oppositione quam in Quadraturis.
Corol. 4. La órbita del cuerpo P, ceteris paribus, es más curvada en las cuadraturas que en la Conjunción y la Oposición. Pues los cuerpos más veloces se desvían menos del camino recto. Y además, la fuerza NM, en la Conjunción y la Oposición, es contraria a la fuerza con que el cuerpo S atrae al cuerpo P, y por tanto disminuye esa fuerza; el cuerpo P, en cambio, se desviará menos del camino recto cuando es menos impelido hacia el cuerpo S.
Corol. 5. Unde corpus P, cæteris paribus, longius recedet a corpore S in quadraturis, quam in Conjunctione & Oppositione. Hæc ita se habent excluso motu Excentricitatis. Nam si Orbita corporis P excentrica sit, Excentricitas ejus (ut mox in hujus Corol. 9. ostendetur) evadet maxima ubi Apsides sunt in Syzygiis; indeq; fieri potest ut corpus P, ad Apsidem summam appellans, absit longius a corpore S in Syzygiis quam in Quadraturis.
Corol. 6. Quoniam vis centripeta corporis centralis S, qua corpus P retinetur in Orbe suo, augetur in quadraturis per additionem vis LM, ac diminuitur in Syzygiis per ablationem vis KL, & ob magnitudinem vis KL, magis diminuitur quam augeatur, est autem vis illa centripeta (per Corol. 2, Prop. IV.) in ratione composita ex ratione simplici radii SP directe & ratione duplicata temporis periodici inverse: patet hanc rationem compositam diminui per actionem vis KL, adeoq; tempus periodicum, si maneat Orbis radius SP, augeri, idq; in dimidiata ratione qua vis illa centripeta diminuitur: auctoq; adeo vel diminuto hoc Radio, tempus periodicum augeri magis, vel Page 178 diminui minus quam in Radii hujus ratione sesquiplicata, per Corol. 6. Prop. IV. Si vis illa corporis centralis paulatim languesceret, corpus P minus semper & minus attractum perpetuo recederet longius a centro S; & contra, si vis illa augeretur, accederet propius. Ergo si actio corporis longinqui Q, qua vis illa diminuitur, augeatur ac diminuatur per vices, augebitur simul ac diminuetur Radius SP per vices, & tempus periodicum augebitur ac diminuetur in ratione composita ex ratione sesquiplicata Radii & ratione dimidiata qua vis illa centripeta corporis centralis S per incrementum vel decrementum actionis corporis longinqui Q diminuitur vel augetur.
Corol. 7. Ex præmissis consequitur etiam quod Ellipseos a corpore P descriptæ axis seu Apsidum linea, quoad motum angularem progreditur & regreditur per vices, sed magis tamen progreditur, & in singulis corporis revolutionibus per excessum progressionis fertur in consequentia.
Nam vis qua corpus P urgetur in corpus S in Quadraturis, ubi vis MN evanuit, componitur ex vi LM & vi centripeta qua corpus S trahit corpus P. Vis prior LM, si augeatur distantia PS, augetur in eadem fere ratione cum hac distantia, & vis posterior decrescit in duplicata illa ratione, adeoq; summa harum virium decrescit in minore quam duplicata ratione distantiæ PS, & propterea, per Corol. 1. Prop. XLV. facit Augem seu Apsidem summam regredi.
En la Conjunctione vero & Oppositione, vis qua corpus P urgetur in corpus S differentia est inter vim qua corpus S trahit corpus P & vim KL; & differentia illa, propterea quod vis KL augetur quamproxime in ratione distantiæ PS, decrescit in majore quam duplicata ratione distantiæ PS, adeoq; per Corol. 1. Prop. XLV. facit Augem progredi.
In locis inter Syzygias & Quadraturas, pendet motus Augis ex causa utraq; conjunctim, adeo ut pro hujus vel alterius excessu progrediatur ipsa vel regrediatur. Unde cum vis KL in Syzygiis sit quasi duplo major quam vis LM in quadraturis, excessus in tota revolutione erit penes vim KL, transferetq; Augem singulis Page 179 revolutionibus in consequentia.
La verdad de este y del anterior corolario se entenderá más fácilmente concibiendo que un sistema de dos cuerpos S, P está circundado por todas partes por muchos cuerpos Q, Q, Q, etc., situados en la órbita QE. Pues por las acciones de estos, la acción del propio S quedará disminuida por todas partes, y decrecerá en una razón mayor que la duplicada de la distancia.
Corol. 8. Cum autem pendeat Apsidum progressus vel regressus a decremento vis centripetæ facto in majori vel minori quam duplicata ratione distantiæ SP, in transitu corporis ab Apside ima ad Apsidem summam; ut & a simili incremento in reditu ad Apsidem imam; atq; adeo maximus sit ubi proportio vis in Apside summa ad vim in Apside ima maxime recedit a duplicata ratione distantiarum inversa: manifestum est quod Apsides in Syzygiis suis, per vim ablatitiam KL seu NM - LM, progredientur velocius, inq; Quadraturis suis tardius recedent per vim addititiam LM. Ob diuturnitatem vero temporis quo velocitas progressus vel tarditas regressus continuatur, fit hæc inæqualitas longe maxima.
Corol. 9. Si corpus aliquod vi reciproce proportionali quadrato distantiæ suæ a centro, revolveretur circa hoc centrum in Ellipsi, & mox, in descensu ab Apside summa seu Auge ad Apsidem imam, vis illa per accessum perpetuum vis novæ augeretur in ratione plusquam duplicata distantiæ diminutæ: Manifestum est quod corpus, perpetuo accessu vis illius novæ impulsum semper in centrum, magis vergeret in hoc centrum, quam si urgeretur vi sola crescente in duplicata ratione distantiæ diminutæ, adeoq; Orbem describeret Orbe Elliptico interiorem, & in Apside ima propius accederet ad centrum quam prius.
Orbis igitur, accessu Page 180 hujus vis novæ, fiet magis excentricus. Si jam vis, in recessu corporis ab Apside ima ad Apsidem summam, decresceret iisdem gradibus quibus ante creverat, rediret corpus ad distantiam priorem, adeoq; si vis decrescat in majori ratione, corpus jam minus attractum ascendet ad distantiam majorem & sic Orbis Excentricitas adhuc magis augebitur.
Igitur si ratio incrementi & decrementi vis centripetæ singulis revolutionibus augeatur, augebitur semper Excentricitas; & e contra, diminuetur eadem si ratio illa decrescat.
Jam vero in Systemate corporum S, P, Q, ubi Apsides orbis PAB sunt in quadraturis, ratio illa incrementi ac decrementi minima est, & maxima fit ubi Apsides sunt in Syzygiis.
Si Apsides constituantur in quadraturis ratio prope Apsides minor est, & prope Syzygias major quam duplicata distantiarum, & ex ratione illa majori oritur Augis motus velocissimus, uti jam dictum est.
At si consideretur ratio incrementi vel decrementi totius in progressu inter Apsides, hæc minor est quam duplicata distantiarum.
Vis in Apside ima est ad vim in Apside summa in minore quam duplicata ratione distantiæ Apsidis summæ ab umbilico Ellipseos ad distantiam Apsidis imæ ab eodem umbilico: & e contra, ubi Apsides constituuntur in Syzygiis, vis in Apside ima est ad vim in Apside summa in majore quam duplicata ratione distantiarum.
Nam vires LM in Quadraturis additæ viribus corporis S componunt vires in ratione minore, & vires KL in Syzygiis subductæ viribus corporis S relinquunt vires in ratione majore.
Es igitur ratio decrementi & incrementi totius in transitu inter Apsides, minima in quadraturis, maxima in Syzygiis: & propterea in transitu Apsidum a quadraturis ad Syzygias perpetuo augetur, augetq; Excentricitatem Ellipseos; inq; transitu a Syzygiis ad quadraturas perpetuo diminuitur, & Excentricitatem diminuit.
Corol. 10. Ut rationem ineamus errorum in latitudinem, fingamus planum Orbis QES immobile manere; & ex errorum exposita causa manifestum est, quod ex viribus NM, ML, quæ sunt Page 181 causa illa tota, vis ML agendo semper secundum planum Orbis PAB, nunquam perturbat motus in latitudinem, quodq; vis NM ubi Nodi sunt in Syzygiis, agendo etiam secundum idem Orbis planum, non perturbat hos motus; ubi vero sunt in Quadraturis eos maxime perturbat, corpusq; P de plano Orbis sui perpetuo trahendo, minuit inclinationem plani in transitu corporis a quadraturis ad Syzygias, augetq; vicissim eandem in transitu a Syzygiis ad quadraturas. Unde fit ut corpore in Syzygiis existente inclinatio evadat omnium minima, redeatq; ad priorem magnitudinem circiter, ubi corpus ad Nodum proximum accedit.
Si autem Nodi constituantur in Octantibus post quadraturas, id est inter C & A, D & B, intelligetur ex modo expositis quod, in transitu corporis P a Nodo alterutro ad gradum inde nonagesimum, inclinatio plani perpetuo minuitur; deinde in transitu per proximos 45 gradus, usq; ad quadraturam proximam, inclinatio augetur, & postea denuo in transitu per alios 45 gradus, usq; ad nodum proximum, diminuitur.
Magis itaq; diminuitur inclinatio quam augetur, & propterea minor est semper in nodo subsequente quam in præcedente. Et simili ratiocinio inclinatio magis augetur quam diminuitur, ubi nodi sunt in Octantibus alteris inter A & D, B & C.
La inclinación, por tanto, donde los Nodos están en las Sicigias es la mayor de todas. En su tránsito desde las Sicigias a las cuadraturas, en cada acercamiento del cuerpo a los Nodos, disminuye, y se hace la menor de todas donde los nodos están en las cuadraturas y el cuerpo en las Sicigias; luego crece en los mismos grados en los que antes había disminuido, y habiéndose acercado los Nodos a las Sicigias más próximas, vuelve a su magnitud primera.
Corol. 11. Quoniam corpus P ubi nodi sunt in quadraturis perpetuo trahitur de plano Orbis sui, idq; in partem versus Q, in transitu suo a nodo C per Conjunctionem A ad nodum D; & in contrariam partem in transitu a nodo D per Oppositionem B ad nodum C; manifestum est quod in motu suo a nodo C, corpus perpetuo recedit ab Orbis sui plano primo CD, usq; dum perventum est ad nodum proximum; adeoq; in hoc nodo, longissime distans a plano illo primo CD, transit per planum Orbis QES, Page 182 non in plani illius Nodo altero D, sed in puncto quod inde vergit ad partes corporis Q, quodq; proinde novus est Nodi locus in anteriora vergens. Et simili argumento pergent Nodi recedere in transitu Corporis de hoc nodo in nodum proximum.
Nodi igitur in quadraturis constituti perpetuo recedunt, in Syzygiis (ubi motus in latitudinem nil perturbatur) quiescunt; in locis intermediis conditionis utriusq; participes recedunt tardius, adeoq; semper vel retrogradi vel stationarii singulis revolutionibus feruntur in antecedentia.
Corol. 12. Omnes illi in his Corollariis descripti errores sunt paulo majores in conjunctione Corporum P, Q quam in eorum Oppositione, idq; ob majores vires generantes NM & ML.
Corol. 13. Y como las razones de estos Corolarios no dependen de la magnitud del cuerpo Q, subsisten todos los precedentes donde se establece que la magnitud del cuerpo Q es tal que alrededor de él se revuelve el Sistema de los dos cuerpos S y P. Y por haberse aumentado el cuerpo Q, y consiguientemente la fuerza centrípeta del mismo de la cual se originan los errores del cuerpo P, todos esos errores (a iguales distancias) resultarán mayores en este caso que en el otro, en el que el cuerpo Q se revuelve alrededor del Sistema de los cuerpos P y S.
Corol. 14. Cum autem vires NM, ML, ubi corpus Q longinquum est, sint quamproxime ut vis QK & ratio PS ad QS conjunctim, hoc est, si detur tum distantia PS, tum corporis Q vis absoluta, ut QS cub. reciproce; sint autem vires illæ NM, ML causæ errorum & effectuum omnium de quibus actum est in præcedentibus Corollariis: manifestum est quod effectus illi omnes, stante corporum S & P Systemate, sint quamproxime in ratione composita ex ratione directa vis absolutæ corporis Q & ratione triplicata inversa distantiæ QS. Unde si Systema corporum S & P revolvatur circa corpus longinquum Q, vires illæ NM, ML & earum effectus erunt (per Corol. 2. & 6. Prop. IV.) reciproce in duplicata ratione temporis periodici. Et inde si magnitudo corporis Q proportionalis sit ipsius vi absolutæ, erunt vires illæ Page 183 NM, ML & earum effectus directe ut cubus diametri apparentis longinqui corporis Q e corpore S spectati, & vice versa. Namq; hæ rationes eædem sunt atq; ratio superior composita.
Corol. 15. Y puesto que si, permaneciendo la forma, las proporciones y la inclinación mutua de los Órbitas QE y PAB, se cambia su magnitud, y si las fuerzas de los cuerpos Q y S o bien permanecen o bien se cambian en una razón cualquiera dada, estas fuerzas (esto es, la fuerza del cuerpo S, con la cual el cuerpo P es obligado a desviarse del camino recto hacia la Órbita PAB, y la fuerza del cuerpo Q, con la cual ese mismo cuerpo P es obligado a apartarse de aquella Órbita) actúan siempre del mismo modo y en la misma proporción: es necesario que todos los efectos sean semejantes y proporcionales, y proporcionales los tiempos de los efectos; esto es, que todos los errores lineales sean como los diámetros de las Órbitas, pero los angulares los mismos que antes, y los tiempos de los errores lineales semejantes o angulares iguales como los tiempos periódicos de las Órbitas.
Corol. 16. Unde, si dentur Orbium formæ & inclinatio ad invicem, & mutentur utcunq; corporum magnitudines, vires & distantiæ; ex datis erroribus & errorum temporibus in uno Casu colligi possunt errores & errorum tempora in alio quovis, quam proxime: Sed brevius hac Methodo.
Vires NM, ML cæteris stantibus sunt ut Radius SP, & harum effectus periodici (per Corol. 2, Lem. X) ut vires & quadratum temporis periodici corporis P conjunctim. Hi sunt errores lineares corporis P; & hinc errores angulares e centro S spectati (id est tam motus Augis & Nodorum, quam omnes in longitudinem & latitudinem errores apparentes) sunt in qualibet revolutione corporis P, ut quadratum temporis revolutionis quam proxime.
Confróntense estas razones con las del Corolario 14, y en cualquier sistema de los cuerpos S, P, Q, donde P gira en torno a S, que le es cercano, y S en torno a Q, que le es distante, los errores angulares del cuerpo P, observados desde el centro S, serán, en cada revolución de dicho cuerpo P, como el cuadrado del tiempo periódico del cuerpo P directamente y el cuadrado del tiempo periódico del cuerpo S inversamente.
Y de ahí el movimiento medio Page 184 del Aug será en razón dada respecto al movimiento medio de los Nodos; y uno y otro movimiento serán como el tiempo periódico del cuerpo P directamente y el cuadrado del tiempo periódico del cuerpo S inversamente.
Augendo vel minuendo Excentricitatem & Inclinationem Orbis PAB non mutantur motus Augis & Nodorum sensibiliter, nisi ubi eædem sunt nimis magnæ.
Corol. 17. Cum autem linea LM nunc major sit nunc minor quam radius PS, Exponatur vis mediocris LM per radium illum PS, & erit hæc ad vim mediocrem QK vel QN (quam exponere licet per QS) ut longitudo PS ad longitudinem QS. Est autem vis mediocris QN vel QS, qua corpus retinetur in orbe suo circum Q, ad vim qua corpus P retinetur in Orbe suo circum S, in ratione composita ex ratione radii QS ad radium PS, & ratione duplicata temporis periodici corporis P circum S ad tempus periodicum corporis S circum Q. Et ex æquo, vis mediocris LM, ad vim qua corpus P retinetur in Orbe suo circum S (quave corpus idem P eodem tempore periodico circum punctum quodvis immobile S ad distantiam PS revolvi posset) est in ratione illa duplicata periodicorum temporum. Datis igitur temporibus periodicis una cum distantia PS, datur vis mediocris LM; & ea data datur etiam vis MN quamproxime per analogiam linearum PS, MN.
Corol. 18. Bajo las mismas leyes con que el cuerpo P gira en torno al cuerpo S, imaginemos que varios cuerpos fluidos se mueven alrededor del mismo S a distancias iguales de este; y que después, al unirse estos cuerpos contiguos, se forma un anillo fluido, redondo y concéntrico al cuerpo S; y que las partes individuales del anillo, al realizar todos sus movimientos según la ley del cuerpo P, se acercarán más al cuerpo S y se moverán con mayor rapidez en la Conjunción y en la Oposición de ellas y del cuerpo Q que en las Quadraturas.
Y los Nodos de este anillo, o sus intersecciones con el plano de la órbita del cuerpo Q o S, reposarán en las Sigizias; pero fuera de las Sigizias se moverán hacia los antecedentes, y ciertamente con la mayor velocidad en las Quadraturas, y más lentamente en los demás lugares. También la inclinación Page 185 del anillo variará, y su eje oscilará en cada revolución, y completada la revolución volverá a su situación prístina, a no ser en cuanto es llevado por la precesión de los Nodos.
Corol. 19. Fingas jam globum corporis S ex materia non fluida constantem ampliari & extendi usq; ad hunc annulum, & alveo per circuitum excavato continere Aquam, motuq; eodem periodico circa axem suum uniformiter revolvi. Hic liquor per vices acceleratus & retardatus (ut in superiore Lemmate) in Syzygiis velocior erit, in Quadraturis tardior quam superficies Globi, & sic fluet in alveo refluetq; ad modum Maris. Aqua revolvendo circa Globi centrum quiescens, si tollatur attractio Q, nullum acquiret motum fluxus & refluxus. Par est ratio Globi uniformiter progredientis in directum & interea revolventis circa centrum suum (per Legum Corol. 5) ut & Globi de cursa rectilineo uniformiter tracti (per Legum Corol. 6.) Accedat autem corpus Q, & ab ipsius inæquabili attractione mox turbabitur Aqua. Etenim major erit attractio aquæ propioris, minor ea remotioris. Vis autem LM trahet aquam deorsum in Quadraturis, facietq; ipsam descendere usq; ad Syzygias; & vis KL trahet eandem sursum in Syzygiis, sistetq; descensum ejus & faciet ipsam ascendere usq; ad Quadraturas.
Corol. 20. Si el anillo ya es rígido y el Globo disminuye, cesará el movimiento de flujo y reflujo; pero aquel movimiento oscilatorio de inclinación y la precesión de los Nodos permanecerán. Tenga el Globo el mismo eje que el anillo, complete sus giros en los mismos tiempos, y con su superficie toque a este por dentro, y se adhiera a él; y participando de su movimiento, la estructura de entrambos oscilará y los Nodos retrocederán. Pues el Globo, como se dirá pronto, es indiferente para recibir todas las impresiones.
En los Anillos despojados del Globo, el mayor ángulo de inclinación es aquel en el que los Nodos están en las Sicigias. Desde allí, en el avance de los Nodos hacia las Quadraturas, este se esfuerza por disminuir su inclinación, y con dicho esfuerzo imprime un movimiento a todo el Globo. Retiene el Globo el movimiento impreso hasta que el anillo, mediante un esfuerzo contrario Page 186, anula este movimiento e imprime un movimiento nuevo en dirección contraria: Y de esta manera, el mayor movimiento de la inclinación decreciente ocurre en las Quadraturas de los Nodos, y el menor ángulo de inclinación en los Octantes posteriores a las Quadraturas; después, el mayor movimiento de reclinación en las Sicigias y el mayor ángulo en los Octantes más próximos.
Y la misma es la razón del Globo desprovisto de anillo, que en las regiones del ecuador o es un poco más alto que cerca de los polos, o consta de materia un poco más densa.
Suple en efecto las veces del anillo ese exceso de materia en las regiones del ecuador. Y aunque, aumentada de cualquier modo la fuerza centrípeta de este Globo, se suponga que todas sus partes tienden hacia abajo, a la manera de las partes gravitantes de la tierra, sin embargo, los Fenómenos de este y del corolario precedente apenas se alterarán por ello.
Corol. 21. Eadem ratione qua materia Globi juxta æquatorem redundans efficit ut Nodi regrediantur, atq; adeo per hujus incrementum augetur iste regressus, per diminutionem vero diminuitur & per ablationem tollitur; si materia plusquam redundans tollatur, hoc est, si Globus juxta æquatorem vel depressior reddatur vel rarior quam juxta polos, orietur motus Nodorum in consequentia.
Corol. 22. Et inde vicissim ex motu Nodorum innotescit constitutio Globi. Nimirum si Globus polos eosdem constanter servat & motus fit in antecedentia, materia juxta æquatorem redundat; si in consequentia, deficit.
Pone Globum uniformem & perfecte circinatum in spatiis liberis primo quiescere; dein impetu quocunq; oblique in superficiem suam facto propelli, & motum inde concipere partim circularem, partim in directum.
Quoniam Globus iste ad axes omnes per centrum suum transeuntes indifferenter se habet, neq; propensior est in unum axem, unumve axis situm, quam in alium quemvis; perspicuum est quod is axem suum axisq; inclinationem vi propria nunquam mutabit.
Impúltese ahora el Globo oblicuamente en aquella misma parte de la superficie que antes, por un impulso cualquiera nuevo; y como un impulso más rápido o más tardío no cambia en nada el efecto, es manifiesto que estos dos Page 187 impulsos impresos sucesivamente producirán el mismo movimiento que si hubiesen sido impresos simultáneamente, esto es, el mismo que si el Globo hubiese sido impulsado por una fuerza simple compuesta de ambos (por el Corol. 2 de las Leyes), y por tanto simple, alrededor de un eje dado por su inclinación.
Y análoga es la razón del segundo impulso hecho en cualquier otro lugar del ecuador del primer movimiento; así como del primer impulso hecho en cualquier lugar del ecuador del movimiento que el segundo impulso generaría sin el primero; y por consiguiente de ambos impulsos hechos en lugares cualesquiera: Estos generarán el mismo movimiento circular que si hubiesen sido impresos única y simultáneamente en el lugar de la intersección de los ecuadores de aquellos movimientos que generarían por separado.
Un globo, pues, homogéneo y perfecto no retiene múltiples movimientos distintos, sino que compone todos los impresos y los reduce a uno solo, y en la medida en que de él depende, gira siempre con un movimiento simple y uniforme alrededor de un único eje dado con una inclinación siempre invariable.
Pero tampoco la fuerza centrípeta puede alterar la inclinación del eje o la velocidad de rotación. Si se concibe que el globo sea dividido por un plano cualquiera que pase por su centro y por el centro hacia el cual se dirige la fuerza en dos hemisferios, dicha fuerza empujará siempre a ambos hemisferios por igual y, por lo tanto, no inclinará al globo en ninguna dirección en cuanto al movimiento de rotación.
Si además se añade en algún lugar entre el polo y el ecuador materia nueva acumulada en forma de montaña, esta, mediante su esfuerzo perpetuo por alejarse del centro de su movimiento, perturbará el movimiento del Globo, y hará que sus polos errante por su superficie, y describan perpetuamente círculos en torno a sí mismos y al punto opuesto.
Neque se corregirá esta enormidad de la vagación, a menos que se coloque dicha montaña ya sea en uno u otro polo, en cuyo caso, por el Corol. 21, los Nodos del ecuador avanzarán; o en el ecuador, razón por la cual, por el Corol. 20, los Nodos retrocederán; o finalmente, añadiendo materia nueva en la otra parte del eje, con la cual la montaña quede equilibrada durante el movimiento: y de este modo los Nodos avanzarán o retrocederán, según que la montaña y esta nueva materia estén más próximas al polo o al ecuador.
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Prop. LXVII. Theor. XXVII.
*Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius*Q*, circa interiorum*P*,*S*commune Gravitatis centrum*C*, radiis ad centrum illud ductis, describit areas temporibus magis proportionales & Orbem ad formam Ellipseos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem, quam circa corpus intimum & maximum*S*, radiis ad ipsum ductis, describere potest.*
Nam corporis Q attractiones versus S & P componunt ipsius attractionem absolutam, quæ magis dirigitur in corporum S & P commune gravitatis centrum C, quam in corpus maximum S, quæq; quadrato distantiæ QC magis est proportionalis reciproce, quam quadrato distantiæ QS: ut rem perpendenti facile constabit.
# Prop. LXVIII. Theor. XXVIII.
*Positis iisdem attractionum legibus, dico quod corpus exterius*Q*circa interiorum*P*&*S*commune gravitatis centrum*C*, radiis ad centrum illud ductis, describit areas temporibus magis proportionales, & Orbem ad formam Ellipseos umbilicum in centro eodem habentis magis accedentem, si corpus intimum & maximum his attractionibus perinde atq; cætera agitetur, quam si id vel non attractum quiescat, vel multo magis aut multo minus attractum aut multo magis aut multo minus agitetur.*
Se demuestra de un modo casi igual que la Prop. LXVI, pero con un argumento más extenso, el cual por ello omito. Bastará con valorar el asunto de este modo.
De la demostración de la novísima Proposición resulta claro que el centro hacia el cual el cuerpo Q es impelido por fuerzas conjuntas, es próximo al centro de gravedad común de aquellos dos. Si este centro coincidiera con aquel centro común, y el centro de gravedad común de los tres cuerpos estuviera en reposo; el cuerpo Q por Page 189 una parte, y el centro común de los otros dos por la otra parte, describirían Elipses exactas en torno al centro común de todos que está en reposo.
Esto resulta claro por el segundo Corolario de la Proposición LVIII, comparado con lo demostrado en las Prop. LXIV y LXV. Ese movimiento elíptico se perturba un tanto por la distancia del centro de los dos al centro hacia el cual el tercero Q es atraído. Dense además un movimiento al centro común de los tres, y la perturbación aumentará.
Por tanto, la perturbación es mínima cuando el centro común de los tres está en reposo, esto es, cuando el cuerpo íntimo y máximo S es atraído por la ley de los demás; y se hace siempre mayor donde aquel centro común de los tres, al disminuir el movimiento del cuerpo S, comienza a moverse y más y más adelante es agitado.
Corol. Y de aquí, si varios cuerpos más pequeños giran en torno a uno máximo, puede inferirse que las órbitas descritas se acercarán más a las elípticas, y las descripciones de las áreas se volverán más equitativas, si todos los cuerpos, mediante fuerzas aceleratrices que son directamente proporcionales a sus fuerzas absolutas e inversamente proporcionales a los cuadrados de las distancias, se atraen y agitan mutuamente, y el foco de cada órbita se coloca en el centro de gravedad común de todos los cuerpos interiores (a saber, el foco de la órbita primera e íntima en el centro de gravedad del cuerpo máximo e íntimo; el de la segunda órbita, en el centro de gravedad común de los dos cuerpos íntimos; el de la tercera, en el centro de gravedad común de los tres interiores, y así sucesivamente) que si el cuerpo íntimo estuviera en reposo y se estableciera un foco común para las órbitas de todos.
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Prop. LXIX. Theor. XXIX.
*In Systemate corporum plurium*A*,*B*,*C*,*D*&c. si corpus aliquod*A*trahit cætera omnia*B*,*C*,*D*&c. viribus acceleratricibus quæ sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente; & corpus aliud*B*trahit etiam cætera*A*,*C*,*D*&c. viribus quæ sunt reciproce ut quadrata distantiarum a trahente: erunt absolutæ corporum trahentium*A*,*B*vires ad invicem, ut sunt ipsa corpora*A*,*B*, quorum sunt vires.*
Nam attractiones acceleratrices corporum omnium B, C, D versus A, paribus distantiis, sibi invicem æquantur ex hypothesi, & similiter attractiones acceleratrices corporum omnium versus B, paribus distantiis, sibi invicem æquantur.
Est autem absoluta vis attractiva corporis A ad vim absolutam attractivam corporis B, ut attractio acceleratrix corporum omnium versus A ad attractionem acceleratricem corporum omnium versus B, paribus distantiis; & ita est attractio acceleratrix corporis B versus A, ad attractionem acceleratricem corporis A versus B.
Sed attractio acceleratrix corporis B versus A est ad attractionem acceleratricem corporis A versus B, ut massa corporis A ad massam corporis B; propterea quod vires motrices, quæ (per Definitionem secundam, septimam & octavam) ex viribus acceleratricibus in corpora attracta ductis oriuntur, sunt (per motus Legem tertiam) sibi invicem æquales.
Ergo absoluta vis attractiva corporis A est ad absolutam vim attractivam corporis B, ut massa corporis A ad massam corporis B.
Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si singula Systematis corpora A, B, C, D, &c. seorsim spectata trahant cætera omnia viribus acceleratricibus quæ sint reciproce ut Quadrata distantiarum a trahente; erunt corporum illorum omnium vires absolutæ ad invicem ut sunt ipsa corpora. Page 191
Corol. 2. Eodem argumento, si singula Systematis corpora A, B, C, D &c. seorsim spectata trahant cætera omnia viribus acceleratricibus quæ sunt vel reciproce vel directe in ratione dignitatis cujuscunq; distantiarum a trahente, quæve secundum legem quamcunq; communem ex distantiis ab unoquoq; trahente definiuntur; constat quod corporum illorum vires absolutæ sunt ut corpora.
Corol. 3. En el Sistema de cuerpos, cuyas fuerzas decrecen en razón duplicada de las distancias, si los menores giran alrededor del máximo en Elipses que tienen un foco común en el centro de dicho máximo, lo más exactas que sea posible, y con los radios trazados a ese máximo describen áreas lo más proporcionales posible a los tiempos: las fuerzas absolutas de esos cuerpos entre sí serán, o bien exacta o muy aproximadamente, en razón de los cuerpos; y al revés. Es evidente por el Corol. de la Prop. LXVIII, tomado en conjunto con el Corol. 1 de esta.
# Escolio.
Por estas Proposiciones somos conducidos a la analogía entre las fuerzas centrípetas y los cuerpos centrales hacia los cuales esas fuerzas suelen dirigirse.
Pues es conforme a la razón que las fuerzas que se dirigen a los cuerpos dependan de la naturaleza y cantidad de los mismos, como ocurre en los Magnéticos. Y cuantas veces ocurren casos de esta índole, deberán estimarse las atracciones de los cuerpos asignando a cada una de sus partículas fuerzas propias y sumando los totales de las fuerzas.
Vocem attractionis hic generaliter usurpo pro corporum conatu quocunq; accedendi ad invicem; sive conatus iste fiat ab actione corporum vel se mutuo petentium, vel per Spiritus emissos se invicem agitantium, sive is ab actione Ætheris aut Aeris mediive cujuscunq; seu corporei seu incorporei oriatur corpora innatantia in se invicem utcunq; impellentis.
Eodem sensu generali usurpo vocem impulsus, non species virium & qualitates physicas, sed quantitates & proportiones Mathematicas in hoc Tractatu expendens; ut in Page 192 Definitionibus explicui.
En las Matemáticas deben investigarse aquellas cantidades y razones de las fuerzas que se siguen de cualesquiera condiciones establecidas: después, cuando se asciende a la Física, deben compararse estas razones con los Fenómenos, para que se sepa cuáles condiciones de las fuerzas corresponden a cada género de cuerpos atractivos. Y entonces, por fin, será lícito disputar con mayor seguridad sobre las especies, causas y razones físicas de las fuerzas.
Veamus igitur quibus viribus corpora Sphærica, ex particulis modo jam exposito attractivis constantia, debeant in se mutuo agere, & quales motus inde consequantur.