Inventio orbium ubi umbilicus neuter datur.
# Lema XVII.
*Si a datæ conicæ sectionis puncto quovis* P *, ad Trapezii alicujus* ABCD *, in Conica illa sectione inscripti, latera quatuor infinite producta* AB *,* CD *,* AC *,* DB *, totidem rectæ* PQ *,* PR *,* PS *,* PT * in datis angulis ducantur, singulæ ad singula: rectangulum ductarum ad opposita duo latera* PQ *×* PR *, erit ad rectangulum ductarum ad alia duo latera opposita* PS *×* PT * in data ratione.*
Cas. 1. Supóngase en primer lugar que las líneas trazadas hacia los lados opuestos son paralelas a uno cualquiera de los lados restantes, por ejemplo PQ y PR al lado AC, y PS y PT al lado AB. Y sean además dos de los lados opuestos, por ejemplo AC y BD, paralelos. Y la recta que biseca aquellos lados paralelos será uno de los diámetros de la sección cónica, y bisecará también a RQ. Sea O el punto en el que se biseca a RQ, y PO será una ordenada aplicada a dicho diámetro. Prodúzcase PO hasta K de modo que OK sea igual a PO, y OK será una ordenada aplicada a las partes contrarias del diámetro. Puesto que, por lo tanto, los puntos A, B, P y K están en la sección cónica, y PR corta a AB en un ángulo dado, el rectángulo PQK estará (por las Prop. 17 y 18 del Lib. III de Apolonio) respecto al rectángulo AQB en una razón dada. Pero QK y PR son iguales, por ser diferencias de los iguales OK, OP, y OQ, OR, y de ahí también Page 71 los rectángulos PQK y PQ × PR son iguales; y por tanto el rectángulo PQ × PR está respecto al rectángulo AQB, esto es, respecto al rectángulo PS × PT en una razón dada. Q. E. D.
Cas. 2. Ponamus jam Trapezii latera opposita AC & BD non esse parallela. Age Bd parallelam AC & occurrentem tum rectæ ST in t, tum Conicæ sectioni in d. Junge Cd secantem PQ in r, & ipsi PQ parallelam age DM secantem Cd in M & AB in N.
Jam ob similia triangula BTt, DBN, est Bt seu PQ ad Tt ut DN ad NB. Sic & Rr est ad AQ seu PS ut DM ad AN. Ergo ducendo antecedentes in antecedentes & consequentes in consequentes, ut rectangulum PQ in Rr est ad rectangulum Tt in PS, ita rectangulum NDM est ad rectangulum ANB, & (per Cas. 1) ita rectangulum QPr est ad rectangulum SPt, ac divisim ita rectangulum QPR est ad rectangulum PS × PT.
Q. E. D.
Cas. 3. Supongamos, por último, que las cuatro líneas PQ, PR, PS, PT no son paralelas a los lados AC, AB, sino que están inclinadas respecto a ellos de cualquier manera. En su lugar, tómense Pq, Pr paralelas al propio AC; y Ps, Pt paralelas al propio AB; y debido a los ángulos dados de los triángulos PQq, PRr, PSs, PTt, se darán las razones de PQ a Pq, de PR a Pr, de PS a Ps y de PT a Pt, y por tanto las razones compuestas de PQ por PR a Pq por Pr, y de PS por PT a Ps por Pt. Mas, por lo demostrado arriba, la razón de Pq por Pr a Ps por Pt es dada: luego también la razón de PQ por PR a PS por PT.
Q. E. D.
Page 72
### Lema XVIII.
*Iisdem positis, si rectangulum ductarum ad opposita duo latera Trapezii*PQ*×*PR*sit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo latera*PS*×*PT*in data ratione; punctum*P*, a quo lineæ ducuntur, tanget Conicam sectionem circa Trapezium descriptam.*
Por los puntos A, B, C, D y uno cualquiera de los infinitos puntos P, digamos p, concíbase que se describe una sección cónica: digo que el punto P siempre toca a esta.
Si lo niegas, une AP secando esta sección cónica en otra parte que no sea P si es posible, digamos en b. Por tanto, si desde estos puntos p y b se trazan en ángulos dados a los lados del trapecio las líneas rectas pq, pr, ps, pt y bk, br, bſ, bd; será como bk × br es a bd × bſ así (por el Lema XVII) pq × pr es a ps × pt y así (por hipót.) PQ × PR es a PS × PT.
Es también, por la semejanza de los trapecios bkAſ, PQAS, como bk es a bſ así PQ es a PS. Por lo cual, aplicando los términos de la proposición anterior a los términos correspondientes de esta, será br es a bd como PR es a PT. Por tanto, los trapecios equiángulos Drbd, DRPT son semejantes, y sus diagonales Db, DP por ello coinciden. Cae, por tanto, b en la intersección de las líneas rectas AP, DP y por ello coincide con el punto P. Por lo cual el punto P, dondequiera que se tome, cae en la sección cónica asignada.
Q. E. D.
Corol. Hinc si rectæ tres PQ, PR, PS a puncto communi P ad alias totidem positione datas rectas AB, CD, AC, singulæ ad singulas, in datis angulis ducantur, sitq; rectangulum sub duabus ductis PQ × PR ad quadratum tertii, PS quad. in data ratione: punctum Page 73 P, a quibus rectæ ducuntur, locabitur in sectione Conica quæ tangit lineas AB, CD in A & C & contra.
Nam coeat linea BD cum linea AC manente positione trium AB, CD, AC; dein coeat etiam linea PT cum linea PS: & rectangulum PS × PT evadet PS quad. rectæq; AB, CD quæ curvam in punctis A & B, C & D secabant, jam Curvam in punctis illis coeuntibus non amplius secare possunt sed tantum tangent.
# Escolio.
El nombre de sección cónica se toma aquí en un sentido amplio, de modo que se incluye tanto la sección rectilínea que pasa por el vértice del cono, como la circular paralela a la base. Pues si el punto p cae en la línea recta que une cualesquiera de dos de los cuatro puntos A, B, C, D, la sección cónica se convertirá en dos rectas gemelas, de las cuales una es aquella recta en la que cae el punto p, y la otra es la recta que une los otros dos de los cuatro puntos.
Si trapezii anguli duo oppositi simul sumpti æquentur duobus rectis, & lineæ quatuor PQ, PR, PS, PT ducantur ad latera ejus vel perpendiculariter vel in angulis quibusvis æqualibus, sitq; rectangulum sub duabus ductis PS × PR æquale rectangulo sub duabus aliis PS × PT, Sectio conica evadet Circulus.
Idem fiet si lineæ quatuor ducantur in angulis quibusvis & rectangulum sub duabus ductis PQ × PR sit ad rectangulum sub aliis duabus PS × PT ut rectangulum sub sinubus angulorum S, T, in quibus duæ ultimæ PS, PT ducuntur, ad rectangulum sub sinubus angulorum Q, R, in quibus duæ primæ PQ, PR ducuntur.
Cæteris in casibus Locus puncti P erit aliqua trium figurarum quæ vulgo nominantur Sectiones Conicæ.
En lugar del trapecio ABCD puede sustituirse un cuadrilátero cuyos dos lados opuestos se cruzan mutuamente a modo de diagonales. Mas también de los cuatro puntos A, B, C, D uno o dos pueden irse al infinito, y de ese modo los lados de la figura que convergen hacia aquellos puntos, Page 74 volverse paralelos: en cuyo caso la sección cónica pasará por los demás puntos y se dirigirá hacia las regiones de los paralelos en el infinito.
### Lema XIX.
*Invenire punctum* P*, a quo si rectæ quatuor* PQ*,* PR*,* PS*,* PT* ad alias totidem positione datas rectas* AB*,* CD*,* AC*,* BD* singulæ ad singulas in datis angulis ducantur, rectangulum sub duabus ductis,* PQ*×*PR*, sit ad rectangulum sub aliis duabus,* PS*×*PT*, in data ratione.*
Lineæ AB, CD, ad quas rectæ duæ PQ, PR, unum rectangulorum continentes ducuntur, conveniant cum aliis duabus positione datis lineis in punctis A, B, C, D. Ab eorum aliquo A age rectam quamlibet AH, in qua velis punctum P reperiri. Secet ea lineas oppositas BD, CD, nimirum BD in H & CD in I, & ob datos omnes angulos figuræ, dabuntur rationes PQ ad PA & PA ad PS, adeoq; ratio PQ ad PS. Auferendo hanc a data ratione PQ × PR ad PS × PT, dabitur ratio PR ad PT, & addendo datas rationes PI ad PR, & PT ad PH dabitur ratio PI ad PH atq; adeo punctum P. Q. E. I.
Corol. 1. Hinc etiam ad Loci punctorum infinitorum P punctum quodvis D tangens duci potest. Nam chorda PD ubi puncta P ac D conveniunt, hoc est, ubi AH ducitur per punctum D, tangens evadit. Quo in casu, ultima ratio evanescentium IP & PH invenietur ut supra.
Ipsi igitur AD duc parallelam CF, occurrentem BD in F, & in ea ultima ratione sectam in E, Page 75 & DE tangens erit, propterea quod CF & evanescens IH parallelæ sunt, & in E & P similiter sectæ.
Corol. 2. Hinc etiam Locus punctorum omnium P definiri potest. Per quodvis punctorum A, B, C, D, puta A, duc Loci tangentem AE, & per aliud quodvis punctum B duc tangenti parallelam BF occurrentem Loco in F. Invenietur autem punctum F per Lemma superius. Biseca BF in G, & acta AG diameter erit ad quam BG & FG ordinatim applicantur. Hæc AG occurrat Loco in H, & erit AH latus transversum, ad quod latus rectum est ut BGq. ad AGH.
Si AG nullibi occurrit Loco, linea AH existente infinita, Locus erit Parabola & latus rectum ejus BGq. ÷ AG. Sin ea alicubi occurrit, Locus Hyperbola erit ubi puncta A & H sita sunt ad easdem partes ipsius G: & Ellipsis, ubi G intermedium est, nisi forte angulus AGB rectus sit & insuper BG quad. æquale rectangulo AGH, quo in casu circulus habebitur.
Atque ita Problematis veterum de quatuor lineis ab Euclide incæpti & ab Apollonio continuati non calculus, sed compositio Geometrica, qualem Veteres quærebant, in hoc Corollario exhibetur.
Lema XX.
*Si parallelogrammum quodvis* ASPQ *angulis duobus oppositis* A *&* P *tangit sectionem quamvis Conicam in punctis* A *&* P *, & lateribus unius angulorum illorum infinite productis* AQ *,* AS *occurrit eidem sectioni Conicæ in* B *&* C *; a punctis autem Page 76 occursuum* B *&* C *ad quintum quodvis sectionis Conicæ punctum* D *agantur rectæ duæ* BD *,* CD *occurrentes alteris duobus infinite productis parallelogrammi lateribus* PS *,* PQ *in* T *&* R *: erunt semper abscissæ laterum partes* PR *&* PT *ad invicem in data ratione. Et contra, si partes illæ abscissæ sunt ad invicem in data ratione, punctum* D *tanget Sectionem Conicam per puncta quatuor* A *,* B *,* P *,* C *transeuntem.*
Cas. 1. Únase BP, CP y desde el punto D condúzcanse dos rectas DG, DE, de las cuales la primera DG sea paralela a la propia AB y corte a PB, PQ, CA en H, I, G; la otra DE sea paralela a la propia AC y corte a PC, PS, AB en F, K, E: y será (por el Lema XVII.) el rectángulo DE × DF respecto al rectángulo DG × DH en razón dada. Mas PQ es a DE o IQ, como PB es a HB, y por tanto como PT es a DH; y a su vez PQ es a PT como DE es a DH. Es también PR es a DF como RC es a DC, y por tanto como IG o PS es a DG, y a su vez PR es a PS como DF es a DG; y compuestas las razones resulta el rectángulo PQ × PR respecto al rectángulo PS × PT como el rectángulo DE × DF al rectángulo DG × DH, y por tanto en razón dada. Mas se dadas PQ y PS y por ello se da la razón de PR a PT.
Q. E. D.
Cas. 2. Y si PR y PT se ponen en razón dada entre sí, entonces por semejante razonamiento, retrocediendo, se seguirá que el rectángulo DE × DF es al rectángulo DG × DH en razón dada, y por tanto que el punto D (por el Lema XVIII) toca una sección cónica que pasa por los puntos A, B, P, C. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si agatur BC secans PQ in r, & in PT capiatur Pt in ratione ad Pr quam habet PT ad PR, erit Bt Tangens Page 77 Conicæ sectionis ad punctum B. Nam concipe punctum D coire cum puncto B ita ut, chorda BD evanescente, BT Tangens evadet; & CD ac BT coincident cum CB & Bt.
Corol. 2. Et vice versa si Bt sit Tangens, & ad quodvis Conicæ sectionis punctum D conveniant BD, CD erit PR ad PT ut Pr ad Pt. Et contra, si sit PR ad PT ut Pr ad Pt, convenient BD, CD ad Conicæ sectionis punctum aliquod D.
Corol. 3. Sección cónica alguna no corta a otra sección cónica en más de cuatro puntos. Pues, si es posible, pasen dos secciones cónicas por cinco puntos A, B, C, D, P, y córtelas la recta BD en los puntos D, d, y a la misma PQ córtela la recta Cd en r. Luego PR es a PT como Pr a PT, esto es, PR y Pr son iguales entre sí, contra la hipótesis.
Lema XXI.
*Si recta duæ mobiles & infinitæ*BM*,*CM*per data puncta*B*,*C*, ceu polos ductæ, concursu suo*M*describant tertiam positione datam rectam*MN*; & aliæ duæ infinitæ rectæ*BD*,*CD*cum prioribus duabus ad puncta illa data*B*,*C*, datos angulos*MBD*,*MCD*efficientes ducantur; dico quod hæ duæ*BD*,*CD*concursu suo*D*describent sectionem Page 78 Conicam. Et vice versa, si rectæ*BD*,*CD*concursu suo*D*describent Sectionem Conicam per puncta*B*,*C*,*A*transeuntem, & harum concursus tunc incidit in ejus punctum aliquod*A*, cum alteræ duæ*BM*,*CM*coincidunt cum linea*BC*, punctum*M*continget rectam positione datam.*
Nam in recta MN detur punctum N, & ubi punctum mobile M incidit in immotum N, incidat punctum mobile D in immotum P.
Junge CN, BN, CP, BP, & a puncto P age rectas PT, PR occurrentes ipsis BD, CD in T & R, & facientes angulum BPT æqualem angulo BNM & angulum CPR æqualem angulo CNM.
Cum ergo (ex Hypothesi) æquales sint anguli MBD, NBP, ut & anguli MCD, NCP: aufer communes NBD & MCP, & restabunt æquales NBM & PBT, NCM & PCR: adeoq; triangula NBM, PBT similia sunt, ut & triangula NCM, PCR.
Quare PT est ad NM ut PB ad NB, & PR ad NM ut PC ad NC. Ergo PT & PR datam habent rationem ad NM, proindeq; datam rationem inter se, atq; adeo, per Lemma XX, punctum P (perpetuus rectarum mobilum BT & CR concursus) contingit sectionem Conicam.
Q. E. D.
Y al contrario, si el punto D toca la sección cónica que pasa por los puntos B, C, A, y donde las líneas rectas BM, CM coinciden con la línea recta BC, ese punto D cae en algún punto A de la sección Page 79; mas cuando el punto D cae sucesivamente en otros cualesquiera dos puntos p, P de la sección, el punto móvil M cae sucesivamente en los puntos inmóviles n, N: por esos mismos n, N fúndese la línea recta nN, y esta será el Lugar geométrico perpetuo de aquel punto móvil M.
Pues, si es posible, que el punto M se encuentre en alguna línea curva. Por tanto, el punto D tocará la sección cónica que pasa por los cinco puntos C, p, P, B, A, donde el punto M toca perpetuamente la línea curva. Pero también, por lo ya demostrado, el punto D tocará asimismo la sección cónica que pasa por los mismos cinco puntos C, p, P, B, A, donde el punto M toca perpetuamente la línea recta. Por consiguiente, dos secciones cónicas pasarán por los mismos cinco puntos, contra el Corolario 3 del Lema XX. Por lo tanto, es absurdo que el punto M se encuentre en una línea curva.
Q. E. D.
Prop. XXII. Prob. XIV.
*Trajectoriam per data quinq; puncta describere.*
Dentuor puncta quinque A, B, C, D, P.
Ab eorum aliquo A ad alia duo quævis B, C, quæ poli nominentur, age rectas AB, AC hisque parallelas TPS, PRQ per punctum quartum P. Deinde a polis duobus B, C age per punctum quintum D infinitas duas BDT, CRD, novissime ductis TPS, PRQ (priorem priori & posteriorem posteriori) occurrentes in T & R. Denique de rectis PT, PR, acta recta tr ipsi TR parallela, abscinde Page 80 quasvis Pt, Pr ipsis PT, PR proportionales, & si per earum terminos t, r & polos B, C actæ Bt, Cr concurrant in d, locabitur punctum illud d in Trajectoria quæsita. Nam punctum illud d (per Lem. XX) versatur in Conica Sectione per puncta quatuor A, B, P, C transeunte; & lineis Rr, Tt evanescentibus, coit punctum d cum puncto D. Transit ergo sectio Conica per puncta quinque A, B, C, D, P.
Q. E. D.
Idem aliter.
De los puntos dados únanse tres cualesquiera A, B, C, y alrededor de dos de ellos B, C como polos, rotando ángulos de magnitud dada ABC, ACB, aplíquense los lados BA, CA primero al punto D y después al punto P, y nótense los puntos M, N en los cuales los otros lados BL, CL en uno y otro caso se cortan mutuamente. Trácese la recta infinita MN, y rótense aquellos ángulos móviles alrededor de sus polos B, C, con la condición de que
Page 81
la intersección de los lados BL, CL o BM, CM, que sea ahora m, incida siempre en aquella recta infinita MN, y la intersección de los lados BA, CA o BD, CD, que sea ahora d, delinea la Trajectoria buscada PADdB. Pues el punto d, por el Lem. XXI, tocará la sección cónica que pasa por los puntos B, C y, donde el punto m se acerca a los puntos L, M, N, el punto d (por construcción) se acercará a los puntos A, D, P. Se describirá, por tanto, la sección cónica que pasa por los cinco puntos A, B, C, D, P. Q. E. F.
Corol. 1. Hinc rectæ expeditæ duci possunt quæ trajectoriam in punctis quibusvis datis B, C tangent. In casu utrovis accedat punctum d ad punctum C & recta Cd evadet tangens quæsita.
Corol. 2. Unde etiam Trajectoriarum centra, diametri & latera recta inveniri possunt, ut in Corollario secundo Lemmatis XIX.
Schol.
La construcción en el caso anterior resulta un poco más simple uniendo BP, y prolongándola en él si es necesario, tomando Bp respecto a BP como es PR respecto a PT, y trazando por p una línea recta infinita pD paralela a la misma SPT, y tomando en ella siempre pD igual a Pr, y trazando las rectas BD, Cr que concurren en d. Pues como son Pr respecto a Pt, PR respecto a PT, pB respecto a PB, pD respecto a Pt en la misma razón, pD y Pr serán siempre iguales. Por este método los puntos de la Trayectoria se hallan expeditísimamente, a no ser que prefieras describir la Curva, como en el segundo caso, Mecánicamente.
Prop. XXIII. Prob. XV.
* Trajectoriam describere quæ per data quatuor puncta transibit, & rectam continget positione datam.
Cas. 1. Dese la tangente HB, el punto de contacto B, y otros tres puntos C, D, P. Une BC, y trazando PS paralela a Page 82 BH, y PQ paralela a BC, completa el paralelogramo BSPQ. Traza BD que corta a SP en T, y CD que corta a PQ en R. Por último, trazando una cualquiera tr paralela a la misma TR, corta de PQ, PS los segmentos Pr, Pt proporcionales respectivamente a los mismos PR, PT; y la intersección d de las líneas Cr, Bt trazadas (por el Corol. 2 del Lem. XX) incidirá siempre en la trayectoria que debe describirse.
Idem aliter.
Girese luego el ángulo de magnitud dada CBH alrededor del polo B, y asimismo un radio rectilíneo cualquiera prolongado por ambas partes DC alrededor del polo C. Márquense los puntos M, N en los cuales el lado del ángulo BC corta a dicho radio, mientras que el otro lado BH concurre con el mismo radio en los puntos D y P.
Después, a la recta trazada infinita MN concurran perpetuamente aquel radio CP o CD y el lado del ángulo CB, y Page 83 la concurrencia del otro lado BH con el radio delineará la Trayectoria buscada.
Nam si in constructionibus Problematis superioris accedat punctum A ad punctum B, lineæ CA & CB coincident, & linea AB in ultimo suo situ fiet tangens BH, atq; adeo constructiones ibi positæ evadent eædem cum constructionibus hic descriptis. Delineabit igitur cruris BH concursus cum radio sectionem Conicam per puncta C, D, P transeuntem, & rectam BH tangentem in puncto B.
Q. E. F.
Cas. 2. Dense cuatro puntos B, C, D, P situados fuera de la tangente HI. Únanse de dos en dos BD, CP concurriendo en G, y que concurran con la tangente en H e I. Córtese la tangente en A, de tal modo que HA sea a AI, como el rectángulo bajo la media proporcional entre BH y HD y la media proporcional entre CG y GP, es al rectángulo bajo la media proporcional entre PI e IC y la media proporcional entre DG y GB, y A será el punto de contacto.
Nam si rectæ PI parallela HX trajectoriam secet in punctis quibusvis X & Y: erit (ex Conicis) HA quad. ad AI quad. ut rectangulum XHY ad rectangulum BHD (seu rectangulum CGP ad rectangulum DGB) & rectangulum BHD ad rectangulum PIC conjunctim. Invento autem contactus puncto A, describetur Trajectoria ut in casu primo.
Q. E. F.
Capi autem potest punctum A vel inter puncta H & I, vel extra; & perinde Trajectoria dupliciter describi.
Page 84
Prop. XXIV. Prob. XVI.
* Trajectoriam describere quæ transibit per data tria puncta & rectas duas positione datas continget.
Déntense las tangentes HI, KL y los puntos B, C, D.
Conduzca BD encontrándose con las tangentes en los puntos H, K y CD encontrándose con las tangentes en los puntos I, L.
Corte la recta así trazada en R y S, de modo que HR sea a KR como la media proporcional entre BH y HD es a la media proporcional entre BK y KD; y IS a LS como la media proporcional entre CI y ID es a la media proporcional entre CL y LD.
Conduzca RS cortando las tangentes en A y P, y A y P serán los puntos de contacto.
Nam si A & P sint Puncta contactuum ubivis in tangentibus sita, & per punctorum H, I, K, L quodvis I agatur recta IY tangenti KL parallela & occurrens curvæ in X & Y, & in ea sumatur IZ media proportionalis inter IX & IY: erit, ex Conicis, rectangulum XIY (seu IZ quad.) ad LP quad. ut rectangulum CID ad rectangulum CLD; id est (per constructionem) ut SI quad. ad SL quad. atq; adeo IZ ad LP ut SI ad SL.
Jacent ergo puncta S, P, Z in una recta.
Porro tangentibus concurrentibus in G, erit (ex Conicis) rectangulum XIY (seu IZ quad.) ad IA quad. ut GP quad. ad GA quad., adeoq; IZ ad IA ut GP ad GA.
Jacent ergo puncta P, Z & A in una recta, adeoq; puncta S, P & A sunt in una recta.
Et eodem argumento probabitur quod puncta R, P & A sunt in una recta.
Jacent igitur puncta contactus A & P in recta SR.
Page 85
Hisce autem inventis, Trajectoria describetur ut in casu primo Problematis superioris. Q. E. F.
# Lema XXII.
*Figuras in alias ejusdem generis figuras mutare.*
Transmutanda sit figura quævis HGI. Ducantur pro lubitu rectæ duæ parallelæ AO, BL tertiam quamvis positione datam AB secantes in A & B, & a figuræ puncto quovis G, ad rectam AB ducatur GD, ipsi OA parallela. Deinde a puncto aliquo O in linea OA dato ad punctum D ducatur recta OD, ipsi BL occurrens in d; & a puncto occursus erigatur recta gd, datum quemvis angulum cum recta BL continens, atq; eam habens rationem ad Od quam habet GD ad OD; & erit g punctum in figura nova hgi puncto G respondens. Eadem ratione puncta singula figuræ primæ dabunt puncta totidem figuræ novæ. Concipe igitur punctum G motu continuo percurrere puncta omnia figuræ primæ, & punctum g motu itidem continuo percurret puncta omnia figuræ novæ & eandem describet. Distinctionis gratia nominemus DG ordinatam primam, dg ordinatam novam; BD abscissam primam, Bd abscissam novam; O polum, OD radium abscindentem, OA radium ordinatum primum & Oa (quo parallelogrammum OABa completur) radium ordinatum novum.
Digo ya que si el punto G toca una línea recta dada en posición, el punto g tocará también una línea recta dada en posición.
Si el punto G toca la sección cónica, el punto g tocará también la sección cónica. Entre las secciones cónicas incluyo aquí el círculo.
Además, si el punto G toca una línea del tercer orden analítico, el punto g tocará una línea asimismo del tercer orden; y así de las líneas curvas de órdenes superiores: las dos líneas que tocan los puntos G, g serán siempre del mismo orden analítico.
Etenim ut est ad ad OA ita sunt Od ad OD, dg ad DG, & AB ad AD; adeoq; AD æqualis est OA × AB ÷ ad & DG æqualis est OA × dg ÷ ad.
Jam si punctum D tangit rectam lineam, atq; adeo in æquatione quavis, qua relatio inter abscissam AD & ordinatam DG habetur, indeterminatæ illæ AD & DG ad unicam tantum dimensionem ascendunt, scribendo in hac æquatione OA × AB ÷ ad pro AD, & OA × dg ÷ ad pro DG, producetur æquatio nova, in qua abscissa nova ad & ordinata noua dg ad unicam tantum dimensionem ascendent, atq; adeo quæ designat lineam rectam.
Si AD & DG (vel earum alterutra) ascendebant ad duas dimensiones in æquatione prima, ascendent itidem ad & dg ad duas in æquatione secunda. Et sic de tribus vel pluribus dimensionibus. Indeterminatæ ad, dg in æquatione secunda & AD, DG in prima ascendent semper ad eundem dimensionum numerum, & propterea lineæ, quas puncta G, g tangunt, sunt ejusdem ordinis Analytici.
Dico præterea quod si recta aliqua tangat lineam curvam in Page 87 figura prima; hæc recta translata tanget lineam curvam in figura nova: & contra.
Nam si Curvæ puncta quævis duo accedunt ad invicem & coeunt in figura prima, puncta eadem translata coibunt in figura nova, atq; adeo rectæ, quibus hæc puncta junguntur simul, evadent curvarum tangentes in figura utraq;. Componi possent harum assertionum Demonstrationes more magis Geometrico. Sed brevitati consulo.
Igitur si figura rectilinea in aliam transmutanda est, sufficit rectarum intersectiones transferre, & per easdem in figura nova lineas rectas ducere. Sin curvilineam transmutare oportet, transferenda sunt puncta, tangentes & aliæ rectæ quarum ope Curva linea definitur.
Inservit autem hoc Lemma solutioni difficiliorum Problematum, transmutando figuras propositas in simpliciores. Nam rectæ quævis convergentes transmutantur in parallelas, adhibendo pro radio ordinato primo AO lineam quamvis rectam, quæ per concursum convergentium transit; id adeo quia concursus ille hoc pacto abit in infinitum, lineæ autem parallelæ sunt quæ ad punctum infinite distans tendunt.
Postquam autem Problema solvitur in figura nova, si per inversas operationes transmutetur hæc figura in figuram primam, habebitur Solutio quæsita.
También es útil este Lema en la solución de problemas Sólidos. Pues siempre que se presenten dos secciones cónicas, por cuya intersección pueda resolverse el Problema, es lícito transformar una de ellas en un círculo. Asimismo, en la construcción de problemas planos, la línea recta y la sección cónica se convierten en línea recta y círculo.
Prop. XXV. Prob. XVII.
*Trajectoriam describere quæ per data duo puncta transibit & rectas tres continget positione datas.*
Por la intersección de cualesquiera dos tangentes entre sí, y la intersección de la tercera tangente con aquella recta que pasa por los dos puntos Page 88 dados, tira una recta infinita; y habiendo sido esta empleada como radio ordenado primero, transmútese la figura, por el Lema anterior, en una figura nueva. En esta figura aquellas dos tangentes resultarán paralelas, y la tercera tangente se hará paralela a la recta que pasa por los dos puntos. Sean hi, kl las dos tangentes paralelas, ik la tercera tangente, y hl la recta paralela a esta que pasa por aquellos puntos a, b, por los cuales la sección cónica en esta figura nueva debe pasar, y complétese el paralelogramo hikl.
Sécense las rectas hi, ik, kl en c, d y e, de tal manera que hc sea al lado cuadrado del rectángulo ahb, ic a id, y ke a kd como la suma de las rectas hi y kl es a la suma de tres líneas de las cuales la primera es la recta ik, y las otras dos son los lados cuadrados de los rectángulos ahb y alb: Y serán c, d, e los puntos de contacto.
Etenim, ex Conicis, sunt hc quadratum ad rectangulum ahb, & ic quadratum ad id quadratum, & ke quadratum ad kd quadratum, & el quadratum ad alb rectangulum in eadem ratione, & propterea hc ad latus quadratum ipsius ahb, ic ad id, ke ad kd & el ad latus quadratum ipsius alb sunt in dimidiata illa ratione, & composite, in data ratione omnium antecedentium hi & kl ad omnes consequentes, quæ sunt latus quadratum rectanguli ahb & recta ik & latus quadratum rectanguli alb.
Habentur igitur ex data illa ratione puncta contactus c, d, e, in figura nova. Per inversas operationes Lemmatis novissimi transferantur hæc puncta in figuram primam & ibi, per casum primum Problematis XIV, describetur Trajectoria. Q. E. F.
Cæterum perinde ut puncta a, b jacent vel inter puncta h, l, vel extra, debent puncta c, d, e vel inter puncta h, i, k, l capi, vel extra.
Si punctorum a, b alterutrum cadit inter puncta h, l, & alterum extra, Problema impossibile est.
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# Prop. XXVI. Prob. XVIII.
*Trajectoriam describere quæ transibit per punctum datum & rectas quatuor positione datas continget.*
Desde la intersección común de dos tangentes cualesquiera hasta la intersección común de las otras dos, hágase una recta infinita, y empleándose la misma para el radio ordenado primero, transmutérese la figura (por el Lem. XXII) en una figura nueva, y las dos Tangentes que concurrían en el radio ordenado se volverán ahora paralelas. Sean aquellas hi y kl, ik y hl, que contienen el paralelogramo hikl. Y sea p un punto en esta figura nueva, que corresponde al punto dado en la figura primera. Por el centro de la figura O hágase pq, y siendo Oq igual a Op, q será el otro punto por el cual la sección Cónica debe pasar en esta figura nueva. Por la operación inversa del Lema XXII, trasládese este punto a la figura primera, y allí se tendrán dos puntos por los cuales se ha de describir la Traectoria. Y por los mismos verdaderamente puede describirse dicha Traectoria por el Prob. XVII.
Q. E. F.
# Lema XXIII.
*Si rectæ duæ positione datæ* AC*,* BD *ad data puncta* A*,* B *terminentur, datamq; habeant rationem ad invicem, & recta* CD*, qua puncta indeterminata* C*,* D *junguntur secetur in ratione data in* K*: dico quod punctum* K *locabitur in recta positione data.*
Concurrant enim rectæ AC, BD in E, & in BE capiatur BG ad AE ut est BD ad AC, sitq; FD æqualis EG, & erit EC ad Page 90 GD, hoc est ad EF ut AC ad BD, adeoq; in ratione data, & propterea dabitur specie triangulum EFC.
Secetur CF in L in ratione CK ad CD, & dabitur etiam specie triangulum EFL, proindeq; punctum L locabitur in recta EL positione data.
Junge LK, & ob datam FD & datam rationem LK ad FD, dabitur LK. Huic æqualis capiatur EH, & erit ELKH parallelogrammum. Locatur igitur punctum K in parallelogrammi latere positione dato HK. Q. E. D.
# Lema XXIV.
* Si rectæ tres tangant quamcunq; conisectionem, quarum duæ parallelæ sint ac dentur positione; dico quod sectionis semidiameter hisce duabus parallela, sit media proportionalis inter harum segmenta, punctis contactum & tangenti tertiæ interjecta.
Sean AF, GB dos líneas paralelas que tocan la Conisección ADB en A y B; EF una tercera recta que toca la Conisección en I, y corta a las tangentes anteriores en F y G; y sea CD el semidiámetro de la Figura paralelo a las tangentes: Dico que AF, CD, BG son continuamente proporcionales.
Page 91
Nam si diametri conjugatæ AB, DM tangenti FG occurrant in E & H, seq; mutuo secent in C, & compleatur parallelogrammum IKCL; erit ex natura sectionum Conicarum, ut EC ad CA ita CA ad LC, & ita divisim EC - CA ad CA - CL seu EA ad AL, & composite EA ad EA + AL seu EL ut EC ad EC + CA seu EB; adeoq; (ob similitudinem triangulorum EAF, ELI, ECH, EBG) AF ad LI ut CH ad BG.
Est itidem ex natura sectionum Conicarum LI seu CK ad CD ut CD ad CH atq; adeo ex æquo perturbate AF ad CD ut CD ad BG.
Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si tangentes duæ FG, PQ tangentibus parallelis AF, BG occurrant in F & G, P & Q, seq; mutuo secent in O, erit (ex æquo perturbate) AF ad BQ ut AP ad BG, & divisim ut FP ad GQ, atq; adeo ut FO ad OG.
Corol. 2. Unde etiam rectæ duæ PG, FQ per puncta P & G, F & Q ductæ, concurrent ad rectam ACB per centrum figuræ & puncta contactuum A, B transeuntem.
# Lema XXV.
* Si los lados de un paralelogramo, prolongados infinitamente, tocan una sección cónica cualquiera y son cortados por una quinta tangente cualquiera; y si además se toman las abscisas terminadas en los ángulos opuestos del paralelogramo: afirmo que la abscisa de un lado es a ese lado como la parte del lado contiguo situada entre el punto de contacto y el tercer lado es a la abscisa de este lado contiguo.
Tangant parallelogrammi MIKL latera quatuor ML, IK, Page 92 KL, MI sectionem Conicam in A, B, C, D, & secet tangens quinta FQ hæc latera in F, Q, H & E: dico quod sit ME ad MI ut BK ad KQ & KH ad KL ut AM ad MF. Nam per Corollarium Lemmatis superioris, est ME ad EI ut AM seu BK ad BQ, & componendo ME ad MI ut BK ad KQ. Q. E. D. Item KH ad HL ut BK seu AM ad AF, & dividendo KH ad KL ut AM ad MF. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si parallelogrammum IKLM datur, dabitur rectangulum KQ × ME, ut & huic æquale rectangulum KH × MF. Æquantur enim rectangula illa ob similitudinem triangulorum KQH, MFE.
Corol. 2. Y si se traza una sexta tangente eq que corte a las tangentes KI, MI en e y q, el rectángulo KQ × ME será igual al rectángulo Kq × Me, y será KQ es a Me como Kq es a ME, y dividendo como Qq es a Ee.
Corol. 3. Unde etiam si Eq, eQ jungantur & bisecentur, & recta per puncta bisectionum agatur, transibit hæc per centrum Sectionis Conicæ. Nam cum sit Qq ad Ee ut KQ ad Me, transibit eadem recta per medium omnium Eq, eQ, MK; (per Lemma XXIII) & medium rectæ MK est centrum Sectionis.
Prop. XXVII. Prob. XIX.
*Trajectoriam describere quæ rectas quinq; positione datas continget.*
Dentur positione tangentes ABG, BCF, GCD, FDE, EA.
Figuræ quadrilateræ sub quatuor quibusvis contentæ ABFE Page 93 diagonales AF, BE biseca, & (per Cor. 3. Lem. XXV) recta per puncta bisectionum acta transibit per centrum Trajectoriæ. Rursus figuræ quadrilateræ BGDF, sub alijs quibusvis quatuor tangentibus contentæ, diagonales (ut ita dicam) BD, GF biseca, & recta per puncta bisectionum acta transibit per centrum sectionis. Dabitur ergo centrum in concursu bisecantium. Sit illud O.
Tangenti cuivis BC parallelam age KL, ad eam distantiam ut centrum O in medio inter parallelas locetur, & acta KL tanget trajectoriam describendam. Secet hæc tangentes alias quasvis duas CD, FDE in L & K. Per tangentium non parallelarum CL, FK cum parallelis CF, KL concursus C & K, F & L age CK, FL concurrentes in R, & recta OR ducta & producta secabit tangentes parallelas CF, KL in punctis contactuum. Patet hoc per Corol. 2. Lem. XXIV. Eadem methodo invenire licet alia contactuum puncta, & tum demum per Casum 1. Prob. XIV. Trajectoriam describere.
Q. E. F. Page 94
Schol.
Problemata, ubi dantur Trajectoriarum vel centra vel Asymptoti includuntur in præcedentibus.
Nam datis punctis & tangentibus una cum centro, dantur alia totidem puncta aliæq; tangentes a centro ex altera ejus parte æqualiter distantes. Asymptotos autem pro tangente habenda est, & ejus terminus infinite distans (si ita loqui fas sit) pro puncto contactus.
Concipe tangentis cujusvis punctum contactus abire in infinitum, & tangens vertetur in Asymptoton, atq; constructiones Problematis XV & Casus primi Problematis XIV vertentur in constructiones Problematum ubi Asymptoti dantur.
Postquam Trajectoria descripta est, invenire licet axes & umbilicos ejus hac methodo.
In constructione & Figura Lemmatis XXI, fac ut angulorum mobilium PBN, PCN crura BP, CP quorum concursu Trajectoria describebatur sint sibi invicem parallela, eumq; servantia situm revolvantur circa polos suos B, C in figura illa. Interea vero describant altera angulorum illorum crura CN, BN concursu suo K vel k, circulum IBKGC. Sit circuli hujus centrum O. Ab hoc centro ad Regulam MN, ad quam altera illa crura CN, BN interea concurrebant dum Trajectoria describebatur, demitte normalem OH circulo occurrentem in K & L. Et ubi Page 95 crura illa altera CK, BKconcurrant ad punctum istud K quod Regulæ proprius est, crura prima CP, BP parallela erunt axi majori & perpendicularia minori; & contrarium eveniet si crura eadem concurrunt ad punctum remotius L. Unde si detur Trajectoriæ centrum, dabuntur axes. Hisce autem datis, umbilici sunt in promptu.
Y los ejes cuadrados son entre sí como KH a LH, y de ahí es fácil describir la Trayectoria de especie dada por cuatro puntos dados.
Pues si de dos de los puntos dados se constituyen los polos C, B, el tercero dará los ángulos móviles PCK, PBK.
Luego, debido a la Trayectoria dada de especie, se dará la razón de OH a OK, y describiendo con el centro O y el intervalo OH un círculo, y conduciendo por el cuarto punto una recta que tangencie aquel círculo, se dará la regla MN con cuya ayuda se describa la Trayectoria.
De donde también a su vez un Trapecio de especie dado (si se exceptúan ciertos casos imposibles) puede inscribirse en cualquier sección cónica dada.
Hay además otros lemas con cuya ayuda se pueden describir trayectorias de especie dada, dados puntos y tangentes. De este género es el que dice que, si se traza una línea recta por un punto cualquiera dado de posición, que interseque una Cónica dada en dos puntos, y el intervalo de las intersecciones se biseca, el punto de bisección tocará otra Cónica de la misma especie que la anterior, y que tiene los ejes paralelos a los ejes de la anterior.
Pero me apresuro hacia cosas más útiles.
# Lema XXVI.
* Trianguli specie & magnitudine dati tres angulos ad rectas totidem positione datas, quæ non sunt omnes parallelæ, singulos ad singulas ponere.
Dantur positione tres rectæ infinitæ AB, AC, BC, & oportet triangulum DEF ita locare, ut angulus ejus D lineam AB, Page 96 angulus E lineam AC, & angulus F lineam BC tangat.
Super DE, DF & EF describe tria circulorum segmenta DRE, DGF, EMF, quæ capiant angulos angulis BAC, ABC, ACB æquales respective. Describantur autem hæc segmenta ad eas partes linearum DE, DF, EF ut literæ DRED eodem ordine cum literis BACB, literæ DGFD eodem cum literis ABCA, & literæ EMFE eodem cum literis ACBA in orbem redeant: deinde compleantur hæc 
Secent circuli duo priores se mutuo in G, sintq; centra eorum P & Q. Junctis GP, PQ, cape Ga ad AB ut est GP ad PQ, & centro G, intervallo Ga describe circulum, qui secet circulum primum DGE in a. Jungatur tum aD secans circulum secundum DFG in b, tum aE secans circulum tertium GEc in c. Et compleatur figura ABCdef similis & æqualis figuræ abcDEF. Dico factum.
Pues se encuentra que Fc concurre con aD en n. Únanse aG, Page 97 bG, PD, QD y prodúzcase PQ hasta R. Por construcción, el ángulo EaD es igual al ángulo CAB, y el ángulo EcF es igual al ángulo ACB, por lo cual el triángulo anc es equiángulo con el triángulo ABC. Por tanto, el ángulo anc o FnD es igual al ángulo ABC, y por ende al ángulo FbD, y por consiguiente el punto n incide en el punto b. Además, el ángulo GPQ, que es la mitad del ángulo al centro GPD, es igual al ángulo a la circunferencia GaD; y el ángulo GQR, que es la mitad del complemento del ángulo al centro GQD, es igual al ángulo a la circunferencia GbD, por lo cual sus complementos PQG, abG son iguales, y por tanto los triángulos GPQ, Gab son semejantes, y Ga es a ab como GP es a PQ; esto es (por construcción) como Ga es a AB. Así pues, ab y AB son iguales, y por consiguiente los triángulos abc, ABC, que acabamos de demostrar que son semejantes, son también iguales. De donde, tocando además los ángulos D, E, F del triángulo DEF los lados ab, ac, bc del triángulo abc respectivamente, puede completarse la figura ABCdef semejante e igual a la figura abcDEF, y completándola se resolverá el Problema. Q. E. F.
Corol. Hinc recta duci potest cujus partes longitudine datæ rectis tribus positione datis interjacebunt. Concipe Triangulum DEF, puncto D ad latus EF accedente, & lateribus DE, DF in directum positis, mutari in lineam rectam, cujus pars data DE, rectis positione datis AB, AC, & pars data DF rectis positione datis AB, BC interponi debet; & applicando constructionem præcedentem ad hunc casum solvetur Problema.
# Prop. XXVIII. Prob. XX.
*Describir una trayectoria de especie y magnitud dadas, cuyas partes dadas yacerán entre tres rectas dadas en posición.*
Describenda sit Trajectoria quæ sit similis & æqualis lineæ curvæ DEF, quæq; a rectis tribus AB, AC, BC positione datis, in Page 98 partes datis hujus partibus DE & EF similes & æquales secabitur.
Hágase las rectas DE, EF, DF, y los ángulos D, E, F de este triángulo DEF colóquense sobre aquellas rectas dadas por su posición: (por el Lem. XXVI) Después, alrededor del triángulo, descríbase la trayectoria de una curva DEF semejante e igual.
Q. E. F.
# Lema XXVII.
* Trapezium specie datum describere cujus anguli ad rectas quatuor positione datas (quæ neq; omnes parallelæ sunt, neq; ad commune punctum convergunt) singuli ad singulas consistent.
Dense posición las líneas rectas cuatro ABC, AD, BD, CE, quarum prima secet secundam in A, tertiam in B, & quartam in C: & describendum sit Trapezium fghi quod sit Trapezio FGHI simile, & cujus angulus f, angulo dato F æqualis, tangat rectam ABC cæteriq; anguli g, h, i cæteris angulis datis G, H, I æquales tangant cæteras lineas AD, BD, CE respective.
Jungatur FH, & super FG, FH, FI describantur totidem circulorum segmenta FSG, FTH, FVI; quorum primum FSG capiat angulum æqualem angulo BAD, secundum FTH capiat angulum æqualem angulo CBE; ac tertium FVI capiat angulum æqualem angulo ACE.
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Describi autem debent segmenta ad eas partes linearum FG, FH, FI, ut literarum FSGF idem sit ordo circularis qui literarum BADB, utq; literæ FTHF eodem ordine cum literis CBEC, & literæ FVIF eodem cum literis ACEA in orbem redeant.
Compleantur segmenta in circulos, sitq; P centrum circuli primi FSG, & Q centrum secundi FTH. Jungatur & utrinq; producatur PQ, & in ea capiatur QR in ea ratione ad PQ quam habet BC ad AB. Capiatur autem QR ad eas partes puncti Q ut literarum P, Q, R idem sit ordo circularis atq; literarum A, B, C: centroq; R & intervallo RF describatur circulus quartus FNc secans circulum tertium FVI in c.
Trácese Fc cortando el primer círculo en a y el segundo en b. Conduzcanse aG, bH, cI, y de la figura abcFGHI constítuyase una figura semejante ABCfghi: Y será el Trapecio fghi aquel mismo que convenía constituir.
Secent enim circuli duo primi FSG, FTH se mutuo in K. Jungantur PK, QK, RK, aK, bK, cK & producatur QP ad Page 100 L. Anguli ad circumferentias FaK, FbK, FcK, sunt semisses angulorum FPK, FQK, FRK ad centra, adeoq; angulorum illorum dimidiis LPK, LQK, LRK æquales. Est ergo figura PQRK figuræ abcK æquiangula & similis, & propterea ab est ad bc ut PQ ad QR, id est ut AB ad BC. Angulis insuper FaG, FbH, FcI æquantur fAg, fBh, fCi per constructionem. Ergo figuræ abcFGHI figura similis ABCfghi compleri potest. Quo facto Trapezium fghi constituetur simile Trapezio FGHI & angulis suis f, g, h, i tanget rectas AB, AD, BD, CE.
Q. E. F.
Corol. Hinc recta duci potest cujus partes, rectis quatuor positione datis dato ordine interjectæ, datam habebunt proportionem ad invicem. Augeantur anguli FGH, GHI usq; eo, ut rectæ FG, GH, HI in directum jaceant, & in hoc casu construendo Problema, ducetur recta fghi cujus partes fg, gh, hi, rectis quatuor positione datis AB & AD, AD & BD, BD & CE interjectæ, erunt ad invicem ut lineæ FG, GH, HI, eundemq; servabunt ordinem inter se. Idem vero sic fit expeditius.
Page 101
Producantur AB ad K, & BD ad L, ut sit BK ad AB ut HI ad GH; & DL ad BD ut GI ad FG; & jungatur KL occurrens rectæ CE in i. Producatur iL ad M, ut sit LM ad iL ut GH ad HI, & agatur tum MQ ipsi LB parallela rectæq; AD occurrens in g, tum gi secans AB, BD in f, h. Dico factum.
Secet enim Mg rectam AB in Q, & AD rectam KL in S, & agatur AP, quæ sit ipsi BD parallela & occurrat iL in P, & erunt Mg ad Lh (Mi ad Li, gi ad hi, AK ad BK) & AP ad BL in eadem ratione.
Secetur DL in R ut sit DL ad RL in eadem illa ratione, & ob proportionales gS ad gM, AS ad AP & DS ad DL, erit ex æquo ut gS ad Lh ita AS ad BL & DS ad RL; & mixtim, BL - RL ad Lh - BL ut AS - DS ad gS - AS. Id est BR ad Bh ut AD ad Ag, adeoq; ut BD ad gQ. Et vicissim BR ad BD ut Bh ad gQ seu fh ad fg. Sed ex constructione est BR ad BD ut FH ad FG. Ergo fh est ad fg ut FH ad FG.
Cum igitur sit etiam ig ad ih ut Mi ad Li, id est, ut IG ad IH, patet lineas FI, fi in g & h, G & H similiter sectas esse.
Q. E. F.
En la construcción de este Corolario, después de trazar LK cortando a CE en i, es lícito producir iE hasta V, de modo que EV sea a iE como FH es a HI, y conducir Vf paralela a la misma BD. Viene a ser lo mismo si con centro en i, y con el intervalo IH, se describe un círculo que corta a BD en X, se produce iX hasta Y, de modo que iY sea igual a IF, y se conduzca Yf paralela a la misma BD.
Prop. XXIX. Prob. XIX.
* Trajectoriam specie datam describere, quæ a rectis quatuor positione datis in partes secabitur, ordine, specie & proportione datas.
Describenda sit Trajectoria fghi, quæ similis sit lineæ curvæ FGHI, & cujus partes fg, gh, hi illius partibus FG, GH, HI similes & proportionales, rectis AB & AD, AD & BD, BD & EC positione datis, prima primis, secunda secundis, tertia tertiis interjaceant.
Actis rectis FG, GH, HI, FI, describatur Trapezium fghi quod sit Trapezio FGHI simile & cujus anguli f, g, h, i tangant rectas illas positione datas AB, AD, BD, CE singuli singulas dicto ordine.
Dein (per Lem. XXVII) circa hoc Trapezium describatur Trajectoria curvæ lineæ FGHI consimilis.
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# Escolio.
Construi etiam potest hoc Problema ut sequitur. Junctis FG, GH, HI, FI produc GF ad V, jungeq; FH, IG, & angulis FGH, VFH fac angulos CAK, DAL æquales. Concurrant AK, AL cum recta BD in K & L, & inde aguntur KM, LN, quarum KM constituat angulum AKM æqualem angulo GHI, sitq; ad AK ut est HI ad GH; & LN constituat angulum ALN æqualem angulo FHI, sitq; ad AL ut HI ad FH. Ducantur autem AK, KM, AL, LN ad eas partes linearum AD, AK, AL, ut literæ CAKMC, ALK, DALND eodem ordine cum literis FGHIF in orbem redeant, & acta MN occurrat rectæ CE in i. Fac angulum iEP æqualem angulo IGF, sitq; PE ad Ei ut FG ad GI; & per P agatur QPf, quæ cum recta AED contineat angulum PQE æqualem angulo FIG, rectæq; AB occurrat in f, & jungatur fi. Agantur autem PE & PQ ad eas partes linearum CE, PE, ut literarum PEiP & PEQP idem sit ordo circularis qui literarum FGHIF, & si super linea fi eodem quoq; literarum ordine constituatur Trapezium fghi Trapezio FGHI simile, & circumscribatur Trajectoria specie data, solvetur Problema.
Hasta aquí hemos tratado sobre el descubrimiento de los órbitas. Queda por determinar los movimientos de los cuerpos en las órbitas descubiertas.
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