De motu corporum minimorum, quæ viribus centripetis ad singulas magni alicujus corporis partes tendentibus agitantur.
Prop. XCIV. Theor. XLVIII.
* Si media duo similaria, spatio planis parallelis utrinq; terminato, distinguantur ab invicem, & corpus in transitu per hoc spatium attrahatur vel impellatur perpendiculariter versus medium alterutrum, neq; ulla alia vi agitetur vel impediatur; Sit autem attractio, in æqualibus ab utroq; plano distantiis ad eandem ipsius partem captis, ubiq; eadem: dico quod sinus incidentiæ in planum alterutrum erit ad sinum emergentiæ ex plano altero in ratione data.
Cas. 1. Sunto Aa, Bb plana duo parallela. Incidat corpus in planum prius Aa secundam lineam GH, ac toto suo per spatium intermedium transitu attrahatur vel impellatur versus medium incidentiæ, eaq; actione describat lineam curvam HI, & emergat secundum lineam IK. Ad planum emergentiæ Bb erigatur perpendiculum IM, occurrens tum lineæ incidentiæ GH productæ in M, tum plano incidentiæ Aa in R; & linea emergentiæ KI producta occurrat HM in L.
Centro L Page 228 intervallo LI describatur circulus, secans tam HM in P & Q, quam MI productam in N;
& primo si attractio vel impulsus ponatur uniformis, erit (ex demonstratis Galilæi) curva HI Parabola, cujus hæc est proprietas, ut rectangulum sub dato latere recto & linea IM æquale sit HM quadrato; sed & linea HM bisecabitur in L.
Unde si ad MI demittatur perpendiculum LO, æquales erunt MO, OR; & additis æqualibus IO, ON, fient totæ æquales MN, IR.
Proinde cum IR detur, datur etiam MN, estq; rectangulum NMI ad rectangulum sub latere recto & IM, hoc est, ad HMq., in data ratione.
Mas el rectángulo NMI es igual al rectángulo PMQ, esto es, a la diferencia de los cuadrados MLq. y PLq. o LIq.; y HMq. tiene una razón dada a su propia cuarta parte LMq.: por lo tanto, se da la razón de MLq. - LIq. a MLq., y dividendo, la razón de LIq. a MLq., y la razón semiduplicada de LI a ML. Mas en todo triángulo LMI, los senos de los ángulos son proporcionales a los lados opuestos. Por lo tanto, se da la razón del seno del ángulo de incidencia LMR al seno del ángulo de emergencia LIR.
Q. E. D.
Cas. 2. Transeat jam corpus successive per spatia plura parallelis planis terminata, AabB, BbcC &c. & agitetur vi quæ sit in singulis separatim uniformis, at in diversis diversa; & per jam demonstrata, sinus incidentiæ in planum primum Aa erit ad sinum emergentiæ ex plano secundo Bb, in data ratione; & hic sinus, qui est sinus incidentiæ in planum secundum Bb, erit ad Page 229 sinum emergentiæ ex plano tertio Cc, in data ratione; & hic sinus ad sinum emergentiæ ex plano quarto Dd, in data ratione; & sic in infinitum: & ex æquo sinus incidentiæ in planum primum ad sinum emergentiæ ex plano ultimo in data ratione.
Minuatur jam planorum intervalla & augeatur numerus in infinitum, eo ut attractionis vel impulsus actio secundum legem quamcunq; assignatam continua reddatur; & ratio sinus incidentiæ in planum primum ad sinum emergentiæ ex plano ultimo, semper data existens, etiamnum dabitur. Q. E. D.
Prop. XCV. Theor. XLIX.
*Iisdem positis; dico quod velocitas corporis ante incidentiam est ad ejus velocitatem post emergentiam, ut sinus emergentiæ ad sinum incidentiæ.*
Capiantur AH, Id æquales, & erigantur perpendicula AG, dK occurrentia lineis incidentiæ & emergentiæ GH, IK, in G & K. In GH capiatur TH æqualis IK, & ad planum Aa demittatur normaliter Tv. Et per Legum Corol. 2. distinguatur motus corporis in duos, unum planis Aa, Bb, Cc &c. perpendicularem, alterum iisdem parallelum. Vis attractionis vel impulsus agendo secundum lineas perpendiculares nil mutat motum secundum parallelas, & propterea corpus hoc motu conficiet æqualibus temporibus æqualia illa secundum parallelas intervalla, quæ sunt inter lineam AG & punctum H, interq; punctum I & lineam dK; hoc est, æqualibus temporibus describet lineas GH, Page 230 IK. Proinde velocitas ante incidentiam est ad velocitatem post emergentiam, ut GH ad IK vel TH, id est, ut AH vel Id ad vH, hoc est (respectu radii TH vel IK) ut sinus emergentiæ ad sinum incidentiæ. Q. E. D.
Prop. XCVI. Theor. L.
*Iisdem positis & quod motus ante incidentiam velocior sit quam postea: dico quod corpus, inclinando lineam incidentiæ, reflectetur tandem, & angulus reflexionis fiet æqualis angulo incidentiæ.*
Nam concipe corpus inter plana parallela Aa, Bb, Cc &c. describere arcus Parabolicos, ut supra; sintq; arcus illi HP, PQ, QR, &c.
Et sit ea lineæ incidentiæ GH obliquitas ad planum primum Aa, ut sinus incidentiæ sit ad radium circuli, cujus est sinus, in ea ratione quam habet idem sinus incidentiæ ad sinum emergentiæ ex plano Dd, in spatium DdeE: & ob sinum emergentiæ jam factum æqualem radio, angulus emergentiæ erit rectus, adeoq; linea emergentiæ coincidet cum plano Dd.
Perveniat corpus ad hoc planum in puncto R; & quoniam linea emergentiæ coincidit cum eodem plano, perspicuum est quod corpus non potest ultra pergere versus planum Ee. Sed nec potest idem pergere in linea emergentiæ Rd, propterea quod perpetuo attrahitur vel impellitur versus medium incidentiæ.
Volverá por tanto entre los planos Cc, Dd describiendo un arco de parábola QRq, cuyo vértice principal (según lo demostrado por Galileo) está en R; cortará el plano Cc bajo el mismo ángulo en q que antes en Q; luego, prosiguiendo en los arcos parabólicos qp, ph etc., semejantes e iguales a los arcos anteriores QP, PH, cortará los planos restantes bajo los mismos ángulos en p, h etc., que antes en P, H etc., y emergerá finalmente con la misma oblicuidad en h con que incide en H.
Imaginemos ahora en la página 231 que los intervalos de los planos Aa, Bb, Cc, Dd, Ee se reducen al infinito y su número aumenta, de tal manera que la acción de la atracción o del impulso, según cualquier ley asignada, se vuelva continua; y el ángulo de emergencia, que siempre es igual al ángulo de incidencia, seguirá siendo igual a este mismo. Q. E. D.
# Escolio.
No muy distintas de estas atracciones son las reflexiones y refracciones de la Luz, hechas según una razón dada de las Secantes, como halló Snellius, y por consiguiente según una razón dada de los Senos, como expuso Cartesio.
Pues ya consta, por los Fenómenos de los Satélites de Júpiter, confirmados por las Observaciones de diversos Astrónomos, que la Luz se propaga sucesivamente y viene del Sol a la Tierra en un espacio como de diez minutos primeros.
Los rayos que se encuentran en el aire (como hace tiempo Grimaldi, al admitir luz a través de un orificio en una habitación oscura, descubrió, y yo mismo también he experimentado), en su tránsito cerca de los ángulos de los cuerpos, ya sean opacos o transparentes (tales como los bordes rectangulares circulares de las monedas acuñadas en oro, plata y bronce, y los filos de los cuchillos, piedras o vidrios rotos), se incurvan alrededor de los cuerpos, como si fueran atraídos hacia los mismos; y de estos rayos, aquellos que en su tránsito se acercan más a los cuerpos se incurvan más, como si estuvieran más atraídos, tal como yo mismo también lo he observado diligentemente.
En la figura, s designa el filo de un cuchillo o de cualquier cuña AsB; y gowog, fnvnf, emtme, dlsld son los rayos, incurvados hacia el cuchillo mediante los arcos owo, nvn, mtm, lsl; y esto más o menos según su distancia respecto al cuchillo.
Cum autem talis incurvatio radiorum fiat in aere extra cultrum, debebunt etiam radii, qui incidunt in cultrum, prius incurvari in aere quam cultrum attingunt. Et par est ratio incidentium in Page 232 vitrum. Fit igitur refractio, non in puncto incidentiæ, sed paulatim per continuam incurvationem radiorum, factam partim in aere antequam attingunt vitrum, partim (ni fallor) in vitro, postquam illud ingressi sunt: uti in radiis ckzkc, biyib, ahxha incidentibus ad r, q, p, & inter k & z, i & y, h & x incurvatis, delineatum est.
Por tanto, debido a la analogía que existe entre la propagación de los rayos de luz y el avance de los cuerpos, ha parecido conveniente añadir las siguientes proposiciones para uso óptico; sin disputar en absoluto entretanto sobre la naturaleza de los rayos (si son cuerpos o no), sino determinando únicamente las trayectorias de los cuerpos, sumamente similares a las trayectorias de los rayos.
# Prop. XCVII. Prob. XLVII.
*Supóngase que el seno de la incidencia en una superficie cualquiera es al seno de la emergencia en una razón dada, y que la curvatura de la trayectoria de los cuerpos junto a esa superficie se produce en un espacio brevísimo, que puede considerarse como un punto; determinar la superficie que haga converger todos los corpúsculos que manan sucesivamente de un lugar dado hacia otro lugar dado.*
Sea A el lugar desde el cual divergen los corpúsculos; B el lugar hacia el cual deben converger; CDE la línea curva que, al girar alrededor del eje AB, describa la superficie buscada; D, E dos puntos cualesquiera de esa curva; y EF, EG las perpendiculares trazadas a las trayectorias del cuerpo AD, DB.
Acérquese el punto D al punto E; y la razón última de la línea DF, por la cual se aumenta AD, a la línea DG, por la cual se disminuye DB, será la misma que la del seno de incidencia al seno de emergencia.
Se da, por tanto, la razón del incremento de la línea AD al decremento de la línea DB; y por ello, si en el eje AB se toma en cualquier parte un punto C, por el cual debe pasar la curva CDE, y se toma el incremento CM del propio AC respecto al decremento CN del propio BC en la razón dada; y con los centros A, Page 233 B, y los intervalos AM, BN se describen dos círculos que se cortan mutuamente en D: dicho punto D será tangente a la curva buscada CDE, y la determinará siendo tangente a ella en cualquier parte.
Q. E. I.
Corol. 1. Faciendo autem ut punctum A vel B nunc abeat in infinitum, nunc migret ad alteras partes puncti C, habebuntur figuræ illæ omnes quas Cartesius in Optica & Geometria ad refractiones exposuit. Quarum inventionem cum Cartesius maximi fecerit & studiose celaverit, visum fuit hic propositione exponere.
Corol. 2. Si un cuerpo, incidiendo sobre una superficie cualquiera CD, según una línea recta AD trazada con cualquier ley, emerge según otra recta cualquiera DK, y desde el punto C se entiende que son trazadas líneas curvas CP, CQ siempre perpendiculares a las mismas AD, DK: los incrementos de las líneas PD, QD, y por tanto las líneas mismas PD, QD, engendradas por esos incrementos, estarán entre sí como los senos de la incidencia y de la emergencia; y recíprocamente.
Prop. XCVIII. Prob. XLVIII.
* Iisdem positis, & circa axem AB descripta superficie quacunq; attractiva CD, regulari vel irregulari, per quam corpora de loco dato A exeuntia transire debent: invenire superficiem secundam attractivam EF, quæ corpora illa ad locum datum B convergere faciat.
Juncta AB secet superficiem primam in C & secundam in E, Page 234 puncto D utcunq; assumpto. Et posito sinu incidentiæ in superficiem primam ad sinum emergentiæ ex eadem, & sinu emergentiæ e superficie secunda ad sinum incidentiæ in eandem, ut quantitas aliqua data M ad aliam datam N; produc tum AB ad G ut sit BG ad CE ut M - N ad N, tum AD ad H ut sit AH æqualis AG, tum etiam DF ad K ut sit DK ad DH ut N ad M. Junge KB, & centro D intervallo DH describe circulum occurrentem KB productæ in L, ipsiq; DL parallelam age BF: & punctum F tanget lineam EF, quæ circa axem AB revoluta describet superficiem quæsitam. Q. E. F.
Nam concipe lineas CP, CQ ipsis AD, DF respective, & lineas ER, ES ipsis FB, FD ubiq; perpendiculares esse, adeoq; QS ipsi CE semper æqualem; & erit (per Corol. 2. Prop. XCVII.) PD ad QD ut M ad N, adeoq; ut DL ad DK vel FB ad FK; & divisim ut DL - FB seu PH - PD - FB ad FD seu FQ - QD; & composite ut HP - FB ad FQ, id est (ob æquales HP & CG, QS & CE) CE + BG - FR ad CE - FS.
Verum (ob proportionales BG ad CE & M - N ad N) est etiam CE + BG ad CE ut M ad N: adeoq; divisim FR ad FS ut M ad N, & propterea per Corol. 2. Prop. XCVII. superficies EF cogit corpus in se secundum lineam DF incidens pergere in linea FR, ad locum B. Q. E. D.
# Escolio.
Eadem methodo pergere liceret ad superficies tres vel plures. Ad usus autem Opticos maxime accommodatæ sunt figuræ Sphæricæ. Si Perspicillorum vitra Objectiva ex vitris duobus Page 235 Sphærice figuratis & Aquam inter se claudentibus conflentur, fieri potest ut a refractionibus aquæ errores refractionum, quæ fiunt in vitrorum superficiebus extremis, satis accurate corrigantur. Talia autem vitra Objectiva vitris Ellipticis & Hyperbolicis præferenda sunt, non solum quod facilius & accuratius formari possint, sed etiam quod penicillos radiorum extra axem vitri sitos accuratius refringant.
Verum tamen diversa diversorum radiorum refrangibilitas impedimento est, quo minus Optica per figuras vel Sphæricas vel alias quascunq; perfici possit. Nisi corrigi possint errores illinc oriundi, labor omnis in cæteris corrigendis imperite collocabitur.
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