De Inventione Orbium Ellipticorum, Parabolicorum & Hyperbolicorum ex umbilico dato.

# Lema XV.

*Si ab Ellipseos vel Hyperbolæ cujusvis umbilicis duobus*S*,*H*, ad punctum quodvis tertium*V*inflectantur rectæ duæ*SV*,*HV*, quarum una*HV*æqualis sit axi transverso figuræ, altera*SV*a perpendiculo*TR*in se demisso bisecetur in*T*; perpendiculum illud*TR*sectionem Conicam alicubi tangit: & contra, si tangit, erit*VH*æqualis axi figuræ.*

Secet enim VH sectionem conicam in R, & jungatur SR. Ob æquales rectas TS, TV, æquales erunt anguli TRS, TRV. Bisecat ergo RT angulum VRS & propterea figuram tangit: & contra. Q. E. D.

Prop. XVIII. Prob. X.

* Datis umbilico & axibus transversis describere Trajectorias Ellipticas & Hyperbolicas, quæ transibunt per puncta data, & rectas positione datas contingent.

Sit S communis umbilicus figurarum; AB longitudo axis transversi Trajectoriæ cujusvis; P punctum per quod Trajectoria debet transire; & TR recta quam debet tangere.

Centro P intervallo AB - SP, si orbita sit Ellipsis, vel AB + SP, si ea sit Hyperbola, describatur circulus HG. Ad tangentem TR demittatur Page 62 perpendiculum ST, & producatur ea ad V ut sit TV æqualis ST; centroq; V & intervallo AB describatur circulus FH.

Hac methodo sive dentur duo puncta P, p, sive duæ tangentes TR, tr, sive punctum P & tangens TR, describendi sunt circuli duo. Sit H eorum intersectio communis, & umbilicis S, H, axe illo dato describatur Trajectoria. Dico factum.

Nam Trajectoria descripta (eo quod PH + SP in Ellipsi, & PH - SP in Hyperbola æquatur axi) transibit per punctum P, & (per Lemma superius) tanget rectam TR. Et eodem argumento vel transibit eadem per puncta duo P, p, vel tanget rectas duas TR, tr.

Q. E. F.

### Prop. XIX. Prob. XI.

*Circa datum umbilicum Trajectoriam Parabolicam describere, quæ transibit per puncta data, & rectas positione datas continget.*

Sit S umbilicus, P punctum & TR tangens trajectoriæ describendæ. Centro P, intervallo PS describe circulum FG. Ab umbilico ad tangentem demitte perpendicularem ST, & produc eam ad V, ut sit TV æqualis ST. Eodem modo describendus est alter circulus fg, si datur alterum punctum p; vel inveniendum alterum punctum v, si datur altera tangens tr; dein ducenda recta IF quæ tangat duos circulos FG, fg si dantur duo puncta P, Page 63 p; vel transeat per duo puncta V, v, si dantur duæ tangentes TR, tr, vel tangat circulum FG & transeat per punctum V, si datur punctum P & tangens TR. Ad FI demitte perpendicularem SI, eamq; biseca in K, & axe SK, vertice principali K describatur Parabola. Dico factum. Nam Parabola ob æquales SK & IK, SP & FP transibit per punctum P; & (per Lemmatis XIV. Corol. 3.) ob æquales ST & TV & angulum rectum STR, tanget rectam TR. Q. E. F.

### Prop. XX. Prob. XII.

*Circa datum umbilicum Trajectoriam quamvis specie datam describere, quæ per data puncta transibit & rectas tanget positione datas.*

Cas. 1. Dado el umbilico S, debe describirse una Trayectoria ABC por dos puntos B, C. Puesto que la Trayectoria se da en especie, se dará la razón del eje transverso a la distancia de los umbilicos. En esa razón toma KB respecto a BS, y LC respecto a CS.

Con centros en B, C, y con intervalos BK, CL, describe dos círculos, y a la recta KL, que los toque en K y L, baja una perpendicular SG, y córtala también en A y a, de modo que SA sea a AG y Sa a aG, como SB es a BK, y con el eje Aa, y vértices A, a, descríbase la Trayectoria. Digo que está hecho.

Sea pues H el otro umbilicus de la figura descrita, y como SA es a AG como Sa es a aG, por división será Sa - SA o SH a aG - AG o Aa en la misma razón, y por tanto en la razón que tiene el eje transverso de la figura por describir a la distancia de sus umbilicos; y por ende la figura descrita es de la misma especie que la que debe describirse. Y como KB es a BS y LC a CS en la misma razón, esta Figura pasará por los puntos B, C, como es manifiesto por las Cónicas.

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Cas. 2. Dado un foco S, debe describirse una Trayectoria que toque en alguna parte dos rectas TR, tr. Desde el foco baja perpendiculares ST, St a las tangentes y prodúzcanse las mismas hasta V, v, de modo que TV, tv sean iguales a TS, ts. Biséquese Vv en O, y eríjase la perpendicular infinita OH, y corta la recta VS producida infinitamente en K y k de tal manera que VK sea a KS y Vk a kS como el eje transverso de la trayectoria por describir es a la distancia de los focos.

Sobre el diámetro Kk descríbase un círculo que corte la recta OH en H; y con los focos S, H, y un eje transverso igual al mismo VH, descríbase una Trayectoria. Digo que está hecho.

Pues biséquese Kk en X, y únanse HX, HS, HV, Hv. Puesto que VK es a KS como Vk es a kS; y por composición como VK + Vk es a KS + kS; y por división como Vk - VK es a kS - KS esto es como 2VX a 2KX y 2KX a 2SX, por tanto como VX a HX y HX a SX, serán semejantes los triángulos VXH, HXS, y por ende VH será a SH como VX a XH, por tanto como VK a KS. Tiene, pues, la trayectoria descrita un eje transverso VH con esa razón respecto a la distancia de sus focos SH, que la que tiene el eje transverso de la trayectoria por describir con respecto a la distancia de sus focos, y por ende es de la misma especie. Además, como VH, vH se igualan al eje transverso, y VS, vS son bisecadas perpendicularmente por las rectas TR, tr, es evidente, por el Lema XV, que esas rectas tocan la trayectoria descrita.

Q. E. F.

Cas. 3. Dado el umbilico S descríbase una Trajectoria que toque la recta TR en el punto dado R. En la recta TR bájese la perpendicular ST, y prodúzcase la misma hasta V, para que TV sea igual a ST. Únase VR, y la recta VS producida infinitamente córtese en K y k, de modo que VK a SK y Vk a Sk sean como el eje transverso de la elipse que ha de describirse a la distancia de los umbilicos; y descríbase un círculo sobre el diámetro Kk, Página 65 córtese la recta producida VR en H, y con los umbilicos S, H, siendo el eje transverso igual a la recta HV, descríbase la Trajectoria. Digo que está hecho. Pues que VH es a SH como VK a SK, y por tanto como el eje transverso de la Trajectoria que ha de describirse a la distancia de sus umbilicos, es patente por lo demostrado en el Caso segundo, y por lo tanto la Trajectoria descrita es de la misma especie que la que ha de describirse: mas que la recta TR, por la cual el ángulo VRS se biseca, toca la Trajectoria en el punto R, es patente por las Cónicas. Q. E. F.

Cas. 4. Alrededor del foco S debe describirse ahora una trayectoria APB, que toque a la recta TR, y pase por cualquier punto P dado fuera de la tangente, y que sea semejante a la figura apb, descrita con el eje transversal ab y los focos s, h.

Baja a la tangente TR la perpendicular ST, y prodúcese la misma hasta V, de modo que TV sea igual a ST. Con los ángulos además VSP, SVP haz los ángulos hsq, shq iguales; y con el centro q y un intervalo que sea a ab como SP es a VS describe Page 66 un círculo que corte a la figura apb en p.

Une sp y lleva a cabo SH, la cual sea a sh como SP es a sp, y la cual constituya el ángulo PSH igual al ángulo psh y el ángulo VSH igual al ángulo psq.

Finalmente, con los focos S, H, y un eje que iguale la distancia VH, descríbase una sección cónica.

Dico factum. Nam si agatur sv quæ sit ad sp ut est sh ad sq, quæq; constituat angulum vsp angulo hsq & angulum vsh angulo psq æquales, triangula svh, spq erunt similia, & propterea vh erit ad pq ut est sh ad sq, id est (ob similia triangula VSP, hsq) ut est VS ad SP seu ab ad pq. Æquantur ergo vh & ab. Porro ob similia triangula VSH, vsh est VH ad SH ut vh ad sh, id est, axis Conicæ actionis jam descripta: ad illius umbilicorum intervallum, ut axis ab ad umbilicorum intervallum sh, & propterea figura jam descripta similis est figuræ apb. Transit autem hæc figura per punctum P, eo quod triangulum PSH simile sit triangulo psh; & quia VH æquatur ipsius axi & VS bisecatur perpendiculariter a recta TR tangit eadem rectam TR.

Q. E. F.

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# Lema XVI.

*A datis tribus punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas quarum differentiæ vel dantur vel nullæ sunt.*

Cas. 1. Sean dados los puntos A, B, C y el cuarto punto Z, que hay que hallar: Por la diferencia dada de las líneas AZ, BZ, el punto Z se ubicará en una Hipérbola cuyos focos son A y B, y el eje transversal dicha diferencia dada. Sea dicho eje MN. Tómese PM respecto a MA como MN es a AB, y erigida PR perpendicular a AB, y bajada también ZR perpendicular a PR, por la naturaleza de esta hipérbola, ZR respecto a AZ será como MN es a AB.

Por un discurso similar, el punto Z se ubicará en otra Hipérbola, cuyos focos son A, C y el eje transversal la diferencia entre AZ y CZ, y podrá trazarse QS perpendicular a la propia AC, a la cual, si desde cualquier punto Z de esta hipérbola se baja la normal ZS, esta será respecto a AZ como la diferencia entre AZ y CZ es a AC.

Se dan, por tanto, las razones de las propias ZR y ZS respecto a AZ, y por ello se da la razón de esas mismas ZR y ZS entre sí; por lo cual, concurriendo las rectas RP, SQ en T, el punto Z se ubicará en la recta TZ dada en posición.

Por el mismo Método mediante una tercera hipérbola, cuyos focos son B y C y el eje transversal la diferencia de las rectas BZ, CZ, se puede hallar otra recta en la que se ubica el punto Z. Obtenidos pues dos lugares rectilineos, se tiene el punto buscado Z en su intersección, Q. E. I.

Cas. 2. Si duæ ex tribus lineis, puta AZ & BZ æquantur, punctum Z locabitur in perpendiculo bisecante distantiam AB, & locus alius rectilineus invenietur ut supra. Q. E. I.

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Cas. 3. Si omnes tres æquantur, locabitur punctum Z in centro circuli per puncta A, B, C transeuntis.

Q. E. I.

También este lema problemático se resuelve mediante el libro De contactibus de Apolonio, restaurado por Vieta.

### Prop. XXI. Prob. XIII.

* Trajectoriam circa datum umbilicum describere, quæ transibit per puncta data & rectas positione datas continget.

Détase el umbilico S, el punto P, y la tangente TR, y hágase de hallar el otro umbilico H. A la tangente bájese una perpendicular ST, y prodúzcase la misma hasta Y, de modo que TY sea igual a ST, y YH será igual al eje transverso. Únase SP, HP y SP será la diferencia entre HP y el eje transverso.

De este modo, si se dan varias tangentes TR, o varios puntos P, se llegará siempre a otras tantas líneas YH, o PH, trazadas desde dichos puntos Y o P hasta el umbilico H, las cuales o son iguales a los ejes, o difieren de los mismos en longitudes dadas SP, y por consiguiente o son iguales entre sí, o tienen diferencias dadas; y de ahí, por el Lema anterior, se da aquel otro umbilico H.

Mas tenidos los umbilicos juntamente con la longitud del eje (la cual o es YH, o si la Trayectoria es una Elipse, PH + SP; mas si es Hipérbola PH - SP), se tiene la Trayectoria. Q. E. I.

# Escolio.

Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expeditius. Dentur puncta B, C, D. Junctas BC, CD produc ad E, F, ut sit EB ad EC ut SB ad SC, & FC ad FD ut SC ad SD. Ad EF ductam & productam demitte normales SG, BH, inq; GS infinite producta cape GA ad AS & Ga ad aS ut est HB ad BS; & erit A Page 69 vertex, & Aa axis transversus Trajectoriæ: quæ, perinde ut GA minor, æqualis vel major fuerit quam AS, erit Ellipsis, Parabola vel Hyperbola; puncto a in primo casu cadente ad eandem partem lineæ GK cum puncto A; in secundo casu abeunte in infinitum; in tertio cadente ad contrariam partem lineæ GK. Nam si demittantur ad GF perpendicula CI, DK, erit IC ad HB ut EC ad EB, hoc est ut SC ad SB; & vicissim IC ad SC ut HB ad SB, seu GA ad SA. Et simili argumento probabitur esse KD ad SD in eadem ratione. Jacent ergo puncta B, C, D in Conisectione circa umbilicum S ita descripta, ut rectæ omnes ab umbilico S ad singula Sectionis puncta ductæ, sint ad perpendicula a punctis iisdem ad rectam GK demissa in data illa ratione.

Methodo haud multum dissimili hujus problematis solutionem tradit Clarissimus Geometra De la Hire, Conicorum suorum Lib. VIII. Prop. XXV.

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