Sec. IX.

De Motu Corporum in Orbibus mobilibus, deq; motu Apsidum.

Prop. XLIII. Prob. XXX.

* Efficiendum est ut corpus in Trajectoria quacunq; circa centrum virium revolvente perinde moveri possit, atq; corpus aliud in eadem Trajectoria quiescente.

In Orbe VPK positione dato revolvatur corpus P pergendo a V versus K. A centro C agatur semper Cp, quæ sit ipsi CP æqualis, angulumq; VCp angulo VCP proportionalem constituat; & area quam linea Cp describit erit ad aream VCP quam linea CP describit, ut velocitas lineæ describentis Cp ad velocitatem lineæ describentis CP; hoc est, ut angulus VCp ad angulum VCP, adeoq; in data ratione, & propterea tempori proportionalis.

Cum area tempori proportionalis sit quam linea Cp in plano immobili describit, manifestum est quod corpus, cogente justæ quantitatis vi centripeta, revolvi possit una cum puncto p in curva illa linea quam punctum idem p ratione jam exposita describit in plano immobili.

Fiat angulus VCv angulo PCp, & linea Cv Page 133 lineæ CV, atq; figura vCp figuræ VCP æqualis, & corpus in p

semper existens movebitur in perimetro figuræ revolventis vCp, eodemq; tempore describet arcum ejus vp quo corpus aliud P arcum ipsi similem & æqualem VP in figura quiescente VPK describere potest. Quæratur igitur, per Corollarium Propositionis VI, vis centripeta qua corpus revolvi possit in curva illa linea quam punctum p describit in plano immobili, & solvetur Problema.   Q. E. F.

Prop. XLIV. Theor. XIV.

*La diferencia de las fuerzas con que un cuerpo puede moverse uniformemente en un Orbe en reposo, y otro cuerpo en el mismo Orbe girando, está en razón triplicada inversa de la altura común.*

Partes orbis quiescentis VP, PK sunto similes & æquales orbis revolventis partes vp, pk. A puncto k in rectam, pC demitte perpendiculum kr, idemq; produc ad m, ut sit mr ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP.

Quoniam corporum altitudines PC & pC, KC & kC semper æquantur, manifestum est quod si corporum in locis P & p existentium distinguantur motus singuli (per Legum Corol. 2.) in binos, (quorum hi versus centrum, sive secundum lineas PC, pC; alteri prioribus transversi secundum lineas ipsis PC, pC perpendiculares determinantur) motus versus centrum erunt æquales, & motus transversus corporis p erit ad motum transversum corporis P, ut motus angularis lineæ pC ad motum angularem lineæ PC, id est ut angulus VCp ad angulum VCP.

Igitur eodem tempore quo corpus P motu suo utroq; pervenit ad punctum K, corpus p æquali in centrum motu æqualiter movebitur a P versus C, adeoq; completo illo tempore reperietur alicubi in linea mkr, quæ per punctum k in lineam pC perpendicularis est; & motu transverso acquiret distantiam a linea pC, quæ sit ad distantiam quam corpus alterum acquirit a linea PC, ut est hujus motus transversus ad motum Page 134 transversum alterius.

Quare cum kr æqualis sit distantiæ quam corpus alterum acquirit a linea pC, sitq; mr ad kr ut angulus VCp ad angulum VCP, hoc est, ut motus transversus corporis p ad motum transversum corporis P, manifestum est quod corpus p completo illo tempore reperietur in loco m.

Hæc ita se habebunt ubi corpora P & p æqualiter secundum lineas pC & PC moventur, adeoq; æqualibus viribus secundum lineas illas urgentur. Capiatur autem angulus pCn ad angulum pCk ut est angulus VCp ad angulum VCP, sitq; nC æqualis kC, & corpus p completo illo tempore revera reperietur in n; adeoq; vi majore urgetur, si modo angulus mCp angulo kCp major est, id est si orbis Vpk movetur in consequentia, & minore, si orbis regreditur; estq; virium differentia ut locorum intervallum mn, per quod corpus illud p ipsius actione, dato illo temporis spatio transferri debet.

Centro C intervallo Cn vel Ck describi intelligetur circulus secans lineas mr, mn productas in s & t, & erit rectangulum mn × mt æquale rectangulo mk × ms, adeoq; mn æquale mk × ms ÷ mt. Cum autem triangula pCk, pCn dentur magnitudine, sunt kr & mr, earumq; differentia mk & summa ms reciproce ut altitudo pC, adeoq; rectangulum mk × ms est reciproce ut quadratum altitudinis pC. Est & mt directe ut ½mt, id est ut altitudo pC. Hæ sunt primæ rationes linearum nascentium; & hinc fit mk × ms ÷ mt, id Page 135 est lineola nascens mn, eiq; proportionalis virium differentia reciproce ut cubus altitudinis pC. Q. E. D.

Corol. 1. Hinc differentia virium in locis P & p vel K & k est ad vim qua corpus motu circulari revolvi posset ab r ad k, eodem tempore quo corpus P in orbe immobili describit arcum PK, ut mk × ms ad rk quadratum; hoc est si capiantur datæ quantitates F, G in ea ratione ad invicem quam habet angulus VCP ad angulum VCp, ut Gq. - Fq. ad Fq. Et propterea, si centro C intervallo quovis CP vel Cp describatur Sector circularis æqualis areæ toti VPC, quam corpus P tempore quovis in orbe immobili revolvens radio ad centrum ducto descripsit, differentia virium, quibus corpus P in orbe immobili & corpus p in orbe mobili revolvuntur, erit ad vim centripetam qua corpus aliquod radio ad centrum ducto Sectorem illum, eodem tempore quo descripta sit area VPC, uniformiter describere potuisset, ut Gq. - Fq. ad Fq. Namq; sector ille & area pCk sunt ad invicem ut tempora quibus describuntur.

Corol. 2. Si orbis VPK Ellipsis sit umbilicum habens C & Apsidem summam V; eiq; similis & æqualis ponatur Ellipsis vpk, ita ut sit semper pc æqualis PC, & angulus VCp sit ad angulum VCP in data ratione G ad F; pro altitudine autem PC vel pc scribatur A, & pro Ellipseos latere recto ponatur 2R: erit vis qua corpus in Ellipsi mobili revolvi potest, ut Fq. ÷ Aq. + {RGq. - RFq.} ÷ A cub. & contra.

Exponatur enim vis qua corpus revolvatur in immota Ellipsi per quantitatem Fq. ÷ Aq., & vis in V erit Fq. ÷ CV quad.

Vis autem qua corpus in circulo ad distantiam CV ea cum velocitate revolvi posset quam corpus in Ellipsi revolvens habet in V, est ad vim qua corpus in Ellipsi revolvens urgetur in Apside V, ut dimidium lateris recti Ellipseos ad circuli semidiametrum CV, adeoq; valet RFq. ÷ CV cub.: & vis quæ sit ad hanc ut Gq. - Fq. Page 136 ad Fq., valet {RGq. - RFq.} ÷ CV cub.: estq; hæc vis (per hujus Corol. 1.) differentia virium quibus corpus P in Ellipsi immota VPK, & corpus p in Ellipsi mobili vpk revolvuntur.

Unde cum (per hanc Prop.) differentia illa in alia quavis altitudine A sit ad seipsam in altitudine CV ut 1 ÷ A cub. ad 1 ÷ CV cub., eadem differentia in omni altitudine A valebit {RGq. - RFq.} ÷ A cub.

Igitur ad vim Fq. ÷ Aq. qua corpus revolvi potest in Ellipsi immobili VPK, addatur excessus {RGq. - RFq.} ÷ A cub. & componetur vis tota Fq. ÷ Aq. + {RGq. - RFq.} ÷ A cub. qua corpus in Ellipsi mobili vpk iisdem temporibus revolvi possit.

Corol. 3. Del mismo modo se deducirá que, si la órbita inmóvil VPK es una elipse que tiene su centro en el centro de fuerzas C; y se supone que una elipse móvil vpk, semejante, igual y concéntrica a ella, tiene como 2R el lado recto de esta elipse, y como 2T el lado transverso, y el ángulo VCp es siempre al ángulo VCP como G es a F; las fuerzas con las cuales los cuerpos pueden girar en la elipse inmóvil y en la móvil en tiempos iguales, serán como Fq.A ÷ T cub. y Fq.A ÷ T cub. + {RGq. - RFq.} ÷ A cub. respectivamente.

Corol. 4. Et universaliter, si corporis altitudo maxima CV nominetur T, & radius curvaturæ quam Orbis VPK habet in V, id est radius circuli æqualiter curvi, nominetur R, & vis centripeta qua corpus in Trajectoria quacunq; immobili VPK revolvi potest, in loco V dicatur {Fq. ÷ Tq.} V, atq; aliis in locis P indefinite dicatur X, altitudine CP nominata A, & capiatur G ad F in data ratione anguli VCp ad angulum VCP: erit vis centripeta qua corpus idem eosdem motus in eadem Trajectoria vpk Page 137 circulariter mota temporibus iisdem peragere potest, ut summa virium X + {VRGq. - VRFq.} ÷ A cub.

Corol. 5. Dato igitur motu corporis in Orbe quocunq; immobili, augeri vel minui potest ejus motus angularis circa centrum virium in ratione data, & inde inveniri novi orbes immobiles in quibus corpora novis viribus centripetis gyrentur.

Corol. 6. Por tanto, si sobre la recta CV dada en posición se levanta una perpendicular VP de longitud indeterminada, y se une PC, y se traza otra Cp igual a ella, que forme el ángulo VCp, el cual esté con el ángulo VCP en razón dada; la fuerza con que un cuerpo puede girar en aquella Curva Vpk que el punto p toca perpetuamente, será recíprocamente como el cubo de la altura Cp. Pues el cuerpo P, por la fuerza de inercia, sin que ninguna otra fuerza lo impulse, puede avanzar uniformemente en la recta VP. Añádase una fuerza hacia el centro C, inversamente proporcional al cubo de la altura CP o Cp, y (por lo ya demostrado) aquel movimiento rectilíneo será desviado hacia la línea curva Vpk. Es, además, esta Curva Vpk la misma que aquella Curva VPQ hallada en el Corol. 3. de la Prop. XLI, en la cual dijimos allí que los cuerpos atraídos por fuerzas de este tipo ascienden oblicuamente.

Prop. XLV. Prob. XXXI.

*Orbium qui sunt Circulis maxime finitimi requiruntur motus Apsidum.*

El problema se resuelve aritméticamente haciendo que la órbita que describe en un plano inmóvil un cuerpo que gira en una elipse móvil (como en el Corolario 2 o 3 de la proposición anterior) se acerque a la forma de la órbita cuyas ápsides se buscan, y buscando las ápsides de la órbita que dicho cuerpo describe en el plano inmóvil.

Las órbitas adquirirán la misma forma si las fuerzas centrípetas con que se describen, comparadas entre sí Page 138 a alturas iguales, se hacen proporcionales.

Sea el punto V la ápside superior, y escríbanse T para la altura máxima CV, A para cualquier otra altura CP o Cp, y X para la diferencia de las alturas CV - CP; y la fuerza con que se mueve el cuerpo que gira en la elipse alrededor de su foco C (como en el Corolario 2), la cual en el Corolario 2 era como Fq. ÷ Aq. + {RGq. - RFq.} ÷ A cub., es decir, como {Fq. A + RGq. - RFq.} ÷ A cub., sustituyendo T - X por A, será como {RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X} ÷ A cub.

Debe reducirse semejantemente cualquier otra fuerza centrípeta a una fracción cuyo denominador sea A cub. y cuyos numeradores, hecha la comparación de los términos homólogos, deben establecerse como análogos. El asunto se hará evidente con ejemplos.

Exempl. 1. Ponamus vim centripetam uniformem esse, adeoq; ut A cub. ÷ A cub., sive (scribendo T - X pro A in Numeratore) ut {T cub. - 3Tq.X + 3TXq. - X cub.} ÷ A cub.; & collatis Numeratorum terminis correspondentibus, nimirum datis cum datis & non datis cum non datis, fiet RGq. - RFq. + TFq. ad T cub. ut -Fq.X ad -3Tq.X + 3TXq. - X cub. sive ut -Fq. ad -3Tq. + 3TX - Xq. Jam cum Orbis ponatur circulo quam maxime finitimus, coeat orbis cum circulo; & ob factas R, T æquales, atq; X in infinitum diminutam, rationes ultimæ erunt RGq. ad T cub. ut -Fq. ad -3Tq. seu Gq. ad Tq. ut Fq. ad 3Tq. & vicissim G quadrat. ad F quadrat. ut T quad. ad 3T quad. id est, ut 1 ad 3; adeoq; G ad F, hoc est angulus VCp ad angulum VCP ut 1 ad √3.

Ergo cum corpus in Ellipsi immobili, ab Apside summa ad Apsidem imam descendendo conficiat angulum VCP (ut ita dicam) graduum 180; corpus aliud in Ellipsi mobili, atq; adeo in orbe immobili de quo agimus, ab Abside summa ad Apsidem imam descendendo conficiet angulum VCp graduum 180 ÷ √3: id Page 139 adeo ob similitudinem orbis hujus, quem corpus agente uniformi vi centripeta describit, & orbis illius quem corpus in Ellipsi revolvente gyros peragens describit in plano quiescente. Per superiorem terminorum collationem similes redduntur hi orbes, non universaliter, sed tunc cum ad formam circularem quam maxime appropinquant.

Por tanto, un cuerpo que gira en una órbita poco más o menos circular con una fuerza centrípeta uniforme, entre la ápside alta y la ápside baja describirá siempre en el centro un ángulo de $180÷\sqrt{3}$ grados, o sea, $103$ gr. $55$ m.; llegando desde la ápside alta hasta la ápside baja una vez que ha descrito este ángulo, y volviendo desde allí a la ápside alta donde describe de nuevo el mismo ángulo, y así sucesivamente al infinito.

Ejempl. 2. Supongamos que la fuerza centrípeta es como cualquier potencia de la altura A, A^{n - 3} o Aⁿ ÷ A³: donde n - 3 y n significan los exponentes de las potencias cualesquiera, enteros o fraccionarios, racionales o irracionales, afirmativos o negativos.

Aquel numerador Aⁿ o T - X ⁿ, reducido a una serie indeterminada por nuestro Método de Series Convergentes, se convierte en Tⁿ - nXT^{n - 1} + {nn - n}÷2 Xq.T^{n - 2} &c.

Y comparados los términos de este con los términos del otro numerador RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X, resulta que RGq. - RFq. + TFq. es a Tⁿ como -Fq. es a -nT^{n - 1} + {nn - n}÷2 XT^{n - 2} &c.

Y tomando las razones últimas donde los órbitas se acercan a la forma circular, resulta que RGq. es a Tⁿ como -Fq. es a -nT^{n - 1}, o bien Gq. es a T^{n - 1} como Fq. es a nT^{n - 1}, y recíprocamente Gq. es a Fq. como T^{n - 1} es a nT^{n - 1}, esto es, como 1 es a n; y por tanto G es a F, esto es, el ángulo VCp es al ángulo VCP, como 1 es a √n.

Quare cum angulus VCP, in descensu Page 140 corporis ab Apside summa ad Apsidem imam in Ellipsi confectus, sit graduum 180, conficietur angulus VCp, in descensu corporis ab Apside summa ad Apsidem imam in Orbe propemodum circulari, quem corpus quodvis vi centripeta dignitati A^{n - 3} proportionali describit, æqualis angulo graduum 180 ÷ √n; & hoc angulo repetito corpus redibit ab Apside ima ad Apsidem summam, & sic deinceps in infinitum.

De modo que si la fuerza centrípeta es como la distancia del cuerpo desde el centro, esto es, como A o A⁴ ÷ A³, n será igual a 4 y √4 igual a 2; y por consiguiente, el ángulo entre la ápside alta y la ápside baja será igual a 180 ÷ 2 gr. o 90 gr.

Completada por tanto la cuarta parte de una revolución, el cuerpo llegará a la ápside baja, y completada otra cuarta parte a la ápside alta, y así sucesivamente por turno hasta el infinito.

Lo cual es también manifiesto por la Proposición X. Pues un cuerpo impelido por esta fuerza centrípeta revoluciones hará en una elipse inmóvil, cuyo centro está en el centro de las fuerzas.

Y si la fuerza centrípeta es recíprocamente como la distancia, esto es, directamente como 1 ÷ A o A² ÷ A³, será n = 2, y por tanto entre la ápside suprema y la ínfima el ángulo será de 180 ÷ √2 grados o 127 gr. 17 min. y por ello un cuerpo que gira con tal fuerza, mediante la perpetua repetición de este ángulo, llegará por turnos alternos de la ápside suprema a la ínfima y de la ínfima a la suprema por los siglos de los siglos.

Porro si vis centripeta sit reciproce ut Latus quadrato-quadratum undecimæ dignitatis Altitudinis, id est reciproce ut A^11/₄, adeoq; directe ut 1 ÷ A^11/₄ seu ut A^¼ ÷ A³ erit n æqualis ¼, & 180 ÷ √n gr. æqualis 360 gr. & propterea corpus de Apside summa discedens & subinde perpetuo descendens, perveniet ad Apsidem imam ubi complevit revolutionem integram, dein perpetuo ascensu complendo aliam revolutionem integram, redibit ad Apsidem summam: & sic per vices in æternum.

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Exempl. 3. Tomando m y n como índices cualesquiera de las potencias de la Altitud, y b, c como números cualesquiera dados, supongamos que la fuerza centrípeta es como {bA^m + cAⁿ} ÷ A cub. es decir, como {b en T - X^m + c en T - Xⁿ} ÷ A cub. o (por el mismo Método nuestro de las Series convergentes) como

& comparando los términos de los numeradores, se hace RGq. - RFq. + TFq. a bT^m + cTⁿ, como -Fq. a -mbT^{m - 1} - ncT^{n - 1} + {mm - m}÷2 XT^{m - 2} + {nn - n}÷2 XT^{n - 2} &c. Y tomando las razones últimas que resultan cuando los orbes se aproximan a la forma circular, se hace Gq. a bT^{m - 1} + cT^{n - 1}, como Fq. a mbT^{m - 1} + ncT^{n - 1}, & recíprocamente Gq. a Fq. como bT^{m - 1} + cT^{n - 1} a mbT^{m - 1} + ncT^{n - 1}.

Quæ proportio, exponendo altitudinem maximam CV seu T Arithmetice per unitatem, fit Gq. ad Fq. ut b + c ad mb + nc, adeoq; ut 1 ad {mb + nc} ÷ {b + c}. Unde est G ad F, id est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad √{{mb + nc} ÷ {b + c}}.

Et propterea cum angulus VCP inter Apsidem summam & Apsidem imam in Ellipsi immobili sit 180 gr. erit angulus VCp inter easdem Apsides, in Orbe quem corpus vi centripeta quantitati {bA^m + cAⁿ} ÷ A cub. proportionali describit, æqualis angulo graduum 180 √{{b + c} ÷ {mb + nc}}.

Et eodem argumento si vis centripeta sit ut {bA^m - cAⁿ} ÷ A cub., angulus inter Apsides invenietur 180 √{{b - c} ÷ {mb - nc}} graduum.

Y del mismo modo se resolverá el Problema de la página 142 en los casos más difíciles. La cantidad a la que es proporcional la fuerza centrípeta debe resolverse siempre en series convergentes que tengan como denominador A cub.

Después, la parte dada del Numerador RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X debe igualarse a la parte no dada en la misma razón: Y suprimiendo las cantidades superfluas, y escribiendo la unidad en lugar de T, se obtendrá la proporción de G a F.

Corol. 1. Hinc si vis centripeta sit ut aliqua altitudinis dignitas, inveniri potest dignitas illa ex motu Apsidum; & contra. Nimirum si motus totus angularis, quo corpus redit ad Apsidem eandem, sit ad motum angularem revolutionis unius, seu graduum 360, ut numerus aliquis m ad numerum alium n, & altitudo nominetur A: erit vis ut altitudinis dignitas illa A^{nn/_mm - 3}, cujus Index est ⁿⁿ/_mm - 3. Id quod per Exempla secunda manifestum est.

Donde consta que dicha fuerza no puede decrecer en una razón de la altura mayor que la triplicada:

• Un cuerpo que gire con tal fuerza y, al alejarse de la Ápside, comience a descender, nunca llegará a la Ápside ima o altura mínima, sino que descenderá hasta el centro, describiendo aquella línea curva de la que tratamos en el Corol. 3 de la Prop. XLI.
• Si, al alejarse de la Ápside, dicho cuerpo comience a ascender aunque sea mínimamente, ascenderá hasta el infinito, y nunca llegará a la Ápside suma. Pues describirá aquella línea curva de la que se trató en el mismo Corolario y en el Corolario 6 de la Prop. XLIV.

Así también, cuando la fuerza en el receso del centro decrece en una razón de la altura mayor que la triplicada, el cuerpo que se aleja de la Ápside, según comience a descender o a ascender, o bien descenderá hasta el centro o bien ascenderá hasta el infinito.

Y si la fuerza que se aleja del centro o decrece en una razón menor que la triplicada de la altitud, o crece en cualquier razón de la altitud, el cuerpo nunca descenderá hasta el centro, sino que alguna vez llegará a la ápside baja: y al contrario, si un cuerpo que desciende y asciende alternadamente de ápside a ápside nunca llega al centro, la fuerza que se aleja del centro o bien aumentará, o bien decrecerá en una razón de la altitud menor que la triplicada; y cuanto más rápidamente regrese el cuerpo de ápside a ápside, tanto más se apartará la razón de las fuerzas de aquella razón triplicada.

De suerte que si un cuerpo, mediante un descenso y ascenso alternativos, hubiere vuelto de la Ápside suprema a la Ápside suprema en 8, o 4, o 2, o 1¹/₂ revoluciones, esto es, si m fuere a n como 8, o 4, o 2, o 1¹/₂ es a 1, y por tanto ⁿⁿ/_mm - 3 valiere ¹/₆₄ - 3, o ¹/₁₆ - 3, o ¹/₄ - 3, o ⁴/₉ - 3, la fuerza será como A^{1/₆₄ - 3}, o A^{1/₁₆ - 3}, o A^{1/₄ - 3}, o A^{4/₉ - 3}, esto es, recíprocamente como A^{3 - 1/₆₄}, o A^{3 - 1/₁₆}, o A^{3 - 1/₄}, o A^{3 - 4/₉}.

Si corpus singulis revolutionibus redierit ad Apsidem eandem immotam, erit m ad n ut 1 ad 1, adeoq; A^{nn/_mm - 3} æqualis A^-2 seu 1 ÷ A², & propterea decrementum virium in ratione duplicata altitudinis, ut in præcedentibus demonstratum est.

Si el cuerpo, en una o tres cuartas partes, o dos terceras, o una tercera, o una cuarta parte de una revolución, hubiere vuelto a la misma ápside, m será a n como ³/₄ o ²/₃ o ¹/₃ o ¹/₄ a 1, y por tanto A^{nn/_mm - 3} igual a A^{16/₉ - 3} o A^{9/₄ - 3} o A^{9 - 3} o A^{16 - 3} y por consiguiente la Fuerza o recíprocamente como A^11/₉ o A^3/₄, o directamente como A⁶ o A¹³.

Denique; si Corpus pergendo ab Apside summa ad Apsidem summam confecerit revolutionem integram, & præterea gradus tres, adeoq; Apsis illa singulis corporis revolutionibus confecerit in Consequentia gradus tres, erit m ad n ut 363gr. ad 360gr. adeoq; A^{nn/_mm - 3} erit æquale A^{-265707÷131769}, & propterea Vis centripeta reciproce ut A^{265707÷131769} seu A^24/₂₄₃.

Decrescit igitur Vis centripeta in ratione paulo majore quam duplicata, sed quæ vicibus 60³/₄ propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit.

Corol. 2. Hinc etiam si corpus, vi centripeta quæ sit reciproce ut quadratum altitudinis, revolvatur in Ellipsi umbilicum habente in centro virium, & huic vi centripetæ addatur vel auferatur vis alia quævis extranea; cognosci potest (per Exempla Page 144 tertia) motus Apsidum qui ex vi illa extranea orietur: & contra. Ut si vis qua corpus revolvitur in Ellipsi sit ut 1 ÷ A², & vis extranea ablata ut cA, adeoq; vis reliqua ut {A - cA⁴} ÷ A³; erit (in Exemplis tertiis) A æqualis 1 & n æqualis 4, adeoq; angulus revolutionis inter Apsides æqualis angulo graduum 180√{{1 - c} ÷ {1 - 4c}}. Ponatur vim illam extraneam esse 357,45 vicibus minorem quam vis altera qua corpus revolvitur in Ellipsi, id est c esse 100 ÷ 35745, & 180√{{1 - c} ÷ {1 - 4c}} evadet 180√{35645 ÷ 35345} seu 180,7602, id est 180gr. 45m. 37s. Igitur corpus de Apside summa discedens, motu angulari 180gr. 45m. 37s. perveniet ad Apsidem imam, & hoc motu duplicato ad Apsidem summam redibit: adeoq; Apsis summa singulis revolutionibus progrediendo conficiet 1gr. 31m. 14s.

Hasta aquí sobre el movimiento de los cuerpos en órbitas cuyos planos pasan por el centro de las fuerzas. Resta que determinemos también el movimiento en planos excéntricos.

Pues los autores que tratan el movimiento de los graves suelen considerar los ascensos y descensos de los pesos, tanto oblicuos en cualesquiera planos dados, como perpendiculares: y con igual derecho debe considerться aquí el movimiento de los cuerpos que tienden a cualesquiera centros por fuerzas y se apoyan en planos excéntricos.

Suponemos además que los planos son pulidísimos y absolutamente resbaladizos para que no retarden a los cuerpos. Más aún, en estas demostraciones, en vez de los planos sobre los cuales yacen los cuerpos y a los cuales tocan al yacer, usurpamos planos paralelos a estos, en los cuales se mueven los centros de los cuerpos y describen las órbitas al moverse. Y con la misma ley determinamos en seguida los movimientos de los cuerpos efectuados en superficies curvas.

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