SECT. XII.

De Corporum Sphæricorum Viribus attractivis.

Prop. LXX. Theor. XXX.

* Si ad Sphæricæ superficiei puncta singula tendant vires æquales centripetæ decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis: dico quod corpusculum intra superficiem constitutum his viribus nullam in partem attrahitur.

Sit HIKL superficies illa Sphærica, & P corpusculum intus constitutum. Per P agantur ad hanc superficiem lineæ duæ HK, IL, arcus quam minimos HI, KL intercipientes; & ob triangula HPI, LPK (per Corol. 3. Lem. VII.) similia, arcus illi erunt distantiis HP, LP proportionales, & superficiei Sphæricæ particulæ quævis, ad HI & KL rectis per punctum P transeuntibus undiq; terminatæ, erunt in duplicata illa ratione. Ergo vires Page 193 harum particularum in corpus P exercitæ sunt inter se aquales.

Sunt enim ut particulæ directe & quadrata distantiarum inverse. Et hæ duæ rationes componunt rationem æqualitatis. Attractiones igitur in contrarias partes æqualiter factæ se mutuo destruunt. Et simili argumento attractiones omnes per totam Sphæricam superficiem a contrariis attractionibus destruuntur. Proinde corpus P nullam in partem his attractionibus impellitur.   Q. E. D.

# Prop. LXXI. Theor. XXXI.

*Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sphæricam superficiem constitutum attrahitur ad centrum Sphæræ, vi reciproce proportionali quadrato distantiæ suæ ab eodem centro.*

Sint AHKB, ahkb æquales duæ superficies Sphæricæ, centris S, s, diametris AB, ab descriptæ, & P, p corpuscula sita extrinsecus in diametris illis productis.

Agantur a corpusculis lineæ PHK, PIL, phk, pil, auferentes a circulis maximis AHB, ahb, æquales arcus quam minimos HK, hk & HL, hl:

Et ad eas demittantur perpendicula SD, sd; SE, se; IR, ir; quorum Page 194 SD, sd secent PL, pl in F & f.

Demítense también a los diámetros las perpendiculares IQ, iq; y por ser iguales DS y ds, ES y es, y los ángulos evanescentes DPE y dpe, ténganse las líneas PE, PF y pe, pf y las líneoletas DF, df por iguales: puesto que la razón última de ellas, evanesciendo a la vez aquellos ángulos DPE, dpe, es de igualdad.

Establecidas, pues, estas cosas, será PI a PF como RI a DF, y pf a pi como DF o df a ri; y por ex æquo PI × pf a PF × pi como RI a ri, esto es (por el Corol. 3. Lem. VII.) como el arco IH al arco ih.

Nuevamente PI a PS como IQ a SE, y ps a pi como SE o se a iq; y por ex æquo PI × ps a PS × pi como IQ a iq.

Y compuestas las razones, PI quad. × pf × ps a pi quad. × PF × PS, como IH × IQ a ih × iq; esto es, como la superficie circular que el arco IH por la revolución del semicírculo AKB alrededor del diámetro AB describirá, a la superficie circular que el arco ih por la revolución del semicírculo akb alrededor del diámetro ab describirá.

Y las fuerzas con que estas superficies, según las líneas que convergen hacia ellas, atracen a los corpúsculos P y p, son (por la Hipótesis) como las superficies mismas aplicadas a los cuadrados de sus distancias a los cuerpos, esto es, como pf × ps a PF × PS.

Y estas fuerzas son a sus partes oblicuas que (hecha la resolución de las fuerzas por el Corolario 2 de las Leyes) tienden según las líneas PS, ps hacia los centros, como PI a PQ, y pi a pq; esto es (por los triángulos semejantes PIQ y PSF, piq y psf) como PS a PF y ps a pf.

De donde, por razón equimúltiple, resulta que la atracción de este corpúsculo P hacia S es a la atracción del corpúsculo p hacia s, como PF × pf × ps ÷ PS a Page 195 pf × PF × PS ÷ ps, esto es, como el cuadrado de ps al cuadrado de PS.

Y por semejante argumento las fuerzas con que las superficies descritas por la revolución de los arcos KL, kl atraen a los corpúsculos, estarán en razón de ps quad. a PS quad.; e,igualmente, por la misma razón estarán en razón las fuerzas de todas las superficies circulares en que una y otra superficie esférica, tomando siempre sd = SD y se = SE, puede ser distinguida. Y por composición, las fuerzas de todas las superficies esféricas ejercidas sobre los corpúsculos estarán en la misma razón. Q. E. D.

Prop. LXXII. Theor. XXXII.

* Si ad Spheræ cujusvis puncta singula tendant vires æquales centripetæ decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis, ac detur ratio diametri Spheræ ad distantiam corpusculi a centro ejus; dico quod vis qua corpusculum attrahitur proportionalis erit semi-diametro Sphæræ.

Nam concipe corpuscula duo seorsim a Sphæris duabus attrahi, & distantias a centris proportionales esse diametris, Sphæras autem resolvi in particulas similes & similiter positas ad corpuscula.

Hinc attractiones corpusculi unius, factæ versus singulas particulas Sphæræ unius, erunt ad attractiones alterius versus analogas totidem particulas Sphæræ alterius, in ratione composita ex ratione particularum directe & ratione duplicata distantiarum inverse.

Sed particulæ sunt ut Sphæræ, hoc est in ratione triplicata diametrorum, & distantiæ sunt ut diametri, & ratio prior directe una cum ratione posteriore bis inverse est ratio diametri ad diametrum.

Q. E. D.

Corol. 1. Hinc si corpuscula in circulis circa Sphæras ex materia æqualiter attractiva constantes revolvantur, sintq; distantiæ a centris Sphærarum proportionales earundem diametris; tempora periodica erunt æqualia.

Página 196

Corol. 2. Y viceversa, si los tiempos periódicos son iguales; las distancias serán proporcionales a los diámetros. Constan estas dos cosas por el Corol. 3. Teor. IV.

# Prop. LXXIII. Theor. XXXIII.

* Si ad sphæræ alicujus datæ puncta singula tendant æquales vires centripetæ decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis: dico quod corpusculum intra Sphæram constitutum attrahitur vi proportionali distantiæ suæ ab ipsius centro.

En la Esfera ABCD, descrita con el centro S, colóquese un corpúsculo P, y con el mismo centro S e intervalo SP concíbase que se describe una esfera interior PEQF.

Es manifiesto, por el Teor. XXX, que las superficies esféricas concéntricas, de las cuales se compone la diferencia de las esferas AEBF, destruidas las atracciones por las atracciones contrarias, no ejercen ninguna acción sobre el cuerpo P.

Resta la sola atracción de la esfera interior PEQF. Y por el Teor. XXXII, esta es como la distancia PS. Q. E. D.

# Escolio.

Las superficies de las que se componen los sólidos no son aquí puramente matemáticas, sino orbes tan tenues que su espesor equivale a la nada; a saber, los orbes evanescentes de los que en última instancia consta la esfera, cuando el número de dichos orbes aumenta y su espesor disminuye hasta el infinito, según el método expuesto al principio en los Lemas generales. Del mismo modo, por los puntos de los cuales se dice que se componen las líneas, superficies y sólidos, deben entenderse partículas de magnitud igual que ha de despreciarse.

Page 197

# Prop. LXXIV. Theor. XXXIV.

*Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sphæram constitutum attrahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiæ suæ ab ipsius centro.*

Nam distinguatur Sphæra in superficies Sphæricas innumeras concentricas, & attractiones corpusculi a singulis superficiebus oriundæ erunt reciproce proportionales quadrato distantiæ corpusculi a centro, per Theor. XXXI. Et componendo, fiet summa attractionum, hoc est attractio Sphæræ totius, in eadem ratione. Q. E. D.

Corol. 1. Hinc in æqualibus distantiis a centris homogenearum Sphærarum, attractiones sunt ut Sphæræ. Nam per Theor. XXXII. si distantiæ sunt proportionales diametris Sphærarum, vires erunt ut diametri. Minuatur distantia major in illa ratione, & distantiis jam factis æqualibus, augebitur attractio in duplicata illa ratione, adeoq; erit ad attractionem alteram in triplicata illa ratione, hoc est in ratione Sphærarum.

Corol. 2. En cualesquiera distancias las atracciones son como las Esferas aplicadas a los cuadrados de las distancias.

Corol. 3. Si un corpusculum situado fuera de una Esfera homogénea es atraído por una fuerza recíprocamente proporcional al cuadrado de su distancia al centro de la misma, y la Esfera consta de partículas atractivas; la fuerza de cada partícula decrecerá en razón duplicada de la distancia a la partícula.

Prop. LXXV. Theor. XXXV.

* Si ad Sphæræ datæ puncta singula tendant vires æquales centripetæ decrescentes in duplicata ratione distantiarum a punctis, dico quod Sphæra quævis alia similaris attrahitur vi reciproce proportionali quadrato distantiæ centrorum.

Nam particulæ cujusvis attractio est reciproce ut quadratum distantiæ ejus a centro Sphæræ trahentis, (per Theor. XXXI,) & Page 198 propterea eadem est ac si vis tota attrahens manaret de corpusculo unico sito in centro hujus Sphæræ.

Hæc autem attractio tanta est quanta foret vicissim attractio corpusculi ejusdem, si modo illud a singulis Sphæræ attractæ particulis eadem vi traheretur qua ipsas attrahit. Foret autem illa corpusculi attractio (per Theor. XXXIV) reciproce proportionalis quadrato distantiæ ejus a centro Sphæræ; adeoq; huic æqualis attractio Sphæræ est in eadem ratione.

Q. E. D.

Corol. 1. Attractiones Sphærarum, versus alias Sphæras homogeneas, sunt ut Sphæræ trahentes applicatæ ad quadrata distantiarum centrorum suorum a centris earum quas attrahunt.

Corol. 2. Idem valet ubi Sphæra attracta etiam attrahit. Namq; hujus puncta singula trahent singula alterius, eadem vi qua ab ipsis vicissim trahuntur, adeoq; cum in omni attractione urgeatur (per Legem 3.) tam punctum attrahens, quam punctum attractum, geminabitur vis attractionis mutuæ, conservatis proportionibus.

Corol. 3. Eadem omnia, quæ superius de motu corporum circa umbilicum Conicarum Sectionum demonstrata sunt, obtinent ubi Sphæra attrahens locatur in umbilico & corpora moventur extra Sphæram.

Corol. 4. Ea vero quæ de motu corporum circa centrum Conicarum Sectionum demonstrantur, obtinent ubi motus peraguntur intra Sphæram.

Prop. LXXVI. Theor. XXXVI.

* Si Sphæræ in progressu a centro ad circumferentiam (quod materiæ densitatem & vim attractivam) utcunq; dissimilaires, in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sunt undiq; similares, & vis attractiva puncti cujusq; decrescit in duplicata ratione distantiæ corporis attracti: dico quod vis tota qua hujusmodi Sphæra una attrahit aliam sit reciproce proportionalis quadrato distantiæ centrorum.

Página 199

Sean AB, CD, EF, &c., cuantas se quieran esferas concéntricas similares, cuyas partes interiores añadidas a las exteriores compongan una materia más densa hacia el centro, o restadas de ellas dejen una más tenue; y estas, por el Teor. XXXV, atraerán cuantas se quieran otras esferas concéntricas similares GH, IK, LM, &c., cada una a cada una, con fuerzas recíprocamente proporcionales al cuadrado de la distancia SP. Y componiendo o dividiendo, la suma de todas aquellas fuerzas, o el exceso de unas sobre otras, esto es, la fuerza con que la esfera entera compuesta de cualesquiera concéntricas o de diferencias de concéntricas AB atrae a la entera compuesta de cualesquiera concéntricas o de diferencias de concéntricas GH, estará en la misma razón.

Auméntese el número de esferas concéntricas hasta el infinito de tal manera que la densidad de la materia, junto con la fuerza atractiva, en el progreso desde la circunferencia hacia el centro, crezca o decrezca según cualquier Ley; y, añadida la materia no atractiva, complétese en todas partes la densidad deficiente, de modo que las esferas adquieran cualquier forma deseada; y la fuerza con que una de estas atraerá a otra será aún (por el argumento anterior) en esa misma razón inversa de la distancia al cuadrado.

Q. E. D.

Corol. 1. Hinc si ejusmodi Sphæræ complures sibi invicem per omnia similes se mutuo trahant; attractiones acceleratrices singularum in singulas erunt in æqualibus quibusvis centrorum distantiis ut Sphæræ attrahentes.

Corol. 2. Inq; distantiis quibusvis inæqualibus, ut Sphæræ attrahentes applicatæ ad quadrata distantiarum inter centra.

Page 200

Corol. 3. Attractiones vero motrices, seu pondera Sphærarum in Sphæras erunt, in æqualibus centrorum distantiis, ut Sphæræ attrahentes & attractæ conjunctim, id est, ut contenta sub Sphæris per multiplicationem producta.

Corol. 4. Inq; distantiis inæqualibus, ut contenta illa applicata ad quadrata distantiarum inter centra.

Corol. 5. Lo mismo vale donde la atracción se origina en la virtud atractiva de una y otra esfera, ejercida mutuamente sobre la otra esfera. Pues con ambas fuerzas se duplica la atracción, guardada la proporción.

Corol. 6. Si hujusmodi Sphæræ aliquæ circa alias quiescentes revolvantur, singulæ circa singulas, sintq; distantiæ inter centra revolventium & quiescentium proportionales quiescentium diametris; æqualia erunt tempora periodica.

Corol. 7. Y recíprocamente, si los tiempos periódicos son iguales, las distancias serán proporcionales a los diámetros.

Corol. 8. Eadem omnia, quæ superius de motu corporum circa umbilicos Conicarum Sectionum demonstrata sunt, obtinent ubi Sphæra attrahens, formæ & conditionis cujusvis jam descriptæ, locatur in umbilico.

Corol. 9. Que también donde hay esferas giratorias que además son atrayentes, se cumple cualquiera de las condiciones ya descritas.

Prop. LXXVII. Theor. XXXVII.

* Si ad singula Sphærarum puncta tendant vires centripetæ proportionales distantiis punctorum a corporibus attractis: dico quod vis composita, qua Sphæræ duæ se mutuo trahent, est ut distantia inter centra Sphærarum.

Cas. 1. Sea ACBD una esfera, S su centro, P un corpúsculo atraído, PASB el eje de la esfera que pasa por el centro del corpúsculo, EF, ef dos planos por los cuales es cortada la esfera, perpendiculares a este eje y distantes a uno y otro lado por igual del centro de la esfera; Gg las intersecciones de los planos y el eje, y H un punto cualquiera en el plano EF.

Page 201

Puncti H vis centripeta in corpusculum P secundum lineam PH exercita est ut distantia PH, & (per Legum Corol. 2.) secundum lineam PG, seu versus centrum S, ut longitudo PG. Igitur punctorum omnium in plano EF, hoc est plani totius vis, qua corpusculum P trahitur versus centrum S, est ut numerus punctorum ductus in distantiam PG: id est ut contentum sub plano ipso EF & distantia illa PG.

Y del mismo modo la fuerza del plano ef, con la que el corpúsculo P es atraído hacia el centro S, es como ese plano multiplicado por su distancia Pg; o como un plano EF igual a este multiplicado por aquella distancia Pg; y la suma de las fuerzas de uno y otro plano es como el plano EF multiplicado por la suma de las distancias PG + Pg, esto es, como ese plano multiplicado por la distancia doble del centro y del corpúsculo PS, es decir, como el plano doble EF multiplicado por la distancia PS, o como la suma de los planos iguales EF + ef multiplicada por la misma distancia.

Y por un argumento semejante, las fuerzas de todos los planos en la Esfera total, equidistantes por todas partes del centro de la Esfera, son como la suma de los planos multiplicada por la distancia PS, esto es, como la Esfera total multiplicada por la distancia de su centro S al corpúsculo P.

Q. E. D.

Cas. 2. Trahat jam corpusculum P Sphæram ACBD. Et eodem argumento probabitur quod vis, qua Sphæra illa trahitur, erit ut distantia PS. Q. E. D.

Cas. 3. Componatur jam Sphæra altera ex corpusculis innumeris P; & quoniam vis, qua corpusculum unumquodq; trahitur, est ut distantia corpusculi a centro Sphæræ primæ ducta in Sphæram eandem, atq; adeo eadem est ac si prodiret tota de corpusculo unico in centro Sphæræ; vis tota qua corpuscula omnia in Sphæra secunda trahuntur, hoc est, qua Sphæra illa tota trahitur, eadem erit ac si Sphæra illa traheretur vi prodeunte de Page 202 corpusculo unico in centro Sphæræ primæ, & propterea proportionalis est distantiæ inter centra Sphærarum.

Q. E. D.

Cas. 4. Trahant Sphæræ se mutuo, & vis geminata proportionem priorem servabit. Q. E. D.

Cas. 5. Colóquese ahora el corpúsculo p dentro de la Esfera ACBD, y puesto que la fuerza del plano ef sobre el corpúsculo es como el contenido bajo dicho plano y la distancia pg; y la fuerza contraria del plano EF como el contenido bajo dicho plano y la distancia pG; la fuerza compuesta de ambos será como la diferencia de los contenidos, esto es, como la suma de los planos iguales multiplicada por la semisuma de la diferencia de las distancias, es decir, como dicha suma multiplicada por pS, distancia del corpúsculo al centro de la Esfera. Y por análogo argumento la atracción de todos los planos EF, ef en la Esfera toda, esto es, la atracción de la Esfera toda, es como la suma de todos los planos, o la Esfera toda, multiplicada por pS, distancia del corpúsculo al centro de la Esfera. Q. E. D.

Cas. 6. Y si de corpúsculos innumerables p se compone una Esfera nueva situada dentro de la esfera anterior ACBD, se probará como antes, que la atracción, ya sea la simple de una Esfera sobre la otra, ya la mutua de ambas entre sí, será como la distancia de los centros pS. Q. E. D.

Prop. LXXVIII. Theor. XXXVIII.

* Si Sphæræ in progressu a centro ad circumferentiam sint utcunq; dissimilares & inæquabiles, in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sint undiq; similares; & vis attractiva puncti cujusq; sit ut distantia corporis attracti: dico quod vis tota qua hujusmodi Sphæræ duæ se mutuo trahunt sit proportionalis distantiæ inter centra Sphærarum.

Página 203

Se demuestra a partir de la Proposición precedente, del mismo modo en que la Proposición LXXVII fue demostrada a partir de la Proposición LXXV.

Corol. Quæ superius in Propositionibus X. & LXIV. de motu corporum circa centra Conicarum Sectionum demonstrata sunt, valent ubi attractiones omnes fiunt vi Corporum Sphæricorum, conditionis jam descriptæ, suntq; corpora attracta Sphæræ conditionis ejusdem.

# Escolio.

Ya he expuesto dos casos más notables de atracciones; a saber, cuando las fuerzas centrípetas decrecen en razón duplicada de las distancias, o crecen en razón simple de las distancias; haciendo en ambos Casos que los cuerpos giren en Secciones Cónicas, y componiendo las fuerzas centrípetas de los cuerpos Esféricos que decrecen o crecen con las mismas leyes al alejarse del centro.

Lo cual es digno de ser notado. Sería largo recorrer uno por uno los demás Casos, que presentan conclusiones menos elegantes; preferiría comprenderlos y determinarlos todos a la vez mediante un método general, como sigue.

# Lema XXIX.

*Si describantur centro*S*circulus quilibet*AEB*,* (Vide Fig. Prop. sequentis) *& centro*P*circuli duo*EF*,*ef*, secantes priorem in*E*,*e*, lineamq;*PS*in*F*,*f*; & ad*PS*demittantur perpendicula*ED*,*ed*: dico quod si distantia arcuum*EF*,*ef*in infinitum minui intelligatur, ratio ultima lineæ evanescentis*Dd*ad lineam evanescentem*Ff*ea sit, quæ lineæ*PE*ad lineam*PS*.*

Nam si linea Pe secet arcum EF in q; & recta Ee, quæ cum arcu evanescente Ee coincidit, producta occurrat rectæ PS in T; & ab S demittatur in PE normalis SG: ob similia triangula EDT, edt, EDS; erit Dd ad Ee, ut DT ad ET seu DE ad Page 204 ES, & ob triangula Eqe, ESG (per Lem. VIII. & Corol. 3. Lem. VII.) similia, erit Ee ad qe seu Ff, ut ES ad SG, & ex æquo Dd ad Ff ut DE ad SG; hoc est (ob similia triangula PDE, PGS) ut PE ad PS.

Q. E. D.

# Prop. LXXIX. Theor. XXXIX.

*Si superficies ob latitudinem infinite diminutam jamjam evanescens*EFfe*, convolutione sui circa axem*PS*, describat solidum Sphæricum concavo-convexum, ad cujus particulas singulas æquales tendant æquales vires centripetæ: dico quod vis, qua solidum illud trahit corpusculum situm in*P*, est in ratione composita ex ratione solidi*DEq.*×*Ff*& ratione vis qua particula data in loco*Ff*traheret idem corpusculum.*

Nam si primo consideremus vim superficiei Sphæricæ FE, quæ convolutione arcus FE generatur, & linea de ubivis secatur in r; erit superficiei pars annularis, convolutione arcus rE genita, ut lineola Dd, manente Sphæræ radio PE, (uti demonstravit Archimedes in Lib. de Sphæra & Cylindro.) Et hujus vis secundum lineas PE vel Pr undiq; in superficie conica sitas exercita, ut hæc ipsa superficiei pars annularis; hoc est, ut lineola Dd, vel quod perinde est, ut rectangulum sub dato Sphæræ radio PE & lineola illa Dd: at secundum lineam PS ad centrum S Page 205 tendentem minor, in ratione PD ad PE, adeoq; ut PD × Dd.

Dividi jam intelligatur linea DF in particulas innumeras æquales, quæ singulæ nominentur Dd; & superficies FE dividetur in totidem æquales annulos, quorum vires erunt ut summa omnium PD × Dd, hoc est, cum lineolæ omnes Dd sibi invicem æquentur, adeoq; pro datis haberi possint, ut summa omnium PD ducta in Dd, id est, ut ½PFq. - ½PDq. sive ½PEq. - ½PDq. vel ½DEq. ductum in Dd; hoc est, si negligatur data ½Dd, ut DE quad.

Ducatur jam superficies FE in altitudinem Ff; & fiet solidi EFfe vis exercita in corpusculum P ut DEq. × Ff: puta si detur vis quam particula aliqua data Ff in distantia PF exercet in corpusculum P. At si vis illa non detur, fiet vis solidi EFfe ut solidum DEq. × Ff & vis illa non data conjunctim.

Q. E. D.

Prop. LXXX. Theor. XL.

*Si ad Sphæræ alicujus*AEB*, centro*S*descriptæ, particulas singulas æquales tendant æquales vires centripetæ, & ad Sphæræ axem*AB*, in quo corpusculum aliquod*P*locatur, erigantur de punctis singulis*D*perpendicula*DE*, Sphæræ occurrentia in*E*, & in ipsis capiantur longitudines*DN*, quæ sint ut quantitas*DEq. × PS ÷ PE*& vis quam Sphæræ particula sita in axe ad distantiam*PE*exercet in corpusculum*P*conjunctim: dico quod vis tota, qua corpusculum*P*trahitur versus Sphæram, est ut area comprehensa sub axe Sphæræ*AB*& linea curva*ANB*, quam punctum*N*perpetuo tangit.*

Etenim stantibus quæ in Lemmate & Theoremate novissimo constructa sunt, concipe axem Sphæræ AB dividi in particulas innumeras æquales Dd, & Sphæram totam dividi in totidem laminas Sphæricas concavo-convexas EFfe; & erigatur perpendiculum dn.

Per Theorema superius, vis qua lamina EFfe trahit corpusculum P est ut DEq. × Ff & vis particulæ unius ad distantiam PE vel PF exercita conjunctim.

Est autem per Page 206 Lemma novissimum, Dd ad Ff ut PE ad PS, & inde Ff æqualis PS × Dd ÷ PE; & DEq. × Ff æquale Dd in DEq. × PS ÷ PE, & propterea vis laminæ EFfe est ut Dd in DEq. × PS ÷ PE & vis particulæ ad distantiam PF exercita conjunctim, hoc est (ex Hypothesi) ut DN × Dd, seu area evanescens DNnd.

Sunt igitur laminarum omnium vires in corpus P exercitæ, ut areæ omnes DNnd, hoc est Sphæræ vis tota ut area tota ABNA.

Q. E. D.

Corol. 1. Hinc si vis centripeta, ad particulas singulas tendens, eadem semper maneat in omnibus distantiis, & fiat DN ut DEq. × PS ÷ PE: erit vis tota qua corpusculum a Sphæra attrahitur, ut area ABNA.

Corol. 2. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut distantia corpusculi a se attracti, & fiat DN ut DEq. × PS ÷ PEq.: erit vis qua corpusculum P a Sphæra tota attrahitur ut area ABNA.

Corol. 3. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut cubus distantiæ corpusculi a se attracti, & fiat DN ut DEq. × PS ÷ PEqq.: erit vis qua corpusculum a tota Sphæra attrahitur ut area ABNA.

Corol. 4. Y universalmente, si la fuerza centrípeta dirigida hacia cada una de las partículas de la Esfera se supone recíprocamente como la cantidad V, y se hace además DN como {DEq. × PS} ÷ {PE × V}; la fuerza con que un corpúsculo es atraído por la Esfera total será como el área ABNA.

Prop. LXXXI. Prob. XLI.

*Stantibus jam positis, mensuranda est Area*ABNA*.*

A puncto P ducatur recta PH Sphæram tangens in H, & ad axem PAB demissa Normali HI, bisecetur PI in L; & erit Page 207 (per Prop. 12, Lib. 2. Elem.) PEq. æquale PSq. + SEq. + 2PSD. Est autem SEq. seu SHq. (ob similitudinem triangulorum SPH, SHI) æquale rectangulo PSI. Ergo PEq. æquale est contento sub PS & PS + SI + 2SD, hoc est, sub PS & 2LS + 2SD, id est, sub PS & 2LD. Porro DE quad. æquale est SEq. - SDq. seu SEq. - LSq. + 2SLD - LDq. id est, SLD - LDq. - ALB. Nam LSq. - SEq. seu LSq. - SAq. (per Prop. 6 Lib. 2. Elem) æquatur rectangulo ALB. Scribatur itaq; 2SLD - LDq. - ALB pro DEq. & quantitas {DEq. × PS} ÷ {PE × V}, quæ secundum Corollarium quartum Propositionis præcedentis est ut longitudo ordinatim applicatæ DN, resolvet sese in tres partes

ubi si pro V scribatur ratio inversa vis centripetæ, & pro PE medium proportionale inter PS & 2LD; tres illæ partes evadent ordinatim applicatæ linearum totidem curvarum, quarum areæ per Methodos vulgatas innotescunt. Q. E. F.

Exempl. 1. Si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas tendens sit reciproce ut distantia; pro V scribe distantiam PE, dein 2PS × LD pro PEq., & fiet DN ut SL - ½LD - ALB ÷ 2LD.

Page 208

Pone DN æqualem duplo ejus 2SL - LD - ALB ÷ LD: & ordinatæ pars data 2SL ducta in longitudinem AB describet aream rectangulam 2SL × AB; & pars indefinita LD ducta normaliter in eandem longitudinem per motum continuum, ea lege ut inter movendum crescendo vel decrescendo æquetur semper longitudini LD, describet aream {LBq. - LAq.} ÷ 2, id est, aream SL × AB; quæ subducta de area priore 2SL × AB relinquit aream SL × AB. Pars autem tertia ALB ÷ LD ducta itidem per motum localem normaliter in eandem longitudinem, describet aream Hyperbolicam; quæ subducta de area SL × AB relinquet aream quæsitam ABNA.

Unde talis emergit Problematis constructio. Ad puncta L, A, B erige perpendicula Ll, Aa, Bb, quorum Aa ipsi LB, & Bb ipsi LA æquetur. Asymptotis Ll, LB, per puncta a, b describatur Hyperbola ab. Et acta chorda ba claudet aream aba areæ quæsitæ ABNA æqualem.

Ejempl. 2. Si la fuerza centrípeta que tiende a las partículas individuales de la Esfera es inversamente proporcional al cubo de la distancia, o (lo que es igual) a dicho cubo aplicado a un plano dado cualquiera; escribe PE cub. ÷ 2ASq. en lugar de V, luego 2PS × LD en lugar de PEq.; y resultará DN como

id est (ob continue proportionales PS, AS, SI)

ut

Si ducantur hujus partes Page 209 tres in longitudinem AB, prima LSI ÷ LD generabit aream Hyperbolicam; secunda ½SI aream ½AB × SI; tertia ALB × SI ÷ 2LDq. aream

id est ½AB × SI. De prima subducatur summa secundæ ac tertiæ, & manebit area quæsita ABNA. Unde talis emergit Problematis constructio.

Ad puncta L, A, S, B erige perpendicula Ll, Aa, Ss, Bb, quorum Ss ipsi SI æquetur, perq; punctum s Asymptotis Ll, LB describatur Hyperbola asb occurrens perpendiculis Aa, Bb in a & b; & rectangulum 2ASI subductum de area Hyperbolica AasbB relinquet aream quæsitam ABNA.

Exempl. 3. Si Vis centripeta, ad singulas Sphæræ particulas tendens, decrescit in quadruplicata ratione distantiæ a particulis, scribe PE⁴ ÷ 2AS³ pro V, dein √2PS × LD pro PE, & fiet DN ut

Cuyas tres partes, multiplicadas por la longitud AB, producen otras tantas Áreas, viz.

Y estas, hecha la debida reducción, restadas las posteriores de las anteriores, resultan $8\text{ SI cub.}÷3\text{ LI}$. Por tanto, la fuerza total con la que el corpúsculo $P$ es atraído hacia el centro de la Esfera es como $8\text{ SI cub.}÷PI$, esto es, recíprocamente como $\text{PS cub.}\times PI$. Q. E. I.

Page 210

Eadem Methodo determinari potest attractio corpusculi siti intra Sphæram, sed expeditius per Theorema sequens.

Prop. LXXXII. Theor. XLI.

*In Sphæra centro* S *intervallo* SA *descripta, si capiantur* SI *,* SA *,* SP *continue proportionales: dico quod corpusculi intra Sphæram in loco quovis* I *attractio est ad attractionem ipsius extra Sphæram in loco* P *, in ratione composita ex dimidiata ratione distantiarum a centro* IS *,* PS *& dimidiata ratione virium centripetarum, in locis illis* P *&* I *, ad centrum tendentium.*

Ut si vires centripetæ particularum Sphæræ sint reciproce ut distantiæ corpusculi a se attracti; vis, qua corpusculum situm in I trahitur a Sphæra tota, erit ad vim qua trahitur in P, in ratione composita ex dimidiata ratione distantiæ SI ad distantiam SP & ratione dimidiata vis centripetæ in loco I, a particula aliqua in centro oriundæ, ad vim centripetam in loco P ab eadem in centro particula oriundam, id est, ratione dimidiata distantiarum SI, SP ad invicem reciproce. Hæ duæ rationes dimidiatæ componunt rationem æqualitatis, & propterea attractiones in I & P a Sphæræ tota factæ æquantur.

Simili computo, si vires particularum Sphæræ sunt reciproce in duplicata ratione distantiarum, colligetur quod attractio in I sit ad attractionem in P, ut distantia SP ad Sphæræ Page 211 semidiametrum SA:

Si vires illæ sunt reciproce in triplicata ratione distantiarum, attractiones in I & P erunt ad invicem ut SP quad. ad SA quad.; si in quadruplicata, ut SP cub. ad SA cub.

Unde cum attractio in P, in hoc ultimo casu, inventa fuit reciproce ut PS cub. × PI, attractio in I erit reciproce ut SA cub. × PI, id est (ob datum SA cub.) reciproce ut PI. Et similis est progressus in infinitum. Theorema vero sic demonstratur.

Estantibus jam ante constructis, & existente corpore in loco quovis P, ordinatim applicata DN inventa fuit ut {DEq. × PS} ÷ {PE × V}.

Ergo si agatur IE, ordinata illa ad alium quemvis locum I, mutatis mutandis, evadet ut {DEq. × IS} ÷ {IE × V}.

Pone vires centripetas, e Sphæræ puncto quovis E manantes, esse ad invicem in distantiis IE, PE, ut PEⁿ ad IEⁿ, (ubi numerus n designet indicem potestatum PE & IE) & ordinatæ illæ fient ut {DEq. × PS} ÷ {PE × PEⁿ} & {DEq. × IS} ÷ {IE × IEⁿ}, quarum ratio ad invicem est ut PS × IE × IEⁿ ad IS × PE × PEⁿ.

Quoniam ob similia triangula SPE, SEI, fit IE ad PE ut IS ad SE vel SA; pro ratione IE ad PE scribe rationem IS ad SA; & ordinatarum ratio evadet PS × IEⁿ ad SA × PEⁿ.

Sed PS ad SA dimidiata est ratio distantiarum PS, SI; & IEⁿ ad PEⁿ dimidiata est ratio virium in distantiis PS, IS.

Ergo ordinatæ, & propterea areæ quas ordinatæ describunt, hisq; proportionales attractiones, sunt in ratione composita ex dimidiatis illis rationibus.

Q. E. D.

Page 212

**Prop. LXXXIII.** **Prob. XLII.**

*Invenire vim qua corpusculum in centro Sphæræ locatum ad ejus segmentum quodcunq; attrahitur.*

Sit P corpus in centro Sphæræ, & RBSD segmentum ejus plano RDS & superficie Sphærica RBS contentum.

Superficie Sphærica EFG centro P descripta secetur DB in F, ac distinguatur segmentum in partes BREFGS, FEDG. Sit autem superficies illa non pure Mathematica, sed Physica, profunditatem habens quam minimam. Nominetur ista profunditas O, & erit hæc superficies (per demonstrata Archimedis) ut PF × DF × O.

Ponamus præterea vires attractivas particularum Sphæræ esse reciproce ut distantiarum dignitas illa cujus Index est n; & vis qua superficies FE trahit corpus P erit ut DF × O ÷ PF^{n - 1}.

Huic proportionale sit perpendiculum FN ductum in O; & area curvilinea BDLIB, quam ordinatim applicata FN in longitudinem DB per motum continuum ducta describit, erit ut vis tota qua segmentum totum RBSD trahit corpus P.

Q. E. I.

# Prop. LXXXIV. Prob. XLIII.

* Invenire vim qua corpusculum, extra centrum Sphæræ in axe segmenti cujusvis locatum, attrahitur ab eodem segmento.

Ad segmentum EBK trahatur corpus P (Vide Fig. Prop. 79. 80. 81.) in ejus axe ADB locatum. Centro P intervallo PE Page 213 describatur superficies Sphærica EFK, qua distinguatur segmentum in partes duas EBKF & EFKD. Quæratur vis partis prioris per Prop. LXXXI. & vis partis posterioris per Prop. LXXXIII.; & summa virium erit vis segmenti totius EBKD.   Q. E. I.

# Escolio.

Explicatis attractionibus corporum Sphæricorum, jam pergere liceret ad leges attractionum aliorum quorundam ex particulis attractivis similiter constantium corporum; sed ista particulatim tractare minus ad institutum spectat. Suffecerit Propositiones quasdam generaliores de viribus hujusmodi corporum, deq; motibus inde oriundis, ob eorum in rebus Philosophicis aliqualem usum, subjungere.