Sec. VII.

De Motu Fluidorum & resistentia Projectilium.

Prop. XXXII. Theor. XXV.

* Si dos sistemas de cuerpos constan de un número igual de partículas y las partículas correspondientes son similares, cada una en un sistema a cada una en el otro, y guardan entre sí una razón dada de densidad, y comienzan a moverse de manera similar en tiempos proporcionales (aquellas entre sí que están en un sistema y aquellas entre sí que están en el otro), y si las que están en un mismo sistema no se tocan mutuamente, excepto en los momentos de las reflexiones, ni se atraen o repelen mutuamente, sino por fuerzas aceleratrices que sean inversamente como los diámetros de las partículas correspondientes y directamente como los cuadrados de las velocidades: digo que aquellas partículas de los sistemas continuarán moviéndose de manera similar en tiempos proporcionales; y recíprocamente.

Digo que los cuerpos similares se mueven de manera similar entre sí en tiempos proporcionales, cuyos sitios entre sí al final de esos tiempos son siempre similares: por ejemplo, si las partículas de un Sistema se comparan con las partículas correspondientes del otro. De donde los tiempos serán proporcionales, en los cuales las partes similares y proporcionales de las figuras similares son descritas por las partículas correspondientes.

Por tanto, si hubiere dos Sistemas de este género, las partículas correspondientes, debido a la similitud de los movimientos iniciados, continuarán moviéndose de manera similar hasta que se encuentren mutuamente. Pues si no son agitadas por ninguna fuerza, avanzarán uniformemente en líneas rectas según el movimiento de la Ley I.

Si se agitan mutuamente por algunas fuerzas, y esas fuerzas son como los inversos de los diámetros de las partículas correspondientes y los directos de los cuadrados de las velocidades; puesto que las posiciones de las partículas son similares y las fuerzas proporcionales, las fuerzas totales con las que son agitadas las partículas correspondientes Page 318, compuestas a partir de las fuerzas individuales que agitan (por el Corolario segundo de las Leyes), tendrán determinaciones similares, exactamente como si mirasen a los centros situados de manera similar entre las partículas; y esas fuerzas totales serán entre sí como las fuerzas individuales componentes, esto es, como los inversos de los diámetros de las correspondientes partículas, y los directos de los cuadrados de las velocidades: y por lo tanto harán que las partículas correspondientes prosigan describiendo figuras similares.

Estas cosas se comportarán así por los Corolarios 1, 2 y 7 de la Prop. IV, siempre que dichos centros estén en reposo. Mas si se mueven, puesto que debido a la similitud de las traslaciones, sus posiciones permanecen similares entre las partículas de los Sistemas, se inducirán cambios similares en las figuras que describen las partículas.

Similares serán, por lo tanto, los movimientos de las partículas correspondientes y similares hasta sus primeros encuentros, y por lo tanto similares encuentros, y similares reflexiones, y luego (por lo ya demostrado) movimientos similares entre sí, hasta que de nuevo incidan mutuamente entre sí, y así sucesivamente al infinito.

Q. E. D.

Corol. 1. Hinc si corpora duo quævis, quæ similia sint & ad Systematum particulas correspondentes similiter sita, inter ipsas temporibus proportionalibus similiter moveri incipiant, sintque eorum densitates ad invicem ut densitates correspondentium particularum: hæc pergent temporibus proportionalibus similiter moveri. Est enim eadem ratio partium majorum Systematis utriusque atque particularum.

Corol. 2. Y si las partes todas, semejantes y situadamente semejantes, de los Sistemas estuvieren en reposo entre sí; y dos de ellas, que sean mayores que las demás y se correspondan mutuamente en ambos Sistemas, comenzaren a moverse de cualquier modo con movimiento semejante según líneas situadas de manera semejante: estas [partes] suscitarán movimientos semejantes en las demás partes de los sistemas, y continuarán moviéndose de modo semejante entre sí en tiempos proporcionales, y por consiguiente describirán espacios proporcionales a sus diámetros.

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# Prop. XXXIII. Theor. XXVI.

*Iisdem positis, dico quod Systematum partes majores resistuntur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum suarum & duplicata ratione diametrorum & ratione densitatis partium Systematum.*

Nam resistentia oritur partim ex viribus centripetis vel centrifugis quibus particulæ systematum se mutuo agitant, partim ex occursibus & reflexionibus particularum & partium majorum. Prioris autem generis resistentiæ sunt ad invicem ut vires totæ motrices a quibus oriuntur, id est ut vires totæ acceleratrices & quantitates materiæ in partibus correspondentibus; hoc est (per Hypothesin) ut quadrata velocitatum directe & distantiæ particularum correspondentium inverse & quantitates materiæ in partibus correspondentibus directe: ideoque (cum distantiæ particularum systematis unius sint ad distantias correspondentes particularum alterius, ut diameter particulæ vel partis in systemate priore ad diametrum particulæ vel partis correspondentis in altero, & quantitates materiæ sint ut densitates partium & cubi diametrorum) resistentiæ sunt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata diametrorum & densitates partium Systematum. Q. E. D.

Posterioris generis resistentiæ sunt ut reflexionum correspondentium numeri & vires conjunctim. Numeri autem reflexionum sunt ad invicem ut velocitates partium correspondentium directe, & spatia inter eorum reflexiones inverse. Et vires reflexionum sunt ut velocitates & magnitudines & densitates partium correspondentium conjunctim; id est ut velocitates & diametrorum cubi & densitates partium. Et conjunctis his omnibus rationibus, resistentiæ partium correspondentium sunt ad invicem ut quadrata velocitatum & quadrata diametrorum & densitates partium conjunctim. Q. E. D.

Corol. 1. Igitur si systemata illa sint Fluida duo Elastica ad modum Aeris, & partes eorum quiescant inter se: corpora Page 320 autem duo similia & partibus fluidorum quoad magnitudinem & densitatem proportionalia, & inter partes illas similiter posita, secundum lineas similiter positas utcunque projiciantur; vires autem motrices, quibus particulæ Fluidorum se mutuo agitant, sint ut corporum projectorum diametri inverse, & quadrata velocitatum directe: corpora illa temporibus proportionalibus similes excitabunt motus in Fluidis, & spatia similia ac diametris suis proportionalia describent.

Corol. 2. Por lo tanto, en un mismo fluido, un proyectil rápido experimenta resistencia en razón duplicada de la velocidad, poco más o menos. Pues si las fuerzas con que las partículas distantes se agitan mutuamente se aumentasen en razón duplicada de la velocidad, el proyectil experimentaría resistencia en la misma razón duplicada exactamente; y por ello en un medio cuyas partes, distantes entre sí, no se agitan mutuamente con fuerza alguna, la resistencia es en razón duplicada de la velocidad exactamente.

Sean, pues, tres medios A, B, C consistentes en partes similares e iguales y dispuestas regularmente según distancias iguales. Que las partes de los medios A y B se huyan mutuamente con fuerzas que guíen entre sí como T y V, y que las del medio C carezcan por completo de tales fuerzas. Y si cuatro cuerpos iguales D, E, F, G se mueven en estos medios, los dos primeros D y E en los dos primeros A y B, y los otros dos F y G en el tercero C; y sea la velocidad del cuerpo D respecto a la velocidad del cuerpo E, y la velocidad del cuerpo F respecto a la velocidad del cuerpo G, en razón subduplicada de las fuerzas T a las fuerzas V; la resistencia del cuerpo D será a la resistencia del cuerpo E, y la resistencia del cuerpo F a la resistencia del cuerpo G en la razón duplicada de las velocidades; y por tanto la resistencia del cuerpo D será a la resistencia del cuerpo F como la resistencia del cuerpo E a la resistencia del cuerpo G.

Sean los cuerpos D y F de igual velocidad, al igual que los cuerpos E y G; y aumentando las velocidades de los cuerpos D y F en una razón cualquiera, y disminuyendo las fuerzas de las partículas del medio B en la misma razón duplicada, el medio B se acercará a la forma y condición del medio C a voluntad, y por ello las resistencias de los cuerpos iguales y de igual velocidad E y G en estos medios se acercarán perpetuamente a Page 321 la igualdad, de modo que su diferencia llegue a ser al fin menor que cualquier cantidad dada. Por consiguiente, como las resistencias de los cuerpos D y F son entre sí como las resistencias de los cuerpos E y G, estas también se acercarán de igual manera a la razón de igualdad. Las resistencias de los cuerpos D y F, por lo tanto, cuando se mueven con la mayor velocidad, son iguales poco más o menos; y por ende, como la resistencia del cuerpo F está en razón duplicada de la velocidad, la resistencia del cuerpo D estará en la misma razón poco más o menos. Q. E. D.

Corol. 3. Igitur corporis in Fluido quovis Elastico velocissime moventis eadem fere est resistentia ac si partes Fluidi viribus suis centrifugis destituerentur, seque mutuo non fugerent: si modo Fluidi vis Elastica ex particularum viribus centrifugis oriatur.

Corol. 4. Por lo tanto, como las resistencias de cuerpos semejantes y con igual velocidad, en un medio cuyas partes distantes no se huyen mutuamente, son como los cuadrados de los diámetros, las resistencias de los cuerpos con igual velocidad y que se mueven con la mayor rapidez en un fluido elástico son también, próximamente, como los cuadrados de los diámetros.

Corol. 5. Et cum corpora similia, æqualia & æquivelocia, in Mediis ejusdem densitatis, quorum particulæ se mutuo non fugiunt, sive particulæ illæ sint plures & minores, sive pauciores & majores, in æqualem materiæ quantitatem temporibus æqualibus inpingant, eique æqualem motus quantitatem imprimant, & vicissim (per motus Legem tertiam) æqualem ab eadem reactionem patiantur, hoc est, æqualiter resistantur: manifestum est etiam quod in ejusdem densitatis Fluidis Elasticis, ubi velocissime moventur, æquales sint eorum resistentiæ quam proxime; sive Fluida illa ex particulis crassioribus constent, sive ex omnium subtilissimis constituantur. Ex Medii subtilitate resistentia projectilium celerrime motorum non multum diminuitur.

Corol. 6. Cum autem particulæ Fluidorum, propter vires quibus se mutuo fugiunt, moveri nequeant quin simul agitent particulas alias in circuitu, atque adeo difficilius moveantur inter se quam si viribus istis destituerentur; & quo majores sint earum Page 322 vires centrifugæ, eo difficilius moveantur inter se: manifestum esse videtur quod projectile in tali Fluido eo difficilius movebitur, quo vires illæ sunt intensiores; & propterea si corporis velocissimi in superioribus Corollariis velocitas diminuatur, quoniam resistentia diminueretur in duplicata ratione velocitatis, si modo vires particularum in eadem ratione duplicata diminuerentur; vires autem nullatenus diminuantur, manifestum est quod resistentia diminuetur in ratione minore quam duplicata velocitatis.

Corol. 7. Porro cum vires centrifugæ eo nomine ad augendam resistentiam conducant, quod particulæ motus suos per Fluidum ad majorem a se distantiam per vires illas propagent; & cum distantia illa minorem habeat rationem ad majora corpora: manifestum est quod augmentum resistentiæ ex viribus illis oriundum in corporibus majoribus minoris sit momenti; & propterea, quo corpora sint majora eo magis accurate resistentia tardescentium decrescet in duplicata ratione velocitatis.

Corol. 8. Unde etiam ratio illa duplicata magis accurate obtinebit in Fluidis quæ, pari densitate & vi Elastica, ex particulis minoribus constant. Nam si corpora illa majora diminuantur, & particulæ Fluidi, manente ejus densitate & vi Elastica, diminuantur in eadem ratione; manebit eadem ratio resistentiæ quæ prius: ut ex præcedentibus facile colligitur.

Corol. 9. Hæc omnia ita se habent in Fluidis, quorum vis Elastica ex particularum viribus centrifugis originem ducit. Quod si vis illa aliunde oriatur, veluti ex particularum expansione ad instar Lanæ vel ramorum arborum, aut ex alia quavis causa, qua motus particularum inter se redduntur minus liberi: resistentia, ob minorem Medii fluiditatem, erit major quam in superioribus Corollariis.

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Prop. XXXIV. Theor. XXVII.

*Quæ in præcedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obtinent ubi particulæ Systematum se mutuo contingunt, si modo particulæ illæ sint summe lubricæ.*

Concipe particulas viribus quibusdam se mutuo fugere, & vires illas in accessu ad superficies particularum augeri in infinitum, & contra, in recessu ab iisdem celerrime diminui & statim evanescere.

Concipe etiam systemata comprimi, ita ut partes eorum se mutuo contingant, nisi quatenus vires illæ contactum impediunt. Sint autem spatia per quæ vires particularum diffunduntur quam angustissima, ita ut particulæ se mutuo quam proxime contingant: & motus particularum inter se iidem erunt quam proxime ac si se mutuo contingerent. Eadem facilitate labentur inter se ac si essent summe lubricæ, & si impingant in se mutuo reflectentur ab invicem ope virium præfatarum, perinde ac si essent Elasticæ.

Itaque motus erunt iidem in utroque casu, nisi quatenus perexigua particularum sese non contingentium intervalla diversitatem efficiant: quæ quidem diversitas diminuendo particularum intervalla diminui potest in infinitum.

Jam vero quæ in præcedentibus duabus Propositionibus demonstrata sunt, obtinent in particulis sese non contingentibus, idque licet intervalla particularum, diminuendo spatia per quæ vires diffunduntur, diminuantur in infinitum. Et propterea eadem obtinent in particulis sese contingentibus, exceptis solum differentiis quæ tandem differentiis quibusvis datis minores evadant. Dico igitur quod accurate obtinent. Si negas, assigna differentiam in casu quocunque. Atqui jam probatum est quod differentia minor sit quam data quævis. Ergo differentia falso assignatur, & propterea nulla est.

Q. E. D.

Corol. 1. Igitur si Systematum duorum partes omnes quiescant inter se, exceptis duabus, quæ cæteris majores sint & sibi Page 324 mutuo correspondeant inter cæteras similiter sitæ. Hæ secundum lineas similiter positas utcunque projectæ similes excitabunt motus in Systematibus, & temporibus proportionalibus pergent spatia similia & diametris suis proportionalia describere; & resistentur in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum & duplicata ratione diametrorum & ratione densitatis Systematum.

Corol. 2. Unde si Systemata illa sint Fluida duo similia, & eorum partes duæ majores sint corpora in iisdem projecta: sint autem Fluidorum particulæ summe lubricæ, & quoad magnitudinem & densitatem proportionales corporibus: pergent corpora temporibus proportionalibus spatia similia & diametris suis proportionalia describere, & resistentur in ratione Corollario superiore definita.

Corol. 3. Por lo tanto, en un mismo Fluido se resiste al Proyectil dado en magnitud en duplicada razón de la velocidad.

Corol. 4. At si particulæ Fluidi non sint summe lubricæ, vel si viribus quibuscunque se mutuo agitant, quibus motuum libertas diminuitur: Projectilia tardiora difficilius superabunt resistentiam, & propterea magis resistentur quam in velocitatis ratione duplicata.

Prop. XXXV. Theor. XXVIII.

* Si Globus & Cylindrus æqualibus diametris descripti, in Medio raro & Elastico, secundum plagam axis Cylindri, æquali cum velocitate celerrime moveantur: erit resistentia Globi duplo minor quam resistentia Cylindri.

Nam quoniam resistentia (per Corol. 3. Prop. XXXIII.) eadem est quam proxime ac si partes Fluidi viribus nullis se mutuo fugerent, supponamus partes Fluidi ejusmodi viribus destitutas per spatia omnia uniformiter dispergi. Et quoniam actio Medii in corpus eadem est (per Legum Corol. 5.) sive corpus in Medio quiescente moveatur, sive Medii particulæ eadem cum Page 325 velocitate impingant in corpus quiescens: consideremus corpus tanquam quiescens, & videamus quo impetu urgebitur a Medio movente.

Designet igitur ABKI corpus Sphæricum centro C semidiametro CA descriptum, & incidant particulæ Medii data cum velocitate in corpus illud Sphæricum, secundum rectas ipsi AC parallelas: Sitque FB ejusmodi recta. In ea capiatur LB semidiametro CB æqualis, & ducatur BD quæ Sphæram tangat in B. In AC & BD demittantur perpendiculares BE, DL, & vis qua particula Medii, secundum rectam FB oblique incidendo, Globum ferit in B, erit ad vim qua particula eadem Cylindrum ONGQ axe ACI circa Globum descriptum perpendiculariter feriret in b, ut LD ad LB vel BE ad BC.

Rursus efficacia hujus vis ad movendum globum secundum incidentiæ suæ plagam FB vel AC, est ad ejusdem efficaciam ad movendum globum secundum plagam determinationis suæ, id est secundum plagam rectæ BC qua globum directe urget, ut BE ad BC. Et conjunctis rationibus, efficacia particulæ, in globum secundum rectam FB oblique incidentis, ad movendum eundem secundum plagam incidentiæ suæ, est ad efficaciam particulæ ejusdem secundum eandem rectam in cylindrum perpendiculariter incidentis, ad ipsum movendum in plagam eandem, ut BE quadratum ad BC quadratum.

Quare si ad cylindri basem circularem NAO erigatur perpendiculum bHE, & sit bE æqualis radio AC, & bH æqualis BE quad. ÷ CB, erit bH ad Page 326 bE ut effectus particulæ in globum ad effectum particulæ in cylindrum. Et propterea Solidum quod a rectis omnibus bH occupatur erit ad solidum quod a rectis omnibus bE occupatur, ut effectus particularum omnium in globum ad effectum particularum omnium in Cylindrum. Sed solidum prius est Parabolois vertice V, axe CA & latere recto CA descriptum, & solidum posterius est cylindrus Paraboloidi circumscriptus: & notum est quod Parabolois sit semissis cylindri circumscripti.

Ergo vis tota Medii in globum est duplo minor quam ejusdem vis tota in cylindrum. Et propterea si particulæ Medii quiescerent, & cylindrus ac globus æquali cum velocitate moverentur, foret resistentia globi duplo minor quam resistentia cylindri.

Q. E. D.

# Escolio.

Eadem methodo figuræ aliæ inter se quoad resistentiam comparari possunt, eæque inveniri quæ ad motus suos in Mediis resistentibus continuandos aptiores sunt.

Ut si base circulari CEBH, quæ centro O, radio OC describitur, & altitudine OD, construendum sit frustum coni CBGF, quod omnium eadem basi & altitudine constructorum & secundum plagam axis sui versus D progredientium frustorum minime resistatur: biseca altitudinem OD in Q & produc, OQ ad S ut sit QS æqualis QC, & erit S vertex coni cujus frustum quæritur.

Donde, por cierto, como el ángulo CSB es siempre agudo, se sigue que, si el sólido ADBE se genera por la revolución de la figura elíptica u ovalada ADBE alrededor del eje AB, y la figura generatriz es tocada por tres rectas FG, GH, HI en los puntos F, B e I, con la condición de que GH sea perpendicular al eje en el punto de contacto B, y FG, HI con la misma GH contengan ángulos FGB, BHI de 135 grados: el sólido que se genera por la revolución de la figura ADFGHIE alrededor Page 327 del mismo eje CB experimenta menor resistencia que el sólido anterior; con tal de que ambos avancen en la dirección de su propio eje AB, y el extremo B de ambos vaya en la delantera. Proposición esta que considero no será inútil en la construcción de barcos.

Quod si figura DNFB ejusmodi sit ut, si ab ejus puncto quovis N ad axem AB demittatur perpendiculum NM, & a puncto dato G ducatur recta GR quæ parallela sit rectæ figuram tangenti in N, & axem productum secet in R, fuerit MN ad GR ut GR cub. ad 4BR × GBq.: Solidum quod figuræ hujus revolutione circa axem AB facta describitur, in Medio raro & Elastico ab A versus B velocissime movendo, minus resistetur quam aliud quodvis eadem longitudine & latitudine descriptum Solidum circulare.

Prop. XXXVI. Prob. VIII.

*Invenire resistentiam corporis Sphærici in Fluido raro & Elastico velocissime progredientis.* (Vide Fig. Pag. 325.)

Desígnese el cuerpo esférico ABKI descritos con el centro C y semidiámetro CA. Prodúzcase CA primero hacia S y después hacia R, de modo que AS sea la tercera parte del propio CA, y CR sea a CS como la densidad del cuerpo esférico es a la densidad del Medio.

Sobre CR levántense las perpendiculares PC, RX, y con el centro R y asíntotas CR, RX descríbase una hipérbola cualquiera PVY. En CR tómese CT de una longitud cualquiera, y levántese la perpendicular TV que corta el área hiperbólica PCTV, y sea CZ el lado de esta área aplicada a la recta PC.

Digo que el movimiento que el globo, al describir el espacio CZ, perderá por la resistencia del Medio, será a su movimiento total al principio como la longitud CT a la longitud CR aproximadamente.

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Nam (per motuum Legem tertiam) motus quem cylindrus GNOQ circa globum descriptus impingendo in Medii particulas amitteret, æqualis est motui quem imprimeret in easdem particulas. Ponamus quod particulæ singulæ reflectantur a cylindro, & ab eodem ea cum velocitate resiliant, quacum cylindrus ad ipsas accedebat. Nam talis erit reflexio, per Legum Corol. 3. si modo particulæ quam minime sint, & vi Elastica quam maxima reflectantur.

Velocitas igitur quacum a cylindro resiliunt, addita velocitati cylindri componet totam velocitatem duplo majorem quam velocitas cylindri, & propterea motus quem cylindrus ex reflexione particulæ cujusque amittit, erit ad motum totum cylindri, ut particula duplicata ad cylindrum.

Proinde cum densitas Medii sit ad densitatem cylindri ut CS ad CR; si Ct sit longitudo tempore quam minimo a cylindro descripta, erit motus eo tempore amissus ad motum totum cylindri ut 2Ct × CS ad AI × CR. Ea enim est ratio materiæ Medii, a cylindro protrusæ & reflexæ, ad massam cylindri.

Unde cum globus sit duæ tertiæ partes cylindri, & resistentia globi (per Propositionem superiorem) sit duplo minor quam resistentia cylindri: erit motus, quem globus describendo longitudinem L amittit, ad motum totum globi, ut Ct × CS ad ⅔AI × CR, sive ut Ct ad CR.

Erigatur perpendiculum tv Hyperbolæ occurrens in v, & (per Corol. 1. Prop. V. Lib. II.) si corpus describendo longitudinem areæ CtvP proportionalem, amittit motus sui totius CR partem quamvis Ct, idem describendo longitudinem areæ CTVP proportionalem, amittet motus sui partem CT.

Sed longitudo Ct æqualis est CPvt ÷ CP, & longitudo CZ (per Hypothesin) æqualis est CPTV ÷ CP, adeoque longitudo Ct est ad longitudinem CZ ut area CPvt ad aream CPVT. Et propterea cum globus describendo longitudinem quam minimam Ct amittat motus sui partem, quæ sit ad totum ut Ct ad CR, is Page 329 describendo longitudinem aliam quamvis CZ, amittet motus sui partem quæ sit ad totum ut CT ad CR. Q. E. D.

Corol. 1. Si detur corporis velocitas sub initio, dabitur tempus quo corpus, describendo spatium Ct, amittet motus sui partem Ct: & inde, dicendo quod resistentia sit ad vim gravitatis ut ista motus pars amissa ad motum, quem gravitas Globi eodem tempore generaret; dabitur proportio resistentiæ ad gravitatem Globi.

Corol. 2. Puesto que al determinar estas cosas he supuesto que las partículas del Fluido, por su fuerza Elástica, son reflejadas lo más posible por el Globo, y que el ímpetu de las partículas así reflejadas sobre el Globo es el doble que si no fuesen reflejadas: es manifiesto que en un Fluido cuyas partículas carecen de toda fuerza elástica y de toda otra fuerza reflexiva, el cuerpo Esférico sufrirá una resistencia dos veces menor; y por consiguiente, perdiendo la misma parte de velocidad, avanzará el doble más lejos de lo que resulta por la construcción de este Problema propuesta más arriba.

Corol. 3. Y si la fuerza reflexiva de las partículas no es ni máxima ni del todo nula, sino que guarda una razón intermedia: la resistencia, de igual modo, entre los límites puestos en la construcción del Problema y en el Corolario superior, guardará una razón intermedia.

Corol. 4. Cum corpora tarda paulo magis resistantur quam pro ratione duplicata velocitatis: hæc describendo longitudinem quamvis CZ amittent majorem motus sui partem, quam quæ sit ad motum suum totum ut CT ad CR.

Corol. 5. Cognita autem resistentia corporum celerrimorum, innotescet etiam resistentia tardorum; si modo lex decrementi resistentiæ pro ratione velocitatis inveniri potest.

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Prop. XXXVII. Prob. IX.

*Aquæ de vase dato per foramen effluentis definire motum.*

Si vas impleatur aqua, & in fundo perforetur ut aqua per foramen defluat, manifestum est quod vas sustinebit pondus aquæ totius, dempto pondere partis illius quod foramini perpendiculariter imminet.

Nam si foramen obstaculo aliquo occluderetur, obstaculum sustineret pondus aquæ sibi perpendiculariter incumbentis, & fundum vasis sustineret pondus aquæ reliquæ.

Sublato autem obstaculo, fundum vasis eadem aquæ pressione eodemve ipsius pondere urgebitur ac prius; & pondus quod obstaculum sustinebat, cum jam non sustineatur, faciet ut aqua descendat & per foramen defluat.

De donde se sigue que el movimiento de toda el agua que fluye será aquel que el peso del agua situada perpendicularmente sobre el orificio pueda generar. Pues cada partícula de agua desciende por su propio peso, en la medida en que no se le impide, y ello con movimiento uniformemente acelerado; y en la medida en que se le impide, presionará el obstáculo.

Dicho obstáculo es o bien el fondo del vaso, o bien el agua inferior que fluye; y por tanto aquella parte del peso que el fondo del vaso no sostiene, presionará el agua que fluye y generará un movimiento proporcional a sí misma.

Designetur igitur F area foraminis, A altitudo aquæ foramini perpendiculariter incumbentis, P pondus ejus, AF quantitas ejus, S spatium quod dato quovis tempore T in vacuo libere cadendo describeret, & V velocitas quam in fine temporis illius cadendo acquisierit: & motus ejus acquisitus AF × V æqualis erit motui aquæ totius eodem tempore effluentis.

Sit velocitas quacum effluendo exit de foramine, ad velocitatem V ut d ad e; & cum aqua velocitate V describere posset spatium 2S, aqua effluens eodem tempore, velocitate sua {d ÷ e}V describere posset spatium {2d ÷ e}S. Et propterea columna aquæ cujus longitudo Page 331 sit {2d ÷ e}S & latitudo eadem quæ foraminis, posset eo tempore defluendo egredi de vase, hoc est columna {2d ÷ e}SF.

Quare motus {2dd ÷ ee}SFV, qui fiet ducendo quantitatem aquæ effluentis in velocitatem suam, hoc est motus omnis tempore effluxus illius genitus, æquabitur motui AF × V. Et si æquales illi motus applicentur ad FV; fiet {2dd ÷ ee}S æqualis A. Unde est dd ad ee ut A ad 2S, & d ad e in dimidiata ratione ½A ad S.

Est igitur velocitas quacum aqua exit e foramine, ad velocitatem quam aqua cadens, & tempore T cadendo describens spatium S acquireret, ut altitudo aquæ foramini perpendiculariter incumbentis, ad medium proportionale inter altitudinem illam duplicatam & spatium illud S, quod corpus tempore T cadendo describeret.

Igitur si motus illi sursum vertantur; quoniam aqua velocitate V ascenderet ad altitudinem illam S de qua deciderat; & altitudines (uti notum est) sint in duplicata ratione velocitatum: aqua effluens ascenderet ad altitudinem ½A. Et propterea quantitas aquæ effluentis; quo tempore corpus cadendo describere posset altitudinem ½A, æqualis erit columnæ aquæ totius AF foramini perpendiculariter imminentis.

Cum autem aqua effluens, motu suo sursum verso, perpendiculariter surgeret ad dimidiam altitudinem aquæ foramini incumbentis; consequens est quod si egrediatur oblique per canalem in latus vasis, describet in spatiis non resistentibus Parabolam cujus latus rectum est altitudo aquæ in vase supra canalis orificium, & cujus diameter horizonti perpendicularis ab orificio illo ducitur, atque ordinatim applicatæ parallelæ sunt axi canalis.

Todo esto debe entenderse respecto al Fluido sutilísimo. Pues si el agua consta de partes más gruesas, fluirá más lentamente de lo que corresponde a la proporción asignada anteriormente, sobre todo si el orificio por el cual fluye es estrecho.

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Denique si aqua per canalem horizonti parallelum egrediatur; quoniam fundum vasis integrum est, & eadem aquæ incumbentis pressione ubique urgetur ac si aqua non efflueret; vas sustinebit pondus aquæ totius, non obstante effluxu, sed latus vasis de quo effluit non sustinebit pressionem illam omnem, quam sustineret si aqua non efflueret.

Tolletur enim pressio partis illius ubi perforatur: quæ quidem pressio æqualis est ponderi columnæ aquæ, cujus basis foramini æquatur & altitudo eadem est quæ aquæ totius supra foramen.

Et propterea si vas, ad modum corporis penduli, filo prælongo a clavo suspendatur, hoc, si aqua in plagam quamvis secundum lineam horizontalem effluit, recedet semper a perpendiculo in plagam contrariam.

Et par est ratio motus pilarum, quæ Pulvere tormentario madefacto implentur, &, materia in flammam per foramen paulatim expirante, recedunt a regione flammæ & in partem contrariam cum impetu feruntur.

Prop. XXXVIII. Theor. XXIX.

*Definir la resistencia de los cuerpos esféricos en los fluidos más diversos en su superficie anterior.*

Defluat aqua de vase Cylindrico ABCD, per canalem Cylindricum EFGH, in vas inferius IKLM; & inde effluat per vasis marginem IM. Sit autem margo ille ejusdem altitudinis cum vasis superioris fundo CD, eo ut aqua per totum canalem uniformi cum motu descendat; & in medio canalis collocetur Globus P, sitque PR altitudo aquæ supra Globum, & SR ejusdem altitudo supra fundum vasis. Sustineatur autem Globus filo tenuissimo TV, lateribus canalis hinc inde affixo.

Et manifestum est per proportionem superiorem, quod quantitas aquæ dato tempore defluentis erit ut amplitudo foraminis per quod defluit; hoc est, si Globus tollatur, ut canalis orificium: sin Globus adsit, ut spatium undique inter Globum & canalem. Nam velocitas aquæ defluentis (per superiorem Propositionem) ea erit Page 333 quam corpus cadendo, & casu suo describendo dimidiam aquæ altitudinem SR, acquirere posset: adeoque eadem est sive Globus tollatur, sive adsit. Et propterea aqua defluens erit ut amplitudo spatii per quod transit. Certe transitus aquæ per spatium angustius facilior esse nequit quam per spatium amplius, & propterea velocitas ejus ubi Globus adest, non potest esse major quam cum tollitur: ideoque major aquæ quantitas, ubi Globus adest, non effluet quam pro ratione spatii per quod transit.

Si aqua non sit liquor subtilissimus & fluidissimus, hujus transitus per spatium angustius, ob crassitudinem particularum, erit aliquanto tardior: at liquorem fluidissimum esse hic supponimus. Igitur quantitas aquæ, cujus descensum Globus dato tempore impedit, est ad quantitatem aquæ quæ, si Globus tolleretur, eodem tempore descenderet, ut basis Cylindri circa Globum descripti ad orificium canalis; sive ut quadratum diametri Globi ad quadratum diametri cavitatis canalis. Et propterea quantitas aquæ cujus descensum Globus impedit, æqualis est quantitati aquæ, quæ eodem Page 334 tempore per foramen circulare in fundo vasis, basi Cylindri illius æquale, descendere posset, & cujus descensus per fundi partem quamvis circularem basi illi æqualem impeditur.

Jam vero pondus aquæ, quod vas & Globus conjunctim sustinent, est pondus aquæ totius in vase, præter partem illam quæ aquam defluentem accelerat, & ad ejus motum generandum sufficit, quæque, per Propositionem superiorem, æqualis est ponderi columnæ aquæ cujus basis æquatur spatio inter Globum & canalem per quod aqua defluit, & altitudo eadem cum altitudine aquæ supra fundum vasis, per lineam SR designata.

Vasis igitur fundum & Globus conjunctim sustinent pondus aquæ totius in vase sibi ipsis perpendiculariter imminentis. Unde cum fundum vasis sustineat pondus aquæ sibi perpendiculariter imminentis, reliquum est ut Globus etiam sustineat pondus aquæ sibi perpendiculariter imminentis.

Globus quidem non sustinet pondus aquæ illius stagnantis & sibi absque omni motu incumbentis, sed aquæ defluenti resistendo impedit effectum tanti ponderis; adeoque vim aquæ defluentis sustinet ponderi illi æqualem. Nam impedit descensum & effluxum quantitatis aquæ quem pondus illud accurate efficeret si Globus tolleretur.

Aqua pondere suo, quatenus descensus ejus impeditur, urget obstaculum omne, ideoque obstaculum, quatenus descensum aquæ impedit, vim sustinet æqualem ponderi quo descensus ille efficeretur. Globus autem descensum quantitatis aquæ impedit, quem pondus columnæ aquæ sibi perpendiculariter incumbentis efficere posset; & propterea vim aquæ decurrentis sustinet ponderi illi æqualem.

Actio & reactio aquæ per motus Legem tertiam æquantur inter se, & in plagas contrarias diriguntur. Actio Globi in aquam descendentem, ad ejus descensum impediendum, in superiora dirigitur, & est ut descendendi motus impeditus, eique tollendo adæquate sufficit: & propterea actio contraria aquæ in Globum æqualis est vi quæ motum eundem vel tollere vel generare possit, Page 335 hoc est ponderi columnæ aquæ, quæ Globo perpendiculariter imminet & cujus altitudo est RS.

Si además el orificio superior del canal se obstruye de tal manera que el agua no pueda descender, el Globo ciertamente será presionado por todas partes debido al peso del agua estancada en el canal y en el vaso inferior IKLM; pero a pesar de esa presión, si tiene la misma gravedad específica que el agua, permanecerá en reposo. Dicha presión no impulsará al Globo en ninguna dirección.

Y por lo tanto, cuando se abre el canal y el agua del vaso superior desciende, toda la fuerza con la que el Globo es impulsado hacia abajo se originará a partir del descenso de esa agua, y por consiguiente será igual al peso de la columna de agua cuya altura es RS y cuyo diámetro es el mismo que el del Globo.

Mas ese peso, en el tiempo en que una cantidad cualquiera dada de agua podría fluir —sin el Globo— a través de un orificio igual a la base del cilindro descrito alrededor del Globo, basta para generar todo su movimiento; y por consiguiente, en el tiempo en que el agua, al descender uniformemente en el cilindro, recorre las dos terceras partes del diámetro del Globo, basta para generar todo el movimiento de un volumen de agua igual al del Globo.

Pues un cilindro de agua, descrito con la anchura del Globo y dos terceras partes de la altura, es igual al Globo. Y por consiguiente, el ímpetu del agua corriente sobre el Globo en reposo, en el tiempo en que el agua al correr recorre dos terceras partes del diámetro del Globo, si se continuara uniformemente, generaría todo el movimiento de la parte de fluido que es igual al Globo.

Lo que se ha demostrado acerca del agua en un canal, debe entenderse también de cualquier agua corriente con la que es empujado cualquier globo que repose en ella.

Y lo que se ha demostrado acerca del agua es válido también en todos los fluidos sutiles. Para todos ellos es válido el mismo argumento.

Jam vero per Legum Corol. 5, vis Fluidi in Globum eadem est, sive Globus quiescat & Fluidum uniformi cum velocitate moveatur, sive Fluidum quiescat & Globus eadem cum velocitate in partem contrariam pergat.

Et propterea resistentia Globi in Medio quocunque Fluidissimo uniformiter progredientis, quo tempore Globus duas tertias partes diametri suæ describit, Page 336 æqualis est vi, quæ in corpus ejusdem magnitudinis cum Globo & ejusdem densitatis cum Medio uniformiter impressa, quo tempore Globus duas tertias partes diametri suæ progrediendo describit, velocitatem Globi in corpore illo generare posset. Tanta est resistentia Globi in superficiei parte præcedente.

Q. E. I.

Corol. 1. Si un Sólido Esférico se mueve libremente en un Fluidísimo de la misma densidad que él, y durante el movimiento es impelido por detrás con la misma fuerza que cuando está en reposo; su resistencia será la misma que describimos en el Corolario segundo de la Proposición xxxvi. De donde, si se hace el cálculo, aparecerá que el sólido perderá la mitad de su movimiento antes de haber descrito, al avanzar, una longitud igual al diámetro propio. Y si durante el movimiento es menos impelido por detrás, será más retardado; y por el contrario, si es más impelido, será menos retardado.

Corol. 2. Se equivocan, por tanto, los que creen que la resistencia de los proyectiles disminuye hasta el infinito mediante la división infinita de las partes del Fluido. Si el fluido es muy espeso, la resistencia disminuirá un tanto mediante la división de sus partes. Mas después de haber adquirido un grado competente de fluidez (tal como acaso es la fluidez del aire, del agua o del azogue), la resistencia en la superficie anterior del sólido, mediante una ulterior división de las partes, no disminuirá mucho. Pues nunca será menor que el límite que asignamos en el corolario superior.

Corol. 3. Los medios, por tanto, en los cuales los cuerpos proyectiles avanzan largamente sin una disminución sensible del movimiento, no solo son fluidos sutilísimos, sino también mucho más raros que los mismos cuerpos que se mueven en ellos: a no ser que acaso alguien diga que todo medio fluidísimo, al hacerse un impetuoso impulso perpetuo en la parte posterior del proyectil, promueve su movimiento tanto cuanto lo impide y resiste en la parte anterior.

Y ciertamente es verosímil que una parte de aquel movimiento, que el proyectil imprime en el medio, sea devuelta al cuerpo por detrás a causa del medio llevado circularmente. Pues también, habiéndose hecho ciertos experimentos, hallé que en los fluidos bastante comprimidos una parte es devuelta.

Page 337

Mas que en cualquier caso se devuelva todo no parece congruente con la razón, ni cuadra bien con los experimentos intentados hasta ahora por mí. Pues que la fuerza de los fluidos, por muy sutiles que sean, si son densos, para mover y resistir a los sólidos es grandísima, y cómo la cantidad de esa fuerza se determina mediante experimentos, aparecerá más plenamente por las dos proposiciones que siguen.

# Lema IV.

*Si vas Sphæricum Fluido homogeneo quiescente plenum a vi impressa moveatur in directum, motuque progessivo semper accelerato ita pergat ut interea non moveatur in orbem: partes Fluidi inclusi, æqualiter participando motum vasis, quiescent inter se. Idem obtinebit in vase figuræ cujuscunque. Res manifesta est, nec indiget demonstratione.*

Prop. XXXIX. Theor. XXX.

*Todo fluido que avanza con movimiento acelerado a la manera de un viento creciente, y cuyas partes permanecen en reposo entre sí, arrastra todos los cuerpos flotantes de su misma densidad y los lleva consigo con la misma velocidad.*

Nam per Lemma superius si vas Sphæricum, rigidum, Fluidoque homogeneo quiescente plenum, motu paulatim impresso progrediatur; Fluidi motum vasis participantis partis omnes semper quiescent inter se. Ergo si Fluidi partes aliquæ congelarentur, pergerent hæ quiescere inter partes reliquas. Nam quoniam partes omnes quiescunt inter se, perinde est sive fluidæ sint, sive aliquæ earum rigescant. Ergo si vas a vi aliqua extrinsecus impressa moveatur, & motum suum imprimat in Fluidum; Fluidum quoque motum suum imprimet in sui ipsius partes congelatas easque secum rapiet. Sed partes illæ congelatæ sunt corpora solida ejusdem densitates cum Fluido; & par est ratio Fluidi, sive id in vase moto claudatur, sive in spatiis liberis ad modum venti Page 338 spiret. Ergo Fluidum omne quod motu progressivo accelerato fertur, & cujus partes inter se quiescunt, solida quæcunque ejusdem densitatis inclusa, quæ sub initio quiescebant, rapit secum, & una moveri cogit.

Q. E. D.

Prop. XL. Prob. X.

*Invenire resistentiam solidorum Sphæricorum in Mediis Fluidissimis densitate datis.*

In Fluido quocunque dato inveniatur resistentia ultima solidi specie dati, cujus magnitudo in infinitum augetur.

Dein dic: ut ejus motus amissus, quo tempore progrediendo longitudinem semidiametri suæ describit, est ad ejus motum totum sub initio, ita motus quem solidum quodvis datum, in Fluido eodem jam facto subtilissimo, describendo diametri suæ longitudinem amitteret, est ad ejus motum totum sub initio quamproxime.

Nam si particulæ minimæ Fluidi subtiliati eandem habeant proportionem eundemque situm ad solidum datum in eo movens, quem particulæ totidem minimæ Fluidi non subtiliati habent ad solidum auctum; sintque particulæ Fluidi utriusq; summe lubricæ, & viribus centrifugis centripetisque omnino destituantur; incipiant autem solida temporibus quibuscunque proportionalibus in his Fluidis similiter moveri: pergent eadem similiter moveri, adeoque quo tempore describunt spatia semidiametris suis æqualia, amittent partes motuum proportionales totis; idque licet partes Medii subtiliati minuantur, & magnitudo solidi in Medio non subtiliato moventis augeatur in infinitum.

Ergo ex resistentia solidi aucti in Medio non subtiliato, dabitur per proportionem superiorem resistentia solidi non aucti in Medio subtiliato.

Q. E. I.

Si particulæ non sunt summe lubricæ, supponendum est quod in utroq; Fluido sunt æqualiter lubricæ, eo ut ex defectu lubricitatis resistentia utrinq; æqualiter augeatur: & Propositio etiamnum valebit.

Página 339

Corol. 1. Ergo si ex aucta solidi Sphærici magnitudine augeatur ejus resistentia in ratione duplicata, resistentia solidi Sphærici dati ex diminuta magnitudine particularum Fluidi, nullatenus minuetur.

Corol. 2. Sin resistentia, augendo solidum Sphæricum, augeatur in minore quam duplicata ratione diametri; eadem diminuendo particulas Fluidi, diminuetur in ratione qua resistentia aucta deficit a ratione duplicata diametri.

Corol. 3. Unde perspicuum est quod solidi dati resistentia per divisionem partium Fluidi non multum diminui potest. Nam resistentia solidi aucti debebit esse quam proxime ut quantitas materiæ fluidæ resistentis, quam solidum illud movendo protrudit & a locis a se invasis & occupatis propellit: hoc est ut spatium Cylindricum per quod solidum movetur, adeoque in duplicata ratione semidiametri solidi quamproxime.

Corol. 4. Igitur propositis duobus Fluidis, quorum alterum ab altero quoad vim resistendi longissime superatur: Fluidum quod minus resistit est altero rarius; suntque Fluidorum omnium vires resistendi prope ut eorum densitates; præsertim si solida sint magna, & velociter moveantur, & Fluidorum æqualis sit compressio.

# Scholium Generale.

Quæ hactenus demonstrata sunt tentavi in hunc modum. Globum ligneum pondere unciarum Romanarum 57⁷/₂₂, diametro digitorum Londinensium 6⅞ fabricatum, filo tenui ab unco satis firmo suspendi, ita ut inter uncum & centrum oscillationis Globi distantia esset pedum 10½. In filo punctum notavi pedibus decem & uncia una a centro suspensionis distans; & e regione puncti illius collocavi Regulam in digitos distinctam, quorum ope notarem longitudines arcuum a Pendulo descriptas.

Deinde numeravi oscillationes quibus Globus quartam motus sui partem amitteret. Si pendulum deducebatur a perpendiculo ad Page 340 distantiam duorum digitorum, & inde demittebatur; ita ut toto suo descensu describeret arcum duorum digitorum, totaque oscillatione prima, ex descensu & ascensu subsequente composita, arcum digitorum fere quatuor; idem oscillationibus 164 amisit octavam motus sui partem, sic ut ultimo suo ascensu describeret arcum digiti unius cum tribus partibus quartis digiti. Si primo descensu descripsit arcum digitorum quatuor, amisit octavam motus partem oscillationibus 121; ita ut ascensu ultimo describeret arcum digitorum 3½. Si primo descensu descripsit arcum digitorum octo, sexdecim, triginta duorum vel sexaginta quatuor, amisit octavam motus partem oscillationibus 69, 35½, 18½, 9⅔, respective.

Igitur differentia inter arcus descensu primo & ascensu ultimo descriptos, erat in casu primo, secundo, tertio, quarto, quinto, sexto, digitorum ¼, ½, 1, 2, 4, 8 respective. Dividantur eæ differentiæ per numerum oscillationum in casu unoquoque; & in oscillatione una mediocri, qua arcus digitorum 3¾, 7½, 15, 30, 60, 120 descriptus fuit, differentia arcuum descensu & subsequente ascensu descriptorum, erit ¹/₆₅₆, ¹/₂₄₂, ¹/₆₉, ⁴/₇₁, ⁸/₃₇, ²⁴/₂₉ partes digiti respective.

Hæ autem in majoribus oscillationibus sunt in duplicata ratione arcuum descriptorum quam proxime; in minoribus vero paulo majores quam in ea ratione, & propterea (per Corol. 2. Prop. xxxi. Libri hujus) resistentia Globi, ubi celerius movetur, est in duplicata ratione velocitatis quamproxime; ubi tardius, paulo major quam in ea ratione: omnino ut in Corollariis Propositionis xxxii. demonstratum est.

Designet jam V velocitatem maximam in oscillatione quavis, sintque A, B, C quantitates datæ, & fingamus quod differentia arcuum sit AV + BV^3/₂ + CV². Et cum velocitates maximæ in prædictis sex Casibus, sint ut arcuum dimidiorum 1⅞, 3¾, 7½, 15, 30, 60 chordæ, atque adeo ut arcus ipsi quamproxime, hoc est ut numeri ½, 1, 2, 4, 8, 16: scribamus in Casu secundo quarto & sexto numeros 1, 4, & 16 pro V; & prodibit arcuum differentia ¹/₂₄₂ æqualis A + B + C in Casu secundo; & 2 ÷ 35½ æqualis 4A + 8B + 16C Page 341 in casu quarto; & 8 ÷ 9⅔ æqualis 16A + 64B + 256C in casu sexto. Unde si per has æquationes determinemus quantitates A, B, C; habebimus Regulam inveniendi differentiam arcuum pro velocitate quacunque data.

Cæterum cum velocitates maximæ sint in Cycloide ut arcus oscillando descripti, in circulo vero ut semissium arcuum illorum chordæ, adeoque paribus arcubus majores sint in Cycloide quam in circulo, in ratione semissium arcuum ad eorundem chordas; tempora autem in circulo sint majora quam in Cycloide in velocitatis ratione reciproca: ut ex resistentia in circulo inveniatur resistentia in Trochoide, debebit resistentia augeri in duplicata circiter ratione arcus ad chordam, ob velocitatem in ratione illa simplici auctam; & diminui in ratione chordæ ad arcum, ob tempus (seu durationem resistentiæ qua arcuum differentia prædicta generatur) diminutum in eadem ratione: id est (si rationes conjungamus) debebit resistentia augeri in ratione arcus ad chordam circiter. Hæc ratio in casu secundo est 6283 ad 6279, in quarto 12566 ad 12533, in sexto 25132 ad 24869. Et inde resistentia 1 ÷ 242, 2 ÷ 35½, & 8 ÷ 9⅔ evadunt 6283 ÷ {6279 × 242}, 25132 ÷ {12533 × 35½} & 201056 ÷ {24869 × 9⅔}, id est in numeris decimalibus 0,004135, 0,056486 & 0,8363. Unde prodeunt æquationes A + B + C = 0,004135: 4A + 8B + 16C = 0,05648 & 16A + 64B + 256C = 0,8363. Et ex his per debitam terminorum collationem & reductionem Analyticam fit A = 0,0002097, B = 0,0008955 & C = 0,0030298. Est igitur differentia arcuum ut 0,0002097V + 0,0008955V^3/₂ + 0,0030298V²: & propterea cum per Corol. Prop. xxx. resistentia Globi in medio arcus oscillando descripti, ubi velocitas est V, sit ad ipsius pondus ut ⁷/₁₁AV + ¹⁶/₂₃BV^3/₂ + ¾CV² ad longitudinem Penduli; si pro A, B, & C scribantur numeri inventi, fiet resistentia Globi ad ejus pondus, ut 0,0001334V + 0,000623V^3/₂ + 0,00227235V² ad longitudinem Penduli inter centrum suspensionis & Regulam, id est ad 121 digitos. Unde cum V in Page 342 casu secundo designet 1, in quarto 4, in sexto 16: erit resistentia ad pondus Globi in casu secundo ut 0.003029 ad 121, in quarto ut 0.042875 ad 121, in sexto ut 0.63013 ad 121.

Arcus quem punctum in filo notatum in Casu sexto descripsit, erat 120 - {8 ÷ 9⅔} seu 119⁵/₂₉ digitorum. Et propterea cum radius esset 121 digitorum, & longitudo penduli inter punctum suspensionis & centrum Globi esset 126 digitorum, arcus quem centrum Globi descripsit erat 124³/₃₁ digitorum. Quoniam corporis oscillantis velocitas maxima ob resistentiam Aeris non incidit in punctum infimum arcus descripti, sed in medio fere loco arcus totius versatur: hæc eadem erit circiter ac si Globus descensu suo toto in Medio non resistente describeret arcus illius partem dimidiam digitorum 62³/₆₂; idque in Cycloide, ad quam motum penduli supra reduximus: & propterea velocitas illa æqualis erit velocitati quam Globus, perpendiculariter cadendo & casu suo describendo altitudinem arcus illius Sinui verso æqualem, acquirere posset. Est autem sinus ille versus in Cycloide ad arcum istum 62³/₆₂ ut arcus idem ad penduli longitudinem duplam 252, & propterea æqualis digitis 15,278. Quare velocitas ea ipsa est quam corpus cadendo & casu suo spatium 15,278 digitorum describendo acquirere posset. Unde cum corpus tempore minuti unius secundi cadendo (uti per experimenta pendulorum determinavit Hugenius) describat pedes Parisienses 15¹/₁₂, id est pedes Anglicos 16¹¹/₂₄ seu digitos 197½, & tempora sint in dimidiata ratione spatiorum; Globus tempore minut. 16^tert. 38^quart. cadendo describet 15,278 digitos, & velocitatem suam prædictam acquiret; & propterea cum eadem velocitate uniformiter continuata describet eodem tempore longitudinem duplam 30,556 digitorum. Tali igitur cum velocitate Globus resistentiam patitur, quæ sit ad ejus pondus ut 0,63013 ad 121, vel (si resistentiæ pars illa sola spectetur quæ est in velocitatis ratione duplicata) ut 0,58172 ad 121.

Experimento autem Hydrostatico inveni quod pondus Globi Page 343 hujus lignei esset ad pondus Globi aquei magnitudinis ejusdem, ut 55 ad 97: & propterea cum 121 sit ad 213,4 in eadem ratione, erit resistentia Globi aquei præfata cum velocitate progredientis ad ipsius pondus ut 0,58172 ad 213,4, id est ut 1 ad 366⁵/₆.

Unde cum pondus Globi aquei, quo tempore Globus cum velocitate uniformiter continuata describat longitudinem pedum 30,556, velocitatem illam omnem in Globo cadente generare posset; manifestum est quod vis resistentiæ uniformiter continuata tollere posset velocitatem minorem in ratione 1 ad 366⁵/₆, hoc est velocitatis totius partem 1 ÷ 366⁵/₆.

Et propterea quo tempore Globus, ea cum velocitate uniformiter continuata, longitudinem semidiametri suæ seu digitorum 3⁷/₁₆ describere posset, eodem amitteret motus sui partem ¹/₃₂₆₂.

Numerabam etiam oscillationes quibus pendulum quartam motus sui partem amisit.

In sequente Tabula numeri supremi denotant longitudinem arcus descensu primo descripti, in digitis & partibus digiti expressam: numeri medii significant longitudinem arcus ascensu ultimo descripti; & loco infimo stant numeri oscillationum.

Experimentum descripsi tanquam magis accuratum quam cum motus pars tantum octava amitteretur. Calculum tentet qui volet.

Postea Globum plumbeum, diametro digitorum duorum & pondere unciarum Romanarum 26¼ suspendi filo eodem, sic ut inter centrum Globi & punctum suspensionis intervallum esset pedum 10½, & numerabam oscillationes quibus data motus pars amitteretur.

Tabularum subsequentium prior exhibet numerum Page 344 oscillationum quibus pars octava motus totius cessavit; secunda numerum oscillationum quibus ejusdem pars quarta amissa fuit.

In Tabula priore seligendo ex observationibus tertiam, quintam & septimam, & exponendo velocitates maximas in his observationibus particulatim per numeros 1, 4, 16 respective, & generaliter per quantitatem V ut supra: emerget in observatione prima ²/₁₉₃ = A + B + C, in secunda 2 ÷ 90½ = 4A + 8B + 16C, in tertia ⁸/₃₀ æqu. 16A + 64B + 256C. Quæ æquationes per reductiones superius expositas dant, A = 0,000145, B = 0,000247 & C = 0,0009. Et inde prodit resistentia Globi cum velocitate V moventis, in ea ratione ad pondus suum unciarum 26¼, quam habet 0,000923V + 0,000172V^3/₂ + 0,000675V² ad Penduli longitudinem 121 digitorum. Et si spectemus eam solummodo resistentiæ partem quæ est in duplicata ratione velocitatis, hæc erit ad pondus Globi ut 0,000675V² ad 121 digitos. Erat autem hæc pars resistentiæ in experimento primo ad pondus Globi lignei unciarum 57⁷/₂₂ ut 0,00227235V² ad 121: & inde fit resistentia Globi lignei ad resistentiam Globi plumbei (paribus eorum velocitatibus) ut 57⁷/₂₂ in 0,00227235 ad 26¼ in 0,000675, id est ut 130309 ad 17719 seu 7⅓ ad 1. Diametri Globorum duorum erant 6⅞ & 2 digitorum, & harum quadrata sunt ad invicem ut 47¼ & 4, seu 11¹³/₁₆ & 1 quamproxime. Ergo resistentiæ Page 345 Globorum æquivelocium erant in minore ratione quam duplicata diametrorum. At nondum consideravimus resistentiam fili, quæ certe permagna erat, ac de pendulorum inventa resistentia subduci debet. Hanc accurate definire non potui, sed majorem tamen inveni quam partem tertiam resistentiæ totius minoris penduli, & inde didici quod resistentiæ Globorum, dempta fili resistentia, sunt quamproxime in dimidiata ratione diametrorum. Nam ratio 7⅓ - ⅓ ad 1 - ⅓, id est 7 ad ⅔ seu 10½ ad 1, non longe abest a diametrorum ratione duplicata 11¹³/₁₆ ad 1.

Como la resistencia del hilo en los Globos mayores es de menor importancia, tenté también un experimento en un Globo cuyo diámetro era de 18¼ pulgadas. La longitud del péndulo entre el punto de suspensión y el centro de oscilación era de 122¾ pulgadas, y entre el punto de suspensión y el nodo en el hilo, de 109½ pulgadas. El arco descrito por el péndulo en el primer descenso desde el nodo fue de 32 pulgadas; el arco descrito en el último ascenso tras cinco oscilaciones desde el mismo nodo, de 28 pulgadas. La suma de los arcos, o arco total descrito en una oscilación mediocre, de 30 pulgadas. La diferencia de los arcos, de 4 pulgadas. Su décima parte, o la diferencia entre el descenso y el ascenso en la oscilación mediocre, ²/₅ pulgadas. Como el radio 109½ es al radio 122½, así el arco total de 60 pulgadas descrito por el Nodo en la oscilación mediocre es al arco total de 67⅛, descrito por el centro del Globo en la oscilación mediocre; y así la diferencia ²/₅ es a la nueva diferencia 0,4475. Si la longitud del péndulo, permaneciendo la longitud del arco descrito, se aumentara en la razón de 126 a 122½, su velocidad disminuiría en la razón semiduplicada de esta; y la diferencia entre los arcos descritos en el descenso y en el subsecuente ascenso, 0,4475, disminuiría en la razón de la velocidad, y por tanto vendría a ser 0,4412. Además, si el arco descrito se aumentara en la razón de 67⅛ a 124³/₃₁, dicha diferencia 0,4412 se aumentaría en esa razón duplicada, y por tanto vendría a ser 1,509. Así se comportarían las cosas, bajo la hipótesis de que la resistencia del Péndulo estuviera en razón duplicada de la velocidad. Por lo tanto, si el péndulo describiera un arco total de 124³/₃₁ pulgadas, y su longitud entre el punto de suspensión y el centro de oscilación fuera de 126 pulgadas, la diferencia Página 346 de los arcos descritos en el descenso y en el subsecuente ascenso sería de 1,509 pulgadas. Y esta diferencia multiplicada por el peso del Globo péndulo, que era de 208 onzas, produce 313,9. A su vez, cuando el péndulo superior, construido de un Globo de madera, cuyo centro de oscilación distaba 126 pulgadas del punto de suspensión, describía un arco total de 124³/₃₁ pulgadas, la diferencia de los arcos descritos en el descenso y en el ascenso fue de ¹²⁶/₁₂₁ por 8 ÷ 9⅔ o ²⁵/₂₉, la cual, multiplicada por el peso del Globo, que era de 57⁷/₂₂ onzas, produce 48,55. Multipliqué, empero, estas diferencias por los pesos de los Globos para hallar sus resistencias. Pues las diferencias provienen de las resistencias, y son como las resistencias directamente y los pesos inversamente. Son, por tanto, las resistencias como los números 313,9 y 48,55. Por otra parte, la parte de la resistencia del Globo menor que está en razón duplicada de la velocidad era a la resistencia total como 0,58172 a 0,63013, esto es, como 44,4 a 48,55; y la parte de la resistencia del Globo mayor se iguala poco más o menos a su resistencia total, y por tanto dichas partes son como 313,9 y 44,4 próximamente, esto es, como 7,07 a 1. Son, empero, los diámetros de los Globos 10¾ y 6⅞; y sus cuadrados 351½ y 47¹⁷/₆₄ son como 7,438 y 1, esto es, como las resistencias de los Globos 7,07 y 1 próximamente. La diferencia de las razones no es mayor que la que pudo originarse de la resistencia del hilo. Por tanto, aquellas partes de las resistencias que son (en Globos iguales) como los cuadrados de las velocidades, son también (con velocidades iguales) como los cuadrados de los diámetros de los Globos; y por lo tanto (por los Corolarios de la Prop. XL. de este Libro) la resistencia que los Globos mayores y más velociarios experimentan al moverse en el aire no puede disminuirse gran cosa mediante la división y sutilización infinita del aire, y por consiguiente todos los medios en los cuales los cuerpos experimentan mucha menos resistencia son más raros que el aire.

Cæterum Globorum, quibus usus sum in his experimentis, maximus non erat perfecte Sphæricus, & propterea in calculo hic allato minutias quasdam brevitatis gratia neglexi; de calculo accurato in experimento non satis accurato minime sollicitus. Optarim itaque (cum demonstratio vacui ex his dependeat) ut Page 347 experimenta cum Globis & pluribus & majoribus & magis accuratis tentarentur. Si Globi sumantur in proportione Geometrica, puta quorum diametri sint digitorum 4, 8, 16, 32; ex progressione experimentorum colligetur quid in Globis adhuc majoribus evenire debeat.

Jam vero conferendo resistentias diversorum fluidorum inter se tentavi sequentia. Arcam ligneam paravi longitudine pedum quatuor, latitudine & altitudine pedis unius. Hanc operculo nudatam implevi aqua fontana, fecique ut immersa pendula in medio aquæ oscillando moverentur.

Globus autem plumbeus pondere 166¹/₆ unciarum, diametro 3⅝ digitorum, movebatur ut in Tabula sequente descripsimus, existente videlicet longitudine penduli a puncto suspensionis ad punctum quoddam in filo notatum 126 digitorum, ad oscillationis autem centrum 134⅛ digitorum.

En el experimento de la cuarta columna, se perdieron movimientos iguales a 535 oscilaciones en el aire y a 1¹/₅ en el agua. Las oscilaciones en el aire eran, sin embargo, un poco más rápidas que en el agua, a saber, en la razón de 44 a 41. Pues 14⅔ oscilaciones en el agua y 13⅔ en el aire se realizaban al mismo tiempo.

Y por ello, si las oscilaciones en el agua se acelerasen en esa razón para que los movimientos de los péndulos en ambos medios fuesen veloces por igual, el número de oscilaciones 1¹/₅ en el agua, con las cuales se perdería el mismo movimiento que antes (debido a la resistencia aumentada en aquella razón duplicada y al tiempo disminuido en esa misma Page 348 razón simple), disminuiría en aquella misma razón de 44 a 41, y por tanto resultaría 1¹/₅ por ⁴¹/₄₄, o sea ¹²³/₁₁₀.

Siendo, pues, iguales las velocidades de los péndulos, se perdieron movimientos iguales a 535 oscilaciones en el aire y a ¹²³/₁₁₀ en el agua; y por ende la resistencia del péndulo en el agua es a su resistencia en el aire como 535 es a ¹²³/₁₁₀. Esta es la proporción de las resistencias totales en el caso de la cuarta columna.

Designet jam AV + CV² resistentiam Globi in aere cum velocitate V moventis, & cum velocitas maxima, in Casu columnæ, quartæ sit ad velocitatem maximam in casu columnæ primæ ut 1 ad 8, & resistentia in Casu columnæ quartæ ad resistentiam in Casu columnæ primæ in ratione arcuum differentiæ in his casibus, ad numeros oscillationum applicatæ, id est ut ²/₅₃₅ ad 16 ÷ 85½ seu ut 85½ ad 4280: scribamus in his Casibus 1 & 8 pro velocitatibus, atque 85½ & 4280 pro resistentiis, & fiet A + C = 85½ & 8A + 64C = 4280 seu A + 8C = 535, indeque per reductionem æquationum proveniet 7C = 449½ & C = 64³/₁₄ & A = 21²/₇; atque adeo resistentia ut 21²/₇V + 64³/₁₄V² quamproxime. Quare in Casu columnæ quartæ ubi velocitas erat 1, resistentia tota est ad partem suam quadrato velocitatis proportionalem, ut 21²/₇ + 64³/₁₄ seu 85½, ad 64³/₁₄; & idcirco resistentia penduli in aqua est ad resistentiæ partem illam in aere quæ quadrato velocitatis proportionalis est, quæque sola in motibus velocioribus consideranda venit, ut 85½ ad 64³/₁₄ & 535 ad ¹²³/₁₁₀ conjunctim, id est ut 637 ad 1. Si penduli in aqua oscillantis filum totum fuisset immersum, resistentia ejus fuisset adhuc major; adeo ut penduli in aere oscillantis resistentia illa quæ velocitatis quadrato proportionalis est, quæque sola in corporibus velocioribus consideranda venit, sit ad resistentiam ejusdem penduli totius, eadem cum velocitate in aqua oscillantis, ut 800 vel 900 ad 1 circiter, hoc est ut densitas aquæ ad densitatem aeris quamproxime.

En este cálculo debió también tomarse aquella parte de la resistencia del péndulo en el agua que fuera como el cuadrado de la velocidad, pero (lo que tal vez parezca Page 349 sorprendente) la resistencia en el agua aumentaba en una razón de la velocidad mayor que la duplicada.

Investigando la causa de este hecho, di con que la artesa era demasiado estrecha para el tamaño de la esfera del péndulo, y debido a su estrechez impedía demasiado el movimiento del agua que cedía. Pues si se sumergía la esfera pendular, cuyo diámetro era de una pulgada, la resistencia aumentaba casi exactamente en la razón duplicada de la velocidad.

Intentaba esto construyendo un péndulo de dos esferas, cuya inferior y menor oscilaba en el agua, mientras que la superior y mayor, fijada al hilo muy cerca de la superficie del agua y oscilando en el aire, ayudaría al movimiento del péndulo y lo haría más duradero.

Los experimentos realizados de este modo se comportaban tal como se describe en la tabla siguiente.

Resistentia hic nunquam augetur in ratione velocitatis plusquam duplicata. Et idem in pendulo majore evenire verisimile est, si modo Arca augeatur in ratione penduli.

Debebit tamen resistentia tam in aere quam in aqua, si velocitas per gradus in infinitum augeatur, augeri tandem in ratione paulo plusquam duplicata, propterea quod in experimentis hic descriptis resistentia minor est quam pro ratione de corporibus velocissimis in Libri hujus Prop. xxxvi & xxxviii. demonstrata.

Nam corpora longe velocissima spatium a tergo relinquent vacuum, ideoque resistentia quam sentiunt in partibus præcedentibus, nullatenus minuetur per pressionem Medii in partibus posticis.

Comparando las resistencias de los medios entre sí, hice también que péndulos de hierro oscilaran en azogue. La longitud del hilo de hierro era de casi tres pies, y el diámetro del globo pendular de casi la tercera parte de un dedo.

Al hilo, sin embargo, muy cerca por encima del mercurio, estaba fijado otro globo de plomo, bastante grande para continuar el movimiento del péndulo por más tiempo. Luego, una vasija pequeña, que contenía casi tres libras de azogue, la llenaba por turnos alternativos con azogue y agua común, para encontrar, oscilando el péndulo sucesivamente en uno y otro fluido, la proporción de las resistencias: y la resistencia del azogue a la resistencia del agua resultó ser como 13 o 14 a 1 aproximadamente; esto es, como la densidad del azogue a la densidad del agua. Cuando empleaba un globo pendular un poco mayor, por ejemplo, cuyo diámetro fuera de casi ½ o ⅔ partes de un dedo, la resistencia del azogue resultaba en esa razón respecto a la resistencia del agua que tiene el número 12 o 10 a 1 aproximadamente. Pero es más digno de confianza el experimento anterior, debido a que en estos últimos la vasija fue demasiado estrecha para la magnitud del globo sumergido. Ampliado el globo, debería ampliarse también la vasija.

Ciertamente había determinado repetir experimentos de este género en vasijas mayores y en líquidos tanto de metales fundidos como en otros ciertos, tanto calientes como fríos; pero no hay tiempo para probarlo todo, y de lo ya descrito resulta suficientemente claro que la resistencia de los cuerpos movidos con rapidez es próximamente proporcional a la densidad de los fluidos en que se mueven. No digo exactamente. Pues los fluidos más tenaces de igual densidad indudablemente resisten más que los más líquidos, como el aceite frío que el caliente, el caliente que el agua de lluvia, el agua que el espíritu de vino.

Pero en los líquidos que a los sentidos son bastante fluidos, como en el aire, en el agua ya dulce ya salada, en los espíritus de vino, de trementina y de sales, en el aceite liberado de heces por destilación y calentado, y en el aceite de vitriolo y mercurio, y en los metales licuados, y si hay cualesquiera otros que son tan fluidos que, agitados en vasijas, conservan por más tiempo el movimiento impreso, y derramados se resuelven muy libremente al descender en gotas, no dudo de que la regla aducida se cumple con bastante exactitud; sobre todo si los experimentos se instituyen en cuerpos pendulares tanto mayores como movidos con mayor velocidad.

Quare cum Globus aqueus in aere movendo resistentiam patiatur qua motus sui pars ¹/₃₂₆₁, interea dum longitudinem Page 351 semidiametri suæ describat (ut jam ante ostensum est) tollatur, sitque densitas aeris ad densitatem aquæ ut 800 vel 850 ad 1 circiter, consequens est ut hæc Regula generaliter obtineat. Si corpus quodlibet Sphæricum in Medio quocunque satis Fluido moveatur, & spectetur resistentiæ pars illa sola quæ est in duplicata ratione velocitatis, hæc pars erit ad vim quæ totum corporis motum, interea dum corpus idem longitudinem duarum ipsius semidiametrorum motu illo uniformiter continuato describat, vel tollere posset vel eundem generare, ut densitas Medii ad densitatem corporis quamproxime. Igitur resistentia quasi triplo major est quam pro lege in Corollario primo Propositionis xxxviii. allata; & propterea partes quasi duæ tertiæ motus illius omnis quem Globi partes anticæ movendo imprimunt in Medium, restituuntur in Globi partes posticas a Medio in orbem redeunte, inque spatium irruente quod Globus alias vacuum post se relinqueret. Unde si velocitas Globi eousque augeatur ut Medium non posset adeo celeriter in spatium illud irruere, quin aliquid vacui a tergo Globi semper relinquatur, resistentia tandem evadet quasi triplo major quam pro Regula generali novissime posita.

Hasta ahora nos hemos servido de experimentos con péndulos oscilantes, debido a que sus movimientos pueden observarse y medirse con mayor facilidad y precisión. Sin embargo, también tomé en cuenta el movimiento de los péndulos hechos girar en redondo y que al volver en órbita describen círculos, los cuales, por el hecho de ser uniformes y por ese motivo parecer mucho más aptos para investigar la resistencia correspondiente a una velocidad dada, me parecieron oportunos.

Pues haciendo que un péndulo lanzado circularmente diera doce vueltas, anoté las magnitudes de los dos círculos que describió en la primera y en la última revolución. Y de ahí deduje las velocidades del cuerpo al principio y al final. Luego, afirmando que el cuerpo, describiendo con velocidad media doce círculos medianos, perdería la diferencia de aquellas velocidades, deduje la resistencia con la cual esa diferencia pudo perderse en todo aquel recorrido del cuerpo a través de los doce círculos; y hallada la resistencia, aunque este género de experimentos resultó menos preciso al intentarlo, concordaba no obstante adecuadamente con los precedentes.

Denique cum receptissima Philosophorum ætatis hujus opinio sit, Medium quoddam æthereum & longe subtilissimum extare, quod omnes omnium corporum poros & meatus liberrime permeet; a tali autem Medio per corporum poros fluente resistentia oriri debeat: ut tentarem an resistentia, quam in motis corporibus experimur, tota sit in eorum externa superficie, an vero partes etiam internæ in superficiebus propriis resistentiam notabilem sentiant, excogitavi experimentum tale.

Filo pedum undecim longitudinis, ab unco chalybeo satis firmo, mediante annulo chalybeo, suspendebam pyxidem abiegnam rotundam, ad constituendum pendulum longitudinis prædictæ. Uncus sursum præacutus erat acie concava, ut annulus arcu suo superiore aciei innixus liberrime moveretur. Arcui autem inferiori annectebatur filum. Pendulum ita constitutum deducebam a perpendiculo ad distantiam quasi pedum sex, idque secundum planum aciei unci perpendiculare, ne annulus, oscillante Pendulo, supra aciem unci ultro citroque laberetur. Nam punctum suspensionis in quo annulus uncum tangit, immotum manere debet. Locum igitur accurate notabam, ad quem deduxeram pendulum, dein pendulo demisso notabam alia tria loca ad quæ redibat in fine oscillationis primæ, secundæ ac tertiæ. Hoc repetebam sæpius, ut loca illa quam potui accuratissime invenirem.

Tum pyxidem plumbo & gravioribus, quæ ad manus erant, metallis implebam. Sed prius ponderabam pyxidem vacuam, una cum parte fili quæ circum pyxidem volvebatur ac dimidio partis reliquæ quæ inter uncum & pyxidem pendulam tendebatur. (Nam filum tensum dimidio ponderis sui pendulum a perpendiculo digressum semper urget.) Huic ponderi addebam pondus aeris quam pyxis capiebat. Et pondus totum erat quasi pars septuagesima octava pyxidis metallorum plenæ.

Tum quoniam pyxis Metallorum plena, pondere suo tendendo filum, augebat longitudinem penduli, Page 353 contrahebam filum ut penduli jam oscillantis eadem esset longitudo ac prius. Dein pendulo ad locum primo notatum distracto ac dimisso, numerabam oscillationes quasi septuaginta & septem, donec pyxis ad locum secundo notatum rediret, totidemque subinde donec pyxis ad locum tertio notatum rediret, atque rursus totidem donec pyxis reditu suo attingeret locum quartum.

Unde concludo quod resistentia tota pyxidis plenæ non majorem habebat proportionem ad resistentiam pyxidis vacuæ quam 78 ad 77. Nam si æquales essent ambarum resistentiæ, pyxis plena ob vim suam insitam septuagies & octies majorem vi insita pyxidis vacui, motum suum oscillatorium tanto diutius conservare deberet, atque adeo completis semper oscillationibus 78 ad loca illa notata redire. Rediit autem ad eadem completis oscillationibus 77.

Designet igitur A resistentiam pyxidis in ipsius superficie externa, & B resistentiam pyxidis vacuæ in partibus internis; & si resistentiæ corporum æquivelocium in partibus internis sint ut materia, seu numerus particularum quæ resistuntur: erit 78B resistentia pyxidis plenæ in ipsius partibus internis: adeoque pyxidis vacuæ resistentia tota A + B erit ad pyxidis plenæ resistentiam totam A + 78B ut 77 ad 78, & divisim A + B ad 77B ut 77, ad 1, indeque A + B ad B ut 77 × 77 ad 1, & divisim A ad B ut 5928 ad 1.

Est igitur resistentia pyxidis vacuæ in partibus internis quinquies millies minor quam ejusdem resistentia in externa superficie, & amplius. Sic disputamus ex hypothesi quod major illa resistentia pyxidis plenæ oriatur ab actione Fluidi alicujus subtilis in Metallum inclusum. Ac causam longe aliam esse opinor. Nam tempora oscillationum pyxidis plenæ minora sunt quam tempora oscillationum pyxidis vacuæ, & propterea resistentia pyxidis plenæ in externa superficie major est, pro ipsius velocitate & longitudine spatii oscillando descripti, quam ea pyxidis vacuæ. Quod cum ita sit, resistentia pyxidum in partibus internis aut nulla erit aut plane insensibilis.

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Recité este experimento de memoria. Pues el papel en el que lo había descrito alguna vez se perdió. De ahí que me viera obligado a omitir ciertas partes rotas de los números que se me borraron de la memoria. Pues no tengo tiempo de ensayarlo todo de nuevo.

La primera vez, como había usado un gancho débil, la caja llena se frenaba más rápidamente. Al buscar la causa, descubrí que el gancho débil cedía al peso de la caja y, al someterse a sus oscilaciones, se flexionaba en todas direcciones. Preparé, por lo tanto, un gancho firme para que el punto de suspensión permaneciera inmóvil, y entonces todo ocurrió tal como lo hemos descrito más arriba.

Eadem methodo qua invenimus resistentiam corporum Sphæricorum in Aqua & argento vivo, inveniri potest resistentia corporum figurarum aliarum; & sic Navium figuræ variæ in Typis exiguis constructæ inter se conferri, ut quænam ad navigandum aptissimæ sint, sumptibus parvis tentetur.