De motu Circulari Fluidorum.

# Hipótesis.

*Resistentiam, quæ oritur ex defectu lubricitatis partium Fluidi, cæteris paribus, proportionalem esse velocitati, qua partes Fluidi separantur ab invicem.*

Prop. LI. Theor. XXXVIII.

* Si Cylindrus solidus infinitè longus in fluido uniformi & infinito circa axem positione datum uniformi cum motu revolvatur, & ab hujus impulsu solo agatur Fluidum in Orbem, perseveret autem fluidi pars unaquæque uniformiter in motu suo; dico quod tempora periodica partium fluidi sunt ut ipsarum distantiæ ab axe cylindri.

Sea AFL un cilindro que gira uniformemente alrededor de su eje S, y que por medio de círculos concéntricos BGM, CHN, DIO, EKP, etc., el fluido se divida en innumeros orbes cilíndricos concéntricos sólidos de un mismo espesor. Y puesto que el fluido es homogéneo, las impresiones hechas por los orbes contiguos entre sí serán (por hipótesis) como sus traducciones mutuas y las superficies contiguas en las que se hacen las impresiones. Si la impresión en un orbe cualquiera es mayor Page 374 o menor por la parte cóncava que por la convexa, prevalecerá la impresión más fuerte y acelerará o retardará el movimiento del orbe según esté dirigida hacia la misma región que su propio movimiento o hacia la contraria. Por consiguiente, para que cada uno de los orbes perseveres uniformemente en su movimiento, las impresiones por una y otra parte deben igualarse mutuamente y hacerse en regiones contrarias. De donde, puesto que las impresiones son como las superficies contiguas y las traducciones de estas entre sí, las traducciones serán inversamente proporcionales a las superficies, esto es, inversamente proporcionales a las distancias de las superficies desde el eje. Las diferencias de los movimientos angulares alrededor del eje son, además, como estas traducciones aplicadas a las distancias, o como las traducciones directa y las distancias inversamente; esto es (compuestas las razones), como los cuadrados de las distancias inversamente. Por tanto, si sobre las partes individuales de la línea recta infinita SABCDEQ se levantan perpendiculares Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, etc., recíprocamente proporcionales a los cuadrados de las mismas SA, SB, SC, SD, SE, etc., y se entiende que por los extremos de las perpendiculares se traza una línea curva hiperbólica; las sumas de las distancias, esto es, los movimientos angulares totales, serán como las sumas correspondientes de las líneas Aa, Bb, Cc, Dd, Ee: esto es, si para constituir un medio uniformemente fluido el número de orbes se aumenta y su anchura se disminuye hasta el infinito, las áreas hiperbólicas análogas a estas sumas AaQ, BbQ, CcQ, DdQ, EeQ, etc., y los tiempos recíprocamente proporcionales a los movimientos angulares, serán también recíprocamente proporcionales a estas áreas. El tiempo periódico de cualquier partícula D es, por tanto, recíprocamente como el área DdQ, esto es (por las cuadraturas conocidas de las curvas), directamente como la distancia SD.   Q. E. D.

Corol. 1. Hinc motus angulares particularum fluidi sunt reciprocè ut ipsarum distantiæ ab axe Cylindri, & velocitates absolutæ sunt æquales.

Corol. 2. Si fluidum in vase cylindrico longitudinis infinitæ contineantur, & cylindrum alium interiorem contineat, revolvatur autem cylindrus uterque circa axem communem, sintque revolutionum tempora ut ipsorum semidiametri, & perseveret fluidi pars unaquæque in motu suo: erunt partium singularum tempora periodica ut ipsarum distantiæ ab axe cylindrorum.

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Corol. 3. Si al cilindro y al fluido movidos de este modo se les añade o quita cualquier movimiento angular común; puesto que por este nuevo movimiento no se altera el mutuo atrito de las partes del fluido, no se alterarán los movimientos de las partes entre sí. Pues las translaciones de las partes entre sí dependen del atrito. Cualquier parte perseverará en aquel movimiento que, hecho el atrito a ambos lados en partes contrarias, no es más acelerado que retardado.

Corol. 4. Unde si toti cylindrorum & fluidi Systemati auferatur motus omnis angularis cylindri exterioris, habebitur motus fluidi in cylindro quiescente.

Corol. 5. Igitur si fluido & cylindro exteriore quiescentibus, revolvatur cylindrus interior uniformiter, communicabitur motus circularis fluido, & paulatim per totum fluidum propagabitur; nec prius desinet augeri quàm fluidi partes singulæ motum Corollario quarto definitum acquirant.

Corol. 6. Y puesto que el fluido intenta propagar su movimiento aún más ampliamente, por este ímpetu será hecho girar también el cilindro exterior a menos que sea detenido violentamente; y se acelerará su movimiento hasta que los tiempos periódicos de ambos cilindros se igualen entre sí. Pero si el cilindro exterior se detiene violentamente, este intentará retardar el movimiento del fluido, y a menos que el cilindro interior conserve dicho movimiento mediante alguna fuerza exteriormente impresa, hará que este último cese paulatinamente.

Todo lo cual se puede experimentar en agua profunda y estancada.

Prop. LII. Theor. XXXIX.

* Si Sphæra solida, in fluido uniformi & infinito, circa axem positione datum uniformi cum motu revolvatur, & ab hujus impulsu solo agatur fluidum in orbem; perseveret autem fluidi pars unaquæque uniformiter in motu suo: dico quod tempora periodica partium fluidi erunt ut quadrata distantiarum à centro Sphæræ. Fig. Prop. LI.

Cas. 1. Sea AFL una esfera movida uniformemente en torno a un eje S, y por medio de círculos concéntricos BGM, CHN, DIO, EKP, &c. Página 376, distíngase el fluido en innumerables orbes concéntricos de un mismo grosor. Imagínate además que dichos orbes son sólidos; y puesto que el fluido es homogéneo, las impresiones hechas recíprocamente por los orbes contiguos entre sí serán (por la Hipótesis) como sus traducciones mutuas y las superficies contiguas en las que se hacen las impresiones.

Si la impresión en un orbe cualquiera es mayor o menor por la parte cóncava que por la convexa, prevalecerá la impresión más fuerte, y acelerará o retardará la velocidad del Orbe, según que esté dirigida hacia la misma región que su propio movimiento o hacia la contraria. Por tanto, para que cada uno de los orbes persevere uniformemente en su movimiento, las impresiones por una y otra parte deberán igualarse mutuamente, y hacerse en regiones contrarias.

De donde, siendo las impresiones como las superficies contiguas y las traducciones de estas entre sí, las traducciones serán inversamente como las superficies, esto es, inversamente como los cuadrados de las distancias de las superficies al centro. Mas las diferencias de los movimientos angulares en torno al eje son como estas traducciones aplicadas a las distancias, o sea, como las traducciones directamente y las distancias inversamente; esto es (compuestas las razones), como los cubos de las distancias inversamente.

Por lo cual, si sobre las partes singulares de la recta infinita SABCDEQ se erigen perpendiculares Aa, Bb, Cc, Dd, Ee, &c. recíproquement proporcionales a los cubos de las mismas SA, SB, SC, SD, SE, &c., las sumas de las distancias, esto es, los movimientos totales angulares, serán como las sumas correspondientes de las líneas Aa, Bb, Cc, Dd, Ee: esto es (si para constituir un Medio uniformemente fluido, el número de Orbes se aumenta y la anchura se disminuye hasta el infinito) como las áreas Hiperbólicas análogas a estas sumas AaQ, BbQ, CcQ, DdQ, EeQ, &c.

Y los tiempos periódicos recíprocamente proporcionales a los movimientos angulares serán también recíprocamente proporcionales a estas áreas. Es, por tanto, el tiempo periódico de cualquier orbe DIO recíprocamente como el área DdQ, esto es (por las conocidas cuadraturas de las Curvas), directamente como el cuadrado de la distancia SD. Lo que quería demostrar primero.

Cas. 2. Desde el centro de la esfera sean trazadas infinitas líneas rectas, tantas como sea posible, que formen con el eje dados ángulos que se superen mutuamente en diferencias iguales; y, hechas girar estas rectas alrededor del eje, concibe que los orbes en Page 377 los anillos son cortados en número innumerable; y cada anillo tendrá cuatro anillos contiguos a sí, uno interior, otro exterior y dos laterales. Por la fricción del interior y del exterior, cada anillo no puede ser impulsado, sino en un movimiento hecho según la ley del primer caso, de manera igual y en partes contrarias. Esto es evidente por la demostración del primer caso. Y por ello cualquier serie de anillos que parta del globo hacia el infinito en línea recta se moverá según la ley del primer caso, a no ser en cuanto sea impedida por la fricción de los anillos en los laterales. Mas en el movimiento hecho por esta ley, la fricción de los anillos en los laterales es nula, por lo que no impedirá el movimiento para que este no tenga lugar según dicha ley. Si los anillos que equidistan del centro giraran más rápidamente o más lentamente cerca de los polos que cerca del ecuador, los más lentos serían acelerados y los más rápidos serían retardados por la fricción mutua, y así los tiempos periódicos tenderían siempre hacia la igualdad, según la ley del primer caso. Por consiguiente, esta fricción no impide que el movimiento tenga lugar según la ley del primer caso, y por ello prevalecerá dicha ley: esto es, los tiempos periódicos de los anillos singulares serán como los cuadrados de las distancias de estos desde el centro del globo. Lo que quise demostrar en segundo lugar.

Cas. 3. Divídase ahora un anillo cualquiera por secciones transversales en innumerables partículas que constituyen una sustancia absoluta y uniformemente fluida; y puesto que estas secciones no afectan a la ley del movimiento circular, sino que conducen únicamente a la constitución del fluido, el movimiento circular persistirá como antes. Estas secciones de los anillos, en extremo pequeños, o no cambiarán la aspereza y la fuerza de fricción mutua, o las cambiarán por igual. Y permaneciendo la proporción de las causas, permanecerá la proporción de los efectos, esto es, la proporción de los movimientos y de los tiempos periódicos.

Q. E. D.

Por lo demás, como el movimiento circular, y la fuerza centrífuga originada a partir de él, es mayor hacia la eclíptica que hacia los polos, deberá haber alguna causa por la cual las partículas individuales sean retenidas en sus círculos, para que la materia que está en la eclíptica no se aleje siempre del centro y, a través de las regiones exteriores del vórtice, migre hacia los polos, y desde allí, a través del eje, regrese a la eclíptica mediante una circulación perpetua.

Corol. 1. Hinc motus angulares partium fluidi circa axem globi sunt reciprocè ut quadrata distantiarum à centro globi, & velocitates Page 378 absolutæ reciprocè ut eadem quadrata applicata ad distantias ab axe.

Corol. 2. Si un globo en un fluido quieto, semejante e infinito, gira en torno a un eje de posición dada con un movimiento uniforme, el movimiento se comunicará al fluido a modo de Vórtice, y dicho movimiento se propagará gradualmente hasta el infinito; ni cesará de acelerarse en las distintas partes del fluido antes de que los tiempos periódicos de cada una de las partes sean como los cuadrados de las distancias al centro del globo.

Corol. 3. Quoniam Vorticis partes interiores ob majorem suam velocitatem atterunt & urgent exteriores, motumque ipsis ea actione perpetuò communicant, & exteriores illi eandem motus quantitatem in alios adhuc exteriores simul transferunt, eaque actione servant quantitatem motus sui planè invariatam; patet quod motus perpetuò transfertur à centro ad circumferentiam Vorticis, & per infinitatem circumferentiæ absorbetur. Materia inter sphæricas duas quasvis superficies Vortici concentricas nunquam accelerabitur, eò quod motum omnem à materia interiore acceptum transfert semper in exteriorem.

Corol. 4. Por consiguiente, para la conservación del Vórtice que se mueve constantemente en un mismo estado, se requiere algún principio activo del cual el globo reciba siempre la misma cantidad de movimiento que imprime en la materia del vórtice. Sin tal principio es necesario que el globo y las partes interiores del Vórtice, propagando siempre su movimiento a las exteriores, y sin recibir ningún movimiento nuevo, se adormezcan paulatinamente y dejen de ser movidos en círculo.

Corol. 5. Si un globo segundo nadase en este Vórtex a una cierta distancia desde su propio centro, y entretanto fuese hecho girar constantemente en torno a un eje de inclinación dada por alguna fuerza; por el movimiento de este sería arrastrado el fluido hacia el vórtex: y primeramente giraría este vórtex nuevo y pequeño juntamente con el globo en torno al centro del otro, y entretanto se extendería más ampliamente el movimiento de este, y paulatinamente se propagaría hasta el infinito, a la manera del primer vórtex. Y por la misma razón por la cual el globo de este sería arrastrado por el movimiento del otro vórtex, sería arrastrado también el globo del otro por el movimiento de este, de suerte que los dos globos girarían en torno a algún punto intermedio, y se huirían mutuamente a causa de aquel movimiento circular, a no ser que fuesen reprimidos por alguna fuerza. Después, si las fuerzas constantemente impresas, con las cuales los globos perseveran en sus movimientos, cesasen, y todas las cosas se permitieran a las leyes Mecánicas, languidecería paulatinamente el movimiento de los globos (por la razón asignada en el Corol. 3 y 4) y los vórtex al fin se calmarían.

Corol. 6. Si varios globos en lugares dados girasen constantemente alrededor de ejes de posición dada con velocidades ciertas, se formarían otros tantos vórtices que se extenderían hasta el infinito. Pues los globos individuales, por la misma razón que uno solo propaga su movimiento hasta el infinito, propagarán también sus movimientos hasta el infinito, de modo que cada parte del fluido infinito será agitada por aquel movimiento que resulta de las acciones de todos los globos. De donde los vórtices no estarán definidos por límites ciertos, sino que se extenderán gradualmente unos en otros; y los globos, por las acciones de los vórtices entre sí, se moverán perpetuamente de sus lugares; tal como se expuso en el Lema superior; ni conservarán entre sí posición cierta alguna, a menos que sean retenidos por alguna fuerza. Cesando, empero, aquellas fuerzas que, impresas constantemente en los globos, conservan estos movimientos, la materia, por la razón asignada en el Corolario tercero y cuarto, reposará gradualmente y dejará de ser agitada en vórtices.

Corol. 7. Si el fluido similar se cierra en un vaso esférico, y por la rotación uniforme de un globo que consiste en el centro se agita en un vórtice, y el globo y el vaso se revuelven hacia la misma parte alrededor del mismo eje, y sean sus tiempos periódicos como los cuadrados de los semideiámetros: las partes del fluido no perseverarán antes en sus movimientos sin aceleración y retardo, que sus tiempos periódicos sean como los cuadrados de las distancias desde el centro del vórtice. Ninguna otra constitución del vórtice puede ser permanente.

Corol. 8. Si vas, fluidum inclusum & globus servent hunc motum, & motu præterea communi angulari circa axem quemvis datum revolvantur; quoniam hoc motu novo non mutatur attritus partium fluidi in se invicem, non mutabuntur motus partium inter se. Nam translationes partium inter se pendent ab attritu. Pars quælibet in eo perseverabit motu, quo fit ut attritu ex uno latere non magis tardetur quàm acceleretur attritu ex altero.

Page 380

Corol. 9. Unde si vas quiescat ac detur motus globi, dabitur motus fluidi. Nam concipe planum transire per axem globi & motu contrario revolvi; & pone tempus revolutionis hujus esse ad summam hujus temporis & temporis revolutionis globi, ut quadratum semidiametri vasis ad quadratum semidiametri globi: & tempora periodica partium fluidi respectu plani hujus erunt ut quadrata distantiarum suarum à centro globi.

Corol. 10. Por lo tanto, si un vaso, ya sea alrededor del mismo eje que el globo, ya sea alrededor de algún otro diferente, se mueve con una velocidad cualquiera dada, se dará el movimiento del fluido. Pues si al Sistema entero se le quita el movimiento angular del vaso, permanecerán todos los movimientos iguales entre sí que antes, por el Corol. 8. Y dichos movimientos, por el Corol. 9., se darán.

Corol. 11. Si el vaso y el fluido están en reposo y el globo gira con un movimiento uniforme, el movimiento se propagará gradualmente por todo el fluido en el vaso, y el vaso será arrastrado en redondo a menos que se lo detenga violentamente, ni el fluido y el vaso dejarán de acelerarse antes de que sus tiempos periódicos sean iguales a los tiempos periódicos del globo.

Y si el vaso se detiene por alguna fuerza o gira con un movimiento cualquiera constante y uniforme, el Medio llegará gradualmente al estado de movimiento definido en los Corolarios 8, 9 y 10, ni persistirá jamás en ningún otro estado.

Además, si cesando aquellas fuerzas con las que el vaso y el globo giraban con ciertos movimientos, se deja todo el Sistema a las Leyes Mecánicas; el vaso y el globo actuarán el uno sobre el otro mediante el fluido, ni dejarán de propagar sus movimientos mutuamente a través del fluido antes de que sus tiempos periódicos se igualen entre sí, y todo el Sistema gire conjuntamente a la manera de un cuerpo sólido único.

# Escolio.

In his omnibus suppono fluidum ex materia quoad densitatem & fluiditatem uniformi constare. Tale est in quo globus idem eodem cum motu, in eodem temporis intervallo, motus similes & æquales, ad æquales semper à se distantias, ubivis in fluido constitutus, propagare possit.

Conatur quidem materia per motum suum Page 381 circularem recedere ab axe Vorticis, & propterea premit materiam omnem ulteriorem. Ex hac pressione fit attritus partium fortior & separatio ab invicem difficilior; & per consequens diminuitur materiæ fluiditas. Rursus si partes fluidi sunt alicubi crassiores seu majores, fluiditas ibi minor erit, ob pauciores superficies in quibus partes separentur ab invicem. In hujusmodi casibus deficientem fluiditatem vel lubricitate partium vel lentore aliave aliqua conditione restitui suppono. Hoc nisi fiat, materia ubi minùs fluida est magis cohærebit & segnior erit, adeoq; motum tardiùs recipiet & longiùs propagabit quàm pro ratione superiùs assignata.

Si figura vasis non sit Sphærica, movebuntur particulæ in lineis non circularibus sed conformibus eidem vasis figuræ, & tempora periodica erunt ut quadrata mediocrium distantiarum à centro quamproximè. In partibus inter centrum & circumferentiam, ubi latiora sunt spatia, tardiores erunt motus, ubi angustiora velociores; neque tamen particulæ velociores petent circumferentiam. Arcus enim describent minus curvos, & conatus recedendi à centro non minus diminuetur per decrementum hujus curvaturæ, quàm augebitur per incrementum velocitatis. Pergendo à spatiis angustioribus in latiora recedent paulò longiùs à centro, sed isto recessu tardescent; & accedendo postea de latioribus ad angustiora accelerabuntur, & sic per vices tardescent & accelerabuntur particulæ singulæ in perpetuum.

Hæc ita se habebunt in vase rigido. Nam in fluido infinito constitutio Vorticum innotescit per Propositionis hujus Corollarium sextum.

Proprietates autem Vorticum hac Propositione investigare conatus sum, ut pertentarem siqua ratione Phænomena cœlestia per Vortices explicari possint.

Nam Phænomenon est quod Planetarum circa Jovem revolventium tempora periodica sunt in ratione sesquialtera distantiarum à centro Jovis; & eadem Regula obtinet in Planetis qui circa Solem revolvuntur. Obtinent autem hæ Regulæ in Planetis utrisque quam accuratissimè, quatenus observationes Astronomicæ hactenus prodidêre.

Ideoq; si Planetæ illi à Vorticibus circa Jovem & Solem revolventibus deferantur, debebunt Page 382 etiam hi Vortices eadem lege revolvi. Verum tempora periodica partium Vorticis prodierunt in ratione duplicata distantiarum à centro motus: neque potest ratio illa diminui & ad rationem sesquialteram reduci, nisi vel materia vorticis eo fluidior sit quo longius distat à centro, vel resistentia, quæ oritur ex defectu lubricitatis partium fluidi, ex aucta velocitate qua partes fluidi separantur ab invicem, augeatur in majori ratione quàm ea est in qua velocitas augetur.

Quorum tamen neutrum rationi consentaneum videtur. Partes crassiores & minus fluidæ (nisi graves sint in centrum) circumferentiam petent; & verisimile est quod, etiamsi Demonstrationum gratia Hypothesin talem initio Sectionis hujus proposuerim ut Resistentia velocitati proportionalis esset, tamen Resistentia in minori sit ratione quàm ea velocitatis est.

Quo concesso tempora periodica partium Vorticis erunt in majori quàm duplicata ratione distantiarum ab ipsius centro. Quod si vortices (uti aliquorum est opinio) celeriùs moveantur prope centrum, dein tardiùs usque ad certum limitem, tum denuò celeriùs juxta circumferentiam; certè nec ratio sesquialtera neque alia quævis certa ac determinata obtinere potest. Viderint itaq; Philosophi quo pacto Phænomenon illud rationis sesquialteræ per Vortices explicari possit.

Prop. LIII. Theor. XL.

*Corpora quæ in Vortice delata in orbem redeunt ejusdem sunt densitatis cum Vortice, & eadem lege cum ipsius partibus (quoad velocitatem & cursus determinationem) moventur.*

Nam si vorticis pars aliqua exigua, cujus particulæ seu puncta physica datum servant situm inter se, congelari supponatur: hæc, quoniam neq; quoad densitatem suam, neque quoad vim insitam aut figuram suam mutatur, movebitur eadem lege ac prius: & contra, si Vorticis pars congelata & solida ejusdem sit densitatis cum reliquo vortice, & resolvatur in fluidum; movebitur hæc eadem lege ac prius, nisi quatenus ipsius particulæ jam fluidæ factæ moveantur inter se.

Negligatur igitur motus particularum inter se, Page 383 tanquam ad totius motum progressivum nil spectans, & motus totius idem erit ac prius. Motus autem idem erit cum motu aliarum Vorticis partium à centro æqualiter distantium, propterea quod solidum in Fluidum resolutum fit pars Vorticis cæteris partibus consimilis.

Ergo solidum, si sit ejusdem densitatis cum materia Vorticis, eodem motu cum ipsius partibus movebitur, in materia proximè ambiente relative quiescens. Sin densius sit, jam magis conabitur recedere à centro Vorticis quàm priùs; adeoq; Vorticis vim illam, qua priùs in Orbita sua tanquam in æquilibrio constitutum retinebatur, jam superans, recedet à centro & revolvendo describet Spiralem, non amplius in eundem Orbem rediens.

Et eodem argumento si rarius sit, accedet ad centrum. Igitur non redibit in eundem Orbem nisi sit ejusdem densitatis cum fluido. Eo autem in casu ostensum est, quod revolveretur eadem lege cum partibus fluidi à centro Vorticis æqualiter distantibus.

Q. E. D.

Corol. 1. Ergo solidum quod in Vortice revolvitur & in eundem Orbem semper redit, relativè quiescit in fluido cui innatat.

Corol. 2. Et si vortex sit quoad densitatem uniformis, corpus idem ad quamlibet à centro Vorticis distantiam revolvi potest.

# Escolio.

De aquí es evidente que los Planetas no son arrastrados por Vórtices corpóreos. Pues los Planetas, según la Hipótesis Copernicana, transportados alrededor del Sol, revolven en Elipses que tienen el foco en el Sol, y con radios trazados hacia el Sol describen áreas proporcionales a los tiempos. Mas las partes del Vórtice no pueden revolverse con tal movimiento.

Designen AD, BE, CF, tres órbitas descritas alrededor del Sol S, de las cuales la más externa CF sea un círculo concéntrico al Sol, y los Afelios de las dos interiores sean A, B, y los Perihelios D, E. Por lo tanto, un cuerpo que se revuelve en la órbita CF, describiendo con el radio trazado al Sol áreas proporcionales a los tiempos, se moverá con movimiento uniforme.

En cambio, el cuerpo que se revuelve en la Órbitas BE, se moverá más lentamente en el Afelio B y más rápidamente en el Perihelio C, según las leyes Astronómicas; aun cuando, según las leyes Mecánicas, la materia del Vórtice en el espacio más estrecho entre A y C deba moverse más rápidamente Page 400 que en el espacio más ancho entre D y F; esto es, en el Afelio más rápidamente que en el Perihelio. Ambas cosas se repugnan entre sí.

Así, al principio del Signo de Virgo, donde ya se encuentra el Afelio de Marte, la distancia entre las órbitas de Marte y Venus es a la distancia de esas mismas órbitas al principio del Signo de Piscis como tres a dos aproximadamente, y por tanto la materia del Vórtice entre aquellos Orbes al principio de Piscis debe ser más rápida que al principio de Virgo en razón de tres a dos. Pues cuanto más estrecho es el espacio por el cual la misma cantidad de Materia transita en el mismo tiempo de una revolución, con mayor velocidad debe transitar.

Por tanto, si la Tierra, reposando relativamente en esta Materia celeste, fuese arrastrada por ella y a la vez se revuelviera alrededor del Sol, la velocidad de esta al principio de Piscis respecto a la velocidad de la misma al principio de Virgo estaría en razón sesquiáltera. De donde el movimiento diurno aparente del Sol al principio de Virgo sería mayor de setenta minutos primeros, y al principio de Piscis menor de cuarenta y ocho minutos: cuando, sin embargo (testigo la experiencia), ese movimiento aparente del Sol es mayor al principio de Piscis que al principio de Virgo, y por tanto la Tierra es más rápida al principio de Virgo que al principio de Piscis.

Así pues, la Hipótesis de los Vórtices pugna por completo con los Fenómenos Astronómicos, y conduce no tanto a explicar como a perturbar los movimientos celestes. Con todo, cómo se llevan a cabo esos movimientos en los espacios libres sin Vórtices puede entenderse a partir del Libro primero, y se enseñará más plenamente en el Sistema del Mundo.

Página 401

De Mundi Systemate

# LIBER TERTIUS

En los libros precedentes he expuesto los principios de la Filosofía, no obstante, no filosóficos sino puramente matemáticos, a partir de los cuales, por supuesto, se puede disputar sobre asuntos filosóficos. Estas son las leyes y condiciones de los movimientos y de las fuerzas, las cuales atañen en sumo grado a la Filosofía. Las mismas, sin embargo, para que no parezcan estériles, las ilustré con ciertos Escolios filosóficos, tratando en ellos aquellas cosas que son generales y en las cuales la filosofía parece fundarse al máximo, tales como la densidad y la resistencia de los cuerpos, los espacios vacíos de cuerpos, y el movimiento de la Luz y de los Sonidos.

Resta que a partir de estos mismos principios enseñemos la constitución del Sistema del Mundo. Sobre este argumento había compuesto el Libro tercero en un método popular, para que fuese leído por la mayoría. Pero aquellos para quienes los Principios establecidos no hayan sido suficientemente comprendidos, esos percibirán en mínimo grado la fuerza de las consecuencias, ni depondrán los prejuicios a los que desde hace muchos años se han habituado; y por ello, para que el asunto no sea arrastrado a disputas, traduje el sumario de aquel libro a Proposiciones, al modo matemático, para que sean leídas solo por aquellos que hayan examinado antes los principios.

Sin embargo, puesto que allí ocurren muchísimas Proposiciones que pueden causar una demora excesiva incluso a los lectores doctos en Matemáticas, no quiero ser autor de que cualquiera las examine todas; bastará con que cualquiera lea con esmero las Definiciones, las Leyes de los movimientos y las tres primeras secciones del Libro primero, pase después a este Libro sobre el Sistema del Mundo, y consulte a voluntad las demás Proposiciones de los libros anteriores aquí citadas.

Page 402

# HIPÓTESIS.

Hypoth. I. Causas rerum naturalium non plures admitti debere, quàm quæ & vera sint & earum Phænomenis explicandis sufficiunt.

Natura enim simplex est & rerum causis superfluis non luxuriat.

Hypoth. II.

Ideoque effectuum naturalium ejusdem generis eædem sunt causæ.

Uti respirationis in Homine & in Bestia; descensus lapidum in Europa & in America; Lucis in Igne culinari & in Sole; reflexionis lucis in Terra & in Planetis.

Hypoth. III. Corpus omne in alterius cujuscunque generis corpus transformari posse, & qualitatum gradus omnes intermedios sucessivè induere.

Hypoth. IV. Centrum Systematis Mundani quiescere.

Esto es concedido por todos, mientras que unos sostienen que la Tierra y otros que el Sol descansa en el centro.

Hypoth. V.

Planetas circumjoviales, radiis ad centrum Jovis ductis, areas describere temporibus proportionales, eorumque tempora periodica esse in ratione sesquialtera distantiarum ab ipsius centro.

Constat ex observationibus Astronomicis. Orbes horum Planetarum non differunt sensibiliter à circulis Jovi concentricis, & motus eorum in his circulis uniformes deprehenduntur.

Tempora verò periodica esse in sesquialtera semidiametrorum orbium consentiunt Astronomici: & Flamstedius, qui omnia Micrometro & per Eclipses Satellitum accuratius definivit, literis ad me datis, quinetiam numeris suis mecum communicatis, significavit rationem illam sesquialteram tam accuratè obtinere, quàm sit possibile sensu deprehendere.

Id quòd ex Tabula sequente manifestum est.

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Tiempos periódicos de los satélites.

• 1d. 18h. 28′³/₅.
• 3d. 13h. 17′⁹/₁₀.
• 7d. 3h. 59′³/₅.
• 16d. 18h. 5′¹/₅.

Distancia de los satélites al centro de Júpiter.

Hipoth. VI.

Planetas quinque primarios Mercurium, Venerem, Martem, Jovem & Saturnum Orbibus suis Solem cingere.

Que Mercurio y Venus giran en torno al Sol se demuestra por sus fases lunares:

• Brillando con faz llena, están situados más allá del Sol;
• semillenos desde la región del Sol;
• falcados de este lado del Sol;
• y a veces transitando a través de su disco a modo de manchas.

Por la faz también llena de Marte cerca de la conjunción con el Sol, y gibosa en las cuadraturas, es seguro que este orbita alrededor del Sol. Asimismo, de Júpiter y de Saturno se demuestra lo mismo por sus fases siempre llenas.

Hypoth. VII.

Planetarum quinque primariorum, & (vel Solis circa Terram vel) Terræ circa Solem tempora periodica esse in ratione sesquialtera mediocrium distantiarum à Sole.

Hæc à Keplero inventa ratio in confesso est apud omnes. Eadem utique sunt tempora periodica, eædemq; orbium dimensiones, sive Planetæ circa Terram, sive iidem circa Solem revolvantur.

Ac de mensura quidem temporum periodicorum convenit inter Astronomos universos. Magnitudines autem Orbium Keplerus & Bullialdus omnium diligentissimè ex Observationibus determinaverunt: & distantiæ mediocres, quæ temporibus periodicis respondent, non Page 404 differunt sensibiliter à distantiis quas illi invenerunt, suntque inter ipsas ut plurimum intermediæ; uti in Tabula sequente videre licet.

Distancias medias de los planetas y de la Tierra al Sol.

De distantiis Mercurii & Veneris à Sole disputandi non est locus, cum hæ per eorum Elongationes à Sole determinentur. De distantiis etiam superiorum Planetarum à Sole tollitur omnis disputatio per Eclipses Satellitum Jovis.

Etenim per Eclipses illas determinatur positio umbræ quam Jupiter projicit, & eo nomine habetur Jovis longitudo Heliocentrica. Ex longitudinibus autem Heliocentrica & Geocentrica inter se collatis determinatur distantia Jovis.

Hypoth. VIII. Planetas primarios radiis ad Terram ductis areas describere temporibus minimè proportionales; at radiis ad Solem ductis areas temporibus proportionales percurrere.

Nam respectu terræ nunc progrediuntur, nunc stationarii sunt, nunc etiam regrediuntur: At Solis respectu semper progrediuntur, idque propemodum uniformi cum motu, sed paulo celerius tamen in Periheliis ac tardius in Apheliis, sic ut arearum æquabilis sit descriptio.

Propositio est Astronomis notissima, & in Jove apprimè demonstratur per Eclipses Satellitum, quibus Eclipsibus Heliocentricas Planetæ hujus longitudines & distantias à Sole determinari diximus.

Hypoth. IX.

Lunam radio ad centrum terræ ducto aream tempori proportionalem describere.

Patet ex Lunæ motu apparente cum ipsius diametro apparente collato.

Perturbatur autem motus Lunaris aliquantulum à vi Solis, sed errorum insensibiles minutias Physicis in hisce Hypothesibus negligo.

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Prop. I. Theor. I.

* Vires, quibus Planetæ circumjoviales perpetuo retrahuntur à motibus rectilineis & in orbibus suis retinentur, respicere centrum Jovis, & esse reciproce ut quadrata distantiarum locorum ab eodem centro.

La primera parte de la proposición es evidente por la Hipótesis V y la Proposición II o III del Libro I, y la segunda parte por la Hipótesis V y el Corolario 6 de la Proposición IV del mismo Libro.

Prop. II. Theor. II.

* Vires, quibus Planetæ primarii perpetuo retrahuntur à motibus rectilineis, & in Orbibus suis retinentur, respicere Solem, & esse reciproce ut quadrata distantiarum ab ipsius centro.

Patet pars prior Propositionis per Hypoth. VIII. & Prop. II. Lib. I. & pars posterior per Hypoth. VII. & Prop. IV. ejusdem Libri.

Accuratissimè autem demonstratur hæc pars Propositionis per quietem Apheliorum. Nam aberratio quam minima à ratione duplicata (per Corol. 1. Prop. XLV. Lib. I.) motum Apsidum in singulis revolutionibus notabilem, in pluribus enormem efficere deberet.

Prop. III. Theor. III.

* Vim qua Luna retinetur in Orbe suo respicere terram, & esse reciprocò ut quadratum distantiæ locorum ab ipsius centro.

La primera parte de la aseveración es evidente por la Hipótesis IX y la Proposición II o III del Libro I, y la posterior por el movimiento tardísimo del Apogeo lunar. Pues ese movimiento, que en cada revolución es de solo tres grados en su sentido consecuente, puede desprenderse.

Consta, en efecto, por el Corolario 1 de la Proposición XLV del Libro I, que si la distancia de la Luna al centro de la Tierra Page 406 se llama D, la fuerza de la cual se origina tal movimiento sea recíprocamente como D^24/₂₄₃, esto es, recíprocamente como aquella potencia de la misma D cuyo índice es 2⁴/₂₄₃, esto es, en razón de la distancia un poco mayor que la duplicata inversa, pero que a partes 60¾ se acerca más a la duplicata que a la triplicata.

Mas tan pequeño acercamiento es merecidamente despreciable. Pero se origina por la acción del Sol (como se dirá más adelante) y por tanto debe negligirse aquí. Resta, pues, que aquella fuerza que mira hacia la Tierra sea recíprocamente como D²; lo cual constará también más plenamente comparando esta fuerza con la fuerza de la gravedad, como se hace en la Proposición siguiente.

Prop. IV. Theor. IV.

*Que la Luna gravita hacia la tierra, y por la fuerza de la gravedad es apartada siempre del* *movimiento rectilíneo, y retenida en su órbita.*

La distancia media de la Luna al centro de la Tierra es de semidiámetros terrestres, según la mayoría de los astrónomos 59, según Vendelino 60, según Copérnico 60⅓, según Kircher 62½, y según Tijon 56½. Mas Tijon, y cuantos siguen sus Tabulas de refracciones, al establecer las refracciones del Sol y de la Luna (totalmente contra la naturaleza de la Luz) mayores que las de las fijas, y ello en unos cuatro o cinco minutos, aumentaron el Paralaje de la Luna en otros tantos minutos, esto es, en casi la duodécima o décima quinta parte del paralaje total. Corríjase este error, y la distancia resultará de casi 61 semidiametros terrestres, casi como ha sido asignada por otros.

Asumamos que la distancia media es de sesenta semidiametros; y que el período lunar respecto a las fijas se completa en 27 días, 7 horas, 43 minutos primeros, como lo establecen los astrónomos; y que el perímetro de la Tierra es de 123249600 pies parisinos, tal como ha sido definido recientemente por los franceses que lo midieron: y si se finge que la Luna es privada de todo movimiento, y dejada caer para que, urgida por toda aquella fuerza con que es retenida en su órbita, descienda a la tierra; esta, al caer en el espacio de un minuto primero, describirá 15¹/₁₂ pies parisinos.

Se colige Page 407 esto del cálculo, efectuado ya sea por la Proposición XXXVI del Libro primero, o (lo que viene a ser lo mismo) por el Escolio de la Proposición cuarta del mismo Libro. De donde, puesto que dicha fuerza, al acercarse a la tierra, aumenta en razón duplicada inversa de la distancia, y por tanto en la superficie de la Tierra es mayor 60 × 60 veces que en la Luna, el cuerpo, al caer por dicha fuerza en nuestras regiones, debería describir en el espacio de un minuto uno primero 60 × 60 × 15¹/₁₂ pies parisinos, y en el espacio de un minuto uno segundo 15¹/₁₂ pies.

Y sin embargo, los cuerpos en nuestras regiones, al caer por la fuerza de gravedad, describen en el tiempo de un minuto uno segundo 15¹/₁₂ pies parisinos, como lo demostró Huygens, hechos los experimentos de los péndulos y el cómputo iniciado a partir de ellos; y por tanto la fuerza con que la Luna es retenida en su órbita es esa misma que nosotros solemos llamar gravedad. Pues si la gravedad es diferente de ella, los cuerpos, buscando la Tierra con ambas fuerzas conjuntas, descenderán el doble de rápido, y al caer en el espacio de un minuto uno segundo describirán 30¹/₆ pies parisinos: totalmente en contra de la experiencia.

El cálculo aquí se funda en la hipótesis de que la Tierra está en reposo. Pues si la Tierra y la Luna se mueven alrededor del Sol, y entretanto también giran alrededor del centro de gravedad común: la distancia entre los centros de la Luna y de la Tierra será de 60½ semidiámetros terrestres; como aparecerá a quien emprenda el cálculo (por la Prop. LX. del Lib. I.).

Prop. V. Theor. V.

* Planetas circumjoviales gravitare in Jovem, & circumsolares in Solem, & vi gravitatis suæ retrahi semper à motibus rectilineis, & in orbibus curvilineis retineri.

Nam revolutiones Planetarum circumjovialium circa Jovem, & Mercurii ac Veneris reliquorumque circumsolarium circa Solem sunt Phænomena ejusdem generis cum revolutione Lunæ circa Terram; & propterea per Hypoth. II. à causis ejusdem generis dependent: præsertim cùm demonstratum sit quod vires, à quibus revolutiones illæ dependent, respiciant centra Jovis ac Solis, & Page 408 recedendo à Jove & Sole decrescant eadem ratione ac lege, qua vis gravitatis decrescit in recessu à Terra.

Corol. 1. Igitur gravitas datur in Planetas universos. Nam Venerem, Mercurium cæterosque esse corpora ejusdem generis cum Jove nemo dubitat. Certe Planeta Hugenianus, eodem argumento quo Satellites Jovis gravitant in Jovem, gravis est in Saturnum. Et cum attractio omnis (per motus legem tertiam) mutua sit, Saturnus vicissim gravitabit in Planetam Hugenianum. Eodem argumento Jupiter in Satellites suos omnes, Terraque in Lunam, & Sol in Planetas omnes primarios gravitabit.

Corol. 2. Gravitatem, quæ Planetam unumquemque respicit, esse reciprocè ut quadratum distantiæ locorum ab ipsius centro.

Prop. VI. Theor. VI.

*Que todos los cuerpos gravitan hacia los planetas singulares, y que los pesos de estos hacia cualquier planeta dado, a distancias iguales desde el centro del planeta, son proporcionales a la cantidad de materia en cada uno.*

Descensus gravium omnium in Terram (dempta saltem inæquali retardatione quæ ex Aeris perexigua resistentia oritur) æqualibus temporibus fieri jamdudum observarunt alii; & accuratissimè quidem notare licet æqualitatem temporum in Pendulis. Rem tentavi in auro, argento, plumbo, vitro, arena, sale communi, ligno, aqua, tritico. Comparabam pixides duas ligneas rotundas & æquales. Unam implebam ligno, & idem auri pondus suspendebam (quàm potui exactè) in alterius centro oscillationis. Pixides ab æqualibus pedum undecim filis pendentes constituebant Pendula, quoad pondus, figuram & aeris resistentia omnino paria: Et paribus oscillationibus juxta positæ ibant unà & redibant diutissime. Proinde copia materiæ in auro (per Corol. 1. & 6. Prop. XXIV. Lib. II.) erat ad copiam materiæ in ligno, ut vis motricis actio in totum aurum ad ejusdem actionem in totum lignum; hoc Page 409 est ut pondus ad pondus. Et sit in cæteris. In corporibus ejusdem ponderis differentia materiæ, quæ vel minor esset quàm pars millesima materiæ totius, his experimentis manifestò deprehendi potuit. Jam verò naturam gravitatis in Planetas eandem esse atque in Terram non est dubium. Elevari enim fingantur corpora hæc Terrestria ad usque Orbem Lunæ, & una cum Lunâ motu omni privata demitti, ut in Terram simul cadant; & per jam ante ostensa certum est quod temporibus æqualibus describent æqualia Spatia cum Luna, adeoque quod sunt ad quantitatem materiæ in Luna, ut pondera sua ad ipsius pondus. Porrò quoniam Satellites Jovis temporibus revolvuntur quæ sunt in ratione sesquialtera distantiarum a centro Jovis, erunt eorum gravitates acceleratrices in Jovem reciprocè ut quadrata distantiarum à centro Jovis; & propterea in æqualibus à Jove distantiis eorum gravitates acceleratrices evaderent æquales. Proinde temporibus æqualibus ab æqualibus altitudinibus cadendo describerent æqualia Spatia, perinde ut fit in gravibus, in hac Terra nostra. Et eodem argumento Planetæ circumsolares ab æqualibus à Sole distantiis dimissi, descensu suo in Solem æqualibus temporibus æqualia spatia describerent. Vires autem, quibus corpora inæqualia æqualiter accelerantur, sunt ut corpora; hoc est pondera ut quantitates materiæ in Planetis. Porrò Jovis & ejus Satellitum pondera in Solem proportionalia esse quantitatibus materiæ eorum, patet ex motu Satellitum quam maxime regulari; per Corol. 3. Prop. LXV. Lib. I. Nam si horum aliqui magis traherentur in Solem pro quantitate materiæ suæ quàm cæteri, motus Satellitum (per Corol. 2. Prop. LXV. Lib. I.) ex inæqualitate attractionis perturbarentur. Si (paribus à Sole distantiis) Satelles aliquis gravior esset in Solem pro quantitate materiæ suæ, quam Jupiter pro quantitate materiæ suæ, in ratione quacunque data, puta d ad e: distantia inter centrum Solis & centrum Orbis Satellitis major semper foret quam distantia inter centrum Solis & centrum Jovis in ratione dimidiata quam proximè; uti calculis quibusdam initis inveni. Et si Satelles minus gravis esset in Solem in ratione illa d ad e, distantia Page 410 centri Orbis Satellitis à Sole minor foret quàm distantia centri Jovis à Sole in ratione illa dimidiata. Igitur si in æqualibus à Sole distantiis, gravitas acceleratrix Satellitis cujusvis in Solem major esset vel minor quàm gravitas acceleratrix Jovis in Solem, parte tantum millesima gravitatis totius; foret distantia centri Orbis Satellitis à Sole major vel minor quàm distantia Jovis à Sole parte ¹/₂₆₀₀ distantiæ totius, id est parte quinta distantiæ Satellitis extimi à centro Jovis: Quæ quidem Orbis excentricitas foret valde sensibilis. Sed Orbes Satellitum sunt Jovi concentrici, & propterea gravitates acceleratrices Jovis & Satellitum in Solem æquantur inter se. Et eodem argumento pondera Saturni & Comitis ejus in Solem, in æqualibus à Sole distantiis, sunt ut quantitates materiæ in ipsis: Et pondera Lunæ ac Terræ in Solem vel nulla sunt, vel earum massis accuratè proportionalia.

Quinetiam pondera partium singularum Planetæ cujusque in alium quemcunque sunt inter se ut materia in partibus singulis. Nam si partes aliquæ plus gravitarent, aliæ minus, quàm pro quantitate materiæ, Planeta totus, pro genere partium quibus maximè abundet, gravitaret magis vel minus quàm pro quantitate materiæ totius.

Sed nec refert utrum partes illæ externæ sint vel internæ. Nam si verbi gratia corpora Terrestria, quæ apud nos sunt, in Orbem Lunæ elevari fingantur, & conferantur cum corpore Lunæ: Si horum pondera essent ad pondera partium externarum Lunæ ut quantitates materiæ in iisdem, ad pondera verò partium internarum in majori vel minori ratione, forent eadem ad pondus Lunæ totius in majori vel minori ratione: contra quam supra ostensum est.

Corol. 1. Hinc pondera corporum non pendent ab eorum formis & texturis. Nam si cum formis variari possent, forent majora vel minora pro varietate formarum in æquali materia; omninò contra experientiam.

Corol. 2. Igitur corpora universa quæ circa Terram sunt, gravia sunt in Terram; & pondera omnium, quæ æqualiter à centro Terræ distant, sunt ut quantitates materiæ in iisdem.

Nam si æther Page 411 aut corpus aliud quodcunque vel gravitate omnino destitueretur vel pro quantitate materiæ suæ minus gravitaret, quoniam id non differt ab aliis corporibus nisi in forma materiæ, posset idem per mutationem formæ gradatim transmutari in corpus ejusdem conditionis cum iis quæ pro quantitate materiæ quam maximè gravitant, (per Hypoth. III.) & vicissim corpora maxime gravia, formam illius gradatim induendo, possent gravitatem suam gradatim amittere. Ac proinde pondera penderent à formis corporum, possentque cum formis variari, contra quam probatum est in Corollario superiore.

Corol. 3. Itaque Vacuum necessariò datur. Nam si spatia omnia plena essent, gravitas specifica fluidi quo regio aeris impleretur, ob summam densitatem materiæ, nil cederet gravitati specificæ argenti vivi, vel auri, vel corporis alterius cujuscunque densissimi; & propterea nec aurum neque aliud quodcunque corpus in aere descendere posset. Nam corpora in fluidis, nisi specificè graviora sint, minimè descendunt.

Corol. 4. Que la gravedad es de diferente género que la fuerza magnética. Pues la atracción magnética no es como la materia atraída. Unos cuerpos son más atraídos, otros menos, y la mayoría no son atraídos. Y la fuerza magnética es mucho mayor en proporción a la cantidad de materia que la fuerza de gravedad; mas también en un mismo cuerpo puede intensificarse y remitir; y al alejarse del imán decrece en razón de la distancia mayor que duplicada, por la Prop. LXXXV. del Lib. I.; debido a que la fuerza es mucho más fuerte en el contacto que cuando los cuerpos atractivos se separan por mínima que sea el uno del otro.

# Prop. VII. Theor. VII.

*Gravitatem in corpora universa fieri, eamque proportionalem esse quantitati materiæ in singulis.*

Ya hemos probado antes que todos los planetas pesan mutuamente unos hacia otros, y que la gravedad hacia cada uno de ellos considerado por separado es recíprocamente proporcional al cuadrado de la distancia de los lugares desde el centro del planeta. Y de ahí se sigue (por la Prop. LXIX, Lib. I y sus corolarios) que la gravedad hacia todos ellos es proporcional a la materia en los mismos.

Porro cum Planetæ cujusvis A partes omnes graves sint in Planetam quemvis B, & gravitas partis cujusque sit ad gravitatem totius, ut materia partis ad materiam totius, & actioni omni reactio (per motus Legem tertiam) æqualis sit; Planeta B in partes omnes Planetæ A vicissim gravitabit, & erit gravitas sua in partem unamquamque ad gravitatem suam in totum, ut materia partis ad materiam totius. Q. E. D.

Corol. 1. Ocurre, por tanto, y se compone la gravedad hacia el Planeta entero a partir de la gravedad hacia las partes singulares. Tenemos ejemplos de este hecho en las atracciones magnéticas y eléctricas. En efecto, toda atracción hacia el todo surge de las atracciones hacia las partes singulares. El asunto se comprenderá en la gravedad concebiendo que varios planetas menores se unen en un solo Globo y componen un planeta mayor. Pues la fuerza del todo deberá surgir de las fuerzas de las partes componentes. Si alguien objeta que todos los cuerpos que están entre nosotros deberían gravitar mutuamente entre sí según esta ley, no obstante lo cual no se siente en absoluto una gravedad de tal índole: respondo que la gravedad hacia estos cuerpos, como es a la gravedad hacia la Tierra entera como estos cuerpos son a la Tierra entera, es mucho menor que la que pueda sentirse.

Corol. 2. Gravitatio in singulas corporis particulas æquales est reciprocè ut quadratum distantiæ locorum à particulis. Patet per Corol. 3. Prop. LXXIV. Lib. I.

Prop. VIII. Theor. VIII.

* Si Globorum duorum in se mutuò gravitantium materia undique, in regionibus quæ à centris æqualiter distant, homogenea sit: erit pondus Globi alterutrius in alterum reciprocè ut quadratum distantiæ inter centra.

Postquam invenissem gravitatem in Planetam totum oriri & componi ex gravitatibus in partes; & esse in partes singulas reciprocè Page 413 proportionalem quadratis distantiarum à partibus: dubitabam an reciproca illa proportio duplicata obtineret accuratè in vi tota ex viribus pluribus composita, an verò quam proximè. Nam fieri posset ut proportio illa in majoribus distantiis satis obtineret, at prope superficiem Planetæ, ob inæquales particularum distantias & situs dissimiles, notabiliter erraret. Tandem verò, per Prop. LXXV. Libri primi & ipsius Corollaria, intellexi veritatem Propositionis de qua hic agitur.

Corol. 1. Hinc inveniri & inter se comparari possunt pondera corporum in diversos Planetas. Nam pondera corporum æqualium circum Planetas in circulis revolventium sunt (per Prop. IV. Lib. I.) ut diametri circulorum directè & quadrata temporum periodicorum inversè; & pondera ad superficies Planetarum aliasve quasvis à centro distantias majora sunt vel minora (per hanc Propositionem) in duplicata ratione distantiarum inversa.

Sic ex temporibus periodicis Veneris circa Solem dierum 224⅔, Satellitis extimi circumjovialis circa Jovem dierum 16¾, Satellitis Hugeniani circa Saturnum dierum 15 & horarum 22⅔, & Lunæ circa Terram 27 dier. 7 hor. 43 min. collatis cum distantia mediocri Veneris à Sole; cum Elongatione maxima Heliocentrica Satellitis extimi circumjovialis, quæ (in mediocri Jovis à Sole distantia juxta observationes Flamstedii) est 8′. 13″; cum elongatione maximæ Heliocentrica Satellitis Saturnii 3′. 20″; & cum distantia Lunæ à Terra, ex Hypothesi quod Solis parallaxis horizontalis seu semidiameter Terræ è Sole visæ sit quasi 20″; calculum ineundo inveni quod corporum æqualium & à Sole, Jove, Saturno ac Terra æqualiter distantium pondera in Solem, Jovem, Saturnum ac Terram forent ad invicem ut 1, ¹/₁₁₀₀, ¹/₂₃₆₀ & ¹/₂₈₇₀₀ respectivè.

Est autem Solis semidiameter mediocris apparens quasi 16′. 6″. Illam Jovis è Sole visam Flamstedius, ex umbræ Jovialis diametro per Eclipses Satellitum inventa, determinavit esse ad elongationem Satellitis extimi ut 1 ad 24,9 adeoque cum elongatio illa sit 8′. 13″ semidiameter Jovis è Sole visi erit 19″¾. Diameter Saturni Page 414 est ad diametrum Annuli ejus ut 4 ad 9, & diameter annuli è Sole visi (mensurante Flamstedio) 50″, adeoque semidiameter Saturnie è Sole visi 11″. Malim dicere 10″ vel 9″, propterea quod globus Saturni per lucis inæqualem refrangibilitatem nonnihil dilatatur.

Hinc inito calculo prodeunt veræ Solis, Jovis, Saturni ac Terræ semidiametri ad invicem ut 10000, 1063, 889, & 208. Unde cum pondera æqualium corporum à centris Solis, Jovis, Saturni ac Telluris æqualiter distantium sint in Solem, Jovem, Saturnum ac Terram ut 1, ¹/₁₁₀₀, ¹/₂₃₆₀, ¹/₂₈₇₀₀ respective, & auctis vel diminutis distantiis diminuuntur vel augentur pondera in duplicata ratione; erunt pondera eorundem æqualium corporum in Solem, Jovem, Saturnum & Terram, in distantiis 10000, 1063, 889 & 208 ab eorum centris, atque adeo in eorum superficiebus versantium, ut 10000, 804½, 536 & 805½ respectivè. Pondera corporum in superficie Lunæ ferè duplo minora esse quam pondera corporum in superficie Terræ dicemus in sequentibus.

Corol. 2. Igitur pondera corporum æqualium, in superficiebus Terræ & Planetarum, sunt fere in ratione dimidiata diametrorum apparentium è Sole visarum. De Terræ quidem diametro è Sole visa nondum constat. Hanc assumpsi 40″, propterea quod observationes Kepleri, Riccioli & Vendelini non multo majorem esse permittunt; eam Horroxii & Flamstedii observationes paulo minorem adstruere videntur. Et malui in excessu peccare. Quòd si fortè diameter illa & gravitas in superficie Terræ mediocris sit inter diametros Planetarum & gravitatem in eorum superficiebus: quoniam Saturni, Jovis, Martis, Veneris & Mercurii è Sole visorum diametri sunt 18″, 39″½, 8″, 28″, 20″ circiter, erit diameter Terræ quasi 24″, adeoque Parallaxis Solis quasi 12″, ut Horroxius & Flamstedius propemodum statuere. Sed diameter paulo major melius congruit cum Regula hujus Corollarii.

Corol. 3. Innotescit etiam quantitas materiæ in Planetis singulis. Nam quantitates illæ sunt ut Planetarum Vires in distantiis à se æqualibus; id est in Sole, Jove, Saturno ac Terra ut 1, Page 415 ¹/₁₁₀₀, ¹/₂₃₆₀, ¹/₂₈₇₀₀ respectivè. Si Parallaxis Solis statuatur minor quam 20″, debebit quantitas materiæ in Terra diminui in triplicata ratione.

Corol. 4. Innotescunt etiam densitates Planetarum. Nam corporum æqualium & homogeneorum pondera in Sphæras homogeneas in superficiebus Sphærarum, sunt ut Sphærarum diametri per Prop. LXXII. Lib. I. ideoque Sphærarum heterogenearum densitates sunt ut pondera applicata ad diametros. Erant autem veræ Solis, Saturni, Jovis ac Terræ diametri ad invicem ut 10000, 889, 1063 & 208, & pondera in eosdem ut 10000, 536, 804½ & 805½, & propterea densitates sunt ut 100, 60, 76, 387. Densitas autem Terræ, quæ hic colligitur, non pendet à Parallaxi Solis, sed determinatur per parallaxin Lunæ, & propterea hic recte definitur. Est igitur Sol paulo densior quàm Jupiter, & Terra multo densior quàm Sol.

Corol. 5. Planetarum autem densitates inter se fere sunt in ratione composita ex ratione distantiarum à Sole & ratione dimidiata diametrorum apparentium è Sole visarum. Nempe Saturni, Jovis, Terræ & Lunæ densitates 60, 76, 387 & 700, fere sunt ut distantiarum reciproca ¹/₉₅₃₈, ¹/₅₂₀₁, ¹/₁₀₀₀ & ¹/₁₀₀₀, ducta in radices diametrorum apparentium 18″, 39″½, 40″, & 11″. Diximus utique, in Corollario secundo, gravitatem ad superficies Planetarum esse quam proximè in ratione dimidiata apparentium diametrorum è Sole visarum; & in Lemmate quarto densitates esse ut gravitates illæ applicatæ ad diametros veras: ideoque densitates fere sunt ut radices diametrorum apparentium applicatæ ad diametros veras, hoc est reciproce ut distantiæ Planetarum à Sole ductæ in radices diametrorum apparentium.

Collocavit igitur Deus Planetas in diversas distantiis à Sole, ut quilibet pro gradu densitatis calore Solis majore vel minore fruatur. Aqua nostra, si Terra locaretur in orbe Saturne, rigesceret, si in orbe Mercurii in vapores statim abiret. Nam lux Solis, cui calor proportionalis est, septuplo densior est in orbe Mercurii quàm apud nos; & Page 416 Thermometro expertus sum quod septuplo Solis æstivi calore aqua ebullit. Dubium verò non est quin materia Mercurii ad calorem accommodetur, & propterea densior sit hac nostra; cum materia omnis densior ad operationes Naturales obeundas majorem calorem requirat.

Prop. IX. Theor. IX.

*Gravitatem pergendo à superficiebus Planetarum deorsum decrescere in ratione distantiarum à centro quam proximè.*

Si materia Planetæ quoad densitatem uniformis esset, obtineret hæc Propositio accuratè: per Prop. LXXIII. Lib. I. Error igitur tantus est, quantus ab inæquabili densitate oriri possit.

Prop. X. Theor. X.

*Motus Planetarum in Cœlis diutissimè conservari posse.*

En el Escolio de la Proposición XL del Libro II, se ha demostrado que un globo de agua congelada en nuestro aire, moviéndose libremente y describiendo una longitud igual a su semidiámetro, perdería por la resistencia del aire la ¹/₃₂₀₀ parte de su movimiento.

Mas la misma proporción se cumple con gran aproximación (por la Prop. XL del Libro II) en globos de cualquier tamaño y velocidad.

Ahora bien, deduzco que el globo de nuestra Tierra es más denso que si estuviera compuesto enteramente de agua del modo siguiente. Si este globo fuera enteramente acuoso, cualquier cuerpo más ligero que el agua, debido a su menor gravedad específica, emergería y flotaría en la superficie. Y por esta razón, el globo terrestre, cubierto de aguas por todas partes, si fuera menos ligero que el agua, emergería en alguna parte, y toda el agua que fluyera desde allí se acumularía en la región opuesta. Y la misma es la razón para nuestra Tierra, rodeada en gran parte por mares. Si esta no fuera más densa, emergería de los mares, y una parte de ella, proporcional al grado de su ligereza, sobresaldría del agua, confluyendo todos los mares en la Página 417 región opuesta.

Por el mismo argumento, las manchas solares son más ligeras que la materia lúcida solar sobre la que flotan. Y en cualquier formación de los planetas, toda la materia más pesada, en el tiempo en que toda la masa era fluida, tendía hacia el centro. De donde, siendo la tierra común superficial casi dos veces más pesada que el agua, y hallándose un poco más abajo en las minas casi tres, cuatro o incluso cinco veces más pesada, es verosímil que la cantidad de toda la materia en la Tierra sea casi cinco o seis veces mayor que si estuviera compuesta enteramente de agua; sobre todo habiéndose ya demostrado antes que la Tierra es casi cinco veces más densa que Júpiter.

Por tanto, si Júpiter fuera un poco más denso que el agua, este, en el espacio de veintiún días, en los que describe una longitud de 320 semidiametros suyos, perdería casi la décima parte de su movimiento en un medio de la misma densidad que nuestro aire. Pero como la resistencia de los medios disminuye en razón del peso y de la densidad —de modo que el agua, que es 13⅔ veces más ligera que el mercurio, ofrece menos resistencia en la misma proporción; y el aire, que es 800 veces más ligero que el agua, ofrece menos resistencia en la misma proporción—, si se asciende a los cielos donde el peso del medio en que se mueven los planetas disminuye inmensamente, la resistencia cesará casi por completo.

# Prop. XI. Theor. XI.

* Commune centrum gravitatis Terræ Solis & Planetarum omnium quiescere.

Nam centrum illud (per Legum Corol. 4.) vel quiescet vel progredietur uniformiter in directum. Sed centro illo semper progrediente, centrum Mundi quoque movebitur contra Hypothesin quartam.

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Prop. XII. Theor. XII.

*Solem motu perpetuo agitari sed nunquam longe recedere à communi gravitatis centro Planetarum omnium.*

Nam cum, per Corol. 3. Prop. VIII. materia in Sole sit ad materiam in Jove ut 1100 ad 1, & distantia Jovis à Sole sit ad semidiametrum Solis in eadem ratione circiter; commune centrum gravitatis Jovis & Solis incidet fere in superficiem Solis.

Eodem argumento cùm materia in Sole sit ad materiam in Saturno ut 2360 ad 1, & distantia Saturni à Sole sit ad semidiametrum Solis in ratione paulo minori: incidet commune centrum gravitatis Saturni & Solis in punctum paulo infra superficiem Solis.

Et ejusdem calculi vestigiis insistendo si Terra & Planetæ omnes ex una Solis parte consisterent, commune omnium centrum gravitatis vix integra Solis diametro à centro Solis distaret. Aliis in casibus distantia centrorum semper minor est. Et propterea cum centrum illud gravitatis perpetuo quiescit, Sol pro vario Planetarum situ in omnes partes movebitur, sed à centro illo nunquam longe recedet.

Corol. Hinc commune gravitatis centrum Terræ, Solis & Planetarum omnium pro centro Mundi habendum est. Nam cùm Terra, Sol & Planetæ omnes gravitent in se mutuò, & propterea, pro vi gravitatis suæ, secundum leges motûs perpetuò agitentur: perspicuum est quod horum centra mobilia pro Mundi centro quiescente haberi nequeunt. Si corpus illud in centro locandum esset in quod corpora omnia maximè gravitant (uti vulgi est opinio) privilegium istud concedendum esset Soli. Cum autem Sol moveatur, eligendum erit punctum quiescens, à quo centrum Solis quam minimè discedit, & à quo idem adhuc minus discederet, si modò Sol densior esset & major, ut minus moveretur.

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### Prop. XIII. Theor. XIII.

*Planetæ moventur in Ellipsibus umbilicum habentibus in centro Solis, & radiis ad centrum illud ductis areas describunt temporibus proportionales.*

Disputavimus supra de his motibus ex Phænomenis. Jam cognitis motuum principiis, ex his colligimus motus cœlestes à priori.

Quoniam pondera Planetarum in Solem sunt reciprocè ut quadrata distantiarum à centro Solis; si Sol quiesceret & Planetæ reliqui non agerent in se mutuò, forent orbes eorum Elliptici, Solem in umbilico communi habentes, & areæ describerentur temporibus proportionales (per Prop. I. & XI, & Corol. 1. Prop. XIII. Lib. I.)

Actiones autem Planetarum in se mutùo perexiguæ sunt (ut possint contemni) & motus Planetarum in Ellipsibus circa Solem mobilem minus perturbant (per Prop. LXVI. Lib. I.) quàm si motus isti circa Solem quiescentem peragerentur.

Actio quidem Jovis in Saturnum non est omnino contemnenda. Nam gravitas in Jovem est ad gravitatem in Solem (paribus distantiis) ut 1 ad 1100; adeoque in conjunctione Jovis & Saturni, quoniam distantia Saturni à Jove est ad distantiam Saturni à Sole fere ut 4 ad 9, erit gravitas Saturni in Jovem ad gravitatem Saturni in Solem ut 81 ad 16 × 1100 seu 1 ad 217 circiter.

Error tamen omnis in motu Saturni circa Solem, à tanta in Jovem gravitate oriundus, evitari fere potest constituendo umbilicum Orbis Saturni in communi centro gravitatis Jovis & Solis (per Prop. LXVII. Lib. I.) & propterea ubi maximus est vix superat minutos duos primos.

In conjunctione autem Jovis & Saturni gravitates acceleratrices Solis in Saturnum, Jovis in Saturnum & Jovis in Solem sunt fere ut 16, 81 & {16 × 81 × 2360} ÷ 25 seu 122342, adeoque differentia gravitatum Solis in Saturnum & Jovis in Saturnum est ad gravitatem Jovis in Solem ut 65 ad 122342 seu 1 ad 1867.

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Huic autem differentiæ proportionalis est maxima Saturni efficacia ad perturbandum motum Jovis, & propterea perturbatio orbis Jovialis longe minor est quàm ea Saturnii. Reliquorum orbium perturbationes sunt adhuc longe minores.

Prop. XIV. Theor. XIV.

*Orbium Aphelia & Nodi quiescunt.*

Aphelia quiescunt, per Prop. XI. Lib. I. ut & orbium plana, per ejusdem Libri Prop. I. & quiescentibus planis quiescunt Nodi. Attamen à Planetarum revolventium & Cometarum actionibus in se invicem orientur inæqualitates aliquæ, sed quæ ob parvitatem contemni possunt.

Corol. 1. Quiescunt etiam Stellæ fixæ, propterea quod datas ad Aphelia Nodosque positiones servant.

Corol. 2. Ideoque cum nulla sit earum parallaxis sensibilis ex Terræ motu annuo oriunda, vires earum ob immensam corporum distantiam nullos edent sensibiles effectus in regione Systematis nostri.

Prop. XV. Theor. XV.

*Hallar los diámetros transversos de los orbes.*

Estas deben tomarse en la razón sesquiáltera de los tiempos periódicos por la Prop. XV. del Lib. I., y luego aumentarse una por una en la razón de la suma de las masas del Sol y de cada planeta que gira respecto a la primera de las dos medias proporcionales entre dicha suma y el Sol, por la Prop. LX. del Lib. I.

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Prop. XVI. Prob. I.

*Invenire Orbium Excentricitates & Aphelia.*

Problema confit per Prop. XVIII. Lib. I.

### Prop. XVII. Theor. XVI.

*Planetarum motus diurnos uniformes esse, & librationem Lunæ ex ipsius motu diurno oriri.*

Patet per motus Legem I, & Corol. 22. Prop. LXVI. Lib. I.

Quoniam verò Lunæ, circa axem suum uniformiter revolventis, dies menstruus est; hujus facies eadem ulteriorem umbilicum orbis ipsius semper respiciet, & propterea pro situ umbilici illius deviabit hinc inde à Terra. Hæc est libratio in longitudinem.

Nam libratio in latitudinem orta est ex inclinatione axis Lunaris ad planum orbis. Porrò hæc ita se habere, ex Phænomenis manifestum est.

Prop. XVIII. Theor. XVII.

* Axes Planetarum dimetris quæ ad eosdem axes normaliter ducuntur minores esse.

Los planetas, suprimido todo movimiento circular diurno, debieran asumir una figura esférica, debido a la gravedad uniforme de sus partes en todas direcciones. Por ese movimiento circular sucede que las partes que se alejan del eje intentan ascender hacia el ecuador. Y, por tanto, si la materia es fluida, con su ascenso hacia el ecuador aumentará los diámetros, y en verdad disminuirá el eje con su descenso hacia los polos.

Así, el diámetro de Júpiter (concordantes las observaciones de Cassini y Flamsteed) se halla que es menor entre los polos que de oriente a occidente. Por el mismo argumento, a menos que nuestra Tierra Page 422 fuera un poco más alta bajo el ecuador que en los polos, los mares descenderían en los polos y, al ascender junto al ecuador, lo inundarían todo allí.

Prop. XIX. Prob. II.

*Invenire proportionem axis Planetæ ad diametros eidem perpendiculares.*

Ad hujus Problematis solutionem requiritur computatio multiplex, quæ facilius exemplis quàm præceptis addiscitur.

Inito igitur calculo invenio, per Prop. IV. Lib. I. quod vis centrifuga partium Terræ sub æquatore, ex motu diurno oriunda, sit ad vim gravitatis ut 1 ad 290⁴/₅. Unde si APBQ figuram Terræ designet revolutione Ellipseos circa axem minorem PQ genitam; sitque ACQqca canalis aquæ plena, à polo Qq ad centrum Cc, & inde ad æquatorem Aa pergens: debebit pondus aquæ in canalis crure ACca esse ad pondus aquæ in crure altero QCcq ut 291 ad 290, eò quòd vis centrifuga ex circulari motu orta partem unam è ponderis partibus 291 sustinebit & detrahet, & pondus 290 in altero crure sustinebit partes reliquas.

Porrò (ex Propositionis XCI. Corollario secundo, Lib. I.) computationem ineundo, invenio quod si Terra constaret ex uniformi materia, motuque omni privaretur, & esset ejus axis PQ ad diametrum AB ut 100 ad 101: gravitas in loco Q in Terram, foret ad gravitatem in eodem loco Q sphæram centro C radio PC vel QC descriptam, ut 126²/₁₅ ad 125²/₁₅.

Et eodem argumento gravitas in loco A in Sphæroidem, convolutione Ellipseos APBQ circa axem AB descriptam, est ad gravitatem in eodem loco A in Sphæram centro C radio AC descriptam, ut 125²/₁₅ ad 126²/₁₅. Est autem gravitas in loco A in Terram, media proportionalis inter gravitates in dictam Sphæroidem & Sphæram, propterea quod Page 423 Sphæra, diminuendo diametrum PQ in ratione 101 ad 100, vertitur in figuram Terræ; & hæc figura diminuendo in eadem ratione diametrum tertiam, quæ diametris duabus AP, PQ perpendicularis est, vertitur in dictam Sphæroidem, & gravitas in A, in casu utroque, diminuitur in eadem ratione quam proximè.

Est igitur gravitas in A in Sphæram centro C radio AC descriptam, ad gravitatem in A in Terram ut 126 ad 125½, & gravitas in loco Q in Sphæram centro C radio QC descriptam, est ad gravitatem in loco A in Sphæram centro C radio AC descriptam, in ratione diametrorum (per Prop. LXXII. Lib. I.) id est ut 100 ad 101: Conjungantur jam hæ tres rationes, 126²/₁₅ ad 125²/₁₅, 125½ ad 126 & 100 ad 101 & fiet gravitas in loco Q in Terram ad gravitatem in loco A in Terram, ut 126 × 126 × 100 ad 125 × 125½ × 101, seu ut 501 ad 500.

Jam cum per Corol. 3. Prop. XCI. Lib. I. gravitas in canalis crure utrovis ACca vel QCcq sit ut distantia locorum à centro Terræ; si crura illa superficiebus transversis & æquidistantibus distinguantur in partes totis proportionales, erunt pondera partium singularum in crure ACca ad pondera partium totidem in crure altero, ut magnitudines & gravitates acceleratrices conjunctim; id est ut 101 ad 100 & 500 ad 501, hoc est ut 505 ad 501. Ac proinde si vis centrifuga partis cujusque in crure ACca ex motu diurno oriunda, fuisset ad pondus partis ejusdem ut 4 ad 505, eò ut de pondere partis cujusque, in partes 505 diviso, partes quatuor detraheret; manerent pondera in utroque crure æqualia, & propterea fluidum consisteret in æquilibrio. Verum vis centrifuga partis cujusque est ad pondus ejusdem ut 1 ad 290. Hoc est, vis centripeta quæ deberet esse ponderis pars ⁴/₅₀₅ est tantum pars ¹/₂₉₀, & propterea dico, secundum Regulam auream, quod si vis centrifuga ⁴/₅₀₅ faciat ut altitudo aquæ in crure ACca superet altitudin aquæ in crure QCcq parte centesima totius altitudinis: vis centrifuga ¹/₂₉₀ faciet ut excessus altitudinis in crure ACca sit altitudinis in crure altero QCcq pars tantum ³/₆₈₉. Est igitur diameter Terræ secundum æquatorem Page 424 ad ipsius diametrum per polos ut 692 ad 689. Ideoque cùm Terræ semidiameter mediocris, juxta nuperam Gallorum mensuram, sit pedum Parisiensium 19615800 seu milliarium 3923 (posito quod milliare sit mensura pedum 5000;) Terra altior erit ad æquatorem quàm ad polos, excessu pedum 85200 seu milliarium 17.

Si Planeta vel major sit vel densior, minorve aut rarior quàm Terra, manente tempore periodico revolutionis diurnæ, manebit proportio vis centrifugæ ad gravitatem, & propterea manebit etiam proportio diametri inter polos ad diametrum secundum æquatorem. At si motus diurnus in ratione quacunque acceleretur vel retardetur, augebitur vel minuetur vis centrifuga in duplicata illa ratione, & propterea differentia diametrorum augebitur in eadem duplicata ratione.

Unde cum Terra respectu fixarum revolvatur horis 23, 56′ Jupiter autem horis 9, 56′, sintque temporum quadrata ut 29 ad 5, differentia diametrorum Jovis erit ad ipsius diametrum minorem ut {29 × 3} ÷ {5 × 689} ad 1, seu 1 ad 39³/₅. Est igitur diameter Jovis ab oriente in occidentem ducta, ad ipsius diametrum inter polos ut 40³/₅ ad 39³/₅ quam proximè.

Hæc ita se habent ex Hypothesi quod uniformis sit Planetarum materia. Nam si materia densior sit ad centrum quàm ad circumferentiam, diameter, quæ ab oriente in occidentem ducitur, erit adhuc major.

Prop. XX. Prob. III.

*Invenire & inter se comparare pondera corporum in regionibus diversis.*

Quoniam pondera inæqualium crurum canalis aqueæ ACQqca æqualia sunt; & pondera partium, cruribus totis proportionalium & similiter in totis sitarum, sunt ad invicem ut pondera totorum, adeoque etiam æquantur inter se; erunt pondera æqualium & in cruribus similiter sitarum partium reciprocè ut crura, id est reciprocè ut 692 ad 689. Et par est ratio homogeneorum & æqualium quorumvis & in canalis cruribus similiter sitorum corporum. Horum Page 425 pondera sunt reciprocè ut crura, id est reciprocè ut distantiæ corporum à centro Terræ. Proinde si corpora in supremis canalium partibus, sive in superficie Terræ consistant; erunt pondera eorum ad invicem reciprocè ut distantiæ eorum à centro. Et eodem argumento pondera, in aliis quibuscunque per totam Terræ superficiem regionibus, sunt reciprocè ut distantiæ locorum à centro; & propterea, ex Hypothesi quod Terra Sphærois sit, dantur proportione.

Unde tale confit Theorema, quod incrementum ponderis, pergendo ab Æquatore ad Polos, sit quam proximè ut Sinus versus latitudinis duplicatæ, vel quod perinde est ut quadratum Sinus recti Latitudinis. Exempli gratia, Latitudo Lutetiæ Parisiorum est 48 gr. 45′: Ea Insulæ Goree prope Cape Verde 14 gr. 15′: ea Cayennæ ad littus Guianæ quasi 5 gr. ea locorum sub Polo 90 gr. Duplorum 97½ gr. 28½ gr. 10 gr. & 180 gr. Sinus versi sunt 11305, 1211, 152, & 20000. Proinde cum gravitas in Polo sit ad gravitatem sub Æquatore ut 692 ad 689, & excessus ille gravitatis sub Polo ad gravitatem sub Æquatore ut 3 ad 689; erit excessus gravitatis Lutetiæ, in Insula Goree & Cayennæ, ad gravitatem sub æquatore ut {3 × 11305} ÷ 20000, {3 × 1211} ÷ 20000 & {3 × 152} ÷ 20000 ad 689, seu 33915, 3633, & 456 ad 13780000, & propterea gravitates totæ in his locis erunt ad invicem ut 13813915, 13783633, 13780456, & 13780000. Quare cum longitudines Pendulorum æqualibus temporibus oscillantium sint ut gravitates, & Lutetiæ Parisiorum longitudo penduli singulis minutis secundis oscillantis sit pedum trium Parisiensium & ¹⁷/₂₄ partium digiti; longitudines Pendulorum in Insulâ Goree, in illâ Cayennæ & sub Æquatore, minutis singulis secundis oscillantium superabuntur à longitudine Penduli Parisiensis excessibus ⁸¹/₁₀₀₀, ⁸⁹/₁₀₀₀ & ⁹⁰/₁₀₀₀ partium digiti. Hæc omnia ita se habebunt, ex Hypothesi quod Terra ex uniformi materia constat. Nam si materia ad centrum paulò densior sit quàm ad superficiem, excessus illi erunt paulò majores; propterea quod, si materia ad centrum redundans, qua densitas ibi major redditur, subducatur & seorsim spectetur, gravitas in Terram reliquam uniformiter densam erit Page 426 reciprocè ut distantia ponderis à centro; in materiam verò redundantem reciprocè ut quadratum distantiæ à materia illa quam proximè. Gravitas igitur sub æquatore minor erit in materiam illam redundantem quàm pro computo superiore, & propterea Terra ibi propter defectum gravitatis paulò altius ascendet quàm in præcedentibus definitum est. Jam verò Galli factis experimentis invenerunt quod Pendulorum minutis singulis secundis oscillantium longitudo Parisiis major sit quàm in Insula Goree, parte decima digiti, & major quàm Cayennæ parte octava. Paulò majores sunt hæ differentiæ quam differentiæ ⁸¹/₁₀₀₀ & ⁸⁹/₁₀₀₀ quæ per computationem superiorem prodiere: & propterea (si crassis hisce Observationibus satìs confidendum sit) Terra aliquanto altior erit sub æquatore quàm per superiore calculo, & densior ad centrum quàm in fodinis prope superficiem. Si excessus gravitatis in locis hisce Borealibus supra gravitatem ad æquatorem, experimentis majori cum diligentia institutis, accuratè tandem determinetur, deinde excessus ejus ubique sumatur in ratione Sinus versi latitudinis duplicatæ; determinabitur tum Mensura Universalis, tum Æquatio temporis per æqualia pendula in locis diversis indicati, tum etiam proportio diametrorum Terræ ac densitas ejus ad centrum; ex Hypothesi quod densitas illa, pergendo ad circumferentiam, uniformiter decrescat. Quæ quidem Hypothesis, licet accurata non sit, ad ineundum tamen calculum assumi potest.

Prop. XXI. Theor. XVIII.

*Puncta Æquinoctialia regredi, & axem Terræ singulis revolutionibus nutando bis inclinari in Eclipticam & bis redire ad positionem priorem.*

Patet per Corol. 20. Prop. LXVI. Lib. I. Motus tamen iste nutandi perexiguus esse debet, & vix aut ne vix quidem sensibilis.

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# Prop. XXII. Theor. XIX.

* Motus omnes Lunares, omnesque motuum inæqualitates ex allatis Principiis consequi.

Planetas majores, interea dum circa Solem feruntur, posse alios minores circum se revolventes Planetas deferre, & minores illos in Ellipsibus, umbilicos in centris majorum habentibus, revolvi debere patet per Prop. LXV. Lib. I. Actione autem Solis perturbabuntur eorum motus multimode, iisque adficientur inæqualitatibus quæ in Luna nostra notantur. Hæc utique (per Corol. 2, 3, 4, & 5 Prop. LXVI.) velocius movetur, ac radio ad Terram ducto describit aream pro tempore majorem, orbemque habet minus curvam, atque adeò propius accedit ad Terram, in Syzygiis quàm in Quadraturis, nisi quatenus impedit motus Excentricitatis. Excentricitas enim maxima est (per Corol. 9. Prop. LXVI.) ubi Apogæum Lunæ in Syzygiis versatur, & minima ubi idem in Quadraturis consistit; & inde Luna in Perigæo velocior est & nobis propior, in Apogæo autem tardior & remotior in Syzygiis quàm in Quadraturis. Progreditur insuper Apogæum, & regrediuntur Nodi, sed motu inæquabili. Et Apogæum quidem (per Corol. 7 & 8 Prop. LXVI.) velocius progreditur in Syzygiis suis, tardius regreditur in Quadraturis, & excessu progressus supra regressum annuatim fertur in consequentia. Nodi autem (per Corol. 11. Prop. LXVI.) quiescunt in Syzygiis suis, & velocissimè regrediuntur in Quadraturis. Sed & major est Lunæ latitudo maxima in ipsius Quadraturis (per Corol. 10. Prop. LXVI.) quàm in Syzygiis: & motus medius velocior in Perihelio Terræ (per Corol. 6. Prop. LXVI.) quàm in ipsius Aphelio. Atque hæ sunt inæqualitates insigniores ab Astronomis notatæ.

Exstant etiam aliæ quædam nondum observatæ inæqualitates, quibus motus Lunares adeò perturbantur, ut nulla hactenus lege ad Page 428 Regulam aliquam certam reduci potuerint.

Velocitates enim seu motus horarii Apogæi & Nodorum Lunæ, & eorundem æquationes, ut & differentia inter excentricitatem maximam in Syzygiis & minimam in Quadraturis, & inæqualitas quæ Variatio dicitur, augentur ac diminuuntur annuatim (per Corol. 14. Prop. LXVI.) in triplicata ratione diametri apparentis Solaris.

Et Variatio præterea augetur vel diminuitur in duplicata ratione temporis inter quadraturas quam proximè (per Corol. 1 & 2. Lem. X. & Corol. 16. Prop. LXVI. Lib. I.) Sed hæc inæqualitas in calculo Astronomico, ad Prostaphæresin Lunæ referri solet, & cum ea confundi.

Prop. XXIII. Prob. IV.

* Motus inæquales Satellitum Jovis & Saturni à motibus Lunaribus derivare.

Ex motibus Lunæ nostræ motus analogi Lunarum seu Satellitum Jovis sic derivantur.

Motus medius Nodorum Satellitis extimi Jovialis est ad motum medium Nodorum Lunæ nostræ, in ratione composita ex ratione duplicata temporis periodici Terræ circa Solem ad tempus periodicum Jovis circa Solem, & ratione simplici temporis periodici Satellitis circa Jovem ad tempus periodicum Jovis circa Solem, & ratione simplici temporis periodici Satellitis circa Jovem ad tempus periodicum Lunæ circa Terram: (per Corol. 16. Prop. LXVI.) adeoque annis centum conficit Nodus iste 9 gr. 34′. in antecedentia.

Motus medii Nodorum Satellitum interiorum sunt ad motum hujus, ut illorum tempora periodica ad tempus periodicum hujus, per idem Corollarium, & inde dantur.

Motus autem Augis Satellitis cujusque in consequentia est ad motum Nodorum ipsius in antecedentia ut motus Apogæi Lunæ nostræ ad hujus motum Nodorum (per idem Corol.) & inde datur. Diminui tamen debet motus Augis sic inventus in ratione 5 ad 9 vel 1 ad 2 circiter, ob causam quam hic exponere non vacat.

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Æquationes maximæ Nodorum & Augis Satellitis cujusque fere sunt ad æquationes maximas Nodorum & Augis Lunæ respectivè, ut motus Nodorum & Augis Satellitum, tempore unius revolutionis æquationum priorum, ad motus Nodorum & Apogæi Lunæ tempore unius revolutionis æquationum posteriorum.

Variatio Satellitis è Jove spectati, est ad Variationem Lunæ ut sunt toti motus Nodorum temporibus periodicis Satellitis & Lunæ ad invicem, per idem Corollarium, adeoque in Satellite extimo non superat 6″. 22″′.

Parvitate harum inæqualitatum & tarditate motuum fit ut motus Satellitum summè regulares reperiantur, utque Astronomi recentiores aut motum omnem Nodis denegent, aut asserant tardissimè retrogradum. Nam Flamstedius collatis suis cum Cassini Observationibus Nodos tarde regredi deprehendit.

Prop. XXIV. Theor. XX.

*Fluxum & refluxum Maris ab actionibus Solis ac Lunæ oriri debere.*

Que el mar debe entumecerse y refluir dos veces al día, tanto lunares como solares, es evidente por el Corol. 19 de la Prop. LXVI del Lib. I; así como que la máxima altitud del agua, en los mares profundos y libres, sigue al acercamiento de las Luminarias al Meridiano del lugar en un espacio menor de seis horas, tal como sucede en todo el tramo oriental del mar Atlántico y Etiópico entre la Galia y el cabo de Buena Esperanza, y también en las costas Chilena y Peruana del mar Pacífico: en todas cuyas costas la marea alta incide hacia la hora tercera, a no ser que el movimiento, propagado a través de lugares someros, se retarde un tanto.

Entiendo por horas las contadas desde la llegada de una y otra Luminaria al Meridiano del lugar, tanto por debajo del horizonte como por encima, y por horas del día lunar las vigésimas cuartas partes del tiempo en que la Luna, con movimiento aparente diurno, da la vuelta hacia el Meridiano del lugar.

Motus autem bini, quos Luminaria duo excitant, non cernentur distinctè, sed motum quendam mixtum efficient. In Luminarium Page 430 Conjunctione vel Oppositione conjugentur eorum effectus, & componetur fluxus & refluxus maximus.

In Quadraturis Sol attollet aquam ubi Luna deprimit, deprimetque ubi Sol attollit; & ex effectuum differentia æstus omnium minimus orietur. Et quoniam, experientia teste, major est effectus Lunæ quàm Solis, incidet aquæ maxima altitudo in horam tertiam Lunarem.

Extra Syzygias & Quadraturas, æstus maximus qui sola vi Lunari incidere semper deberet in horam tertiam Lunarem, & sola Solari in tertiam Solarem, compositis viribus incidet in tempus aliquod intermedium quod tertiæ Lunari propinquius est; adeoque in transitu Lunæ à Syzygiis ad Quadraturas, ubi hora tertia Solaris præcedit tertiam Lunarem, maxima aquæ altitudo præcedet etiam tertiam Lunarem, idque maximo intervallo paulo post Octantes Lunæ; & paribus intervallis æstus maximus sequetur horam tertiam Lunarem in transitu Lunæ à Quadraturis ad Syzygias.

Hæc ita sunt in mari aperto. Nam in ostiis Fluviorum fluxus majores cæteris paribus tardius ad ἀκμὴν venient.

Penden autem effectus Luminarium ex eorum distantiis à Terra. In minoribus enim distantiis majores sunt eorum effectus, in majoribus minores, idque in triplicata ratione diametrorum apparentium.

Igitur Sol tempore hyberno, in Perigæo existens, majores edit effectus, efficitque ut æstus in Syzygiis paulo majores sint, & in Quadraturis paulo minores (cæteris paribus) quàm tempore æstivo; & Luna in Perigæo singulis mensibus majores ciet æstus quàm ante vel post dies quindecim, ubi in Apogæo versatur.

Unde fit ut æstus duo omnino maximi in Syzygiis continuis se mutuo non sequantur.

Depende también el efecto de cada uno de los Luminares de su propia Declinación o distancia del Ecuador. Pues si el Luminare se constituyese en el polo, atraería a cada una de las partes del agua constantemente, sin intensión y remisión de la acción, y por lo consiguiente no excitaría ninguna reciprocación de movimiento.

Por tanto, los Luminares, al alejarse del ecuador hacia el polo, irán perdiendo gradualmente sus efectos, y por eso excitarán marea menores Page 431 en las Sicigias Solsticiales que en las Equinocciales. En cambio, en las Cuadraturas Solsticiales excitarán mayores mareas que en las Cuadraturas Equinocciales; debido a que el efecto de la Luna, situada ya en el ecuador, supera al máximo el efecto del Sol.

Inciden, pues, las mareas máximas en las Sicigias y las mínimas en las Cuadraturas de los Luminares, hacia los tiempos de uno y otro Equinoccio. Y a la marea máxima en las Sicigias la acompaña siempre la mínima en las Cuadraturas, como se ha comprobado por la experiencia. Y por la menor distancia del Sol a la Tierra en tiempo invernal que en tiempo estival, sucede que las mareas máximas y mínimas preceden más frecuentemente al Equinoccio vernal que lo siguen, y siguen más frecuentemente al otoñal que lo preceden.

Pendent etiam effectus Luminarium ex locorum latitudine. Designet ApEP Tellurem aquis profundis undique coopertam; C centrum ejus; Pp, polos; AE Æquatorem; F locum quemvis extra Æquatorem; Ff parallelum loci; Dd parallelum ei respondentem ex altera parte æquatoris; L locum quem Luna tribus ante horis occupabat; H locum Telluris ei perpendiculariter subjectum; h locum huic oppositum; K, k loca inde gradibus 90 distantia, CH, Ch Maris altitudines maximas mensuratas à centro Telluris; & CK, Ck altitudines minimas; & si axibus Hh, Kk describatur Ellipsis, deinde Ellipseos hujus revolutione circa axem majorem Hh describatur Sphærois HPKhpk; designabit hæc figuram Maris quam proximè, & erunt CF, Cf, CD, Cd altitudines Maris in locis F, f, D, d.

Quinetiam si in præfata Ellipseos revolutione punctum quodvis N describat circulum NM, secantem parallelos Ff, Dd in locis quibusvis R, T, & æquatorem AE in S; erit CN altitudo Maris in locis omnibus R, S, T, sitis in hoc circulo. Hinc in Page 432 revolutione diurna loci cujusvis F, affluxus erit maximus in F, hora tertia post appulsum Lunæ ad Meridianum supra Horizontem; postea defluxus maximus in Q hora tertia post occasum Lunæ; dein affluxus maximus in f hora tertia post appulsum Lunæ ad Meridianum infra Horizontem; ultimò defluxus maximus in Q hora tertia post ortum Lunæ; & affluxus posterior in f erit minor quàm affluxus prior in F.

Distinguitur enim Mare totum in duos omnino fluctus Hemisphæricos, unum in Hemisphærio KHkC ad Boream vergentem, alterum in Hemisphærio opposito KhkC; quos igitur fluctum Borealem & fluctum Australem nominare licet. Hi fluctus semper sibi mutuò oppositi veniunt per vices ad Meridianos locorum singulorum, interposito intervallo horarum Lunarium duodecim. Cumque regiones Boreales magis participant fluctum Borealem, & Australes magis Australem, inde oriuntur æstus alternis vicibus majores & minores, in locis singulis extra æquatorem. Æstus autem major, Lunâ in verticem loci declinante, incidet in horam circiter tertiam post appulsum Lunæ ad Meridianum supra Horizontem, & Lunâ declinationem mutante vertetur in minorem. Et fluxuum differentia maxima incidet in tempora Solstitiorum; præsertim si Lunæ Nodus ascendens versatur in principio Arietis. Sic experientiâ compertum est, quod æstus matutini tempore hyberno superent vespertinos & vespertini tempore æstivo matutinos, ad Plymuthum quidem altitudine quasi pedis unius, ad Bristoliam verò altitudine quindecim digitorum: Observantibus Colepressio & Sturmio.

Mas los movimientos descritos hasta ahora se alteran un tanto por aquella fuerza de reciprocación de las aguas, mediante la cual el flujo del Mar, aun cesando las acciones de los Luminarias, podría perseverar durante algún tiempo. Esta conservación del movimiento impreso disminuye la diferencia de los flujos alternos; y hace mayores los flujos inmediatamente después de las Syzygias, y disminuye los inmediatamente después de las Cuadraturas. De ahí resulta que los flujos alternos en Plymouth y Bristol no difieran mucho más entre sí que en la altura de un pie o de quince pulgadas; y que los flujos mayores de todos en los mismos puertos no sean los primeros a partir de las Syzygias, sino los terceros.

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Asimismo se retardan todos los movimientos en el tránsito por los bajíos, de modo que los flujos mayores de todos, en ciertos estrechos y desembocaduras de Ríos, son los cuartos o incluso los quintos a partir de las Syzygias.

Porrò fieri potest ut æstus propagetur ab Oceano per freta diversa ad eundem portum, & citius transeat per aliqua freta quàm per alia, quo in casu æstus idem, in duos vel plures successive advenientes divisus, componere possit motus novos diversorum generum. Fingamus æstus duos æquales à diversis locis in eundem portum venire, quorum prior præcedat alterum spatio horarum sex, incidatque in horam tertiam ab appulsu Lunæ ad Meridianum portus. Si Luna in hocce suo ad Meridianum appulsu versabatur in æquatore, venient singulis horis senis æquales affluxus, qui in mutuos refluxus incidendo eosdem affluxibus æquabunt, & sic spatio diei illius efficient ut aqua tranquillè stagnet. Si Luna tunc declinabat ab Æquatore, fient æstus in Oceano vicibus alternis majores & minores, uti dictum est; & inde propagabuntur in hunc portum affluxus bini majores & bini minores, vicibus alternis. Affluxus autem bini majores component aquam altissimam in medio inter utrumque, affluxus major & minor faciet ut aqua ascendat ad mediocrem altitudinem in Medio ipsorum, & inter affluxus binos minores aqua ascendet ad altitudinem minimam. Sic spatio viginti quatuor horarum, aqua non bis ut fieri solet, sed semel tantum perveniet ad maximam altitudinem & semel ad minimam; & altitudo maxima, si Luna declinat in polum supra Horizontem loci, incidet in horam vel sextam vel tricesimam ab appulsu Lunæ ad Meridianum, atque Lunâ declinationem mutante mutabitur in defluxum. Quorum omnium exemplum, in portu regni Tunquini ad Batsham, sub latitudine Boreali 20 gr. 50 min. Halleius ex Nautarum Observationibus patefecit. Ibi aqua die transitum Lunæ per Æquatorem sequente stagnat, dein Lunâ ad Boream declinante incipit fluere & refluere, non bis, ut in aliis portubus, sed semel singulis diebus; & æstus incidit in occasum Lunæ, defluxus maximus in ortum. Cum Lunæ declinatione augetur hic æstus, usque ad Page 434 diem septimum vel octavum, dein per alios septem dies iisdem gradibus decrescit, quibus antea creverat; & Lunâ declinationem mutante cessat, ac mox mutatur in defluxum. Incidit enim subinde defluxus in occasum Lunæ & affluxus in ortum, donec Luna iterum mutet declinationem. Aditus ad hunc portum fretaque vicina duplex patet, alter ab Oceano Sinensi inter Continentem & Insulam Luconiam, alter à Mari Indico inter Continentem & Insulam Borneo. An æstus spatio horarum duodecim à Mari Indico, & spatio horarum sex à Mari Sinensi per freta illa venientes, & sic in horam tertiam & nonam Lunarem incidentes, componant hujusmodi motus; sitne alia Marium illorum conditio, observationibus vicinorum littorum determinandum relinquo.

Hactenus causas motuum Lunæ & Marium reddidi. De quantitate motuum jam convenit aliqua subjungere.

### Prop. XXV. Prob. V.

*Invenire vires Solis ad perturbandos motus Lunæ.*

Designet Q Solem, S Terram, P Lunam, PADB orbem Lunæ. In QP capiatur QK æqualis QS; sitque QL ad QK in duplicata ratione QK ad QP & ipsi PS agatur parallela LM; & si gravitas acceleratrix Terræ in Solem exponatur per distantiam QS vel QK, erit QL gravitas acceleratrix Lunæ in Solem. Ea componitur ex partibus QM, LM, quarum LM & ipsius QM pars SM perturbat motum Lunæ, ut in Libri primi Prop. LXVI. & ejus Corollariis expositum est. Page 435 Quatenus Terra & Luna circum commune gravitatis centrum revolvuntur, perturbabitur motus Terræ circa centrum illud à viribus consimilibus; sed summas tam virium quàm motuum referre licet ad Lunam, & summas virium per lineas ipsis analogas SM & ML designare. Vis ML (in mediocri sua quantitate) est ad vim gravitatis, qua Luna in orbe suo circa Terram quiescentem ad distantiam PS revolvi posset, in duplicata ratione temporum periodicorum Lunæ circa Terram & Terræ circa Solem, (per Corol. 17. Prop. LXVI. Lib. I.) hoc est in duplicata ratione dierum 27. hor. 7. min. 43. ad dies 365. hor. 6. min. 9. id est ut 1000 ad 178725, seu 1 ad 178⁸/₁₁. Vis qua Luna in orbe suo circa Terram quiescentem, ad distantiam PS semidiametrorum terrestrium 60½ revolvi posset, est ad vim, qua eodem tempore ad distantiam semidiametrorum 60 revolvi posset, ut 60½ ad 60; & hæc vis ad vim gravitatis apud nos ut 1 ad 60 × 60. Ideoque vis mediocris ML est ad vim gravitatis in superficie Terræ, ut 1 × 60½ ad 60 × 60 × 60 × 178⁸/₁₁ seu 1 ad 638092,6. Unde ex proportione linearum SM, ML datur etiam vis SM: & hæ sunt vires Solis quibus motus Lunæ perturbantur.   Q. E. I.

Prop. XXVI. Prob. VI.

*Invenire incrementum areæ quam Luna radio ad Terram ducto describit.*

Dijimos que el área que la Luna describe mediante un radio trazado hacia la Tierra es proporcional al tiempo, a menos que en la medida en que el movimiento lunar sea perturbado por la acción del Sol. Proponemos investigar aquí la desigualdad del momento (o del incremento horario). Para que el cálculo resulte más fácil, imaginemos que la órbita de la Luna es circular, y neglijamos todas las desigualdades, con la sola excepción de aquella de la que aquí se trata. Pero debido a la enorme distancia del Sol, supongamos también que las líneas QP, QS son paralelas entre sí. De este modo, la fuerza LM se reducirá siempre a su cantidad mediana Page 436 SP, al igual que la fuerza SM a su cantidad mediana 3PK. Estas fuerzas, por el Corolario 2 de las Leyes, componen la fuerza SL; y esta fuerza, si se baja una perpendicular LE al radio SP, se resuelve en las fuerzas SE, EL, de las cuales SE, actuando siempre según el radio SP, ni acelera ni retarda la descripción del área QSP hecha por ese radio SP; y EL, actuando según la perpendicular, la acelera o retarda, en la medida en que acelera o retarda a la Luna. Dicha aceleración de la Luna, efectuada en su tránsito desde la cuadratura C hasta la conjunción A, en cada momento del tiempo, es como la fuerza aceleratriz misma EL, esto es, como 3PK × SK ÷ SP. Expóngase el tiempo por el movimiento medio lunar, o (lo que casi viene a ser lo mismo) por el ángulo CSP, o también por el arco CP. Sobre CS levántese una normal CG igual a la propia CS. Y dividido el arco cuadrantal AC en innumerables partículas iguales Pp etc., mediante las cuales puedan exponerse otras tantas partículas iguales de tiempo, y trazada la perpendicular pk a CS, únase SG cortando a las prolongaciones de KP, kp en F y f; y Kk será a PK como Pp a Sp, esto es, en razón dada, y por tanto FK × Kk o área FKkf como 3PK × SK ÷ SP, es decir, como EL; y, compuestas, el área total GCKF como Page 437 la suma de todas las fuerzas EL impresas en la Luna durante todo el tiempo CP, y por consiguiente también como la velocidad generada por esta suma, esto es, como la aceleración de la descripción del área CSP, o el incremento del momento. La fuerza con la que la Luna, en torno a la Tierra en reposo a la distancia SP, podría revolverse en su tiempo periódico CADBC de 27 días, 7 horas, 43 minutos, haría que un cuerpo, al caer durante el tiempo CS, describiera una longitud de ½CS, y adquiriese al mismo tiempo una velocidad igual a la velocidad con la que la Luna se mueve en su órbita. Esto es evidente por el Escolio de la Proposición IV del Libro I. Mas como la perpendicular Kd bajada sobre SP sea la tercera parte de dicha EL, y la mitad de la propia SP o ML en los octantes, la fuerza EL en los octantes, donde es máxima, superará a la fuerza ML en la razón de 3 a 2, y por lo tanto será a aquella fuerza con la que la Luna podría revolverse en torno a la Tierra en reposo en su tiempo periódico, como 100 es a ⅔ × 17872½ o 11915, y en el tiempo CS debería generar una velocidad que fuese la parte ¹⁰⁰/₁₁₉₁₅ de la velocidad lunar, mientras que en el tiempo CPA generaría una velocidad mayor en la razón de CA a CS o SP. Expóngase la fuerza máxima EL en los octantes por el área FK × Kk igual al rectángulo ½SP × Pp. Y la velocidad que la fuerza máxima pudiese generar en un tiempo cualquiera CP será a la velocidad que toda fuerza menor EL genera en el mismo tiempo como el rectángulo ½SP × CP es al área KCGF; pero en todo el tiempo CPA, las velocidades generadas serán entre sí como el rectángulo ½SP × CA y el triángulo SCG, o como el arco cuadrantal CA al radio SP. Por lo tanto (por la Prop. IX, Lib. V, Elem.), la velocidad posterior, generada en todo el tiempo, será la parte ¹⁰⁰/₁₁₉₁₅ de la velocidad de la Luna. A esta velocidad de la Luna, que es análoga al momento medio del área, súmese y restese la mitad de la velocidad de la otra; y si el momento medio se expone mediante el número 11915, la suma 11915 + 50 o 11965 exhibirá el momento máximo del área en la sicigia A, y la diferencia 11915 - 50 o 11865 exhibirá su momento mínimo en las cuadraturas. Por lo tanto, las áreas descritas en tiempos iguales en las sicigias y cuadraturas son entre sí como 11965 es a 11865. Al momento mínimo 11865 súmese el momento que sea a la diferencia de los momentos 100 como el trapecio FKCG es al triángulo Page 438 SCG (o lo que es igual, como el cuadrado del seno PK es al cuadrado del radio SP, es decir, como Pd es a SP) y la suma exhibirá el momento del área cuando la Luna está en un lugar intermedio cualquiera P.

Todo esto es así, bajo la hipótesis de que el Sol y la Tierra están en reposo, y la Luna gira en el tiempo sinódico de 27 días, horas 7, minutos 43. Como quiera que el período sinódico lunar es verdaderamente de 29 días, horas 12 y minutos 44, deben aumentarse los incrementos de los momentos en razón del tiempo.

De este modo, el incremento total, que era la parte ¹⁰⁰/₁₁₉₁₅ del momento medio, llegará a ser ahora su parte ¹⁰⁰/₁₁₀₂₃. Y por tanto, el momento del área en la cuadratura de la Luna será a su momento en la sicigia como 11023 - 50 a 11023 + 50, o como 10973 a 11073, y a su momento, cuando la Luna se encuentra en cualquier otro lugar intermedio P, como 10973 a 10973 + Pd, siendo manifiestamente SP igual a 100.

El área, pues, que la Luna, mediante un rayo trazado hacia la Tierra, describe en partículas de tiempo iguales, es muy aproximadamente como la suma del número $219\frac{46}{100}$ y el seno verso de la distancia doble de la Luna desde la cuadratura más próxima, en un círculo cuyo radio es la unidad. Esto es así cuando la Variación en los octantes es de magnitud mediosa. Pero si la variación allí fuere mayor o menor, debe aumentarse o disminuirse dicho seno verso en la misma razón.

Prop. XXVII. Prob. VII.

*Ex motu horario Lunæ invenire ipsius distantiam à Terra.*

El área, que la Luna mediante un rayo conducido a la Tierra, en cada momento del tiempo, describe, es como el movimiento horario de la Luna y el cuadrado de la distancia de la Luna a la Tierra conjuntamente; y por tanto la distancia de la Luna a la Tierra está en la razón compuesta de la razón semiduplicada del área directamente y la razón semiduplicada del movimiento horario inversamente.

Q. E. I.

Corol. 1. Hinc datur Lunæ diameter apparens: quippe quæ sit reciprocè ut ipsius distantia à Terra. Tentent Astronomi quàm probè hæc Regula cum Phænomenis congruat.

Página 439

Corol. 2. Hinc etiam Orbis Lunaris accuratiùs ex Phænomenis quàm antehac definiri potest.

Prop. XXVIII. Prob. VIII.

*Invenire diametros Orbis in quo Luna absque excentricitate moveri deberet.*

Curvatura Trajectoriæ, quam mobile, si secundum Trajectoriæ illius perpendiculum trahatur, describit, est ut attractio directè & quadratum velocitatis inversè. Curvaturas linearum pono esse inter se in ultima proportione Sinuum vel Tangentium angulorum contactuum ad radios æquales pertinentium, ubi radii illi in infinitum diminuuntur. Attractio autem Lunæ in Terram in Syzygiis est excessus gravitatis ipsius in Terram supra vim Solarem 2PK (Vide Figur. pag. 434.) qua gravitas acceleratrix Lunæ in Solem superat gravitatem acceleratricem Terræ in Solem. In Quadraturis autem attractio illa est summa gravitatis Lunæ in Terram & vis Solaris KS, qua Luna in Terram trahitur. Et hæ attractiones, si {AS + CS} ÷ 2 dicatur N, sunt ut 178725 ÷ ASq. - 2000 ÷ {CS × N} & 178725 ÷ CSq. + 1000 ÷ {AS × N} quam proxime; seu ut 178725N in CSq. - 2000ASq. in CS, & 178725N in ASq. + 1000 CSq. × AS. Nam se gravitas acceleratrix Terræ in Solem exponatur per numerum 178725, vis mediocris ML, quæ in Quadraturis est PS Page 440 vel SK & Lunam trahit in Terram, erit 1000, & vis mediocris SM in Syzygiis erit 3000; de qua, si vis mediocris ML subducatur, manebit vis 2000 qua Luna in Syzygiis distrahitur à Terra, quamque jam ante nominavi 2PK. Velocitas autem Lunæ in Syzygiis A & B est ad ipsius velocitatem in Quadraturis C & D ut CS, ad AS & momentum areæ quam Luna radio ad Terram ducto describit in Syzygiis ad momentum ejusdem areæ in Quadraturis conjunctim; id est ut 11073CS ad 10973AS. Sumatur hæc ratio bis inversè & ratio prior semel directè, & fiet Curvatura Orbis Lunaris in Syzygiis ad ejusdem Curvaturam in Quadraturis ut 120407 × 178725ASq. × CSq. × N - 120407 × 2000AS qq. × CS ad 122611 × 178725ASq. × CSq. × N + 122611 × 1000CS qq. × AS, id est ut 2151969AS × CS × N - 24081AS cub. ad 2191371AS × CS × N + 12261CS cub.

Quoniam figura orbis Lunaris ignoratur, hujus vice assumamus Ellipsin DBCA, in cujus centro S Terra collocetur, & cujus axis major DC Quadraturis, minor AB Syzygiis interjaceat. Cum autem planum Ellipseos hujus motu angulari circa Terram revolvatur, & Trajectoria, cujus Curvaturam consideramus, describi debet in plano quod motu omni angulari omnino destituitur: consideranda erit figura, quam Luna in Ellipsi illa revolvendo describit in hoc plano, hoc est Figura Cpa, cujus puncta singula p inveniuntur capiendo punctum quodvis P in Ellipsi, quod locum Lunæ representet, & ducendo Sp æqualem SP, ea lege ut angulus PSp æqualis sit motui apparenti Solis à tempore Quadraturæ C confecto; vel (quod eodem fere recidit) ut angulus CSp sit ad angulum CSP ut tempus revolutionis Synodicæ Lunaris ad tempus revolutionis Periodicæ seu 29 d. 12. h. 44′, ad 27 d. 7 h. 43′. Capiatur igitur angulus CSa in eadem ratione ad angulum rectum CSA, & sit longitudo Sa æqualis longitudini SA; & erit a Apsis ima & C Apsis summa orbis hujus Cpa. Rationes autem ineundo invenio quod differentia inter curvaturam orbis Cpa in vertice a, & curvaturam circuli centro S intervallo SA descripti, sit ad differentiam inter Page 441 curvaturam Ellipseos in vertice A & curvaturam ejusdem circuli, in duplicata ratione anguli CSP ad angulum CSp; & quod curvatura Ellipseos in A sit ad curvaturam circuli illius in duplicata ratione SA ad SC; & curvatura circuli illius ad curvaturam circuli centro S intervallo SC descripti ut SC ad SA; hujus autem curvatura ad curvaturam Ellipseos in C in duplicata ratione SA ad SC; & differentia inter curvaturam Ellipseos in vertice C & curvaturam circuli novissimi, ad differentiam inter curvaturam figuræ Spa in vertice C & curvaturam ejusdem circuli, in duplicata ratione anguli CSP ad angulum CSp. Quæ quidem rationes ex Sinubus angulorum contactus ac differentiarum angulorum facilè colliguntur. Collatis autem his rationibus inter se, prodit curvatura figuræ Cpa in a ad ipsius curvaturam in C, ut AS cub. + ¹⁶⁸²⁴/₁₀₀₀₀₀CSq. × AS ad CS cub. + ¹⁶⁸²⁴/₁₀₀₀₀₀ASq. × CS. Ubi numerus ¹⁶⁸²⁴/₁₀₀₀₀₀ designat differentiam quadratorum angulorum CSP & CSp applicatam ad Quadratum anguli minoris CSP, seu (quod perinde est) differentiam Quadratorum temporum 27 d. 7 h. 43′, & 29 d. 12 h. 44′, applicatam ad Quadratum temporis 27 d. 7 h. 43′.

Igitur cum a designet Syzygiam Lunæ, & C ipsius Quadraturam, proportio jam inventa eadem esse debet cum proportione curvaturæ Orbis Lunæ in Syzygiis ad ejusdem curvaturam in Quadraturis, quam supra invenimus. Proinde ut inveniatur proportio CS ad AS, duco extrema & media in se invicem. Et termini prodeuntes ad AS × CS applicati, fiunt 2062,79CS qq. - 2151969N × CS cub. + 368682N × AS × CSq. + 36342ASq. × CSq. - 362046N × ASq. × CS + 2191371N × AS cub. + 4051,4AS qq. = 0. Hic pro terminorum AS & CS semisummâ N scribo 1, & pro eorundem semidifferentia ponendo x, fit CS = 1 + x, & AS = 1 - x: quibus in æquatione scriptis, & æquatione prodeunte resolutâ, obtinetur x æqualis 0,0072036, & inde semidiameter CS fit 1,0072, & semidiameter AS 0,9928, qui numeri sunt ut 69¹¹/₁₂ & 68¹¹/₁₂ quam proximè. Est igitur distantia Lunæ à Terra in Syzygiis ad ipsius distantiam in Quadraturis (seposita scilicet excentricitatis consideratione) ut 68¹¹/₁₂ ad 69¹¹/₁₂, vel numeris rotundis ut 69 ad 70. Page 442

Prop. XXIX. Prob. IX.

*Invenire Variationem Lunæ.*

Oritur hæc inæqualitas partim ex forma Elliptica orbis Lunaris, partim ex inæqualitate momentorum areæ, quam Luna radio ad Terram ducto describit.

Si Luna P in Ellipsi DBCA circa Terram in centro Ellipseos quiescentem moveretur, & radio SP ad Terram ducto describeret aream CSP tempori proportionalem; esset autem Ellipseos semidiameter maxima CS ad semidiametrum minimam SA ut 69¹¹/₁₂ ad 68¹¹/₁₂: foret Tangens anguli CSP ad Tangentem anguli motus medii à quadratura C computati, ut Ellipseos semidiameter SA ad ejusdem semidiametrum SC seu 68¹¹/₁₂ ad 69¹¹/₁₂.

Debet autem descriptio areæ CSP, in progressu Lunæ à Quadratura ad Syzygiam, ea ratione accelerari, ut ejus momentum in Syzygia Lunæ sit ad ejus momentum in Quadratura ut 11073 ad 10973, utq; excessus momenti in loco quovis intermedio P supra momentum in Quadratura sit ut quadratum Sinus anguli CSP. Id quod satis accuratè fiet, si tangens anguli CSP diminuatur in dimidiata ratione numeri 10973 ad numerum 11073, id est in ratione numeri 68⁵⁹⁵⁸/₁₀₀₀₀ ad numerum 68¹¹/₁₂. Quo pacto tangens anguli CSP jam erit ad tangentem motus medii ut 68⁵⁹⁵⁸/₁₀₀₀₀ ad 69¹¹/₁₂, & angulus CSP Page 443 in Octantibus, ubi motus medius est 45 gr. invenietur 44 gr. 27′. 29″: qui subductus de angulo motus medii 45 gr. relinquit Variationem 32′. 31″.

Hæc ita se haberent si Luna, pergendo à Quadratura ad Syzygiam, describeret angulum CSA graduum tantum nonaginta. Verum ob motum Terræ, quo Sol in antecedentia motu apparente transfertur, Luna, priusquam Solem assequitur, describit angulum CSa angulo recto majorem in ratione revolutionis Lunaris Synodicæ ad revolutionem periodicam, id est in ratione 29 d. 12 h. 44′. ad 27 d. 7 h. 43′. Et hoc pacto anguli omnes circa centrum S dilatantur in eadem ratione, & Variatio quæ secus esset 32′. 31″. jam aucta in eadem ratione, fit 35′. 9″. Hæc ab Astronomis constituitur 40′, & ex recentioribus Observationibus 38′. Halleius autem recentissimè deprehendit esse 38′ in Octantibus versus oppositionem Solis, & 32′ in Octantibus Solem versus. Unde mediocris ejus magnitudo erit 35′: quæ cum magnitudine à nobis inventa 35′. 9″ probe congruit. Magnitudinem enim mediocrem computavimus, neglectis differentiis, quæ à curvaturâ Orbis magni, majorique Solis actione in Lunam falcatam & novam quam in Gibbosam & plenam, oriri possint.

Prop. XXX. Prob. X.

*Invenire motum horarium Nodorum Lunæ in Orbe circulari.*

Designet S Solem, T Terram, P Lunam, NPn Orbem Lunæ, Npn vestigium Orbis in plano Eclipticæ; N, n, Nodos, nTNm lineam Nodorum infinitè productam, PI, PK; perpendicula demissa in lineas ST, Qq; Pp perpendiculum demissum in planum Eclipticæ; Q, q Quadraturas Lunæ in plano Eclipticæ & pK perpendiculum in lineam Qq Quadraturis intrajacentem.

Et vis Solis ad perturbandum motum Lunæ (per Prop. XXV.) duplex erit, altera lineæ 2IT vel 2Kp, altera lineæ PI proportionalis. Et Luna vi priore in Solem, posteriore in lineam ST trahitur. Page 444

Componitur autem vis posterior PI ex viribus IT & PT, quarum PT agit secundum planum orbis Lunaris, & propterea situm plani nil mutat. Hæc igitur negligenda est. Vis autem IT cum vi 2IT componit vim totam 3IT, qua planum Orbis Lunaris perturbatur. Et hæc vis per Prop. XXV. est ad vim qua Luna in circulo circa Terram quiescentem tempore suo periodico revolvi posset, ut 3IT ad Radium circuli multiplicatum per numerum 178,725, sive ut IT ad Radium multiplicatum per 59,575.

Cæterum in hoc calculo & eo omni qui sequitur, considero lineas omnes à Luna ad Solem ductas tanquam parallelas lineæ quæ à Terra ad Solem ducitur, propterea quod inclinatio tantum ferè minuit effectus omnes in aliquibus casibus, quantum auget in aliis; & Nodorum motus mediocres quærimus, neglectis istiusmodi minutiis, quæ calculum nimis impeditum redderent.

Página 445

Designé consiéntese el arco PM que la Luna describe en el tiempo dado más pequeño, y el segmentito ML que la Luna, impelida por la fuerza antedicha 3IT, podría describir en el mismo tiempo. Únanse PL, MP, y prodúzcanse hasta m y l, donde cortan el plano de la Eclíptica; y en Tm bájese la perpendicular PH.

Y puesto que ML es paralela a la misma ST, si ml fuere paralela a la misma ML, ml estará en el plano de la Eclíptica, y viceversa. Por tanto, ml, como está en el plano de la Eclíptica, será paralela a la misma ML, y serán semejantes los triángulos LMP, Lmp. Ahora bien, como MPm está en el plano de la órbita en la cual la Luna se movía en el lugar P, el punto m incidirá en la línea Nn trazada por los Nodos N, n de aquella órbita.

Y puesto que la fuerza por la cual se genera el segmentito LM, si toda a la vez y de una vez hubiese sido impresa en el lugar P, haría que la Luna se moviese en un arco cuya cuerda fuese LP, y por tanto trasladaría a la Luna del plano MPmT al plano LPlT; el movimiento de los Nodos generado por aquella fuerza será igual al ángulo mTl.

Es, por lo demás, ml a mP como ML a MP, y por consiguiente, como MP es dada a causa del tiempo dado, ml es como el rectángulo ML × mP, esto es, como el rectángulo IT × mP.

Y el ángulo mTl, con tal que el ángulo Tml sea recto, es como ml ÷ Tm, y por ello como IT × Pm ÷ Tm, esto es (a causa de las proporcionales Tm y mP, TP y PH) como IT × PH ÷ TP, y por tanto, a causa de la TP dada, como IT × PH.

Y si el ángulo Tml, o STN, fuere oblicuo, el ángulo mTl será todavía menor, en la razón del seno del ángulo STN al Radio. Es, por tanto, la velocidad de los Nodos como IT × PH y el seno del ángulo STN conjuntamente, o como el contenido bajo los senos de los tres ángulos TPI, PTN y STN.

Si aquellos ángulos, existiendo los Nodos en las Quadraturas y la Luna en la Syzygia, fuesen rectos, la lineola ml se irá al infinito, y el ángulo mTl se volverá igual al ángulo mPl. Esto empero en el caso de que el ángulo mPl sea al ángulo PTM, que la Luna en el mismo tiempo con su movimiento aparente describe alrededor de la Tierra, como 1 a 59,575. Pues el ángulo mPl es igual al ángulo LPM, esto es, al ángulo de deflexión de la Luna del recto camino, que la prefañada fuerza Solar 3IT en aquel tiempo dado puede generar; y el ángulo PTM es igual al ángulo de deflexión Page 446 de la Luna del recto camino, que aquella fuerza con que la Luna es retenida en su Órbita genera en el mismo tiempo. Y estas fuerzas, como dijimos arriba, son entre sí como 1 a 59,575.

Por tanto, siendo el movimiento medio horario de la Luna (respecto de las fijas) de 32′. 56″. 27″′. 12^iv½, el movimiento horario del Nodo en este caso será de 33″. 10″′. 33^iv. 12^v.

En los demás casos empero este movimiento horario será a 33″. 10″′. 33^iv. 12^v. como el contenido bajo los senos de los tres ángulos TPI, PTN, y STN (o de las distancias de la Luna a la Quadratura, de la Luna al Nodo, y del Nodo al Sol) al cubo del Radio. Y cuantas veces el signo de un ángulo cualquiera se muda de afirmativo en negativo, y de negativo en afirmativo, deberá mudarse el movimiento regresivo en progresivo y el progresivo en regresivo.

De donde resulta que los Nodos progresan cuantas veces la Luna se halla entre una u otra Quadratura y el Nodo más próximo a la Quadratura. En los demás casos regreden, y por el exceso del regreso sobre el progreso, se llevan en cada mes hacia los antecedentes.

Corol. 1. Hinc si a dati arcus quam minimi PM terminis P & M ad lineam Quadraturas jungentem Qq demittantur perpendicula PK, Mk, eademque producantur donec secent lineam Nodorum Nn in D & d; erit motus horarius Nodorum ut area MPDd & quadratum lineæ AZ conjunctim. Sunto enim PK, PH & AZ prædicti tres Sinus. Nempe PK Sinus distantiæ Lunæ à Quadratura, PH Sinus distantiæ Lunæ à Nodo, & AZ Sinus distantiæ Nodi à Sole: & erit velocitas Nodi ut contentum PK × PH × AZ. Est Page 447 autem PT ad PK ut PM ad Kk, adeoque ob datas PT & PM est Kk ipsi PK proportionalis. Est & AT ad PD ut AZ ad PH, & propterea PH rectangulo PD × AZ proportionalis, & conjunctis rationibus, PK × PH est ut contentum Kk × PD × AZ, & PK × PH × AZ ut Kk × PD × AZ qu. id est ut area PDdM, & AZ qu. conjunctim.   Q. E. D.

Corol. 2. Dada una posición cualquiera de los Nodos, el movimiento horario medio es la mitad del movimiento horario en las Sicigias de la Luna, y por tanto es a 16″. 35″′. 16^iv. 36^v. como el cuadrado del Seno de la distancia de los Nodos a las Sicigias al cuadrado del Radio, o sea como AZ cu. a AT cu.

Nam si Luna uniformi cum motu perambulet semicirculum QAq, summa omnium arearum PDdM, quo tempore Luna pergit à Q ad M, erit area QMdE quæ ad circuli tangentem QE terminatur; & quo tempore Luna attingit punctum n, summa illa erit area tota EQAn quam linea PD describit; dein Luna pergente ab n ad q, linea PD cadet extra circulum, & aream nqe ad circuli tangentem qe terminatam describet; quæ, quoniam Nodi prius regrediebantur, jam verò progrediuntur, subduci debet de area priore, & cum æqualis sit areæ QEN, relinquet semicirculum NQAn. Igitur summa omnium arearum PDdM, quo tempore Luna semicirculum describit, est area semicirculi; & summa omnium quo tempore Luna circulum describit est area circuli totius.

At area PDdM, ubi Luna versatur in Syzygiis, est rectangulum sub arcu PM & radio MT; & summa omnium huic æqualium arearum, quo tempore Luna circulum describit, est rectangulum sub circumferentia tota & radio circuli; & hoc rectangulum, cum sit æquale duobus circulis, duplo majus est quàm rectangulum prius. Proinde Nodi, eâ cum velocitate uniformiter continuatâ quam habent in Syzygiis Lunaribus, spatium duplo majus describerent quàm revera describunt; & propterea motus mediocris quocum, si uniformiter continuaretur, spatium à se inæquabili cum motu revera confectum describere possent, est semissis motus quem habent in Syzygiis Lunæ.

Unde cum motus orarius maximus, si Nodi in Quadraturis versantur, sit 33″. 10″′. 33^iv. 12^v, motus mediocris horarius in hoc casu erit Page 448 16″. 35″′. 16^iv. 36^v. Et cum motus horarius Nodorum semper sit ut AZ qu. & area PDdM conjunctim, & propterea motus horarius Nodorum in Syzygiis Lunæ ut AZ qu. & area PDdM conjunctim, id est (ob datam aream PDdM in Syzygiis descriptam) ut AZ qu. erit etiam motus mediocris ut AZ qu. atque adeo hic motus, ubi Nodi extra Quadraturas versantur, erit ad 16″. 35″′. 16^iv. 36^v. ut AZ qu. ad AT qu. Q. E. D.

Prop. XXXI. Prob. XI.

*Invenire motum horarium Nodorum Lunæ in Orbe Elliptico.*

Desígnese Qpmaq la elipse descrita con el eje mayor Qq, y el menor ab, y QAq el círculo circunscrito a ella, T la Tierra en el centro común de ambas, S el Sol, p la Luna moviéndose en la elipse, y pm el arco que describe en una partícula de tiempo mínima dada, N y n Page 449 los Nodos unidos por la línea Nn, pK y mk las perpendiculares bajadas sobre el eje Qq y prolongadas a ambos lados hasta que encuentran al círculo en P y M, y a la línea de los Nodos en D y d.

Y si la Luna, mediante un radio trazado hacia la Tierra, describe un área proporcional al tiempo, el movimiento del Nodo en la elipse será como el área pDdm.

Nam si PF tangat circulum in P, & producta occurrat TN in F, & pf tangat Ellipsin in p & producta occurrat eidem TN in f, conveniant autem hæ Tangentes in axe TQ ad Y; & si ML designet spatium quod Luna in circulo revolvens, interea dum describit arcum PM, urgente & impellente vi prædicta 3IT, motu transverso describere posset, & ml designet spatium quod Luna in Ellipsi revolvens eodem tempore, urgente etiam vi 3IT, describere posset; & producantur LP & lp donec occurrant plano Eclipticæ in G & g; & jungantur FG & fg, quarum FG producta secet pf, pg & TQ in c, e & R respectivè, & fg producta secet TQ in r:

Quoniam vis 3IT seu 3PK in circulo est ad vim 3IT seu 3pK in Ellipsi, ut PK ad pK, seu AT ad aT; erit spatium ML vi priore genitum, ad spatium ml vi posteriore genitum, ut PK ad pK, id est ob similes figuras PYKp & FYRc, ut FR ad cR.

Est autem ML ad FG (ob similia triangula PLM, PGF) ut PL ad PG, hoc est (ob parallelas Lk, PK, GR) ut pl ad pe, id est (ob similia triangula plm, cpe) ut lm ad ce; & inversè ut LM est ad lm, seu FR ad cR, ita est FG ad ce.

Et propterea si fg esset ad ce ut fY ad cY, id est ut fr ad cR, (hoc est ut fr ad FR & FR ad cR conjunctim, id est ut fT ad FT & FG ad ce conjunctim,) quoniam ratio FG ad ce utrinque ablata relinquit rationes fg ad FG & fT ad FT, foret fg ad FG ut fT ad FT; propterea quod anguli, quos FG & fg subtenderent ad Terram T, æquarentur inter se.

Sed anguli illi (per ea quæ in præcedente Propositione exposuimus) sunt motus Nodorum, quo tempore Luna in circulo arcum PM, in Ellipsi arcum pm percurrit: & propterea motus Nodorum in Circulo & Ellipsi æquarentur inter se.

Hæc ita se haberent, si modo fg esset ad ce ut fY ad cY, Page 450 id est si fg æqualis esset ce × fY ÷ cY. Verum ob similia triangula fgp, cep, est fg ad ce ut fp ad cp; ideoque fg æqualis est ce × fp ÷ cp, & propterea angulus, quem fg revera subtendit, est ad angulum priorem, quem FG subtendit, hoc est motus Nodorum in Ellipsi ad motum Nodorum in Circulo, ut hæc fg seu ce × fp ÷ cp ad priorem fg seu ce × fY ÷ cY, id est ut fp × cY ad cp × fY, seu fp ad fY & cY ad cp; hoc est, si pb ipsi TN parallela occurrat FP in b, ut Fb ad FY & FY ad FP; hoc est ut Fb ad FP seu Dp ad DP, adeoque ut area Dpmd ad aream DPMd.

Et propterea, cum area posterior proportionalis sit motui Nodorum in Circulo, erit area prior proportionalis motui Nodorum in Ellipsi.

Q. E. D.

Corol. Igitur cum, in data Nodorum positione, summa omnium arearum pDdm, quo tempore Luna pergit à Quadratura ad locum quemvis m, sit area mpQEd, quæ ad Ellipseos Tangentem QE terminatur; & summa omnium arearum illarum, in revolutione integra, sit area Ellipseos totius: motus mediocris Nodorum in Ellipsi erit ad motum mediocrem Nodorum in circulo, ut Ellipsis ad circulum, id est ut Ta ad TA, seu 68¹¹/₁₂ ad 69¹¹/₁₂.

Et propterea, cum motus mediocris horarius Nodorum in circulo sit ad 16″. 35″′. 16^iv. 36^v. ut AZ qu. ad AT qu. si capiatur angulus 16″. 21″′. 2^iv. 36^v. ad angulum 16″. 35″′. 16^iv. 36^v. ut 68¹¹/₁₂ ad 69¹¹/₁₂, erit motus mediocris horarius Nodorum in Ellipsi ad 16″. 21″′. 2^iv. 36^v. ut AZq. ad ATq.; hoc est ut quadratum Sinus distantiæ Nodi à Sole ad quadratum Radii.

Cæterum Luna, radio ad Terram ducto, aream velocius describit in Syzygiis quàm in Quadraturis, & eo nomine tempus in Syzygiis contrahitur, in Quadraturis producitur; & una cum tempore motus Nodorum augetur ac diminuitur. Erat autem momentum areæ in Quadraturis Lunæ ad ejus momentum in Syzygiis ut 10973 ad 11073; & propterea momentum mediocre in Octantibus est ad excessum in Syzygiis, defectumque in Quadraturis, ut numerorum semisumma 11023 ad eorundem semidifferentiam 50. Page 451 Unde cum tempus Lunæ in singulis Orbis particulis æqualis sit reciprocè ut ipsius velocitas, erit tempus mediocre in Octantibus ad excessum temporis in Quadrantibus, ac defectum in Syzygiis, ab hac causa oriundum, ut 11023 ad 50 quam proxime. Pergendo autem à Quadraturis ad Syzygias, invenio quod excessus momentorum areæ in locis singulis, supra momentum minimum in Quadraturis, sit ut quadratum Sinus distantiæ Lunæ à Quadrantibus quam proximè; & propterea differentia inter momentum in loco quocunque & momentum mediocre in Octantibus, est ut differentia inter quadratum Sinus distantiæ Lunæ à Quadrantibus & quadratum Sinus graduum 45, seu semissem quadrati Radii; & incrementum temporis in locis singulis inter Octantes & Quadraturas, & decrementum ejus inter Octantes & Syzygias est in eadem ratione. Motus autem Nodorum, quo tempore Luna percurrit singulas Orbis particulas æquales, acceleratur vel retardatur in duplicata ratione temporis. Est enim motus iste, dum Luna percurrit PM, (cæteris paribus) ut ML, & ML est in duplicata ratione temporis. Quare motus Nodorum in Syzygiis, eo tempore confectus quo Luna datas Orbis particulas percurrit, diminuitur in duplicata ratione numeri 11073 ad numerum 11023; estque decrementum ad motum reliquum ut 100 ad 10973, ad motum verò totum ut 100 ad 11073 quam proximè. Decrementum autem in locis inter Octantes & Syzygias, & incrementum in locis inter Octantes & Quadraturas, est quam proxime ad hoc decrementum, ut motus totus in locis illis ad motum totum in Syzygiis & differentia inter quadratum Sinus distantiæ Lunæ à Quadratura & semissem quadrati Radii ad semissem quadrati Radii, conjunctim. Unde si Nodi in Quadraturis versentur, & capiantur loca duo æqualiter ab Octante hinc inde distantia, & alia duo à Syzygiâ & Quadraturâ iisdem intervallis distantia, deque decrementis motuum in locis duabus inter Syzygiam & Octantem, subducantur incrementa motuum in locis reliquis duobus, quæ sunt inter Octantem & Quadraturam; decrementum reliquum æquale erit decremento in Syzygia: uti Page 452 rationem ineunti facilè constabit. Proindeque decrementum mediocre, quod de Nodorum motu mediocri subduci debet, est pars quarta decrementi in Syzygia. Motus totus horarius Nodorum in Syzygiis (ubi Luna radio ad Terram ducto aream tempori proportionalem describere supponebatur) erat 32″. 42″′. 5^iv. 12^v. Et decrementum motus Nodorum, quo tempore Luna jam velocior describit idem spatium, diximus esse ad hunc motum ut 100 ad 11073; adeoque decrementum illud est 17″′. 43^iv. 10^v, cujus pars quarta 4″′. 25^iv. 48^v, motui horario mediocri superius invento 16″. 21″′. 2^iv. 36^v. subducta, relinquit 16″. 16″′. 36^iv. 48^v. motum mediocrem horarium correctum.

Si los Nodos se hallan fuera de las Quadraturas, y se consideran dos lugares distantes a uno y otro lado igualmente de las Syzygias; la suma de los movimientos de los Nodos, cuando la Luna se halla en estos lugares, será a la suma de los movimientos, cuando la Luna se halla en los mismos lugares y los Nodos en las Quadraturas, como el quad. de AZ al quad. de AT.

Y los decrementos de los movimientos, originados por las causas ya expuestas, serán entre sí como los movimientos mismos, y por tanto los movimientos restantes serán entre sí como el quad. de AZ al quad. de AT, y los movimientos medios como los movimientos restantes.

Es, por tanto, el movimiento medio horario correcto, en cualquier situación dada de los Nodos, a 16″. 16″′. 36^iv. 48^v., como el quad. de AZ al quad. de AT; esto es, como el cuadrado del Seno de la distancia de los Nodos a las Syzygias al cuadrado del Radio.

# Prop. XXXII. Prob. XII.

*Invenire motum medium Nodorum Lunæ.*

El movimiento medio anual es la suma de todos los movimientos horarios medios en el año.

Concebido el Nodo girando en N, y en cada hora cumplida retraído a su lugar anterior, de modo que, no obstante su propio movimiento, conserve siempre una posición dada respecto a las Estrellas Fijas. Mientras tanto, empero, el Sol S, por el movimiento de la Tierra, avanza desde el Nodo, y cumple uniformemente su curso anual aparente.

Sea además Aa el arco dado mínimo que la línea recta TS, trazada siempre hacia el Sol, Page 453 describe por su intersección con el círculo NAn en un tiempo dado mínimo: y el movimiento horario medio (por lo ya demostrado) será como AZq. esto es (a causa de las proporcionales AZ, ZY) como el rectángulo bajo AZ y ZY, esto es, como el área AZYa. Y la suma de todos los movimientos horarios medios desde el principio, como la suma de todas las áreas aYZA, esto es, como el área NAZ.

Es además el máximo AZYa igual al rectángulo bajo el arco Aa y el radio del círculo; y por tanto la suma de todos los rectángulos en el círculo entero a la suma de otros tantos máximos, como el área del círculo entero al rectángulo bajo la circunferencia entera y el radio; esto es, como 1 a 2.

El movimiento horario, en cambio, correspondiente al rectángulo máximo, era de 16″. 16″′. 36^iv. 48^v. Y este movimiento, en todo el año sidéreo de 365 días, 6 horas, 9 minutos, se hace de 39 gr. 38′. 5″. 39″′. Y por tanto la mitad de este, 19 gr. 49′. 2″. 49″′½, es el movimiento medio de los Nodos correspondiente al círculo entero.

Y el movimiento de los Nodos, en el tiempo en que el Sol prosigue desde N hasta A, es a 19 gr. 49′. 2″. 49″′½ como el área NAZ al círculo entero.

Hæc ita se habent, ex Hypothesi quod Nodus horis singulis in locum priorem retrahitur, sic ut Sol anno toto completo ad Nodum eundem redeat à quo sub initio digressus fuerat. Verum per motum Nodi fit ut Sol citius ad Nodum revertatur, & computanda jam est abbreviatio temporis. Cum Sol anno toto conficiat 360 gradus, & Nodus motu maximo eodem tempore conficeret 39 gr. 38′. 5″. 39″′. seu 39,6349 gradus; & motus mediocris Nodi Page 454 in loco quovis N sit ad ipsius motum mediocrem in Quadraturis suis, ut AZq. ad ATq. erit motus Solis ad motum Nodi in N, ut 360 ATq. ad 39,6349 AZq.; id est ut 9,0829032 ATq. ad AZq. Unde si circuli totius circumferentia NAn dividatur in particulas æquales Aa, tempus quo Sol percurrat particulam Aa, si circulus quiesceret, erit ad tempus quo percurrit eandem particulam, si circulus una cum Nodis circa centrum T revolvatur, reciprocè ut 9,0829032 ATq. ad 9,0829032 ATq. + AZq. Nam tempus est reciprocè ut velocitas qua particula percurritur, & hæc velocitas est summa velocitatum Solis & Nodi. Igitur si tempus, quo Sol absque motu Nodi percurreret arcum NA, exponatur per Sectorem NTA, & particula temporis quo percurreret arcum quam minimum Aa, exponatur per Sectoris particulam ATa; & (perpendiculo aY in Nn demisso) si in AZ capiatur dZ, ejus longitudinis ut sit rectangulum dZ in ZY ad Sectoris particulam ATa ut AZq. ad 9,0829032 ATq. + AZq. id est ut sit dZ ad ½AZ ut ATq. ad 9,0829032 ATq. + AZq.; rectangulum dZ in ZY designabit decrementum temporis ex motu Nodi oriundum, tempore toto quo arcus Aa percurritur. Et si punctum d tangit curvam NdGn, area curvilinea NdZ erit decrementum totum, quo tempore arcus totus NA percurritur; & propterea excessus Sectoris NAT supra aream NdZ erit tempus illud totum. Et quoniam motus Nodi tempore minore minor est in ratione temporis, debebit etiam area AaYZ diminui in eadem ratione. Id quod fiet si capiatur in AZ longitudo eZ, quæ sit ad longitudinem AZ ut AZq. ad 9,08299032 ATq. + AZq. Sic enim rectangulum eZ in ZY erit ad aream AZYa ut decrementum temporis, quo arcus Aa percurritur, ad tempus totum, quo percurreretur si Nodus quiesceret: Et propterea rectangulum illud respondebit decremento motus Nodi. Et si punctum e tangat curvam NeFn, area tota NeZ, quæ summa est omnium decrementorum, respondebit decremento toti, quo tempore arcus AN percurritur; & area reliqua NAe respondebit motui reliquo, qui verus est Nodi motus quo tempore arcus Page 455 totus NA, per Solis & Nodi conjunctos motus, percurritur. Jam verò si circuli radius AT ponatur 1, erit area semicirculi 1,570796; & area figuræ NeFnT, per methodum Serierum infinitarum quæsita, prodibit 0,1188478. Motus autem qui respondet circulo toti erat 19 gr. 49′. 2″. 49″′½; & propterea motus, qui figuræ NeFnT duplicatæ respondet, est 1 gr. 29′. 57″. 51″′½. Qui de motu priore subductus relinquit 18 gr. 19′. 4″. 58″′. motum totum Nodi inter sui ipsius Conjunctiones cum Sole; & hic motus de Solis motu annuo graduum 360 subductus, relinquit 341 gr. 40′. 55″. 2″′. motum Solis inter easdem Conjunctiones. Iste autem motus est ad motum annuum 360 gr. ut Nodi motus jam inventus 18 gr. 19′. 4″. 58″′. ad ipsius motum annuum, qui propterea erit 19 gr. 18′. 0″. 22″′. Hic est motus medius Nodorum in anno sidereo. Idem per Tabulas Astronomicas est 19 gr. 20′. 31″. 1″′. Differentia minor est parte quadringentesima motus totius, & ab Orbis Lunaris Excentricitate & Inclinatione ad planum Eclipticæ oriri videtur. Per Excentricitatem Orbis motus Nodorum nimis acceleratur, & per ejus Inclinationem vicissim retardatur aliquantulum, & ad justam velocitatem reducitur.

# Prop. XXXIII. Prob. XIII.

*Invenire motum verum Nodorum Lunæ.*

En el tiempo que es como el área NTA - NdZ, (en la Fig. precedente) este movimiento es como el área NAeN, y de ahí se da. Mas debido a la excesiva dificultad del cálculo, es preferible emplear la siguiente construcción del Problema.

Con centro C, y un intervalo cualquiera CD, descríbase el círculo BEFD. Prodúzcase DC hasta A, de modo que AB sea a AC como el movimiento medio es a la mitad del movimiento verdadero medio, cuando los Nodos están en las Quadraturas: (esto es, como 19 gr. 18′. 0″. 22″′. a 19 gr. 49′. 2″. 49″′½, y por tanto BC a AC como la diferencia de los movimientos 0 gr. 31′. 2″. 27″′½, al movimiento posterior 19 gr. 49′. 2″. 49″′½, esto es, como 1. Page 456 a 38⅓) luego por el punto D hágase pasar una línea infinita Gg, que toque el círculo en D; y si se toma el ángulo BCE o BCF igual a la mitad de la distancia del Sol desde el lugar del Nodo, hallado por el movimiento medio; y se conduce AE o AF cortando la perpendicular DG en G; y se toma el ángulo que sea al movimiento del Nodo entre sus propias Syzygias (esto es, a 9 gr. 10′. 40″.) como la tangente de DG a la circunferencia total del círculo BED, y dicho ángulo se añade al movimiento medio de los Nodos; se tendrá su movimiento verdadero.

Pues el movimiento verdadero así hallado coincidirá muy próximamente con el movimiento verdadero que resulta de exponer el tiempo por el área NTA - NdZ, y el movimiento del Nodo por el área NAeN; como le constará a quien lo examine bien.

Esta es la ecuación anual del movimiento de los Nodos. Hay también una ecuación menstrual, pero que es mínimamente necesaria para el hallazgo de la Latitud de la Luna. Pues como la Variación de la inclinación de la órbita lunar al plano de la Eclíptica está sujeta a una doble desigualdad, una anual y otra menstrual; esta desigualdad menstrual y la ecuación menstrual de los Nodos se contemperan y corrigen mutuamente de tal manera que ambas pueden negligirse al determinar la Latitud de la Luna.

Corol. Ex hac & præcedente Propositione liquet quod Nodi in Syzygiis suis quiescunt, in Quadraturis autem regrediuntur motu horario 16″. 18″′. 41^iv½. Et quod æquatio motus Nodorum in Octantibus sit 1 gr. 30′. Quæ omnia cum Phænomenis cœlestibus probè quadrant.

Page 457

Prop. XXXIV. Prob. XIV.

*Invenire Variationem horariam inclinationis Orbis Lunaris ad planum Eclipticæ.*

Designent A & a Syzygias; Q & q Quadraturas; N & n Nodos; P locum Lunæ in Orbe suo; p vestigium loci illius in plano Eclipticæ, & mTl motum momentaneum Nodorum ut supra. Et si ad lineam Tm demittatur perpendiculum PG, jungatur pG, & producatur ea donec occurrat Tl in g, & jungatur etiam Pg: erit angulus PGp inclinatio orbis Lunaris ad planum Eclipticæ, ubi Luna versatur in P; & angulus Pgp inclinatio ejusdem post momentum temporis completum, adeoque angulus GPg Variatio Page 458 momentanea inclinationis. Est autem hic angulus GPg ad angulum GTg ut TG ad PG & Pp ad PG conjunctim. Et propterea si pro momento temporis substituatur hora; cum angulus GTg (per Prop. XXX.) sit ad angulum 33″. 10″′. 33^iv. ut IT × PG × AZ ad AT cub. erit angulus GPg (seu inclinationis horaria Variatio) ad angulum 33″. 10″′. 33^iv. ut IT × AZ × TG × Pp ÷ PG ad AT cub.   Q. E. I.

Hæc ita se habent ex Hypothesi quod Luna in Orbe circulari uniformiter gyratur.

Quod si orbis ille Ellipticus sit, motus mediocris Nodorum minuetur in ratione axis minoris ad axem majorem; uti supra expositum est. Et in eadem ratione minuetur etiam Sinus IT. Inclinationis autem Variatio tantum augebitur per decrementum Sinus IT, quantum diminuitur per decrementum motus Nodorum; & propterea idem manebit atque prius.

Corol. 1. Si ad Nn erigatur perpendiculum TF, sitque pM motus horarius Lunæ in plano Eclipticæ; & perpendicula pK, Mk in QT demissa & utrinque producta occurrant TF in H & h: erit Kk ad Mp ut pK seu IT ad AT, & TZ ad AT ut TG ad Hp; ideoque IT × TG æquale Kk × Hp × TZ ÷ Mp, hoc est æquale areæ HpMh ductæ in rationem TZ ÷ Mp: & propterea inclinationis Variatio horaria ad 33″. 10″′. 33^iv. ut HpMh ducta in AZ × {TZ ÷ Mp} × {Pp ÷ PG} ad AT cub.

Corol. 2. Ideoque si Terra & Nodi singulis horis completis retraherentur à locis suis novis, & in loca priora in instanti semper reducerentur, ut situs eorum, per mensem integrum periodicum, datus maneret; tota Inclinationis Variatio tempore mensis illius foret ad 33″. 10″′. 33^iv, ut aggregatum omnium arearum HpMh, in revolutione puncti p generatarum, & sub signis propriis + & - conjunctarum, ductum in AZ × TZ × Pp ÷ PG, ad Mp × AT cub. id est ut circulus totus QAqa ductus in AZ × TZ × Pp ÷ PG ad Mp × AT Page 459 cub. hoc est ut circumferentia QAqa ducta in AZ × TZ × Pp ÷ PG ad 2MP × AT quad.

Corol. 3. Por lo tanto, dada la posición de los Nodos, la variación horaria mediocria, a partir de la cual, continuada uniformemente durante un mes, podría generarse dicha variación mensual, es a 33″. 10″′. 33^iv. como AZ × TZ × Pp ÷ PG a 2ATq. esto es (siendo Pp a PG como el Seno de la Inclinación predicha es al Radio, y AZ × TZ ÷ AT a ½AT como el seno del ángulo duplicado ATn al Radio), como el producto del seno de la misma inclinación por el seno de la distancia duplicada de los Nodos al Sol, es al cuádruplo del cuadrado del Radio.

Corol. 4. Quoniam inclinationis horaria Variatio, ubi Nodi in Quadraturis versantur, est (per Propositionem superiorem) ad angulum 33″. 10″′. 33^iv. ut IT × AZ × TG × Pp ÷ PG ad AT cub. id est ut {IT × TG ÷ AT} × {Pp ÷ PG} ad AT; hoc est ut Sinus duplicatæ distantiæ Lunæ à Quadraturis ductus in Pp ÷ PG ad radium duplicatum: summa omnium Variationum horariarum, quo tempore Luna in hoc situ Nodorum transit à Quadratura ad Syzygiam, (id est spatio horarum 177¹/₆,) erit ad summam totidem angulorum 33″. 10″′. 33^iv. seu 5878″½, ut summa omnium sinuum duplicatæ distantiæ Lunæ à Quadraturis ducta in Pp ÷ PG ad summam totidem diametrorum; hoc est ut diameter ducta in Pp ÷ PG, ad circumferentiam; id est si inclinatio sit 5 gr. 2′, ut 7 × ⁸⁷⁶/₁₀₀₀₀ ad 22, seu 279 ad 10000. Proindeque Variatio tota, ex summa omnium horariarum Variationum tempore prædicto conflata, est 164″, seu 2′. 44″.

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### Prop. XXXV. Prob. XV.

*Dato tempore invenire Inclinationem Orbis Lunaris ad planum Eclipticæ.*

Sea AD el Seno de la inclinación máxima, y AB el Seno de la inclinación mínima. Bíséquese BD en C, y con centro C, intervalo BC, descríbase el Círculo BGD. En AC tómese CE en aquella razón respecto a EB que EB tiene respecto a 2BA: Y si en un tiempo dado se constituye el ángulo AEG igual a la distancia doble de los Nodos a las Quadraturas, y a AD se baja una perpendicular GH: AH será el Seno de la inclinación buscada.

Nam GEq. æquale est GHq. + HEq. = BHD + HEq. = HBD + HEq. - BHq. = HBD + BEq. - 2BH × BE = BEq. + 2EC × BH = 2EC × AB + 2EC × BH = 2EC × AH. Ideoque cum 2EC detur, est GEq. ut AH.

Designet jam AEg distantiam Nodorum à Quadraturis post datum aliquod momentum temporis completum, & arcus Gg, ob datum angulum GEg, erit ut distantia GE. Est autem Hh ad Gg ut GH ad GC, & propterea Hh est ut contentum GH × Gg seu GH × GE; id est ut {GH ÷ GE} × GE qu. seu {GH ÷ GE} × AH, id est ut AH & sinus anguli AEG conjunctim.

Igitur si AH in casu aliquo sit Sinus inclinationis, augebitur ea iisdem incrementis cum sinu inclinationis, per Corol. 3. Propositionis superioris, & propterea sinui illi æqualis semper manebit. Sed AH ubi punctum G incidit in punctum alterutrum B vel D huic Sinui æqualis est, & propterea eidem semper æqualis manet.   Q. E. D.

Page 461

En hac demonstratione supposui angulum BEG, qui distantia est Nodorum à Quadraturis, uniformiter augeri. Nam omnes inæqualitatum minutias expendere non vacat.

Concipe jam angulum BEG rectum esse, & Gg esse augmentum horarium distantiæ Nodorum & Solis ab invicem; & inclinationis Variatio horaria (per Corol. 3. Prop. novissimæ) erit ad 33″. 10″′. 33^iv. ut contentum sub inclinationis Sinu AH & Sinu anguli recti BEG, qui est duplicata distantia Nodorum à Sole, ad quadruplum quadratum Radii; id est ut mediocris inclinationis Sinus AH ad radium quadruplicatum; hoc est (cum inclinatio illa mediocris sit quasi 5 gr. 8′½.) ut ejus Sinus 896 ad radium quadruplicatum 40000, sive ut 224 ad 10000.

Est autem Variatio tota, Sinuum differentiæ BD respondens, ad variationem illam horariam ut diameter BD ad arcum Gg; id est ut diameter BD ad semicircumferentiam BGD & tempus horarum 2080, quo Nodus pergit à Quadraturis ad Syzygias, ad horam unam conjunctim; hoc est ut 7 ad 11 & 2080 ad 1.

Quare si rationes omnes conjungantur, fiet Variatio tota BD ad 33″. 10″′. 33^iv. ut 224 × 7 × 2080 ad 110000, id est ut 2965 ad 100, & inde Variatio illa BD prodibit 16′. 24″.

Hæc est inclinationis Variatio maxima quatenus locus Lunæ in Orbe suo non consideratur. Nam inclinatio, si Nodi in Syzygiis versantur, nil mutatur ex vario situ Lunæ. At si Nodi in Quadraturis consistunt, inclinatio major est ubi Luna versatur in Syzygiis, quàm ubi ea versatur in Quadraturis, excessu 2′. 44″; uti in Propositionis superioris Corollario quarto indicavimus.

Et hujus excessus dimidio 1′. 22″ Variatio tota mediocris BD in Quadraturis Lunaribus diminuta fit 15′. 2″, in ipsius autem Syzygiis aucta fit 17′. 46″. Si Luna igitur in Syzygiis constituatur, Variatio tota, in transitu Nodorum à Quadraturis ad Syzygias, erit 17′. 46″. adeoque si Inclinatio, ubi Nodi in Syzygiis versantur, sit 5 gr. 17′. 46″. eadem, ubi Nodi sunt in Quadraturis, & Luna in Syzygiis, erit 5 gr.

Atque hæc ita se habere confirmatur ex Observationibus. Nam statuunt Astronomi Inclinationem Orbis Lunaris ad planum Page 462 Eclipticæ, ubi Nodi sunt in Quadraturis & Luna in oppositione Solis, esse quasi 5 gr. Ubi verò Nodi sunt in Syzygiis, eandem docent esse 5 gr. 17′½ vel 5 gr. 18′.

Si jam desideretur Orbis Inclinatio illa, ubi Luna in Syzygiis & Nodi ubivis versantur; fiat AB ad AD ut Sinus 5 gr. ad Sinum 5 gr. 17′. 46″, & capiatur angulus AEG æqualis duplicatæ distantiæ Nodorum à Quadraturis; & erit AH Sinus Inclinationis quæsitæ.

Huic Orbis Inclinationi æqualis est ejusdem Inclinatio, ubi Luna distat 90 gr. à Nodis. Aliis in Lunæ locis inæqualitas menstrua, quam Inclinationis variatio admittit, in calculo Latitudinis Lunæ compensatur & quodammodo tollitur per inæqualitatem menstruam motus Nodorum, (ut supra diximus) adeoque in calculo Latitudinis illius negligi potest.

# Escolio.

Hactenus de motibus Lunæ quatenus Excentricitas Orbis non consideratur. Similibus computationibus inveni, quod Apogæum ubi in Conjunctione vel Oppositione Solis versatur, progreditur singulis diebus 23′ respectu Fixarum; ubi verò in Quadraturis est, regreditur singulis diebus 16⅓ circiter: quodque ipsius motus medius annuus sit quasi 40 gr.

Per Tabulas Astronomicas à Cl. Flamstedio ad Hypothesin Horroxii accommodatas, Apogæum in ipsius Syzygiis progreditur cum motu diurno 24′. 28″, in Quadraturis autem regreditur cum motu diurno 20′. 12″, & motu medio annuo 40 gr. 41′ fertur in consequentia. Quod differentia inter motum diurnum progressivum Apogæi in ipsius Syzygiis, & motum diurnum regressivum in ipsius Quadraturis, per Tabulas sit 4′. 16″, per computationem verò nostram 6′⅔, vitio Tabularum tribuendum esse Page 463 suspicamur.

Sed neque computationem nostram satis accuratam esse putamus. Nam rationem quandam ineundo prodiere Apogæi motus diurnus progressivus in ipsius Syzygiis, & motus diurnus regressivus in ipsius Quadraturis, paulo majores. Computationes autem, ut nimis perplexas & approximationibus impeditas, neque satis accuratas, apponere non lubet.

Prop. XXXVI. Prob. XVI.

*Invenire vim Solis ad Mare movendum.*

La fuerza ML o PS, en las Cuadraturas Lunares, para perturbar los movimientos lunares, era (por la Prop. XXV de este [libro]) respecto a la fuerza de gravedad entre nosotros como 1 a 638092,6.

Y la fuerza SM - LM o 2PK en las Sicigias Lunares es el doble de mayor.

Estas fuerzas, empero, si se desciende a la superficie de la Tierra, se disminuyen en la razón de las distancias desde el centro de la Tierra, esto es, en la razón de 60½ a 1; y por tanto la fuerza anterior en la superficie de la Tierra es a la fuerza de gravedad como 1 a 38604600.

Por esta fuerza el Mar es deprimido en los lugares que distan 90 gr. del Sol.

Por la otra fuerza que es el doble mayor, el Mar es elevado tanto bajo el Sol como en la región opuesta al Sol.

La suma de las fuerzas es a la fuerza de gravedad como 1 a 12868200.

Y puesto que la misma fuerza excita el mismo movimiento, ya sea que deprima el Agua en las regiones que distan 90 gr. del Sol, ya sea que eleve la misma en las regiones bajo el Sol y opuestas al Sol, esta suma será toda la fuerza del Sol para agitar el Mar; y tendrá el mismo efecto como si toda ella en las regiones bajo el Sol y opuestas al Sol elevara el mar, mientras que en las regiones que distan 90 gr. del Sol no obraría en nada.

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Corol. Hinc cum vis centrifuga partium Terræ à diurno Terræ motu oriunda, quæ est ad vim gravitatis ut 1 ad 291, efficiat ut altitudo Aquæ sub Æquatore superet ejus altitudinem sub polis mensura pedum Parisiensium 85200, vis Solaris, de qua egimus, cum sit ad vim gravitatis ut 1 ad 12868200, atque adeo ad vim illam centrifugam ut 291 ad 12868200 seu 1 ad 44221, efficiet ut altitudo aquæ in regionibus sub Sole & Soli oppositis superet altitudinem ejus in locis quæ 90 gradibus distant à Sole, mensura tantum pedis unius Parisiensis & digitorum undecim. Est enim hæc mensura ad mensuram pedum 85200 ut 1 ad 44221.

Prop. XXXVII. Prob. XVII.

*Invenire vim Lunæ ad Mare movendum.*

La fuerza de la Luna para mover el mar ha de colegirse de su proporción con la fuerza del Sol, y esta proporción debe colegirse de la proporción de los movimientos del mar que se originan de estas fuerzas.

Ante la desembocadura del río Avon, a la tercera piedra abajo de Bristol, en tiempo de primavera y otoño, el ascenso total del agua en la Conjunción y Oposición de las Luminarias (según la observación de Samuel Sturmy) es de 45 pies poco más o menos, mientras que en las Cuadraturas es de solo 25 pies: la altitud primera se origina de la suma de las fuerzas, y la segunda de la diferencia de las mismas.

Sean, por tanto, S y L las fuerzas del Sol y de la Luna cuando se hallan en el Ecuador y a una distancia media de la Tierra. Y puesto que la Luna, en las Cuadraturas y en tiempo de primavera y otoño, se halla fuera del Ecuador con una declinación de 23½ grados poco más o menos, y la fuerza de la Luminaria que declina del Ecuador para mover el mar es menor, y ello (según entiendo) en razón duplicada del seno del complemento de la declinación próximamente, la fuerza de la Luna en las Cuadraturas (siendo dicho seno al radio como 91706 a 100000) será ⁸⁴¹/₁₀₀₀ L, y la suma de las fuerzas en las Syzygias será L + S, y la diferencia en las Cuadraturas ⁸⁴¹/₁₀₀₀ L - S; por lo cual L + S será a ⁸⁴¹/₁₀₀₀ L - S como 45 a 25, o 9 a 5, y de ahí 5L + 5S será igual a ⁷⁵⁶⁹/₁₀₀₀ L - 9S, y

Page 465 14S será igual a ²⁵⁶⁹/₁₀₀₀ L, y por tanto L a S como 14000 a 2569, o 5⁷/₁₅ a 1.

En el puerto de Plymouth la marea del mar (por observación de Samuel Colepress) se eleva a dieciséis pies poco más o menos de altura media, y en tiempo de primavera y otoño la altura de la marea en las Syzygias de la Luna puede superar su altura en las Cuadraturas en siete u ocho pies. Si el exceso medio en estos tiempos fuere de siete pies y medio, la marea en las Syzygias ascenderá a 19¾ pies, y en las Cuadraturas a 12¼ pies, y así L + S será a ⁸⁴¹/₁₀₀₀ L - S como 19¾ a 12¼, y de ahí L a S como 734 a 100, o 7⅓ a 1.

Es, por tanto, la fuerza de la Luna con respecto a la fuerza del Sol, según el primer cálculo, como 5⁷/₁₅ a 1, y según el segundo, como 7⅓ a 1.

Hasta tanto que algo más cierto conste a partir de observaciones instituidas con mayor precisión, usurparemos la proporción media de 6⅓ a 1. De donde, siendo la fuerza del Sol a la fuerza de la gravedad como 1 a 12868200, la fuerza de la Luna será a la fuerza de la gravedad como 1 a 2031821.

Corol. 1. Igitur cum aqua vi Solis agitata ad altitudinem pedis unius & undecim digitorum ascendat, eadem vi Lunæ ascendet ad altitudinem pedum duodecim. Tanta autem vis ad omnes maris motus excitandos abunde sufficit, & quantitati motuum probe respondet. Nam in maribus quæ ab Oriente in Occidentem latè patent, uti in Mari Pacifico, & Maris Atlantici & Æthiopici partibus extra Tropicos, aqua attolli solet ad altitudinem pedum sex, novem duodecim vel quindecim. In mari autem Pacifico, quod profundius est & latius patet, æstus dicuntur esse majores quàm in Atlantico & Æthiopico. Etenim ut plenus sit æstus, latitudo Maris ab Oriente in Occidentem non minor esse debet quàm graduum nonaginta. In Mari Æthiopico, ascensus aquæ intra Tropicos minor est quàm in Zonis temperatis, propter angustiam Maris inter Africam & Australem partem Americæ. In medio Mari aqua nequit ascendere nisi ad littus utrumque & orientale & occidentale simul descendat: cum tamen vicibus alternis ad littora illa in Maribus nostris angustis descendere debeat. Ea de causa fluxus & refluxus in Insulis, quæ à littoribus longissimè absunt, perexiguus esset solet. In Portubus quibusdam, ubi aqua cum impetu magno per loca Página 466 vadosa, ad Sinus alternis vicibus implendos & evacuandos, influere & effluere cogitur, fluxus & refluxus sunt solito majores, uti ad Plymuthum & pontem Chepstowæ in Anglia; ad montes S. Michaelis & urbem Abrincatuorum (vulgo Auranches) in Normania; ad Cambaiam & Pegu in India orientali. His in locis mare, magna cum velocitate accedendo & recedendo, littora nunc inundat nunc arida relinquit ad multa Milliaria. Neque impetus influendi & remeandi prius frangi potest, quam aqua attollitur vel deprimitur ad pedes 30, 40 vel 50 & amplius. Et par est ratio fretorum oblongorum & vadosorum, uti Magellanici & ejus quo Anglia circundatur. Æstus in hujusmodi portubus & fretis per impetum cursus & recursus supra modum augetur. Ad littora verò quæ descensu præcipiti ad mare profundum & apertum spectant, ubi aqua sine impetu effluendi & remeandi attolli & subsidere potest, magnitudo æstus respondet viribus Solis & Lunæ.

Corol. 2. Como la fuerza de la Luna para mover el mar es a la fuerza de la gravedad como 1 a 2031821, es evidente que dicha fuerza es mucho menor que la que pueda sentirse ya sea en los experimentos de péndulos, o en cualesquiera estáticas o hidrostáticas. Solo en el flujo marino esta fuerza produce un efecto sensible.

Corol. 3. Quoniam vis Lunæ ad mare movendum est ad Solis vim consimilem ut 6⅓ ad 1, & vires illæ sunt ut densitates corporum Lunæ & Solis & cubi diametrorum apparentium conjunctim; erit densitas Lunæ ad densitatem Solis ut 6⅓ ad 1 directè & cubus diametri Solis ad cubum diametri Lunæ inversè, id est (cum diametri mediocres apparentes Solis & Lunæ sint 31′. 27″. & 32′. 12″.) ut 34 ad 5. Densitas autem Solis erat ad densitatem Terræ ut 100 ad 387, & propterea densitas Lunæ est ad densitatem Terræ ut 600 ad 387, seu 9 ad 5 quam proximè. Est igitur corpus Lunæ densius & magis terrestre quàm Terra nostra.

Corol. 4. Unde cum vera diameter Lunæ sit ad veram diametrum Terræ ut 1 ad 3,6½, erit massa Lunæ ad massam Terræ ut 1 ad 26 quam proximè. Page 467

Corol. 5. Et gravitas acceleratrix in superficie Lunæ, erit quasi duplo minor quàm gravitas acceleratrix in superficie Terræ.

Prop. XXXVIII. Prob. XVIII.

*Invenire figuram corporis Lunæ.*

Si corpus Lunare fluidum esset ad instar maris nostri, vis Terræ ad fluidum illud in partibus & citimis & ultimis elevandum, esset ad vim Lunæ, qua mare nostrum in partibus & sub Luna & Lunæ oppositis attollitur, ut gravitas acceleratrix Lunæ in Terram ad gravitatem acceleratricem Terræ in Lunam & diameter Lunæ ad diametrum Terræ conjunctim; id est ut 26 ad 1 & 5 ad 18 conjunctim seu 65 ad 9. Unde cum mare nostrum vi Lunæ attollatur ad pedes duodecim, fluidum Lunare vi Terræ attolli deberet ad pedes fere nonaginta. Eaque de causa figura Lunæ Sphærois esset, cujus maxima diameter producta transiret per centrum Terræ, & superaret diametros perpendiculares excessu pedum 180. Talem igitur figuram Luna affectat, eamque sub initio induere debuit.   Q. E. I.

Corol. Inde verò fit ut eadem semper Lunæ facies in Terram obvertatur. In alio enim situ corpus Lunare quiescere non potest, sed ad hunc situm oscillando semper redibit. Attamen oscillationes ob parvitatem virium agitantium essent longè tardissimæ: adeò ut facies illa, quæ Terram semper respicere deberet, possit alterum orbis Lunaris umbilicum, ob rationem superius allatam respicere, neque statim abinde retrahi & in Terram converti.

# Lema I.

*Si* APEp *Terram designet uniformiter densam, centroque* C *& polis* P, p *& æquatore* AE *delineatam; & si centro* C *radio* CP *describi intelligatur sphæra* Pape *; sit autem* QR *planum, cui recta à centro Solis ad centrum Terræ ducta normaliter insistit; & Terræ totius exterioris* PapAPepE *, quæ Sphærâ modò descriptâ altior est, particulæ singulæ conantur recedere hinc inde à plano* QR *, sitque conatus particulæ cujusque ut ejusdem distantia à plano: erit vis & efficacia tota particularum omnium, ad Terram circulariter movendam, quadruplo minor quàm vis tota particularum totidem in Æquatoris circulo* AE *, uniformiter per totum circuitum in morem annuli dispositarum, ad Terram consimili motu circulari movendam. Et motus iste circularis circa axem in plano* QR *jacentem, & axi* Pp *perpendiculariter insistentem, peragetur.*

Sea IK un círculo menor paralelo al Ecuador AE, y sea L una partícula de la Tierra situada en dicho círculo fuera del globo de Pape. Y si se deja caer una perpendicular LM al plano QR, la fuerza total de aquella partícula para hacer girar la Tierra alrededor de su propio centro será proporcional al mismo LM: y si esta fuerza LM (por el Corol. 2 de las Leyes) se descompone en las fuerzas LN, NM; la eficacia de las fuerzas MN de todas las partículas L, situadas en el circuito de toda la Tierra fuera del globo de Pape, para hacer girar la Tierra alrededor de su propio centro según el orden de las letras ApEP, será a la eficacia de las fuerzas LN de todas las partículas L, para hacer girar la Tierra alrededor de su propio centro según el orden contrario de las mismas letras, como tres a dos.

Y por lo tanto la eficacia de todas las fuerzas MN será al exceso de esta eficacia sobre la eficacia de todas las fuerzas LN como tres a uno. Y si todas aquellas partículas estuvieran situadas en el Ecuador, la eficacia de todas las fuerzas LN se anularía, y la eficacia de todas las fuerzas MN aumentaría en la razón de cuatro a tres. Por lo cual aquel exceso, que es la eficacia absoluta de las partículas en sus lugares propios, es la cuarta parte de la eficacia de esas mismas partículas en el Ecuador. El movimiento además Page 469 de los equinoccios es como esta eficacia. Examine cada uno lo que quiera. Procuro la brevedad.

# Lema II.

* Y el movimiento de toda la Tierra alrededor de ese eje, compuesto de los movimientos de todas las partículas, estará con respecto al movimiento del anillo alrededor del mismo eje en la razón compuesta de la razón de la materia en la Tierra a la materia en el anillo, y la razón de tres cuadrados del arco cuadrantal de cualquier círculo a dos cuadrados del diámetro; esto es, en la razón de la materia a la materia y del número 925275 al 1000000.

Es enim motus Cylindri circa axem suum immotum revolventis, ad motum Sphæræ inscriptæ & simul revolventis, ut quælibet quatuor æqualia quadrata ad tres ex circulis sibi inscriptis: & motus Cylindri ad motum annuli tenuissimi, Sphæram & Cylindrum ad communem eorum contactum ambientis, ut duplum materiæ in Cylindro ad triplum materiæ in annulo; & annuli motus iste circa axem Cylindri uniformiter continuatus, ad ejusdem motum uniformem circa diametrum propriam, eodem tempore periodico factum, ut circumferentia circuli ad duplum diametri.

### Lema III.

* Si annulus, Terra omni reliqua sublata, solus in orbe Terræ motu annuo circa Solem ferretur, & interea circa axem suum, ad planum Eclipticæ in angulo graduum 23½ inclinatum, motu diurno revolveretur: idem foret motus Punctorum Æquinoctialium sive annulus iste fluidus esset, sive is ex materia rigida & firma constaret.

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Prop. XXXIX. Prob. XIX.

*Invenire Præcessionem Æquinoctiorum.*

El movimiento horario medio de los Nodos de la Luna en una órbita circular, donde los Nodos están en las Quadraturas, era de 16″. 35″′. 16^iv. 36^v. y la mitad de este, 8″. 17″′. 38^iv. 18^v. (por las razones ya explicadas) es el movimiento horario medio de los Nodos en tal Órbita; y se hace en todo el año sidéreo de 20 gr. 11′. 46″.

Puesto que, por tanto, los Nodos de la Luna en tal Órbita completarían anualmente 20 gr. 11′. 46″. hacia los signos precedentes; y si hubiese muchas Lunas, el movimiento de los Nodos de cada una, por el Corol. 16 de la Prop. LXVI del Lib. I, sería recíprocamente como los tiempos periódicos; y por ello si la Luna girase en el espacio de un día sidéreo junto a la superficie de la Tierra, el movimiento anual de los Nodos sería a 20 gr. 11′. 46″. como el día sidéreo de 23 horas 56′ al tiempo periódico de la Luna de 27 días 7 horas 43′; esto es, como 1436 a 39343.

Y la razón es igual para los Nodos de un anillo de Lunas que envuelve a la Tierra; ya sea que esas Lunas no se toquen mutuamente, ya sea que se fundan y se formen en un anillo continuo, ya sea por último que ese anillo se vuelva rígido e inflexible.

Fingamus igitur quod annulus iste quoad quantitatem materiæ æqualis sit Terræ omni PapAPepE, quæ globo PapE superior est; & quoniam globus iste est ad Terram illam superiorem ut aC qu. ad AC qu. - aC qu. id est (cum Terræ diameter minor PC vel aC sit ad diametrum majorem AC ut 689 ad 692) ut 4143 ad 474721 seu 1000 ad 114585; si annulus iste Terram secundum æquatorem cingeret, & uterque simul circa diametrum annuli revolveretur, motus annuli esset ad motum globi interioris (per Page 471 hujus Lem. II.) ut 4143 ad 474721 & 1000000 ad 925275 conjunctim, hoc est ut 4143 ad 439248: ideoque motus annuli esset ad summam motuum annuli & globi, ut 4143 ad 443991.

Unde si annulus globo adhæreat, & motum suum, quo ipsius Nodi seu puncta æquinoctialia regrediuntur, cum globo communicet: motus qui restabit in annulo erit ad ipsius motum priorem ut 4143 ad 443391; & propterea motus punctorum æquinoctialium diminuetur in eadem ratione.

Erit igitur motus annuus punctorum æquinoctialium corporis ex globo & annulo compositi, ad motum 20 gr. 11′. 46″, ut 1436 ad 39343 & 4143 ad 443391 conjunctim, id est ut 1 ad 2932.

Vires autem quibus Nodi Lunarum (ut supra explicui) atque adeò quibus puncta æquinoctialia annuli regrediuntur (id est vires 3IT, in Fig. pag. 444.) sunt in singulis particulis ut distantiæ particularum à plano QR, & his viribus particulæ illæ planum fugiunt; & propterea (per Lem. I.) si materia annuli per totam globi superficiem, in morem figuræ PapAPepE, ad superiorem illam Terræ partem constituendam spargeretur, vis & efficacia tota particularum omnium ad Terram circa quamvis Æquatoris diametrum rotandam, atque adeo ad movenda puncta æquinoctialia, evaderet quadruplo minor quàm prius.

Ideoque annuus æquinoctiorum regressus jam esset ad 20 gr. 11′. 46″. ut 1 ad 11728, ac proinde fieret 6″. 12″′. 2^iv. Hæc est præcessio Æquinoctiorum à vi Solis oriunda. Vis autem Lunæ ad mare movendum erat ad vim Solis ut 6⅓ ad 1, & hæc vis pro quantitate sua augebit etiam præcessionem Æquinoctiorum. Ideoque præcessio illa ex utraque causa oriunda jam fiet major in ratione 7⅓ ad 1, & sic erit 45″. 24″′. 15^iv.

Hic est motus punctorum æquinoctialium ab actionibus Solis & Lunæ in partes Terræ, quæ globo Pape incumbunt, oriundus. Nam Terra ab actionibus illis in globum ipsum exercitis nullam in partem inclinari potest.

Designetur jam APEp corpus Terræ figurâ Ellipticâ præditum, & ex uniformi materiâ constans. Et si distinguatur idem in figuras innumeras Ellipticas concentricas & consimiles, APEp, BQbq, Page 472 CRcr, DSds, &c. quarum diametri sint in progressione Geometrica: quoniam figuræ consimiles sunt, vires Solis & Lunæ, quibus puncta æquinoctialia regrediuntur, efficerent ut figurarum reliquarum seorsim spectatarum puncta eadem æquinoctialia eadem cum velocitate regrederentur.

Et par est ratio motus orbium singulorum AQEq, BRbr, CScs, &c. qui sunt figurarum illarum differentiæ. Orbis uniuscujusque, si solus esset, puncta æquinoctialia eadem cum velocitate regredi deberent. Nec refert utrum orbis quilibet densior sit an rarior, si modò ex materia uniformiter densa confletur. Unde etiam si orbes ad centrum densiores sint quàm ad circumferentiam, idem erit motus æquinoctiorum Terræ totius ac prius; si modo orbis unusquisque seorsim spectatus ex materia uniformiter densa constet, & figura orbis non mutetur.

Quod si figuræ orbium mutentur, Terraque ad æquatorem AE, ob densitatem materiæ ad centrum, jam altius ascendat quàm prius; regressus æquinoctiorum ex aucta altitudine augebitur, idque in orbibus singulis seorsim existentibus, in ratione majoris altitudinis materiæ juxta orbis illius æquatorem; in Terra autem tota in ratione majoris altitudinis materiæ juxta æquatorem orbis non extimi AQEq, non intimi Gg, sed mediocris alicujus CScs.

Terram autem ad centrum densiorem esse, & propterea sub Æquatore altiorem esse quàm ad polos in majore ratione quàm 692 ad 689, in superioribus insinuavimus. Et ratio majoris altitudinis colligi ferè potest ex majore diminutione gravitatis sub æquatore, quàm quæ ex ratione 692 ad 689 consequi debeat.

Excessus longitudinis penduli, quod in Insula Goree & in illâ Cayennæ minutis singulis secundis oscillatur, supra longitudinem Penduli quod Parisiis eodem tempore oscillatur, à Page 473 Gallis inventi sunt pars decima & pars octava digiti, qui tamen ex proportione 692 ad 689 prodiere ⁸¹/₁₀₀₀ & ⁸⁹/₁₀₀₀.

Major est itaque longitudo Penduli Cayennæ quàm oportet, in ratione ⅛ ad ⁸⁹/₁₀₀₀, seu 1000 ad 712; & in Insula Goree in ratione ¹/₁₀ ad ⁸¹/₁₀₀₀ seu 1000 ad 810. Si sumamus rationem mediocrem 1000 ad 760; minuenda erit gravitas Terræ ad æquatorem, & ibidem augenda ejus altitudo, in ratione 1000 ad 760 quam proximè.

Unde motus æquinoctiorum (ut supra dictum est) auctus in ratione altitudinis Terræ, non ad orbem extimum, non ad intimum, sed ad intermedium aliquem, id est, non in ratione maxima 1000 ad 760, non in minima 1000 ad 1000, sed in mediocri aliqua, puta 10 ad 8⅓ vel 6 ad 5, evadet annuatim 54″. 29″′. 6^iv.

Rursus hic motus, ob inclinationem plani Æquatoris ad planum Eclipticæ, minuendus est, idque in ratione Sinus complementi inclinationis ad Radium.

Nam distantia particulæ cujusque terrestris à plano QR, quo tempore particula illa à plano Eclipticæ longissimè distat, in Tropico suo (ut ita dicam) consistens, diminuitur, per inclinationem planorum Eclipticæ & Æquatoris ad invicem, in ratione Sinus complementi inclinationis ad Radium.

Et in ratione distantiæ illius diminuitur etiam vis particulæ ad æquinoctia movenda. In eadem quoque ratione diminuitur summa virium particulæ ejusdem, in locis hinc inde à Tropico æqualiter distantibus: uti ex prædemonstratis facilè ostendi possit: & propterea vis tota particulæ illius, in revolutione integrâ, ad æquinoctia movenda, ut & vis tota particularum omnium, & motus æquinoctiorum à vi illa oriundus, diminuitur in eadem ratione.

Igitur cum inclinatio illa sit 23½ gr. diminuendus est motus 54″. 29″′. in ratione Sinus 91706 (qui sinus est complementi graduum 23½) ad Radium 100000. Qua ratione motus iste jam fiet 49″. 58″′.

Regrediuntur igitur puncta æquinoctiorum motu annuo (juxta computationem nostram) 49″. 58″′, fere ut Phænomena cœlestia requirunt. Nam regressus ille annuus ex observationibus Astronomorum est 50″.

Ya hemos descritos el Sistema del Sol, de la Tierra y de los Planetas: resta que se añada algo acerca de los Cometas.

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# Lema IV.

*Cometas esse Lunâ superiores & in regione Planetarum versari.*

Ut defectus Parallaxeos diurnæ extulit Cometas supra regiones sublunares, sic ex Parallaxi annua convincitur eorum descensus in regiones Planetarum. Nam Cometæ qui progrediuntur secundum ordinem signorum sunt omnes, sub exitu apparitionis, aut solito tardiores aut retrogradi, si Terra est inter ipsos & Solem, at justo celeriores si Terra vergit ad oppositionem. Et è contra, qui pergunt contra ordinem signorum sunt justo celeriores in fine apparitionis, si Terra versatur inter ipsos & Solem; & justo tardiores vel retrogradi si Terra sita est ad contrarias partes.

Contingit hoc maximè ex motu Terræ in vario ipsius situ, perinde ut fit in Planetis, qui, pro motu Terræ vel conspirante vel contrario, nunc retrogradi sunt, nunc tardiùs moveri videntur, nunc verò celeriùs. Si Terra pergit ad eandem partem cum Cometa, & motu angulari circa Solem celerius fertur, Cometa è Terra spectatus, ob motum suum tardiorem, apparet esse retrogradus; sin Terra tardiùs fertur, motus Cometæ, (detracto motu Terræ) fit saltem tardior. At si Terra pergit in contrarias partes, Cometa exinde velocior apparet.

Ex acceleratione autem vel retardatione vel motu retrogrado distantia Cometæ in hunc modum colligitur. Sunto QA, QB, QC observatæ tres longitudines Cometæ, sub initio motus, sitque QF longitudo ultimò observata, ubi Cometa videri desinit. Agatur recta ABC, cujus partes AB, BC rectis QA & Page 475 QB, QB & QC interjectæ, sint ad invicem ut tempora inter observationes tres primas. Producatur AC ad G, ut sit AG ad AB ut tempus inter observationem primam & ultimam, ad tempus inter observationem primam & secundam, & jungatur QG. Et si Cometa moveretur uniformiter in linea recta, atque Terra vel quiesceret, vel etiam in linea recta, uniformi cum motu, progrederetur; foret angulus QG longitudo Cometæ tempore Observationis ultimæ. Angulus igitur FQG, qui longitudinum differentia est, oritur ab inæqualitate motuum Cometæ ac Terræ. Hic autem angulus, si Terra & Cometa in contrarias partes moventur, additur angulo AQG, & sic motum apparentem Cometæ velociorem reddit: Sin Cometa pergit in easdem partes cum Terra, eidem subducitur, motumque Cometæ vel tardiorem reddit, vel forte retrogradum; uti modò exposui. Oritur igitur hic angulus præcipuè ex motu Terræ, & idcirco pro parallaxi Cometæ meritò habendus est, neglecto videlicet ejus incremento vel decremento nonnullo, quod à Cometæ motu inæquabili in orbe proprio oriri possit.

Distantia verò Cometæ ex hac parallaxi sic colligitur. Designet S Solem, acT Orbem magnum, a locum Terræ in observatione prima, c locum Terræ in observatione secunda, T locum Terræ in observatione ultima, & T lineam rectam versus principium Arietis ductam. Sumatur angulus TV æqualis angulo QF, hoc est æqualis longitudini Cometæ ubi Terra versatur in T. Jungatur ac, & producatur ea ad g, ut sit ag ad ac ut AG ad AC, & erit g locus quem Terra tempore observationis ultimæ, motu in recta ac uniformiter continuato, attingeret. Ideoque si ducatur g ipsi T parallela, & capiatur angulus gV angulo QG æqualis, erit hic angulus gV Page 476 æqualis longitudini Cometæ è loco g spectati; & angulus TVg parallaxis erit, quæ oritur à translatione Terræ de loco g in locum T: ac proinde V locus erit Cometæ in plano Eclipticæ. Hic autem locus V orbe Jovis inferior esse solet.

Idem colligitur ex curvatura viæ Cometarum. Pergunt hæc corpora propemodum in circulis maximis quamdiu moventur celerius; at in fine cursus, ubi motus apparentis pars illa quæ à parallaxi oritur, majorem habet proportionem ad motum totum apparentem, deflectere solent ab his circulis, & quoties Terra movetur in unam partem abire in partem contrariam.

Oritur hæc deflexio maximè ex Parallaxi, propterea quod respondet motui Terræ; & insignis ejus quantitas meo computo collocavit disparentes Cometas satis longè infra Jovem. Unde consequens est quòd in Perigæis & Periheliis, ubi propius adsunt, descendunt sæpius infra orbes Martis & inferiorum Planetarum.

Confirmatur etiam propinquitas Cometarum ex luce capitum. Nam corporis cœlestis à Sole illustrati & in regiones longinquas abeuntis diminuitur splendor in quadruplicata ratione distantiæ: in duplicata ratione videlicet ob auctam corporis distantiam à Sole, & in alia duplicata ratione ob diminutam diametrum apparentem. Unde si detur & lucis quantitas & apparens diameter Cometæ, dabitur distantia, dicendo quod distantia sit ad distantiam Planetæ in ratione integra diametri ad diametrum directè & ratione dimidiata lucis ad lucem inversè.

Sic minima Capillitii Cometæ anni 1682 diameter, per Tubum opticum sexdecim pedum à Cl. Flamstedio observata & micrometro mensurata, æquabat 2′. 0″. Nucleus autem seu stella in medio capitis vix decimam partem latitudinis hujus occupabat, adeoque lata erat tantum 11″ vel 12″. Luce verò & claritate capitis superabit caput Cometæ anni 1680, stellasque primæ vel secundæ magnitudinis æmulabatur. Ponamus Saturnum cum annulo suo quasi quadruplo lucidiorem fuisse: & quoniam lux annuli propemodum æquabat lucem globi intermedii, & diameter apparens globi sit quasi 21″, adeoque lux globi & annuli Page 477 conjunctim æquaret lucem globi, cujus diameter esset 30″: erit distantiæ Cometæ ad distantiam Saturni ut 1 ad √4 inversè, & 12″ ad 30″ directè, id est ut 24 ad 30 seu 4 ad 5.

Rursus Cometa anni 1665 mense Aprili, ut Author est Hevelius, claritate sua pene fixas omnes superabat, quinetiam ipsum Saturnum, ratione coloris videlicet longè vividioris. Quippe lucidior erat hic Cometa altero illo, qui in fine anni præcedentis apparuerat & cum stellis primæ magnitudinis conferebatur. Latitudo capillitii erat quasi 6′, at nucleus cum Planetis ope Tubi optici collatus, plane minor erat Jove, & nunc minor corpore intermedio Saturni, nunc ipsi æqualis judicabatur.

Porrò cum diameter Capillitii Cometarum rarò superet 8′ vel 12′, diameter verò Nuclei seu stellæ centralis sit quasi decima vel fortè decima quinta pars diametri capillitii, patet Stellas hasce ut plurimum ejusdem esse apparentis magnitudinis cum Planetis. Unde cum lux eorum cum luce Saturni non rarò conferri possit, eamque aliquando superet; manifestum est quod Cometæ omnes in Periheliis vel infra Saturnum collocandi sint, vel non longe supra. Errant igitur toto cœlo qui Cometas in regionem Fixarum prope ablegant: qua certè ratione non magis illustrari deberent à Sole nostro, quàm Planetæ, qui hic sunt, illustrantur à Stellis fixis.

Estas cosas las hemos discutido sin considerar la oscuridad de los cometas debida a aquel humo copiosísimo y denso con que se rodea la cabeza, brillando siempre débilmente como a través de una nube. Pues cuanto más oscuro se hace el cuerpo a causa de este humo, tanto más cerca del Sol es necesario que se acerque, para que la cantidad de luz reflejada por él rivalice con la de los planetas.

De ahí resulta verosímil que los cometas descienden muy por debajo de la esfera de Saturno, tal como lo hemos demostrado a partir de la paralaje. Y lo mismo se confirma en gran manera por medio de las colas. Estas se originan ya sea a partir de la reflexión del humo disperso por el éter, ya sea a partir de la luz de la cabeza.

• En el primer caso, debe disminuirse la distancia de los cometas, para que el humo originado siempre en la cabeza no se propague por espacios demasiado amplios con una velocidad e expansión increíbles.
• En el segundo, toda la luz, tanto de la cola como de la cabellera, debe atribuirse al núcleo de la cabeza.

Por lo tanto, si imaginamos que toda esta luz se reúne y se comprime dentro del disco del núcleo, ese núcleo, ciertamente, tantas cuantas veces emite una cola grandísima y fulgurantísima, superará con mucho al propio Júpiter por su esplendor. Emitiendo, pues, más luz con un diámetro aparente menor, será mucho más iluminado por el Sol y, por consiguiente, estará mucho más cerca del Sol.

Además, las cabezas que se ocultan bajo el Sol y emiten colas, a veces grandísimas y fulgurantísimas a modo de vigas encendidas, deben ser colocadas por el mismo argumento por debajo de la órbita de Venus. Pues toda esa luz, si se supone congregada en una estrella, superaría alguna vez a la propia Venus, por no decir a varias Venus juntas.

Idem denique colligitur ex luce capitum crescente in recessu Cometarum à Terra Solem versus, ac decrescente in eorum recessu à Sole versus Terram. Sic enim Cometa posterior Anni 1665 (observante Hevelio,) ex quo conspici cæpit, remittebat semper de motu suo, adeoque præterierat Perigæum; Splendor verò capitis nihilominus indies crescebat, usque dum Cometa radiis Solaribus obtectus desiit apparere. Cometa Anni 1683, observante eodem Hevelio, in fine Mensis Julii ubi primum conspectus est, tardissimè movebatur, minuta prima 40 vel 45 circiter singulis diebus in orbe suo conficiens. Ex eo tempore motus ejus diurnus perpetuo augebatur usque ad Sept. 4. quando evasit graduum quasi quinque. Igitur toto hoc tempore Cometa ad Terram appropinquabat. Id quod etiam ex diametro capitis micrometro mensurata colligitur: quippe quam Hevelius reperit Aug. 6. esse tantum 6′. 5″ inclusâ comâ, at Sept. 2. esse 9′. 7″. Caput igitur initio longe minus apparuit quàm in fine motus, at initio tamen in vicinia Solis longe lucidius extitit quàm circa finem, ut refert idem Hevelius. Proinde toto hoc tempore, ob recessum ipsius à Sole, quoad lumen decrevit, non obstante accessu ad Terram. Cometa Anni 1618 circa medium Mensis Decembris, & iste Anni 1680 circa finem ejusdem Mensis, celerrimè movebantur, adeoque tunc erant in Perigæis. Verum splendor maximus capitum contigit ante duas fere Page 479 septimanas, ubi modò exierant de radiis Solaribus; & splendor maximus caudarum paulo ante, in majore vicinitate Solis. Caput Cometæ prioris, juxta observationes Cysati, Decem. 1. majus videbatur stellis primæ magnitudinis, & Decem. 16. (jam in Perigæo existens) magnitudine parùm, splendore seu claritate luminis plurimum defecerat. Jan. 7. Keplerus de capite incertus finem fecit observandi. Die 12 mensis Decemb. conspectum & à Flamstedio observatum est caput Cometæ posterioris, in distantia novem graduum à Sole; id quod stellæ tertiæ magnitudinis vix concessum fuisset. Decem. 15 & 17 apparuit idem ut stella tertiæ magnitudinis, diminutum utique splendore Nubium juxta Solem occidentum. Decem. 26. velocissimè motus, inque Perigæo propemodum existens, cedebat ori Pegasi, Stellæ tertiæ magnitudinis. Jan. 3. apparebat ut Stella quartæ, Jan. 9. ut Stella quintæ, Jan. 13. ob splendorem Lunæ crescentis disparuit. Jan. 25. vix æquabat Stellas magnitudinis septimæ. Si sumantur æqualia à Perigæo hinc inde tempora, capita quæ temporibus illis in longinquis regionibus posita, ob æquales à Terra distantias, æqualiter lucere debuissent, in plaga Solis maximè splenduere, ex altera Perigæi parte evanuere. Igitur ex magna lucis in utroque situ differentia concluditur magna Solis & Cometæ vicinitas in situ priore. Nam lux Cometarum regularis esse solet, & maxima apparere ubi capita velocissimè moventur, atque adeo sunt in Perigæis; nisi quatenus ea major est in vicinia Solis.

Corol. 1. Splendent igitur Cometæ luce Solis à se reflexa.

Corol. 2. Ex dictis etiam intelligitur cur Cometæ tantopere frequentant regionem Solis. Si cernerentur in regionibus longè ultra Saturnum deberent sæpius apparere in partibus Soli oppositis. Forent enim Terræ vicinioris qui in his partibus versarentur, & Sol interpositus obscuraret cæteros. Verum percurrendo historias Cometarum reperi quod quadruplo vel quintuplo plures detecti sunt in Hemisphærio Solem versus, quàm in Hemisphærio opposito, præter alios procul dubio non paucos quos lux Solaris obtexit.

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Nimirum in descensu ad regiones nostras neque caudas emittunt, neque adeo illustrantur à Sole, ut nudis oculis se prius detegendos exhibeant, quàm sint ipso Jove propiores. Spatii autem tantillo intervallo circa Solem descripti pars longè major sita est à latere Terræ quod Solem respicit; inque parte illa majore Cometæ Soli ut plurimum viciniores magis illuminari solent.

Corol. 3. Hinc etiam manifestum est, quod cœli resistentia destituuntur. Nam Cometæ vias obliquas & nonnunquam cursui Planetarum contrarias secuti, moventur omnifariam liberrimè, & motus suos etiam contra cursum Planetarum diutissimè conservant. Fallor ni genus Planetarum sint, & motu perpetuo in orbem redeant.

Nam quod Scriptores aliqui Meteora esse volunt, argumentum à capitum perpetuis mutationibus ducentes, fundamento carere videtur. Capita Cometarum Atmosphæris ingentibus cinguntur; & Atmosphæræ infernè densiores esse debent. Unde nubes sunt non ipsa Cometarum corpora, in quibus mutationes illæ visuntur.

Sic Terra si è Planetis spectaretur, luce nubium suarum proculdubio splenderet, & corpus firmum sub nubibus prope delitesceret. Sic cingula Jovis in nubibus Planetæ illius formata, situm mutant inter se, & firmum Jovis corpus per nubes illas difficilius cernitur. Et multo magis corpora Cometarum sub Atmosphæris & profundioribus & crassioribus abscondi debent.

Prop. XL. Theor. XXI.

*Cometas in Sectionibus conicis umbilicos in centro Solis habentibus moveri, & radiis ad solem ductis areas temporibus proportionales describere.*

Patet per Corol. 1. Prop. XIII. Libri primi, collatum cum Prop. VIII, XII & XIII. Libri tertii.

Corol. 1. Hinc si Cometæ in orbem redeunt, orbes erunt Ellipses, & tempora periodica erunt ad tempora periodica Planetarum in ratione sesquialtera transversorum axium. Ideoque Cometæ Page 481 maxima ex parte supra Planetas versantes, & eo nomine orbes axibus majoribus describentes, tardius revolventur. Ut si axis orbis Cometæ sit quadruplo major axe orbis Saturni, tempus revolutionis Cometæ erit ad tempus revolutionis Saturni, id est ad annos 30, ut 4√4 (seu 8) ad 1, ideoque erit annorum 240.

Corol. 2. Orbes autem erunt Parabolis adeo finitimi, ut eorum vice Parabolæ absque erroribus sensibilibus adhiberi possunt.

Corol. 3. Y por lo tanto, por el Corol. 7. de la Prop. XVI. del Lib. I., la velocidad de cualquier Cometa será siempre a la velocidad de cualquier Planeta que gire alrededor del Sol en un círculo, en la razón sub duplicada de la distancia doble del Cometa al centro del Sol respecto de la distancia del Planeta al centro del Sol, próximamente.

Pongamos que el radio del orbe magnus, o semidiámetro transverso de la elipse en la que gira la Tierra, es de 100000000 partes, y la Tierra con su movimiento diurno medio describirá 1720212 partes, y con el horario 71675½ partes. Y por tanto el Cometa, a la misma distancia media de la Tierra al Sol, con aquella velocidad que sea a la velocidad de la Tierra como $\sqrt{2}$ a 1, describirá con su movimiento diurno 2432747 partes, y con el horario 101364½ partes. Mas a mayores o menores distancias, tanto el movimiento diurno como el horario será a este movimiento diurno y horario en la razón sub duplicada de las distancias respectivamente, y por lo tanto se da.

### Lemma V.

*Invenire lineam curvam generis Parabolici, quæ per data quotcunque puncta transibit.*

Sunto puncta illa A, B, C, D, E, F, &c. & ab iisdem ad rectam quamvis positione datam HN demitte perpendicula quotcunque AH, BI, CK, DL, EM, FN.

Cas. 1. Si los intervalos de los puntos H, I, K, L, M, N son iguales HI, IK, KL, etc., obtén las primeras diferencias b, 2b, 3b, 4b, 5b, etc., de los perpendiculares AH, BI, CK etc., las segundas c, Page 482 2c, 3c, 4c, etc., las terceras d, 2d, 3d, etc., esto es, de modo que sea HA - BI = b, BI- CK = 2b, CK - DL = 3b, DL + EM = 4b, - EM + FN = 5b, etc., luego b - 2b = c etc., y así prosígase hasta la diferencia última, que aquí es f. Después, levantada una perpendicular cualquiera RS, que haya sido aplicada ordenadamente a la curva buscada: para que se halle su longitud, pon que los intervalos HI, IK, KL, LM, etc., son unidades, y di AH = a, - HS = p, ½p en - IS = q, ⅓q en + SK = r, ¼r en + SL = s, ¹/₅s en + SM = t; prosiguiendo evidentemente hasta el penúltimo perpendicular ME, y anteponiendo los signos negativos a los términos HS, IS, etc., que yacen hacia las partes del punto S hacia A, y los signos positivos a los términos SK, SL, etc., que yacen en las otras partes del punto S. Y, observados debidamente los signos, será RS = a + bp + cq + dr + es + ft etc.

Cas. 2. Quod si punctorum H, I, K, L, &c. inæqualia sint intervalla HI, IK, &c. collige perpendiculorum AH, BI, CK, &c. differentias primas per intervalla perpendiculorum divisas b, 2b, 3b, 4b, 5b; secundas per intervalla bina divisas c, 2c, 3c, 4c, &c. tertias per intervalla terna divisas d, 2d, 3d, &c. quartas per intervalla quaterna divisas e, 2e, &c. & sic deinceps; id est ita ut sit b = {AH - BI} ÷ HI, 2b = {BI - CK} ÷ IK, 3b = {CK - DL} ÷ KL &c. dein c = {b - 2b} ÷ HK, 2c = {2b - 3b} ÷ IL, 3c = {3b - 4b} ÷ KM &c. Postea d = {c - 2c} ÷ HL, 2d = {2c - 3c} ÷ IM &c. Inventis differentiis, dic AH = a, - HS = p, p in - IS = q, q in + SK = r, r in + SL = s, s in + SM = t; pergendo scilicet ad usque perpendiculum penultimum ME, & erit ordinatim applicata RS = a + bp + cq + dr + es + ft, &c.

Corol. Hinc areæ curvarum omnium inveniri possunt quamproximè.

Nam si curvæ cujusvis quadrandæ inveniantur puncta Page 483 aliquot, & Parabola per eadem duci intelligatur: erit area Parabolæ hujus eadem quam proximè cum area curvæ illius quadrandæ. Potest autem Parabola per Methodos notissimas semper quadrari Geometricè.

# Lema VI.

*Ex observatis aliquot locis Cometæ invenire locum ejus ad tempus quodvis intermedium datum.*

Desígnense HI, IK, KL, LM los tiempos entre las observaciones (en la Fig. prec.) HA, IB, KC, LD, ME, cinco longitudes del Cometa observadas, y HS el tiempo dado entre la primera observación y la longitud buscada. Y si por los puntos A, B, C, D, E se entiende que ha de ser conducida una curva regular ABCDE; y por el Lema anterior se encuentra su ordenada aplicada RS, RS será la longitud buscada.

Por el mismo método, a partir de cinco latitudes observadas, se encuentra la latitud para un tiempo dado.

Si longitudinum observatarum parvæ sint differentiæ, puta graduum tantum 4 vel 5; suffecerint observationes tres vel quatuor ad inveniendam longitudinem & latitudinem novam. Sin majores sint differentiæ, puta graduum 10 vel 20, debebunt observationes quinque adhiberi.

Page 484

Lema VII.

*Per datum punctum* P *ducere rectam lineam* BC *, cujus partes* PB *,* PC *, rectis duabus positione datis* AB *,* AC *abscissæ, datam habeant rationem ad invicem.*

A puncto illo P ad rectarum alterutram AB ducatur recta quævis PD, & producatur eadem versus rectam alteram AC usque ad E, ut sit PE ad PD in data illa ratione. Ipsi AD parallela sit EC; & si agatur CPB, erit PC ad PB ut PE ad PD. Q. E. F.

# Lema VIII.

*Sit* ABC *Parabola umbilicum habens* S*. Chordâ* AC *bisectâ in* I *abscindatur segmentum* ABCI*, cujus diameter sit* I\mu *& vertex* \mu*. In* I\mu *productâ capiatur* \mu O *æqualis dimidio ipsius* I\mu*. Jungatur* OS*, & producatur ea ad* \xi*, ut sit* S\xi *æqualis* 2SO*. Et si Cometa* B *moveatur in arcu* CBA*, & agatur* \xi B *secans* AC *in* E*: dico quod punctum* E *Page 485 abscindet de chorda* AC *segmentum* AE *tempori proportionale quamproximè.*

Jungatur enim EO secans arcum Parabolicum ABC in Y, & erit area curvilinea AEY ad aream curvilineam ACY ut AE ad AC quamproximè. Ideoque cum triangulum ASE sit ad triangulum ASC in eadem ratione, erit area tota ASEY ad aream totam ASCY ut AE ad AC quamproximè.

Cum autem ξO sit ad SO ut 3 ad 1 & EO ad YO prope in eadem ratione, erit SY ipsi EB parallela quamproximè, & propterea triangulum SEB, triangulo YEB quamproximè æquale. Unde si ad aream ASEY addatur triangulum EYB, & de summa auferatur triangulum SEB, manebit area ASBY areæ ASEY æqualis quamproximè, atque adeo ad aream ASCY ut AE ad AC.

Sed area ASBY est ad aream ASCY ut tempus descripti arcus AB ad tempus descripti arcus totius. Ideoque AE est ad AC in ratione temporum quamproximè.

Q. E. D.

# Lema IX.

*Rectæ*Iμ*&*μM*& longitudo*AIC ÷ 4Sμ*æquantur inter se. Nam*4Sμ*est latus rectum Parabolæ pertinens ad verticem*B*.*

Lema X.

*Si producatur* Sμ *ad* N *&* P *, ut * μN * sit pars tertia ipsius * μI *, & * SP * sit ad * SN * ut * SN * ad * Sμ *. Cometa quo tempore describit arcum * AμC *, si progrederetur ea semper cum velocitate quam habet in altitudine ipsi * SP * æquali, describeret longitudinem æqualem chordæ * AC *.

Nam si velocitate quam habet in μ, eodem tempore progrediatur uniformiter in recta quæ Parabolam tangit in μ; area quam Radio ad punctum S ducto describeret, æqualis esset areæ Parabolicæ ASCμ. Ideoque contentum sub longitudine in Tangente Page 486 descripta & longitudine Sμ, esset ad contentum sub longitudinibus AC & SM, ut area ASCμ ad triangulum ASCM, id est ut SN ad SM. Quare AC est ad longitudinem in tangente descriptam ut Sμ ad SN.

Cum autem velocitas Cometæ in altitudine SP sit ad velocitatem in altitudine Sμ in dimidiata ratione SP ad Sμ inversè, id est in ratione Sμ ad SN, longitudo hac velocitate eodem tempore descripta, erit ad longitudinem in Tangente descriptam ut Sμ ad SN.

Igitur AC & longitudo hac nova velocitate descripta, cum sint ad longitudinem in Tangente descriptam in eadem ratione, æquantur inter se.

Q. E. D.

Corol. Cometa igitur ea cum velocitate, quam habet in altitudine Sμ + ⅔Iμ, eodem tempore describeret chordam AC quamproximè.

# Lema XI.

*Si Cometa motu omni privatus de altitudine* SN *seu* Sμ + ⅓Iμ *demitteretur, ut caderet in Solem, & ea semper vi uniformiter continuata urgeretur in Solem qua urgetur sub initio; idem tempore in orbe suo describat arcum* AC*, descensu suo describeret spatium longitudini* Iμ *æquale.*

Nam Cometa quo tempore describat arcum Parabolicum AC, eodem tempore ea cum velocitate quam habet in altitudine SP (per Page 487 Lemma novissimum) describet chordam AC, adeoque eodem tempore in circulo cujus semidiameter esset SP revolvendo, describeret arcum cujus longitudo esset ad arcus Parabolici chordam AC in dimidiata ratione unius ad duo. Et propterea eo cum pondere quod habet in Solem in altitudine SP, cadendo de altitudine illa in Solem, describeret eodem tempore (per Scholium Prop. IV. Lib. I.) spatium æquale quadrato semissis chordæ illius applicato ad quadruplum altitudinis SP, id est spatium AIq. ÷ 4SP. Unde cum pondus Cometæ in Solem in altitudine SN sit ad ipsius pondus in Solem in altitudine SP, ut SP ad Sμ: Cometa pondere quod habet in altitudine SN eodem tempore, in Solem cadendo, describet spatium AIq. ÷ 4Sμ, id est spatium longitudini Iμ vel Mμ æquale.

Q. E. D.

Prop. XLI. Prob. XX.

*Cometæ in Parabola moventis Trajectoriam ex datis tribus observationibus determinare.*

Habiendo abordado este problema, que es de lejos el más difícil, de múltiples maneras, compuse en el primer libro algunos problemas que se refieren a su solución. Después ideé la siguiente solución, un poco más simple.

Selíjanse tres observaciones a iguales intervalos de tiempo entre sí, distantes lo más posible. Sea, sin embargo, aquel intervalo de tiempo en el que el Cometa se mueve más lentamente un poco mayor que el otro, de tal manera evidentemente que la diferencia de los tiempos sea a la suma de los tiempos como la suma de los tiempos es a seiscientos días, más o menos. Si tales observaciones no estuvieren a mano, hállese un nuevo lugar del Cometa mediante el Lema sexto.

Designent S Solem, T, t, τ tria loca Terræ in orbe magno, TA, tB, τC observatas tres longitudines Cometæ, V tempus inter observationem primam & secundam, W tempus inter secundam ac Page 488 tertiam, X longitudinem quam Cometa toto illo tempore ea cum velocitate quam habet in mediocri Telluris à Sole distantia, describere posset, & tV perpendiculum in chordam Tτ.

In longitudine media tB sumatur utcunque punctum B, & inde versus Solem S ducatur linea BE, quæ sit ad Sagittam tV, ut contentum sub SB & St quadrato ad cubum hypotenusæ trianguli rectanguli, cujus latera sunt SB & tangens latitudinis Cometæ in observatione secunda ad radium tB.

Et per punctum E agatur recta AEC, cujus partes AE, EC ad rectas TA & τC terminatæ, sint ad invicem ut tempora V & W: Tum per puncta A, B, C, duc circumferentiam circuli, eamque biseca in i, ut & chordam AC in I. Age occultam Si secantem AC in λ, & comple parallelogrammum iIλμ. Cape Iσ æqualem 3Iλ, & per Solem S age occultam σξ æqualem 3Sσ + 3iλ.

Et deletis jam literis A, E, C, I, à puncto B versus punctum ξ duc Page 489 occultam novam BE, quæ sit ad priorem BE in duplicata ratione distantiæ BS ad quantitatem Sμ + ⅓iλ. Et per punctum E iterum duc rectam AEC eadem lege ac prius, id est, ita ut ejus partes AE & EC sint ad invicem ut tempora inter observationes, V & W.

Ad AC bisectam in I erigantur perpendicula AM, CN, IO, quarum AM & CN sint tangentes latitudinum in observatione prima ac tertia ad radios TA & τα. Jungatur MN secans IO in O. Constituatur rectangulum iIλμ ut prius.

In IA producta capiatur ID æqualis Sμ + ⅔iλ, & agatur occulta OD.

Deinde in MN versus N capiatur MP, quæ sit ad longitudinem supra inventam X in dimidiata ratione mediocris distantiæ Telluris à Sole (seu semidiametri orbis magni) ad distantiam OD. Et in AC capiatur CG ipsi NP æqualis, ita ut puncta G & P ad easdem partes rectæ NC jaceant.

Eodem methodo qua puncta E, A, C, G, ex assumpto puncto B inventa sunt, inveniantur ex assumptis utcunque punctis aliis b & β puncta nova e, a, c, g, & ε, α, κ, γ.

Deinde si per G, g, γ ducatur circumferentia circuli Ggγ secans rectam τC in Z: erit Z locus Cometæ in plano Eclipticæ.

Et si in AC, ac, ακ capiantur AF, af, αφ ipsis CG, cg, κγ respectivè æquales, & per puncta F, f, φ ducatur circumferentia circuli Ffφ secans rectam AT in X; erit punctum X alius Cometæ locus in plano Eclipticæ.

Ad puncta X & Z erigantur tangentes latitudinum Cometæ ad radios TX & τZ; & habebuntur loca duo Cometæ in orbe proprio.

Denique (per Prop. XIX. Lib. I.) umbilico S, per loca illa duo describatur Parabola, & hæc erit Trajectoria Cometæ. Q. E. I.

La demostración de esta construcción se deduce de los Lemas: puesto que la recta AC se corta en E en razón de los tiempos, por el Lema VIII; y BE (por el Lem. XI) sea la parte de la recta BS en el plano de la Eícliptica interpuesta entre el arco ABC y la cuerda AEG; y MP (por el Lem. VIII) sea la longitud de la cuerda del arco que el Cometa debe describir en su órbita propia entre la primera y la tercera observación, y por lo tanto hubiese sido igual a la misma MN, si tan solo B fuese el lugar verdadero del Cometa en el plano de la Eclíptica.

Page 490

Cæterum puncta B, b, β non quælibet, sed vero proxima eligere convenit.

Si angulus AQt in quo vestigium orbis in plano Eclipticæ descriptum secabit rectam tB præterpropter innotescat, in angulo illo ducenda erit recta occulta AC, quæ sit ad ⁴/₃Tt in dimidiata ratione St ad SQ. Et agendo rectam SEB cujus pars EB æquetur longitudini Vt, determinabitur punctum B quod prima vice usurpare licet.

Tum rectâ AC deletâ & secundum præcedentem constructionem iterum ductâ, & inventâ insuper longitudine MP; in tB capiatur punctum b, ea lege, ut si TA, TC se mutuò secuerint in Y, sit distantia Yb ad distantiam YB in ratione composita ex ratione MN ad MP & ratione dimidiata SB ad Sb. Et eadem methodo inveniendum erit punctum tertium β; si modò operationem tertiò repetere lubet.

Sed hac methodo operationes duæ ut plurimum suffecerint. Nam si distantia Bb perexigua obvenerit, postquam inventa sunt puncta F, f & G, g, actæ rectæ Ff & Gg, secabunt TA & τC in punctis quæsitis X & Z.

Exemplum.

Propóngase el Cometa del año 1680. Su movimiento, observado por Flamstedio, lo exhibe la Tabla siguiente.

Página 491

En estas observaciones Flamstedius empleó tal diligencia que, tras haber observado dos veces la distancia del cometa a cierta estrella fija, y luego también dos veces la distancia a otra estrella fija, volvía a la estrella anterior y observaba de nuevo la distancia del cometa a la misma, y esto dos veces, y luego a partir del incremento o decremento de dicha distancia proporcional al tiempo, deducía la distancia en el tiempo intermedio, cuando se observaba la distancia a la otra estrella.

A partir de observaciones de este tipo, las posiciones del cometa calculadas apresuradamente las comunicó Flamstedius primero a sus amigos, y después, habiendo sometido las mismas a examen, las corrigió con un cálculo más diligente. Nosotros hemos descrito aquí las posiciones corregidas.

His adde observationes quasdam è nostris.

Hæ observationes Telescopio septupedali, & Micrometro filisque in foco Telescopii locatis paractæ sunt: quibus instrumentis & positiones fixarum inter se & positiones Cometæ ad fixas determinavimus. Designet A stellam in sinistro calcaneo Persei (Bayero ο) B stellam sequentem in sinistro pede (Bayero ζ) & C, D, E, F, G, H, I, K, L, M, N stellas alias minores in eodem pede. Sintque P, Q, R, S, T loca Cometæ in observationibus supra descriptis: & existente distantiâ AB partium 80⁷/₁₂, erat AC partium 52¼, BC 58⁵/₆, AD 57⁵/₁₂, BD 82⁶/₁₁, CD 23⅔, AE 29⁴/₇, CE 57½, DE 49¹¹/₁₂, AK 38⅔, BK 43, CK 31⁵/₉, FK 29, FB 23, FC 36¼, AH 18⁶/₇, DH 53⁵/₁₁, BN 46⁵/₁₂, CN 31⅓, BL 45⁵/₁₂, NL 31⁵/₇. LM erat ad LB ut 2 ad 9 & producta transibat per stellam H. His determinabantur positiones fixarum inter se. Page 492

Die Veneris Feb. 25. St. vet. Hor. 8½ P.M. Cometæ in p existentis distantia à stella E erat major quàm ³/₁₃ AE, minor quàm ¹/₅ AE, adeoque æqualis ³/₁₄ AE proximè; & angulus ApE nonnihil obtusus erat, sed fere rectus. Nempe si demitteretur ad pE perpendiculum ab A, distantia Cometæ à perpendiculo illo erat ¹/₅ pE.

Eadem nocte, horâ 9½, Cometæ in P existentis distantia à stella E erat major quàm {1 ÷ 4½} AE, minor quàm {1 ÷ 5¼} AE, adeoque æqualis {1 ÷ 4⅞} AE, seu ⁸/₃₉ AE quamproximè. A perpendiculo autem à Stella A ad rectam PE demisso distantia Cometæ erat ⁴/₅ PE.

Die ^tis, Mart. 1, hor. 11. P.M. Cometa in R existens, stellis K & C accuratè interjacebat, & rectæ CRK pars CR paulo major erat quàm ⅓ CK, & paulo minor quam ⅓ CK + ⅛ CR, adeoque æqualis ⅓ CK + ¹/₁₆ CR seu ¹⁶/₄₅ CK.

Die ⁱⁱ, Mart. 2. hor. 8. P.M. Cometæ existentis in S, distantia à stella C erat ⁴/₉ FC quamproximè. Distantia stellæ F à recta CS producta erat ¹/₂₄ FC; & distantia stellæ B ab eadem recta erat quintuplo major quàm distantia stellæ F. Item recta NS producta Page 493 transibat inter stellas H & I, quintuplo vel sextuplo propior existens stellæ H quàm stellæ I.

Die ⁿⁱ, Mart. 5. hor. 11½. P.M.

Cometa existente in T, recta MT æqualis erat ½ML, & recta LT producta transibat inter B & F, quadruplo vel quintuplo propior F quàm B, auferens à BF quintam vel sextam ejus partem versus F.

Et MT producta transibat extra spatium BF ad partes stellæ B, quadruplo propior existens stellæ B quam stellæ F.

Erat M stella perexigua quæ per Telescopium videri vix potuit, & L stella major quasi magnitudinis octavæ.

Ex hujusmodi observationibus per constructiones figurarum & computationes (posito quod stellarum A & B distantia esset 2 gr. 6⁴/₅, & stellæ A longitudo 26 gr. 41′. 48″ & latitudo borealis 12 gr. 8′½, stellæque B longitudo 28 gr. 40′. 16″. & latitudo borealis 11 gr. 17¹/₅; quemadmodum à Flamstedio observatas accepi) derivabam longitudines & latitudines Cometæ.

Micrometro parum affabre constructâ usus sum, sed Longitudinum tamen & Latitudinum errores (quatenus ab observationibus nostris oriantur) dimidium minuti unius primi vix superant, præterquam in observatione ultimâ Mart. 9. ubi positiones fixarum ad stellas A & B minus accuratè determinare potui.

Cassinus qui Cometam eodem tempore observavit, se declinationem ejus tanquam invariatam manentem parum diligenter definivisse fassus est. Nam Cometa (juxta observationes nostras) in fine motus sui notabiliter deflectere cæpit boream versus, à parallelo quem in fine Mensis Februarii tenuerat.

Jam ad Orbem Cometæ determinandum; selegi ex observationibus hactenus descriptis tres, quas Flamstedius habuit Dec. 21, Jan. 5, & Jan. 25. Ex his inveni St partium 9842,1 & Vt partium 455, quales 10000 sunt semidiameter orbis magni. Tum ad operationem primam assumendo tB partium 5657, inveni SB 9747, BE prima vice 412, Sμ 9503, iλ = 413: BE secunda vice 421, OD 10186, X 8528,4, MP 8450, MN 8475, NP - 25. Unde ad operationem secundam collegi distantiam tb 5640. Et Page 494 per hanc operationem inveni tandem distantias TX 4775 & τZ 11322. Ex quibus orbem definiendo inveni Nodos ejus in & 1 gr. 53′; Inclinationem plani ejus ad planum Eclipticæ 61 gr. 20⅓; verticem ejus (seu perihelium Cometæ) in 27 gr. 43′ cum latitudine australi 7 gr. 34′; & ejus latus rectum 236,8, areamq; radio ad Solem ducto singulis diebus descriptam 93585; Cometam verò Decemb. 8 d. 0 h. 4′. P.M. in vertice orbis seu perihelio fuisse. Hæc omnia per scalam partium æqualium & chordas angulorum ex Tabula Sinuum naturalium collectas determinavi graphicè; construendo Schema satis amplum, in quo videlicet semidiameter orbis magni (partium 10000) æqualis esset digitis 16⅓ pedis Anglicani.

Tandem ut constaret an Cometa in Orbe sic invento verè moveretur, collegi per operationes partim Arithmeticas partim Graphicas, loca Cometæ in hoc orbe ad observationum quarundam tempora: uti in Tabula sequente videre licet.

Præterea cum Cl. Flamstedius Cometam, qui Mense Novembri apparuerat, eundem esse cum Cometa mensium subsequentium, literis ad me datis aliquando disputaret, & Trajectoriam quamdam ab orbe hocce Parabolico non longe aberrantem delinearet, visum est loca Cometæ in hoc orbe Mense Novembri computare, & cum Observationis conferre.

Observationes ita se habent.

Nov. 17. St. Vet. Ponthæus & alii hora sexta matutina Romæ, (id est hora 5. 10′ Londini) Cometam observarunt in 8 gr. 30′ cum latitudine Australi 0 gr. 40′. Extant autem eorum observationes in tractatu quem Ponthæus de hoc Cometa in lucem edidit. Eadem horâ Galletius etiam Romæ, Cometam vidit in 8 gr. sine Latitudine.

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Nov. 18. Ponthæus y sus Socios a las 6h. 30′ de la mañana en Roma (es decir, a las 5h. 40′ de Londres) vieron un Cometa en 13½ con lat. austral de 1 gr. 20′.

El mismo día el R. P. Ango en la Academia Flechensi entre los galos, a las cinco de la mañana, vio un Cometa en medio de dos estrellas pequeñas, de las cuales una es la del medio de tres en línea recta en la mano austral de Virgo, y la otra es la extrema del ala. De donde el Cometa estuvo entonces en 12 gr. 46′ con lat. austral de 50′.

El mismo día en Boston, en Nueva Inglaterra, en lat. 42⅓, a las cinco de la mañana (es decir, a las 9⅔ horas matutinas de Londres) el Cometa fue visto en 14 más o menos, con lat. austral de 1 gr. 30′; según lo hube de recibido del Ilustre Halley.

Nov. 19. hora Mat. 4½ Cantabrigiæ, Cometa (observante juvene quodam) distabat à Spica quasi 2 gr. Boreazephyrum versus.

Eodem die hor. 5. Mat. Bostoniæ in Nova-Anglia Cometa distabat à Spica gradu uno, differentiâ latitudinum existente 40′, atque adeo differentia Long. 44′ circiter. Unde Cometa erat in 18 gr. 40′ cum Lat. Austr. 1 gr. 19′.

Eodem die D. Arthurus Storer ad fluvium Patuxent prope Hunting-Creek in Mary-Land, in Confinio Virginiæ in Lat. 38½ gr. horâ quintâ matutinâ (id est horâ 10^a Londini) Cometam vidit supra Spicam , & cum Spica propemodum conjunctum, existente distantia inter eosdem quasi ¾ gr.

Observator idem, eadem horà diei sequentis, Cometam vidit quasi 2 gr. inferiorem Spicâ.

Congruent hæ observationes cum observationibus in Nova Anglia factis, si modò distantiæ (pro motu diurno Cometæ) nonnihil augeantur, ita ut Cometa die priore superior esset Spica altitudine 52′ circiter, ac die posteriore inferior eadem stellâ altitudine perpendiculari 2 gr. 40′.

Nov. 20. D. Montenarus Astronomiæ Professor Paduensis, hora sexta Matutina, Venetiis (id est hora 5. 10′ Londini) Cometam vidit in 23 gr. cum Lat. Austr. 1 gr. 30′.

Eodem die Bostoniæ distabat Cometa à Spica , 4 gr. longitudinis in orientem, adeoque erat in 23 gr. 24 circiter.

Nov. 21. Ponthæus y Compañía a las 7¼ h. mat. observaron un Cometa en 27 gr. 50′ con Latitud Austral 1 gr. 16′.

Ango a la quinta hora mat. en 27 gr. 45′.

Montenarus en 27 gr. 51′.

El mismo día en la Isla de Jamaica fue visto cerca del principio de Escorpio, y tuvo casi la misma latitud que la Espiga de la Virgen, esto es, 1 gr. 59′.

Novem. 22. Visus est à Montenaro in 2°. 33′.

Bostoniæ autem in Novâ Angliâ apparuit in 3 gr. circiter, eadem fere cum latitudine ac prius.

Deinde visus est à Montenaro Novem. 24. in 12 gr. 52′. & Nov. 25. in 17 gr. 45′.

Latitudinem Galletius jam ponit 2 gr. Eandem Ponthæus & Galletius decrevisse, Montenarus & Ango semper crevisse testantur.

Crassæ sunt horum omnium observationes, sed eæ Montenari, Angonis & observatoris in Nova-Anglia præferendæ videntur. Ex omnibus autem inter se collatis, & ad meridianum Londini, hora mat. 5. 10′ reductis, colligo Cometam hujusmodi cursum quamproximè descripsisse.

Loca autem Cometæ iisdem horis in orbe Parabolico inventa ita se habent.

Congruunt igitur observationes tam mense Novembri, quam mensibus tribus subsequentibus cum motu Cometæ circa Solem in Trajectoriâ hacce Parabolicâ, atque adeo hanc esse veram hujus Cometæ Trajectoriam confirmant. Nam differentia inter loca Page 497 observata & loca computata tam ex erroribus observationum quam ex erroribus operationum Graphicarum in Orbe definiendo admissis, facilè oriri potuere.

Cæterum Trajectoriam quam Cometa descripsit, & caudam veram quam singulis in locis projecit, visum est annexo schemate in plano Trajectoriæ opticè delineatas exhibere: observationibus sequentibus in cauda definienda adhibitis.

Nov. 17. Una cola de más de quince grados de longitud apareció a Ponthæus.

Nov. 18. se veía una cola de 30 gr. de longitud y directamente opuesta al Sol en Nueva Inglaterra, y se extendía hasta la estrella , que entonces estaba en 9 gr. 54′.

Nov. 19 en Mary-Land se vio la cola de 15 o 20 grados de longitud.

Dec. 10. la cola (observándola Flamsteed) pasaba por el medio de la distancia entre la cola de la serpiente de Ofiuco y la estrella δ en el ala austral del Águila, y terminaba cerca de las estrellas A, ω, b en las Tablas de Bayer. Por tanto, el término estaba en 19½ con lat. bor. de 34¼ gr. aproximadamente.

Dec. 11. se levantaba hasta la cabeza de la flecha (Bayer, α, β,), terminando en 26 gr. 43′ con lat. bor. de 38 gr. 34′.

Dec. 12. pasaba por el medio de la Flecha, y no se extendía mucho más allá, terminando en 4°, con lat. bor. de 42½ aproximadamente. Esto debe entenderse respecto a la longitud de la cola más clara. Pues con luz más oscura, en un cielo quizás más sereno, la cola del Dec. 12. a las 5 horas 40′ en Roma (observándola Ponthæus) se extendió por encima del obispillo del cisne a 10 gr.; y desde esta estrella su lado hacia el poniente y el norte distaba 45 min. La cola era ancha en estos días 3 gr. junto al término superior, y por lo tanto su centro distaba de dicha estrella 2 gr. 15′ hacia el sur, y el término superior estaba en 22 gr. con lat. bor. de 61 gr.

Dec. 21. se levantaba casi hasta la silla de Casiopea, equidistante de β y de Schedir, y teniendo la distancia de cada una igual a la distancia entre ellas mismas, y por consiguiente terminando en 24 gr. con lat. de 47½ gr.

Dec. 29. tocaba a Scheat, situada a la izquierda, y completaba con precisión el intervalo de las dos estrellas en el pie boreal de Andrómeda, y tenía una longitud de 54 gr., por lo que terminaba en 19 gr. con lat. de 35 gr.

Jan. 5. tocó a la estrella π en el pecho de Andrómeda, en su lado derecho, y a la estrella μ en su cinturón en el lado izquierdo; y (según nuestras observaciones) tenía Page 498 una longitud de 40 gr.; y era curva, mirando con su lado convexo hacia el sur. Con el círculo que pasa por el Sol y la cabeza del Cometa formó un ángulo de 4 grados cerca de la cabeza del Cometa; pero cerca del otro término se inclinaba hacia dicho círculo en un ángulo de 10 u 11 grados, y la cuerda de la cola contenía con dicho círculo un ángulo de ocho grados.

Jan. 13. La cola terminaba con una luz bastante perceptible entre Alamech y Algol, y con una luz muy tenue terminaba desde la región de la estrella κ en el costado de Perseo. La distancia del término de la cola al círculo que une el Sol y el Cometa era de 3 gr. 50′, y la inclinación de la cuerda de la cola a dicho círculo de 8½ gr.

Jan. 25 y 26 brillaba con luz tenue hasta una longitud de 6 o 7 grados; y cuando el cielo estaba muy sereno, con una luz sumamente tenue y apenas perceptible alcanzaba una longitud de doce grados y un poco más. Su eje se dirigía con precisión a la Lucida en el hombro oriental del Auriga, y por lo tanto declinaba de la oposición del Sol hacia el Norte en un ángulo de diez grados.

Por último, Feb. 10. observé con instrumentos ópticos una cola de dos grados de longitud. Pues la luz más tenue antes dicha no aparecía a través de las lentes. Y Ponthæus escribe que el Feb. 7. vio la cola hasta una longitud de 12 gr.

A quien considere la órbita ya descrita y medite en los demás fenómenos de este cometa, le constará sin dificultad que los cuerpos de los cometas son sólidos, compactos, fijos y duraderos a la manera de los cuerpos de los planetas.

Pues si no fuesen otra cosa que vapores o exhalaciones de la Tierra, del Sol y de los planetas, este cometa, en su tránsito por la vecindad del Sol, habría debido disiparse al instante.

En efecto, el calor del Sol es como la densidad de los rayos, esto es, recíprocamente como el cuadrado de la distancia de los lugares al Sol. Y por tanto, como la distancia del cometa al Sol el 8 de diciembre, cuando se hallaba en el perihelio, era a la distancia de la Tierra al Sol como 6 a 1000 aproximadamente, el calor del Sol junto al cometa en aquel tiempo era al calor del Sol estival entre nosotros como 1000000 a 36, o 28000 a 1.

Pero el calor del agua hirviente es casi tres veces mayor que el calor que la tierra árida concibe con el Sol estival, según he experimentado; y el calor del hierro candente (si no juzgo mal) casi tres o cuatro veces mayor que el calor del agua hirviente; y por tanto el calor que la tierra árida, hallándose el cometa en el perihelio, podría concebir a partir de los rayos Página 499 solares, [sería] casi 2000 veces mayor que el calor del hierro candente.

Mas con tanto calor, los vapores y exhalaciones, y toda materia volátil, habrían debido consumirse y disiparse al instante.

Cometa igitur in perihelio suo calorem immensum ad Solem concepit, & calorem illum diutissimè conservare potest.

Nam globus ferri candentis digitum unum latus, calorem suum omnem spatio horæ unius in aere consistens vix amitteret. Globus autem major calorem diutius conservaret in ratione diametri, propterea quod superficies (ad cujus mensuram per contactum aeris ambientis refrigeratur) in illa ratione minor est pro quantitate materiæ suæ calidæ inclusæ.

Ideoque globus ferri candentis huic Terræ æqualis, id est pedes plus minus 40000000 latus, diebus totidem, & idcirco annis 50000, vix refrigesceret. Suspicor tamen quod duratio Caloris ob causas latentes augeatur in minore ratione quam ea diametri: & optarim rationem veram per experimenta investigari.

Porrò notandum est quod Cometa Mense Decembri, ubi ad Solem modò incaluerat, caudam emittebat longe majorem & splendidiorem quàm antea Mense Novembri; ubi perihelium nondum attigerat.

Et universaliter caudæ omnes maximæ & fulgentissimæ è Cometis oriuntur, statim post transitum eorum per regionem Solis.

Conducit igitur calefactio Cometæ ad magnitudinem caudæ. Et inde colligere videor quod cauda nihil aliud sit quam vapor longe tenuissimus, quem caput seu Nucleus Cometæ per calorem suum emittit.

Cæterum de Cometarum caudis triplex est opinio, eas vel jubar esse Solis per translucida Cometarum capita propagatum; vel oriri ex refractione lucis in progressu ipsius à capite Cometæ in Terram: vel denique nubem esse seu vaporem à capite Cometæ jugiter surgentem & abeuntem in partes à Sole aversas.

Opinio prima eorum est qui nondum imbuti sunt scientia rerum opticarum. Nam jubar Solis in cubiculo tenebroso non cernitur nisi quatenus lux reflectitur è pulverum & fumorum particulis per aerem semper volitantibus: adeoque in aere fumis crassioribus infecto splendidius est, & sensum Page 500 fortius ferit; in aere clariore tenuius est & ægrius sentitur: in cœlis autem absque materia reflectente nullum esse potest. Lux non cernitur quatenus in jubare est, sed quatenus inde reflectitur ad oculos nostros. Nam visio non fit nisi per radios qui in oculos impingunt. Requiritur igitur materia aliqua reflectens in regione Caudæ, ne cœlum totum luce Solis illustratum uniformiter splendeat.

Opinio secunda multis premitur difficultatibus. Caudæ nunquam variegantur coloribus: qui tamen refractionum solent esse comites inseparabiles. Lux Fixarum & Planetarum distinctè ad nos transmissa demonstrat medium cœleste nulla vi refractiva pollere. Nam quod dicitur fixas ab Ægyptiis comatas nonnunquam visas fuisse, id quoniam rarissimè contingit, ascribendum est nubium refractioni fortuitæ. Fixarum quoque radiatio & scintillatio ad refractiones tum Oculorum tum aeris tremuli referendæ sunt: quippe quæ admotis oculo Telescopiis evanescunt. Aeris & ascendentium vaporum tremore fit ut radii facile de angusto pupilli spatio per vices detorqueantur, de latiore autem vitri objectivi apertura neutiquam. Inde est quod scintillatio in priori casu generetur, in posteriore autem cesset: & cessatio in posteriore casu demonstrat regularem transmissionem lucis per cœlos absque omni refractione sensibili.

Nequis contendat quod caudæ non soleant videri in Cometis cum eorum lux non est satis fortis, quia tunc radii secundarii non habent satis virium ad oculos movendos, & propterea caudas fixarum non cerni: sciendum est quod lux fixarum plus centum vicibus augeri potest mediantibus Telescopiis, nec tamen caudæ cernuntur. Planetarum quoque lux copiosior est, caudæ verò nullæ: Cometæ autem sæpe caudatissimi sunt, ubi capitum lux tenuis est & valde obtusa: sic enim Cometa Anni 1680, Mense Decembri, quo tempore caput luce sua vix æquabat stellas secundæ magnitudinis, caudam emittebat splendore notabili usque ad gradus 40, 50, 60 longitudinis & ultra: postea Jan. 27 & 28 caput apparebat ut stella septimæ tantum magnitudinis, cauda verò luce quidem pertenui sed satis sensibili longa erat 6 vel 7 gradus, & luce obscurissima, Page 501 quæ cerni vix posset, porrigebatur ad gradum usque duodecimum vel paulo ultra: ut supra dictum est. Sed & Feb. 9. & 10 ubi caput nudis oculis videri desierat, caudam gradus duos longam per Telescopium contemplatus sum.

Porro si cauda oriretur ex refractione materiæ cœlestis, & pro figura cœlorum deflecteretur de Solis oppositione, deberet deflexio illa in iisdem cœli regionibus in eandem semper partem fieri. Atqui Cometa Anni 1680 Decemb. 28 hora 8½ P.M. Londini, versabatur in 8 gr. 41 cum latitudine boreali 28 gr. 6′, Sole existente in 18 gr. 26′. Et Cometa Anni 1577 Dec. 29. versabatur in 8 gr. 41′ cum latitudine boreali 28 gr. 40′. Sole etiam existente in 18 gr. 26′ circiter. Utroque in casu Terra versabatur in eodem loco & Cometa apparebat in eadem cœli parte: in priori tamen casu cauda Cometæ (ex meis & aliorum observationibus) declinabat angulo graduum 4½ ab oppositione Solis Aquilonem versus; in posteriore verò (ex Observationibus Tychonis) declinatio erat graduum 21 in austrum. Igitur repudiata cœlorum refractione, superest ut Phænomena Caudarum ex materia aliqua reflectente deriventur.

Caudas autem à capitibus oriri & in regiones à Sole aversas ascendere confirmatur ex legibus quas observant. Ut quod in planis orbium Cometarum per Solem transeuntibus jacentes, deviant ab oppositione Solis in eas semper partes quas capita in orbibus illis progredientia relinquunt. Quod spectatori in his planis constituto apparent in partibus à Sole directè aversis; digrediente autem spectatore de his planis, deviatio paulatim sentitur, & indies apparet major. Quod deviatio cæteris paribus minor est ubi cauda obliquior est ad orbem Cometæ, ut & ubi caput Cometæ ad Solem propius accedit; præsertim si spectetur deviationis angulus juxta caput Cometæ. Præterea quod caudæ non deviantes apparent rectæ, deviantes autem incurvantur. Quod curvatura major est ubi major est deviatio, & magis sensibilis ubi cauda cæteris paribus longior est: nam in brevioribus curvatura ægre animadvertitur. Quod deviationis angulus minor est juxta caput Cometæ, major juxta caudæ Page 502 extremitatem alteram, atque adeò quod cauda convexo sui latere partes respicit à quibus fit deviatio, quæque in rectâ sunt lineâ à Sole per caput Cometæ in infinitum ductâ. Et quod caudæ quæ prolixiores sunt & latiores, & luce vegetiore micant, sint ad latera convexa paulò splendidiores & limite minus indistincto terminatæ quam ad concava. Pendent igitur Phænomena caudæ à motu capitis, non autem à regione cœli in qua caput conspicitur; & propterea non fiunt per refractionem cœlorum, sed à capite suppeditante materiam oriuntur. Etenim ut in aere nostro fumus corporis cujusvis igniti petit superiora, idque vel perpendiculariter si corpus quiescat, vel obliquè si corpus moveatur in latus; ita in cœlis ubi corpora gravitant in Solem, fumi & vapores ascendere debent à Sole (uti jam dictum est) & superiora vel rectâ petere, si corpus fumans quiescit; vel obliquè, si corpus progrediendo loca semper deserit à quibus superiores vaporis partes ascenderant. Et obliquitas ista minor erit ubi ascensus vaporis velocior est: nimirum in vicinia Solis & juxta corpus fumans. Ex obliquitatis autem diversitate incurvabitur vaporis columna: & quia vapor in columnæ latere præcedente paulo recentior est, ideo etiam is ibidem aliquanto densior erit, lucemque propterea copiosius reflectet, & limite minus indistincto terminabitur. De caudarum agitationibus subitaneis & incertis, deque earum figuris irregularibus, quas nonnulli quandoque describunt, hic nihil adjicio; propterea quod vel à mutationibus aeris nostri, & motibus nubium caudas aliqua ex parte obscurantium oriantur; vel forte à partibus Viæ Lacteæ, quæ cum caudis prætereuntibus confundi possint, ac tanquam earum partes spectari.

Que los vapores, en cambio, capaces de llenar espacios tan inmensos, pueden originarse a partir de las atmósferas de los cometas, se comprenderá por la rareza de nuestro aire.

Pues el aire cerca de la superficie de la Tierra ocupa un espacio como 850 veces mayor que el agua de su mismo peso, y por lo tanto una columna cilíndrica de aire de 850 pies de altura es del mismo peso que una columna de agua de un pie de la misma anchura. Pero la columna de aire que asciende hasta la cumbre de la atmósfera iguala con su peso a una columna de agua de unos 33 pies de altura; y por ello, si se quita la parte inferior de toda la columna aérea de una altitud de 850 pies, la parte superior restante igualará con su peso a una columna de agua de 32 pies de altura.

Desde ahí, en verdad (por la hipótesis confirmada por muchos experimentos de que la compresión del aire es como el peso de la atmósfera incumbre, y que la gravedad es inversamente como el cuadrado de la distancia de los lugares desde el centro de la Tierra), emprendiendo el cálculo mediante el Corolario de la Proposición XXII del Libro II, hallé que el aire, si se asciende desde la superficie de la Tierra hasta la altitud de un semidiámetro terrestre, es más raro que entre nosotros en una proporción mucho mayor que la de todo el espacio por debajo de la órbita de Saturno respecto a un globo descrito con un diámetro de una pulgada. Y por consiguiente, un globo de nuestro aire de una pulgada de lado, con aquella rareza que tendría en la altitud de un semidiámetro terrestre, llenaría todas las regiones de los planetas hasta la esfera de Saturno y mucho más allá.

Por lo tanto, como el aire aún más alto se rarifica inconmensurablemente; y la cabellera o atmósfera del cometa, al ascender desde su centro, es como diez veces más alta que la superficie del núcleo, y luego la cola asciende aún más alto, la cola deberá ser sumamente rara. Y aunque, debido a la atmósfera de los cometas mucho más densa, y a la gran gravitación de los cuerpos hacia el Sol, y a la gravitación mutua de las partículas de aire y de vapor, pueda suceder que el aire en los espacios celestes y en las colas de los cometas no se rarifique tanto; sin embargo, por este cálculo es evidente que una cantidad muy pequeña de aire y de vapor basta con creces para todos esos fenómenos de las colas.

Pues también la notable rareza de las colas se infiere por los astros que se traslucen a través de ellas. La atmósfera terrestre, resplandeciente con la luz del Sol, con el espesor de unas pocas millas, oscurece y extingue por completo tanto a todos los astros como a la misma Luna; pero a través del inmenso espesor de las colas, ilustrado igualmente por la luz solar, se sabe que los astros más pequeños se traslucen sin detrimento de su claridad. Tampoco suele ser mayor el esplendor de la mayoría de las colas que el de nuestro aire en un aposento oscuro de una o dos pulgadas de anchura, que refleja la luz del Sol en un haz.

Quo tempore vapor à capite ad terminum caudæ ascendit, cognosci fere potest ducendo rectam à termino caudæ ad Solem, & Page 504 notando locum ubi recta illa Trajectoriam secat. Nam vapor in termino caudæ, si rectà ascendat à Sole, ascendere cæpit à capite quo tempore caput erat in loco intersectionis. At vapor non rectà ascendit à Sole, sed motum Cometæ, quem ante ascensum suum habebat, retinendo, & cum motu ascensus sui eundem componendo, ascendit oblique. Unde verior erit Problematis solutio, ut recta illa quæ orbem secat, parallela sit longitudini caudæ, vel potius (ob motum curvilineum Cometæ) ut eadem à linea caudæ divergat. Hoc pacto inveni quod vapor qui erat in termino caudæ Jan. 25. ascendere cæperat à capite ante Decemb. 11. adeoque ascensu suo toto dies plus 45 consumpserat. At cauda illa omnis quæ Dec. 10. apparuit, ascenderat spatio dierum illorum duorum, qui à tempore perihelii Cometæ elapsi fuerant. Vapor igitur sub initio in vicinia Solis celerrimè ascendebat, & postea cum motu per gravitatem suam semper retardato ascendere pergebat; & ascendendo augebat longitudinem caudæ: cauda autem quamdiu apparuit ex vapore fere omni constabat qui à tempore perihelii ascenderat; & vapor, qui primus ascendit, & terminum caudæ composuit, non prius evanuit quàm ob nimiam suam tam à Sole illustrante quam ab oculis nostris distantiam videri desiit. Unde etiam caudæ Cometarum aliorum quæ breves sunt, non ascendunt motu celeri & perpetuo à capitibus & mox evanescunt, sed sunt permanentes vaporum & exhalationum columnæ, à capitibus lentissimo multorum dierum motu propagatæ, quæ, participando motum illum capitum quem habuere sub initio, per cœlos una cum capitibus moveri pergunt. Et hinc rursus colligitur spatia cælestia vi resistendi destitui; utpote in quibus non solum solida Planetarum & Cometarum corpora, sed etiam rarissimi caudarum vapores motus suos velocissimos liberrimè peragunt ac diutissimè conservant.

El ascenso de las colas desde las atmósferas de las cabezas y su avance hacia las partes opuestas al Sol lo atribuye Kepler a la acción de los rayos de luz que arrastran consigo la materia de la cola. Y que el aura extremadamente tenue en los espacios más libres ceda a la acción de los rayos no es del todo ajeno a la razón Page 505, a pesar de que las sustancias densas, en nuestras regiones más obstruidas, no puedan ser propulsadas sensiblemente por los rayos del Sol. Otro piensa que pueden darse partículas tanto leves como pesadas, y que la materia de las colas es ligera y por su ligereza asciende a partir del Sol.

Como la gravedad de los cuerpos terrestres es proporcional a la materia en los cuerpos, y por tanto, mantenida la cantidad de materia, no puede intensificarse ni remitirse, sospecho que dicho ascenso proviene más bien de la rarefacción de la materia de las colas. El humo asciende en la chimenea por el impulso del aire en el que flota. Ese aire, rarefacto por el calor, asciende debido a su disminuida gravedad específica y arrastra consigo el humo implicado. ¿Por qué no habría de ascender de la misma manera la cola del cometa a partir del Sol?

Pues los rayos solares no agitan los medios queatraviesan, sino en la reflexión y la refracción. Las partículas reflectantes, calentadas por esa acción, calentarán el aura etérea a la que están envueltas. Aquélla, con el calor comunicado, se rarefará y, debido a su gravedad específica disminuida por dicha rareza con la que antes tendía hacia el Sol, ascenderá y arrastrará consigo las partículas reflectantes de las que se compone la cola:

Al ascenso de los vapores contribuye también el que estos giran alrededor del Sol y por esa acción intentan alejarse del Sol, pero la atmósfera del Sol y la materia de los cielos o bien reposan por completo, o giran más lentamente con el solo movimiento que hayan recibido de la rotación del Sol. Estas son las causas del ascenso de las colas en la vecindad del Sol, donde las órbitas son más curvadas y los cometas se encuentran dentro de la atmósfera del Sol —más densa y por esa razón más pesada—, y emiten pronto colas larguísimas.

Pues las colas que entonces nacen, conservando su movimiento y gravitando entre tanto hacia el Sol, se moverán alrededor del Sol en elipses a la manera de las cabezas, y por ese movimiento acompañarán siempre a las cabezas y se adherirán a ellas con la mayor libertad. En efecto, la gravedad de los vapores hacia el Sol no hará más que las colas caigan después de las cabezas hacia el Sol, de lo que la gravedad de las cabezas pueda hacer que estas caigan de las colas. Por gravedad común caen juntas hacia el Sol, o juntas se verán retardadas en su ascenso, y por tanto esa gravedad no impide que las colas y las cabezas adopten con la mayor facilidad cualquier posición entre sí por las causas ya descritas o cualesquiera otras, y luego la conserven con toda libertad.

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Las colas, por consiguiente, que nacen en los perihelios de los cometas, se irán a regiones lejanas con sus cabezas, y o bien desde allí, tras una larga serie de años, volverán a nosotros con las mismas, o más bien, rarificadas allí, se desvanecerán poco a poco.

Pues después, en el descenso de las cabezas hacia el Sol, las colas nuevas, más bien breves, deberán propagarse desde las cabezas con lento movimiento, y luego, en los perihelios de aquellos cometas que descienden hasta la atmósfera del Sol, aumentar inmensamente. Pues el vapor en aquellos espacios libérrimos perpetuamente se rarifica y dilata. Por cuya razón sucede que toda cola sea más ancha en su extremidad superior que cerca de la cabeza del cometa.

Y por dicha rarefacción parece conforme a razón que el vapor perpetuamente dilatado se difunda y disperse al fin por los cielos universos, y después poco a poco sea atraído hacia los planetas por su gravedad y se mezcle con sus atmósferas.

Pues así como los mares se requieren enteramente para la constitución de esta Tierra, y ello para que de ellos, por el calor del Sol, se exciten vapores bastante copiosos que, o bien coaligados en nubes caigan en lluvias yrieguen y nutran toda la tierra para la procreación de los vegetales, o bien condensados en las frígidas cumbres de los montes (como algunos filosofan con razón) discurran hacia las fuentes y los ríos: así los cometas parecen requerirse para la conservación de los mares y humores en los planetas; de cuyas exhalaciones y vapores condensados todo lo que del líquido se consume por la vegetación y la putrefacción y se convierte en tierra árida, pueda continuamente suplirse y reponerse.

Pues todos los vegetales crecen por completo a partir de los líquidos, luego en gran parte se van hacia la tierra árida por la putrefacción, y el limo cae perpetuamente de los líquidos putrefactos. De aquí que la mole de la Tierra árida aumente día a día, y los líquidos, a no ser que tomaran aumento de otra parte, debieran decrecer perpetuamente y al fin escasear.

Además, sospecho que aquel espíritu, que es la parte mínima de nuestro aire, pero la más sutil y excelente, y se requiere para la vida de todas las cosas, procede principalmente de los cometas.

Atmosphæræ Cometarum in descensu eorum in Solem excurrendo in caudas diminuuntur, & (ea certe in parte quæ Solem Page 507 respicit) angustiores redduntur: & vicissim in recessu eorum à Sole, ubi jam minus excurrunt in caudas, ampliantur; si modò Phænomena eorum Hevelius recte notavit.

Minimæ autem apparent ubi capita jam modo ad Solem calefacta in caudas maximas & fulgentissimas abiere, & nuclei fumo forsan crassiore & nigriore in Atmosphærarum partibus infimis circundantur. Nam fumus omnis ingenti calore excitatus crassior & nigrior esse solet.

Sic caput Cometæ de quo egimus, in æqualibus à Sole ac Terrâ distantiis, obscurius apparuit post perihelium suum quam antea. Mense enim Decem. cum stellis tertiæ magnitudinis conferri solebat, at Mense Novem. cum stellis primæ & secundæ. Et qui utrumq; viderant, majorem describunt Cometam priorem.

Nam Juveni cuidam Cantabrigiensi Novem. 19. Cometa hicce luce sua quantumvis plumbea & obtusa æquabat Spicam Virginis, & clarius micabat quàm postea. Et D. Storer literis quæ in manus nostras incidêre, scripsit caput ejus Mense Decembri, ubi caudam maximam & fulgentissimam emittebat, parvum esse & magnitudine visibili longe cedere Cometæ qui Mense Novembri ante Solis ortum apparuerat.

Cujus rei rationem esse conjectabatur quod materia capitis sub initio copiosior esset & paulatim consumeretur.

A lo mismo parece apuntar el hecho de que las cabezas de otros cometas, que emitieron colas larguísimas y fulgurantísimas, se describan como suboscuras y pequeñas. Pues el año 1668, el 5 de marzo, estilo nuevo, a las siete de la tarde, el R. P. Valentín Estancio, encontrándose en Brasil, vio un cometa muy próximo al Horizonte hacia la puesta del sol invernal, con una cabeza diminuta y apenas conspicua, pero con una cola sobremanera fulgente, de modo que los que estaban en la orilla veían fácilmente su imagen reflejada en el mar. Tenía ciertamente el aspecto de una viga resplandeciente de 23 grados de longitud, inclinada de occidente a austro, y casi paralela al Horizonte. Mas tan gran esplendor duró solo tres días, decreciendo notablemente poco después; y entretanto, al decrecer el esplendor, aumentó la cola en magnitud. Por lo cual también en Portugal se dice que ocupó casi la cuarta parte del cielo (esto es, 45 grados), extendiéndose desde el occidente hacia el oriente con un brillo notable Page 508; sin embargo, no apareció entera, pues en estas regiones la cabeza se ocultaba siempre bajo el Horizonte. Por el incremento de la cola y el decremento del esplendor es manifiesto que la cabeza se alejaba del Sol, y le fue muy próxima al principio, a la manera del cometa del año 1680. Y un cometa semejante se lee del año 1101 o 1106, cuya estrella era pequeña y obscura (como aquel del año 1680) mas el esplendor que salía de ella era muy claro y como una inmensa viga tendida hacia el oriente y el Aquilón, según cuenta Hevelio a partir del monje Simeón de Durham. Apareció a principios del mes de febrero, hacia el atardecer, junto a la puesta del sol invernal. Y de ahí, así como de la posición de la cola, se colige que la cabeza había estado vecina al Sol. Del Sol, dice Mateo París, distaba casi un codo, emitiendo un radio largo desde la hora tercera [más rectamente sexta] hasta la hora nona. Tal era también aquel ardísimo cometa descrito por Aristóteles (Lib. 1 Meteor. 6), cuya cabeza no fue vista el primer día, debido a que se había ocultado antes del Sol o al menos bajo los rayos solares, pero al día siguiente fue vista tanto como pudo. Pues se apartó del Sol con la menor distancia posible, y pronto se puso. A causa del excesivo ardor [a saber, de la cola] aún no aparecía el fuego disperso de la cabeza, sino que andando el tiempo (dice Aristóteles) cuando [la cola] ya ardía menos, fue devuelta [a la cabeza] su propia faz de cometa. Y extendió su esplendor hasta la tercera parte del cielo [esto es, a 60 gr.]. Apareció empero en tiempo invernal, y ascendiendo hasta el cinturón de Orión se desvaneció allí. Aquel cometa del año 1618, que emergió de los rayos solares con una gran cola, parecía igualar o superar un poco a las estrellas de primera magnitud, pero no pocos cometas mayores aparecieron que tuvieron colas más breves. Se cuenta que algunos de estos igualaron a Júpiter, otros a Venus o incluso a la Luna.

Dijimos que los Cometas son un género de Planetas que giran en órbitas muy excéntricas alrededor del Sol. Y así como entre los Planetas no caudados suelen ser menores los que giran en órbitas más pequeñas y más cercanas al Sol, así también parece conforme a la razón que los Cometas que en sus perihelios se acercan más al Sol sean por lo general menores y giren en órbitas más pequeñas.

Los diámetros transversos, en cambio, de las órbitas y los tiempos periódicos de las revoluciones, los dejo para ser determinados a partir de la comparación Page 509 de los Cometas que regresan en las mismas órbitas después de largos intervalos de tiempo. Entre tanto, la siguiente Proposición puede arrojar luz sobre este asunto.

Prop. XLII. Prob. XXI.

*Trajectoriam Cometæ graphicè inventam corrigere.*

Oper. 1. Assumatur positio plani Trajectoriæ, per Propositionem superiorem graphicè inventa; & seligantur tria loca Cometæ observationibus accuratissimis definita, & ab invicem quam maximè distantia; sitque A tempus inter primam & secundam, ac B tempus inter secundam ac tertiam. Cometam autem in eorum aliquo in Perigæo versari convenit, vel saltem non longe à Perigæo abesse. Ex his locis apparentibus inveniantur per operationes Trigonometricas loca tria vera Cometæ in assumpto illo plano Trajectoriæ. Deinde per loca illa inventa, circa centrum Solis ceu umbilicum, per operationes Arithmeticas, ope Prop. XXI. Lib. I. institutas, describatur Sectio Conica: & ejus areæ, radiis à Sole ad loca inventa ductis terminatæ, sunto D & E; nempe D area inter observationem primam & secundam, & E area inter secundam ac tertiam. Sitque T tempus totum quo area tota D + E, velocitate Cometæ per Prop. XVI. Lib. I. inventa, describi debet.

Oper. 2. Augeatur longitudo Nodorum Plani Trajectoriæ, additis ad longitudinem illam 20′ vel 30′, quæ dicantur P; & servetur plani illius inclinatio ad planum Eclipticæ. Deinde ex prædictis tribus Cometæ locis observatis inveniantur in hoc novo plano loca tria vera (ut supra): deinde etiam orbis per loca illa transiens, & ejusdem areæ duæ inter observationes descriptæ, quæ sint d & e, nec non tempus totum t quo area tota d + e describi debeat.

Oper. 3. Servetur Longitudo Nodorum in operatione prima, & augeatur inclinatio Plani Trajectoriæ ad planum Eclipticæ, additis ad inclinationem illam 20′ vel 30′, quæ dicantur Q.

Deinde ex Page 510 observatis prædictis tribus Cometæ locis apparentibus, inveniantur in hoc novo Plano loca tria vera, Orbisque per loca illa transiens, ut & ejusdem areæ duæ inter observationes descriptæ, quæ sint δ & ε, & tempus totum τ quo area tota δ + ε describi debeat.

Jam sit C ad 1 ut A ad B, & G ad 1 ut D ad E, & g ad 1 ut d ad e, & γ ad 1 ut δ ad ε; sitque S tempus verum inter observationem primam ac tertiam; & signis + & - probe observatis quærantur numeri m & n, ea lege ut sit G - C = mG - mg + nG - nγ, & T - S æquale mT - mt + nT - nτ. Et si, in operatione prima, I designet inclinationem plani Trajectoriæ ad planum Eclipticæ, & K longitudinem Nodi alterutrius: erit I + nQ vera inclinatio Plani Trajectoriæ ad Planum Eclipticæ, & K + mP vera longitudo Nodi. Ac denique si in operatione prima, secunda ac tertia, quantitates R, r & ρ designent Latera recta Trajectoriæ, & quantitates 1 ÷ L, 1 ÷ l, 1 ÷ λ ejusdem Latera transversa respectivè: erit R + mr - mR + nρ - nR verum Latus rectum, & 1 ÷ {L + ml - mL + nλ - nL} verum Latus transversum Trajectoriæ quàm Cometa describit. Dato autem Latere transverso datur etiam tempus periodicum Cometæ.   Q. E. I.