De Inventione Orbium in quibus corpora viribus quibuscunq; centripetis agitata revolventur.
### Prop. XL. Theor. XIII.
*Si corpus, cogente vi quacunq; centripeta, moveatur utcunq;, & corpus aliud recta ascendat vel descendat, sintq; eorum velocitates in aliquo æqualium altitudinum casu æquales, velocitates eorum in omnibus æqualibus altitudinibus erunt æquales.*
Descienda un cuerpo cualquiera desde A por D, E, hasta el centro C, y muévase otro cuerpo desde V en línea curva VIKk. Con centro C y cualesquiera intervalos descríbanse círculos concéntricos DI, EK que se encuentren con la recta AC en D y E, y con la curva VIK en I y K.
Únase IC encontrándose con la propia KE en N; y bájese sobre IK la perpendicular NT; y sea el intervalo de las circunferencias de los círculos DE o IN mínimo, y tengan los cuerpos en D e I velocidades iguales.
Quoniam distantiæ CD, CI æquantur, erunt vires centripetæ in D & I æquales. Exponantur hæ vires per æquales lineolas DE, IN; & si vis una IN, per Legum Corol. 2. resolvatur in duas NT & IT, vis NT, agendo secundum lineam Page 126 NT corporis cursui ITK perpendicularem, nil mutabit velocitatem corporis in cursu illo, sed retrahet solummodo corpus a cursu rectilineo, facietq; ipsum de Orbis tangente perpetuo deflectere, inq; via curvilinea ITKk, progredi. In hoc effectu producendo vis illa tota consumetur: vis autem altera IT, secundum corporis cursum agendo, tota accelerabit illud, ac dato tempore quam minimo accelerationem generabit sibi ipsi proportionalem.
Proinde corporum in D & I accelerationes æqualibus temporibus factæ (si sumantur linearum nascentium DE, IN, IK, IT, NT rationes primæ) sunt ut lineæ DE, IT: temporibus autem inæqualibus ut lineæ illæ & tempora conjunctim.
Tempora ob æqualitatem velocitatum sunt ut viæ descriptæ DE & IK, adeoq; accelerationes, in cursu corporum per lineas DE & IK, sunt ut DE & IT, DE & IK conjunctim, id est ut DE quad. & IT × IK rectangulum.
Sed rectangulum IT × IK æquale est IN quadrato, hoc est, æquale DE quadrato & propterea accelerationes in transitu corporum a D & I ad E & K æquales generantur.
Æquales igitur sunt corporum velocitates in E & K & eodem Page 127 argumento semper reperientur æquales in subsequentibus æqualibus distantiis. Q. E. D.
Y por el mismo argumento, los cuerpos con velocidades iguales y igualmente distantes del centro, en su ascenso a distancias iguales serán retardados igualmente. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si corpus vel funipendulum oscilletur, vel impedimento quovis politissimo & perfecte lubrico cogatur in linea curva moveri, & corpus aliud recta ascendat vel descendat, sintq; velocitates eorum in eadem quacunq; altitudine æquales: erunt velocitates eorum in aliis quibuscunq; æqualibus altitudinibus æquales. Namq; impedimento vasis absolute lubrici idem præstatur quod vi transversa NT. Corpus eo non retardatur, non acceleratur, sed tantum cogitur de cursu rectilineo discedere.
Corol. 2. Hinc etiam si quantitas P sit maxima a centro distantia, ad quam corpus vel oscillans vel in Trajectoria quacunq; revolvens, deq; quovis trajectoriæ puncto, ea quam ibi habet velocitate sursum projectum ascendere possit; sitq; quantitas A distantia corporis a centro in alio quovis Orbis puncto, & vis centripeta semper sit ut ipsius A dignitas quælibet An - 1, cujus Index n - 1 est numerus quilibet n unitate diminutus; velocitas corporis in omni altitudine A erit ut √nPn - nAn, atq; adeo datur. Namq; velocitas ascendentis ac descendentis (per Prop. XXXIX.) est in hac ipsa ratione.
# Prop. XLI. Prob. XXVIII.
* Posita cujuscunq; generis vi centripeta & concessis figurarum curvilinearum quadraturis, requiruntur tum Trajectoriæ in quibus corpora movebuntur, tum tempora motuum in Trajectoriis inventis.
Tendat vis quælibet ad centrum C & invenienda sit Trajectoria VITKk. Detur circulus VXY centro C intervallo quovis CV descriptus, centroq; eodem describantur alii quivis circuli ID, Page 128 KE trajectoriam secantes in I & K rectamq; CV in D & E.
Age tum rectam CNIX secantem circulos KE, VY in N & X, tum rectam CKY occurrentem circulo VXY in Y.
Sint autem puncta I & K sibi invicem vicinissima, & pergat corpus ab V per I, T & K ad k; sitq; A altitudo illa de qua corpus aliud cadere debet ut in loco D velocitatem acquirat æqualem velocitati corporis prioris in I; & stantibus quæ in Propositione XXXIX, quoniam lineola IK, dato tempore quam minimo descripta, est ut velocitas atq; adeo ut latus quadratum areæ ABFD, & triangulum ICK tempori proportionale datur, adeoq; KN est reciproce ut altitudo IC, id est, si detur quantitas aliqua Q, & altitudo IC nominetur A, ut Q ÷ A; quam nominemus Z.
Ponamus eam esse magnitudinem ipsius Q ut sit √ABFD in aliquo casu ad Z ut est IK ad KN, & erit semper √ABFD ad Z ut IK ad KN, & ABFD ad ZZ ut IK quad. ad KN quad. & divisim ABFD - ZZ ad ZZ ut IN quad. ad KN quad. adeoq; √ABFD - ZZ ad Z ut IN ad KN, & propterea A × KN Page 129 æquale Q × IN ÷ √ABFD - ZZ.
Unde cum YX × XC sit ad A × KN in duplicata ratione YC ad KC, erit rectang. YX × XC æquale Q × IN × CX quad. ÷ AA √ABFD - ZZ.
Igitur si en el perpendicular DF se toman siempre Db, Dc iguales respectivamente a los mismos Q ÷ 2√ABFD - ZZ & Q × CX quad. ÷ 2AA √ABFD - ZZ, & se describen las líneas curvas ab, cd que los puntos b, c tocan perpetuamente; y del punto V a la línea AC se levanta un perpendicular Vad que abscinde las áreas curvilíneas VDba, VDdc, y se levantan también las ordenadas Ez, Ex: puesto que el rectángulo Db × IN o DbzE es igual a la mitad del rectángulo A × KN, o al triángulo ICK; y el rectángulo Dc × IN o Dc × E es igual a la mitad del rectángulo YX en CX, o al triángulo XCY; esto es, puesto que de las áreas VDba, VIC son siempre iguales las partículas nacientes DbzE, ICK, y de las áreas VDcd, VCX son siempre iguales las partículas nacientes DExc, XCY, el área generada VDba será igual al área generada VIC, y por tanto proporcional al tiempo, y el área generada VDdc igual al Sector generado VCX.
Dato igitur tempore quovis ex quo corpus discessit de loco V, dabitur area ipsi proportionalis VDba, & inde dabitur corporis altitudo CD vel CI; & area VDcd, eiq; æqualis Sector VCX una cum ejus angulo VCI. Datis autem angulo VCI & altitudine CI datur locus I, in quo corpus completo illo tempore reperietur.
Q. E. I.
Corol. 1. Hinc maximæ minimæq; corporum altitudines, id est Apsides Trajectoriarum expedite inveniri possunt. Incidunt enim Apsides in puncta illa in quibus recta IC per centrum ducta incidit perpendiculariter in Trajectoriam VIK: id quod fit ubi rectæ IK & NK æquantur, adeoq; ubi area ABFD æqualis est ZZ.
Corol. 2. Sed & angulus KIN, in quo Trajectoria alibi secat lineam illam IC, ex data corporis altitudine IC expedite invenitur, Page 130 nimirum capiendo sinum ejus ad radium ut KN ad IK, id est ut Z ad latus quadratum areæ ABFD.
Corol. 3. Si con centro C y vértice principal V se describe una sección cónica cualquiera VRS, y desde un punto cualquiera suyo R se traza la tangente RT que corta al eje prolongado indefinidamente CV en el punto T; después, uniendo CR, se traza la recta CP, que sea igual a la abscisa CT, y constituya un ángulo VCP proporcional al sector VCR; tienda además hacia el centro C una fuerza centrípeta inversamente proporcional al cubo de la distancia de los lugares al centro, y salga un cuerpo del lugar V con la velocidad justa según una línea recta perpendicular a CV: dicho cuerpo progesará en la trayectoria que el punto P toca perpetuamente; y por tanto, si la sección cónica CVRS es una hipérbola, el mismo descenderá hacia el centro: mas si aquella es una elipse, ascenderá perpetuamente y se irá al infinito.
Y por el contrario, si un cuerpo sale con una velocidad cualquiera del lugar V, y según haya empezado a descender oblicuamente hacia el centro, o a ascender oblicuamente desde él, la figura CVRS sea hipérbola o elipse, se puede hallar la trayectoria aumentando o disminuyendo el ángulo VCP en una razón dada cualquiera.
Mas también, vuelta la fuerza centrípeta en centrífuga, ascenderá el cuerpo oblicuamente en la trayectoria VPQ que se halla tomando el ángulo VCP proporcional al sector elíptico CVRC, y la longitud CP igual a la longitud CT: como arriba.
Se siguen todas estas cosas de la Página 131 de la proposición precedente, mediante la cuadratura de cierta curva, cuya invención, por considerarla bastante fácil, la omito en gracia de la brevedad.
Prop. XLII. Prob. XXIX.
*Data lege vis centripetæ, requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum datam rectam egressi.*
Manténense las cosas que en las tres Proposiciones precedentes: salga el cuerpo del lugar I según la línea pequeña IT, con aquella velocidad que otro cuerpo, por alguna fuerza centrípeta uniforme, cayendo desde el lugar P, podría adquirir en D: y sea esta fuerza uniforme a la fuerza con que el primer cuerpo es impelido en I, como DR a DF.
Prosiga, empero, el cuerpo hacia k; y con el centro C y el intervalo Ck descríbase un círculo ke que concurra con la recta PD en e, y levántense las aplicadas ordenadamente em, eg, ev, ew de las líneas curvas ALMm, BFGg, abzv, dcxw.
Por el rectángulo dado PDRQ, y dada la ley de la fuerza centrípeta con que el primer cuerpo es agitado, se dan las líneas curvas BFGg, ALMm, por la construcción del Problema XXVIII y de su Corolario 1.
Después, por el ángulo dado CIT se da la proporción de los que nacen IK, KN y de ahí, por la construcción del Prob. XXVIII, se da la cantidad Q, juntamente con las líneas curvas abzv, dcxw: por lo cual, completado un tiempo cualquiera Dbve, se da tanto la altitud del cuerpo Ce o Ck, como el área Dcwe, y el Sector XCy igual a ella, y el ángulo XCy y el lugar k en el que el cuerpo entonces se hallará. Q. E. I.
Suponemos además en estas Proposiciones que la fuerza centrípeta, al alejarse del centro, varía según cualquier ley que uno pueda imaginar, pero que a iguales distancias del centro es por doquier la misma. Y hasta aquí hemos considerado [el movimiento] de los cuerpos en órbitas inmóviles. Resta que añadamos pocas cosas acerca de su movimiento en las órbitas que giran en torno al centro de las fuerzas.
Página 132