De Motu & resistentia Corporum Funependulorum.

Prop. XXIV. Theor. XVIII.

*Las cantidades de materia en los cuerpos pendulares, cuyos centros de oscilación equidistan del centro de suspensión, están en la razón compuesta de la razón de los pesos y la razón duplicada de los tiempos de las oscilaciones en el vacío.*

Nam velocitas, quam data vis in data materia dato tempore generare potest, est ut vis & tempus directe, & materia inverse.

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Quo major est vis vel majus tempus vel minor materia, eo major generabitur velocitas. Id quod per motus Legem secundam manifestum est.

Jam vero si pendula ejusdem sint longitudinis, vires motrices in locis a perpendiculo æqualiter distantibus sunt ut pondera: ideoque si corpora duo oscillando describant arcus æquales, & arcus illi dividantur in partes æquales; cum tempora quibus corpora describant singulas arcuum partes correspondentes sint ut tempora oscillationum totarum, erunt velocitates ad invicem in correspondentibus oscillationum partibus, ut vires motrices & tota oscillationum tempora directe & quantitates materiæ reciproce: adeoque quantitates materiæ ut vires & oscillationum tempora directe & velocitates reciproce.

Sed velocitates reciproce sunt ut tempora, atque adeo tempora directe & velocitates reciproce sunt ut quadrata temporum, & propterea quantitates materiæ sunt ut vires motrices & quadrata temporum, id est ut pondera & quadrata temporum.

Q. E. D.

Corol. 1. Ideoque si tempora sunt æqualia, quantitates materiæ in singulis corporibus erunt ut pondera.

Corol. 2. Si pondera sunt æqualia, quantitates materiæ erunt ut quadrata temporum.

Corol. 3. Si las cantidades de materia son iguales, los pesos serán recíprocamente como los cuadrados de los tiempos.

Corol. 4. Unde cum quadrata temporum cæteris paribus sint ut longitudines pendulorum; si & tempora & quantitates materiæ æqualia sunt, pondera erunt ut longitudines pendulorum.

Corol. 5. Et universaliter, quantitas materiæ pendulæ est ut pondus & quadratum temporis directe, & longitudo penduli inverse.

Corol. 6. Sed & in Medio non resistente quantitas Materiæ pendulæ est ut pondus comparativum & quadratum temporis directe & longitudo penduli inverse. Nam pondus comparativum est vis motrix corporis in Medio quovis gravi, ut supra explicui; adeoque idem præstat in tali Medio non resistente atque pondus absolutum in vacuo.

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Corol. 7. Y de aquí es evidente la razón tanto de comparar los cuerpos entre sí, en cuanto a la cantidad de materia en cada uno, como de comparar los pesos de un mismo cuerpo en diversos lugares, para conocer la variación de la gravedad. Hechos, empero, experimentos lo más precisos posible, hallé siempre que la cantidad de materia en los cuerpos individuales era proporcional a su peso.

Prop. XXV. Theor. XIX.

* Corpora Funependula quæ in Medio quovis resistuntur in ratione momentorum temporis, quæque in ejusdem gravitatis specificæ Medio non resistente moventur, oscillationes in Cycloide eodem tempore peragunt, & arcuum partes proportionales simul describunt.

Sit AB Cycloidis arcus, quem corpus D tempore quovis in Medio non resistente oscillando describit. Bisecetur idem in C, ita ut C sit infimum ejus punctum; & erit vis acceleratrix qua corpus urgetur in loco quovis D vel d vel E ut longitudo arcus CD vel Cd vel CE.

Exponatur vis illa per eundem arcum; & cum resistentia sit ut momentum temporis, adeoque detur, exponatur eadem per datam arcus Cycloidis partem CO, & sumatur arcus Od in ratione ad arcum CD quam habet arcus OB ad arcum CB: & vis qua corpus in d urgetur in Medio resistente, cum sit excessus vis Cd supra resistentiam CO, exponetur per arcum Od, adeoque erit ad vim qua corpus D urgetur in Medio non resistente, in loco D, ut arcus Od ad arcum CD; & propterea etiam in loco B ut arcus OB ad arcum CB.

Proinde si corpora duo, D, d exeant de loco Page 306 B & his viribus urgeantur: cum vires sub initio sint ut arcus CB & OB, erunt velocitates primæ & arcus primo descripti in eadem ratione. Sunto arcus illi BD & Bd, & arcus reliqui CD, Od erunt in eadem ratione. Proinde vires ipsis CD, Od proportionales manebunt in eadem ratione ac sub initio, & propterea corpora pergent arcus in eadem ratione simul describere.

Igitur vires & velocitates & arcus reliqui CD, Od semper erunt ut arcus toti CD, OB, & propterea arcus illi reliqui simul describentur. Quare corpora duo D, d simul pervenient ad loca C & O, alterum quidem in Medio non resistente ad locum C, & alterum in Medio resistente ad locum O.

Cum autem velocitates in C & O sint ut arcus CB & OB; erunt arcus quos corpora ulterius pergendo simul describunt, in eadem ratione. Sunto illi CE & Oe. Vis qua corpus D in Medio non resistente retardatur in E est ut CE, & vis qua corpus d in Medio resistente retardatur in e est ut summa vis Ce & resistentiæ CO, id est ut Oe; ideoque vires, quibus corpora retardantur, sunt ut arcubus CE, Oe proportionales arcus CB, OB; proindeque velocitates in data illa ratione retardatæ manent in eadem illa data ratione.

Velocitates igitur & arcus iisdem descripti semper sunt ad invicem in data illa ratione arcuum CB & OB; & propterea si sumantur arcus toti AB, aB in eadem ratione, corpora D, d simul describent hos arcus, & in locis A & a motum omnem simul amittent. Isochronæ sunt igitur oscillationes totæ, & arcubus totis BA, BE proportionales sunt arcuum partes quælibet BD, Bd vel BE, Be quæ simul describuntur.

Q. E. D.

Corol. Igitur motus velocissimus in Medio resistente non incidit in punctum infimum C, sed reperitur in puncto illo O, quo arcus totus descriptus aB bisecatur. Et corpus subinde pergendo ad a, iisdem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur in descensu suo a B ad O.

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Prop. XXVI. Theor. XX.

*Corporum Funependulorum, quæ resistuntur in ratione velocitatum, oscillationes in Cycloide sunt Isochronæ.*

Nam si corpora duo a centris suspensionum æqualiter distantia, oscillando describant arcus inæquales, & velocitates in arcuum partibus correspondentibus sint ad invicem ut arcus toti; resistentiæ velocitatibus proportionales erunt etiam ad invicem ut iidem arcus.

Proinde si viribus motricibus a gravitate oriundis, quæ sint ut iidem arcus auferantur, conferantur vel addantur hæ resistentiæ, erunt differentiæ vel summæ ad invicem in eadem arcuum ratione: cumque velocitatum incrementa vel decrementa sint ut hæ differentiæ vel summæ, velocitates semper erunt ut arcus toti: Igitur velocitates, si sint in aliquo casu ut arcus toti, manebunt semper in eadem ratione.

Sed in principio motus, ubi corpora incipiunt descendere & arcus illos describere, vires, cum sint arcubus proportionales, generabunt velocitates arcubus proportionales. Ergo velocitates semper erunt ut arcus toti describendi, & propterea arcus illi simul describentur.

Q. E. D.

Prop. XXVII. Theor. XXI.

* Si corpora funependula resistuntur in duplicata ratione velocitatum, differentiæ inter tempora oscillationum in Medio resistente ac tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specificæ Medio non resistente, erunt arcubus oscillando descriptis proportionales, quam proxime.

Nam pendulis æqualibus in Medio resistente describantur arcus inæquales A, B; resistentia corporis in arcu A, erit ad resistentiam corporis in parte correspondente arcus B, in duplicata ratione velocitatum, id est ut A quad. ad B quad. quamproxime.

Si resistentia in arcu B esset ad resistentiam in arcu A ut rectangulum AB ad A quad. tempora in arcubus A & B forent æqualia Page 308 per Propositionem superiorem.

Ideoque resistentia A quad. in arcu A, vel AB in arcu B, efficit excessum temporis in arcu A supra tempus in Medio non resistente; & resistentia BB efficit excessum temporis in arcu B supra tempus in Medio non resistente.

Sunt autem excessus illi ut vires efficientes AB & BB quam proxime, id est ut arcus A & B.

Q. E. D.

Corol. 1. Hinc ex oscillationum temporibus, in Medio resistente in arcubus inæqualibus factarum, cognosci possunt tempora oscillationum in ejusdem gravitatis specificæ Medio non resistente. Nam si verbi gratia arcus sit altero duplo major, differentia temporum erit ad excessum temporis in arcu minore supra tempus in Medio non resistente, ut differentia arcuum ad arcum minorem.

Corol. 2. Las oscilaciones más breves son más isócronas, y las más breves se realizan en los mismos tiempos que en un medio no resistente, poco más o menos. Los tiempos de aquellas que se hacen en arcos mayores son, en verdad, un poco mayores, debido a que la resistencia en el descenso del cuerpo —por la cual se prolonga el tiempo— es mayor, en proporción a la longitud descrita en el descenso, que la resistencia en el ascenso subsecuente por la cual el tiempo se contrae. Mas también el tiempo de las oscilaciones, tanto breves como largas, parece prolongarse no poco por el movimiento del medio. Pues los cuerpos que se van retardando se resisten un poco menos en proporción a la velocidad, y los cuerpos acelerados un poco más que aquellos que avanzan uniformemente: esto es así porque el medio, con el movimiento que recibió de los cuerpos, avanzando en la misma dirección, en el primer caso es más agitado, en el segundo menos; y por consiguiente conspira más o menos con los cuerpos movidos. A los péndulos, por tanto, se les resiste más en el descenso y menos en el ascenso que en proporción a la velocidad, y por ambas causas se prolonga el tiempo.

### Prop. XXVIII. Theor. XXII.

*Si corpus Funependulum in Cycloide oscillans resistitur in ratione momentorum temporis, erit ejus resistentia ad vim gravitatis ut Page 309 excessus arcus descensu toto descripti supra arcum ascensu subsequente descriptum, ad penduli longitudinem duplicatam.*

Desígnese BC el arco descender descripto, Ca el arco ascender descripto, y Aa la diferencia de los arcos; y permaneciendo las cosas que en la Proposición XXV están construidas y demostradas, la fuerza con que el cuerpo oscilante es empujado en un lugar cualquiera D, será a la fuerza de resistencia como el arco CD al arco CO, que es la mitad de aquella diferencia Aa. Y por tanto, la fuerza con que el cuerpo oscilante es empujado en el principio de la Cicloide o punto altísimo, esto es, la fuerza de gravedad, será a la resistencia como el arco de la Cicloide entre aquel punto supremo y el punto ínfimo C al arco CO; esto es (si se duplican los arcos) como el arco todo de la Cicloide, o la doble longitud del péndulo, al arco Aa. Q. E. D.

Prop. XXIX. Prob. VII.

*Supóngase que un cuerpo que oscila en una cicloide experimenta una resistencia en razón duplicada de la velocidad: hallar la resistencia en los lugares singulares.*

Sea Ba (Fig. Prop. XXV.) arcus oscillatione integra descriptus, sitque C infimum Cycloidis punctum, & CZ semissis arcus Cycloidis totius, longitudini Penduli æqualis; & quæratur resistentia corporis in loco quovis D. Secetur recta infinita OQ in punctis O, C, P, Q ea lege ut (si erigantur perpendicula OK, CT, PI, QE, centroque O & Asymptotis OK, OQ describatur Hyperbola TIGE secans perpendicula CT, PI, QE in T, I & E, & per punctum I agatur KF occurrens Asymptoto OK in K, & perpendiculis CT & QE in L & F) fuerit area Hyperbolica PIEQ ad aream Hyperbolicam Page 310 PITC ut arcus BC descensu corporis descriptus ad arcum Ca ascensu descriptum, & area IEF ad aream ILT ut OQ ad OC. Dein perpendiculo MN abscindatur area Hyperbolica PINM quæ sit ad aream Hyperbolicam PIEQ ut arcus CZ ad arcum BC descensu descriptum. Et si perpendiculo RG abscindatur area Hyperbolica PIGR, quæ sit ad aream PIEQ ut arcus quilibet CD ad arcum BC descensu toto descriptum: erit resistentia in loco D ad vim gravitatis, ut area {OR ÷ OQ} IEF - IGH ad aream PIENM.

Nam cum vires a gravitate oriundæ quibus corpus in locis Z, B, D, a urgetur, sint ut arcus CZ, CB, CD, Ca, & arcus illi sint ut areæ PINM, PIEQ, PIGR, PITC; exponatur tum arcus tum vires per has areas respective. Sit insuper Dd spatium quam minimum a corpore descendente descriptum, & exponatur idem per aream quam minimam RGgr parallelis RG, rg comprehensam; & producatur rg ad h, ut sint GHhg, & RGgr contemporanea arearum IGH, PIGR decrementa.

Et areæ {OR ÷ OQ} IEF - IGH incrementum GHhg - {Rr ÷ OQ} IEF, seu Rr × HG - {Rr ÷ OQ} IEF, erit ad areæ PIGR decrementum RGgr seu Rr × RG, ut HG - {IEF ÷ OQ} ad RG; adeoque ut OR × HG - {OR ÷ OQ} IEF ad OR × GR seu OP × PI: hoc est (ob æqualia OR × HG, OR × HR - OR × GR, ORHK - OPIK, PIHR & PIGR + IGH) ut PIGR + IGH - {OR ÷ OQ} IEF ad OPIK.

Igitur si area {OR ÷ OQ} IEF - IGH dicatur Y, atque areæ PIGR decrementum RGgr detur, erit incrementum areæ Y ut PIGR - Y.

Quod si V designet vim a gravitate oriundam arcui describendo CD proportionalem, qua corpus urgetur in D; & R pro resistentia ponatur: erit V - R vis tota qua corpus urgetur in D, Page 311 adeoque ut incrementum velocitatis in data temporis particula factum.

Est autem resistentia R (per Hypothesin) ut quadratum velocitatis, & inde (per Lem. II.) incrementum resistentiæ ut velocitas & incrementum velocitatis conjunctim, id est ut spatium data temporis particula descriptum & V - R conjunctim; atque adeo, si momentum spatii detur, ut V - R; id est, si pro vi V scribatur ejus exponens PIGR, & resistentia R exponatur per aliam aliquam aream Z, ut PIGR - Z.

Igitur area PIGR per datorum momentorum subductionem uniformiter decrescente, crescunt area Y in ratione PIGR - Y, & area Z in ratione PIGR - Z. Et propterea si areæ Y & Z simul incipiant & sub initio æquales sint, hæ per additionem æqualium momentorum pergent esse æquales, & æqualibus itidem momentis subinde decrescentes simul evanescent.

Et vicissim, si simul incipiunt & simul evanescunt, æqualia habebunt momenta & semper erunt æquales: id adeo quia si resistentia Z augeatur, velocitas una cum arcu illo Ca, qui in ascensu corporis describitur, diminuetur; & puncto in quo motus omnis una cum resistentia cessat propius accedente ad punctum C, resistentia citius evanescet quam area Y. Et contrarium eveniet ubi resistentia diminuitur.

Jam vero el área Z empieza y termina donde no hay resistencia alguna, esto es, al principio y al fin del movimiento, donde los arcos CD, CD se igualan a los arcos CB y Ca, y por tanto donde la recta RG cae sobre las rectas QE y CT. Y el área Y o {OR ÷ OQ} IEF - IGH empieza y termina donde es nula, y por tanto donde {OR ÷ OQ} IEF e IGH son iguales: esto es (por construcción) donde la recta RG cae sobre la recta QE y CT.

Y por consiguiente dichas áreas empiezan y se anulan al mismo tiempo, y por ello son siempre iguales. Por tanto, el área {OR ÷ OQ} IEF - IGH es igual al área Z, por la cual se expone la resistencia, y por consiguiente es al área PINM por la cual se expone la gravedad, como la resistencia a la gravedad.

Q. E. D.

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Corol. 1. Est igitur resistentia in loco infimo C ad vim gravitatis, ut area {OP ÷ OQ} IEF ad aream PINM.

Corol. 2. Hágase además máxima, cuando el área PIHR es a la área IEF como OR es a OQ. Pues en ese caso el momento de ella (a saber, PIGR - Y) se vuelve nulo.

Corol. 3. Hinc etiam innotescit velocitas in locis singulis: quippe quæ est in dimidiata ratione resistentiæ, & ipso motus initio æquatur velocitati corporis in eadem Cycloide absque omni resistentia oscillantis.

Cæterum ob difficilem calculum quo resistentia & velocitas per hanc Propositionem inveniendæ sunt, visum est Propositionem sequentem subjungere, quæ & generalior sit & ad usus Philosophicos abunde satis accurata.

Prop. XXX. Theor. XXIII.

*Si recta* aB *æqualis sit Cycloidis arcui quem corpus oscillando describit, & ad singula ejus puncta* D *erigantur perpendicula* DK*, quæ sint ad longitudinem Penduli ut resistentia corporis in arcus punctis correspondentibus ad vim gravitatis: dico quod differentia inter arcum descensu toto descriptum, & arcum ascensu toto subsequente descriptum, ducta in arcuum eorundem semisummam, æqualis erit areæ* BKaB *a perpendiculis omnibus* DK *occupatæ, quamproxime.*

Exponatur enim tum Cycloidis arcus oscillatione integra descriptus, per rectam illam sibi æqualem aB, tum arcus qui describeretur in vacuo per longitudinem AB. Bisecetur AB in C, & punctum C repræsentabit infimum Cycloidis punctum, & erit CD ut vis a gravitate oriunda, qua corpus in D secundum Tangentem Cycloidis urgetur, eamque habebit rationem ad longitudinem Penduli quam habet vis in D ad vim gravitatis.

Exponatur igitur vis illa per longitudinem CD, & vis gravitatis per longitudinem penduli; & si in DE capiatur DK in ea ratione ad Page 313 longitudinem penduli quam habet resistentia ad gravitatem, erit DK exponens resistentiæ. Centro C & intervallo CA vel CB construatur semicirculus, BEeA.

Describat autem corpus tempore quam minimo spatium Dd, & erectis perpendiculis DE, de circumferentiæ occurrentibus in E & e, erunt hæc ut velocitates quas corpus in vacuo, descendendo a puncto B, acquireret in locis D & d. Patet hoc per Prop. LII. Lib. I. Exponantur itaq; hæ velocitates per perpendicula illa DE, de; sitque DF velocitas quam acquirit in D cadendo de B in Medio resistente.

Et si centro C & intervallo CF describatur circulus FfM occurrens rectis de & AB in f & M, erit M locus ad quem deinceps absque ulteriore resistentia ascenderet, & df velocitas quam acquireret in d. Unde etiam si Fg designet velocitatis momentum quod corpus D, describendo spatium quam minimum Dd, ex resistentia Medii amittit, & sumatur CN æqualis Cg: erit N locus ad quem corpus deinceps absque ulteriore resistentia ascenderet, & MN erit decrementum ascensus ex velocitatis illius amissione oriundum.

Ad df demittatur perpendiculum Fm, & velocitatis DF decrementum fg a resistentia DK genitum, erit ad velocitatis ejusdem incrementum fma vi CD genitum, ut vis generans DK ad vim generantem CD. Sed & ob similia triangula Fmf, Fhg, FDC, est fm ad Fm seu Dd, ut CD ad DF, & ex æquo Fg ad Dd ut DK ad DF. Item Fg ad Fh ut CF ad DF; & ex æquo perturbate Fh seu MN ad Dd ut DK ad CF.

Sumatur DR ad ½aB ut DK ad CF, & erit MN ad Dd ut DR ad ½aB; ideoque summa omnium MN × ½aB, id est Aa × ½aB, æqualis erit summæ omnium Dd × DR, id est areæ BRrSa, quam rectangula omnia Dd × DR Page 314 seu DRrd componunt.

Bisecentur Aa & aB in P & O, & erit ½aB seu OB æqualis CP, ideoque DR est ad DK ut CP ad CF vel CM, & divisim KR ad DR ut PM ad CP. Ideoque cum punctum M, ubi corpus versatur in medio oscillationis loco O, incidat circiter in punctum P, & priore oscillationis parte versetur inter A & P, posteriore autem inter P & a, utroque in casu æqualiter a puncto P in partes contrarias errans: punctum K circa medium oscillationis locum, id est e regione puncti O, puta in V, incidet in punctum R; in priore autem oscillationis parte jacebit inter R & E, & in posteriore inter R & D, utroque in casu æqualiter a puncto R* in partes contrarias errans.

Proinde area quam linea KR describit, priore oscillationis parte jacebit extra aream BRSa, posteriore intra eandem, idque dimensionibus hinc inde propemodum æquatis inter se; & propterea in casu priore addita areæ BRSa, in posteriore eidem subducta, relinquet aream BKTa areæ BRSa æqualem quam proxime. Ergo rectangulum Aa × ½aB seu AaO, cum sit æquale areæ BRSa, erit etiam æquale areæ BKTa quamproxime.

Q. E. D.

Corol. Hinc ex lege resistentiæ & arcuum Ca, CB differentia Aa, colligi potest proportio resistentiæ ad gravitatem quam proxime.

Nam si uniformis sit resistentia DK, figura aBKkT rectangulum erit sub Ba & DK, & inde rectangulum sub ½Ba & Aa æqualis erit rectangulo sub Ba & DK, & DK æqualis erit ½Aa. Quare cum DK sit exponens resistentiæ, & longitudo penduli exponens gravitatis, erit resistentia ad gravitatem ut ½Aa ad longitudinem Penduli; omnino ut in Propositione XXVIII. demonstratum est.

Si la resistencia es como la velocidad, la figura aBKkT será una elipsis muy próximamente.

En efecto, si un cuerpo, en un medio no resistente, describiese en una oscilación completa la longitud BA, la velocidad en un lugar cualquiera D sería como la ordenada aplicada DE descrita sobre el diámetro del círculo AB. Por tanto, como Ba en el medio resistente y BA en el medio no resistente se describen en tiempos más o menos iguales; y por consiguiente, Page 315 las velocidades en cada uno de los puntos del propio Ba son muy próximamente respecto a las velocidades en los puntos correspondientes de la longitud BA como Ba es a BA; la velocidad DK en el medio resistente será como la ordenada aplicada del círculo o de la elipsis descrita sobre el diámetro Ba; y por consiguiente, la figura BKVTa será una elipsis, muy próximamente.

Como se supone que la resistencia es proporcional a la velocidad, sea OV el exponente de la resistencia en el punto medio O; y la elipsis descrita con centro O, de semiejes OB, OV, igualará muy próximamente a la figura aBKVT, y al rectángulo Aa × BO igual a ella.

Es, por tanto, Aa × BO a OV × BO como el área de esta elipsis es a OV × BO: esto es, Aa a OV como el área del semicírculo es al cuadrado del radio, o sea como 11 y 7 próximamente. Y por eso:

⁷/₁₁Aa a la longitud del péndulo es como la resistencia del cuerpo oscilante en O es a su gravedad.

Y si la resistencia DK fuere en razón duplicada de la velocidad, la figura BKTVa será una parábola que tendrá su vértice en V y su eje en OV, y por lo tanto será igual a las dos terceras partes del rectángulo bajo Ba y OV, muy aproximadamente.

Es, pues, el rectángulo bajo ½Ba y Aa igual al rectángulo bajo ⅔Ba y OV, y por consiguiente OV igual a ¾Aa, y por ello la resistencia del cuerpo oscilante en O es a su gravedad como ¾Aa a la longitud del Péndulo.

Y considero que estas conclusiones son suficientemente exactas en los asuntos prácticos. Pues como la elipse o la parábola coincide con la figura BKVTa en el punto medio V, si esta excede a dicha figura hacia una u otra parte BKV o VTa, le faltará otro tanto por el otro lado, y así será casi exactamente igual a aquella.

Prop. XXXI. Theor. XXIV.

*Si corporis oscillantis resistentia in singulis arcuum descriptorum partibus proportionalibus augeatur vel minuatur in data ratione; differentia inter arcum descensu descriptum & arcum subsequente ascensu descriptum, augebitur vel diminuetur in eadem ratione quamproxime.*

Nascitur enim differentia illa ex retardatione Penduli per resistentiam Medii, adeoque est ut retardatio tota eique proportionalis resistentia retardans. In superiore Propositione rectangulum sub recta ½aB & arcuum illorum CB, Ca differentia Aa, æqualis erat areæ BKT. Et area illa, si maneat longitudo aB, augetur vel diminuitur in ratione ordinatim applicatarum DK; hoc est in ratione resistentiæ, adeoque est ut longitudo aB & resistentia conjunctim. Proindeque rectangulum sub Aa & ½aB est ut aB & resistentia conjunctim, & propterea Aa ut resistentia. Q. E. D.

Corol. 1. Unde si resistentia sit ut velocitas, differentia arcuum in eodem Medio erit ut arcus totus descriptus: & contra.

Corol. 2. Si resistentia sit in duplicata ratione velocitatis, differentia illa erit in duplicata ratione arcus totius; & contra.

Corol. 3. Et universaliter, si resistentia sit in triplicata vel alia quavis ratione velocitatis, differentia erit in eadem ratione arcus totius; & contra.

Corol. 4. Y si la resistencia es en parte en razón simple de la velocidad, y en parte en razón duplicada de la misma, la diferencia será en parte en razón del arco total y en parte en razón duplicada de este; y viceversa. La misma será la ley y razón de la resistencia para la velocidad, que es la de aquella para la longitud del arco.

Corol. 5. Ideoque si, pendulo inæquales arcus successive describente, inveniri potest ratio incrementi ac decrementi resistentiæ hujus pro longitudine arcus descripti, habebitur etiam ratio incrementi ac decrementi resistentiæ pro velocitate majore vel minore.

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