De Inventione Virium Centripetarum.
Prop. I. Theorema. I.
* Areas quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum virium ductis describunt, & in planis immobilibus consistere, & esse temporibus proportionales.
Divídase el tiempo en partes iguales, y en la primera parte del tiempo describa un cuerpo, por su fuerza innata, la línea recta AB. Lo mismo, en la segunda parte del tiempo, si nada lo impidiera, avanzaría en línea recta hacia c, (por la Ley I) describiendo la línea Bc igual a la misma AB, de modo que, trazados los radios AS, BS, cS hacia el centro, se habrían trazado áreas iguales ASB, BSc.
Verum ubi corpus venit ad B, agat vis centripeta impulsu unico sed magno, faciatq; corpus a recta Bc deflectere & pergere in recta BC. Ipsi BS parallela agatur cC occurrens BC in C, & completa secunda temporis parte, corpus (per Legum Corol. I) reperietur in C, in eodem plano cum triangulo ASB.
Junge SC, & triangulum SBC, ob parallelas SB, Cc, æquale erit triangulo SBc, atq; adeo etiam triangulo SAB.
Simili argumento si Page 38 vis centripeta successive agat in C, D, E, &c. faciens ut corpus singulis temporis particulis singulas describat rectas CD, DE, EF, &c. jacebunt hæ in eodem plano, & triangulum SCD triangulo SBC & SDE ipsi SCD & SEF ipsi SDE æquale erit. Æqualibus igitur temporibus æquales areæ in plano immoto describuntur: & componendo, sunt arearum summæ quævis SADS, SAFS inter se, ut sunt tempora descriptionum.
Augeatur jam numerus & minuatur latitudo triangulorum in infinitum, & eorum ultima perimeter ADF, (per Corollarium quartum Lemmatis tertii) erit linea curva; adeoq; vis centripeta qua corpus de tangente hujus curvæ perpetuo retrahitur, aget indesinenter; areæ vero quævis descriptæ SADS, SAFS temporibus descriptionum semper proportionales, erunt iisdem temporibus in hoc casu proportionales. Q. E. D.
Corol. 1. In mediis non resistentibus, si areæ non sunt temporibus proportionales, vires non tendunt ad concursum radiorum.
Corol. 2. En medio de todas las cosas, si la descripción de las áreas se acelera, las fuerzas no tienden hacia la confluencia de los radios, sino que se apartan de ella en la dirección del movimiento.
Pro. II. Theor. II.
*Corpus omne quod, cum movetur in linea aliqua curva, & radio ducto ad punctum vel immobile, vel motu rectilineo uniformiter progrediens, describit areas circa punctum illud temporibus proportionales, urgetur a vi centripeta tendente ad idem punctum.*
Cas. 1. Nam corpus omne quod movetur in linea curva, detorquetur de cursu rectilineo per vim aliquam in ipsum agentem. (per Leg. I.) Et vis illa qua corpus de cursu rectilineo detorquetur & cogitur triangula quam minima SAB, SBC, SCD &c. circa punctum immobile S, temporibus æqualibus æqualia describere, agit in loco B secundum lineam parallelam ipsi cC (per Prop. 40 Lib. I Elem. & Leg. II.) hoc est secundum lineam Page 39 BS & in loco C secundum lineam ipsi dD parallelam, hoc est secundum lineam CS, &c. Agit ergo semper secundum lineas tendentes ad punctum illud immobile S. Q. E. D.
Cas. 2. Y, por el quinto Corolario de las Leyes, da lo mismo que la superficie en la que el cuerpo describe la figura curvilínea esté en reposo, o que se mueva juntamente con el cuerpo, la figura descrita y su punto S uniformemente en línea recta.
# Escolio.
Urgeri potest corpus a vi centripeta composita ex pluribus viribus. In hoc casu sensus Propositionis est, quod vis illa quæ ex omnibus componitur, tendit ad punctum S.
Porro si vis aliqua agat secundum lineam superficiei descriptæ perpendicularem, hæc faciet corpus deflectere a plano sui motus, sed quantitatem superficiei descriptæ nec augebit nec minuet, & propterea in compositione virium negligenda est.
Prop. III. Theor. III.
*Corpus omne quod, radio ad centrum corporis alterius utcunq; moti ducto, describit areas circa centrum illud temporibus proportionales, urgetur vi composita ex vi centripeta tendente ad corpus alterum & ex vi omni acceleratrice, qua corpus alterum urgetur.*
Pues (por el Corolario 6 de las Leyes), si por una nueva fuerza, que sea igual y contraria a aquella con que el segundo cuerpo es urgido, se urge a entrambos cuerpos según líneas paralelas, el primer cuerpo seguirá describiendo en torno al segundo las mismas áreas que antes; la fuerza, en cambio, con que el segundo cuerpo era urgido, quedará ahora destruida por la fuerza igual y contraria a ella, y por lo tanto (por la Ley 1) ese segundo cuerpo o bien estará en reposo o bien se moverá uniformemente en línea recta, y el primer cuerpo, al ser urgido por la diferencia de las fuerzas, seguirá describiendo en torno al segundo áreas proporcionales a los tiempos. La diferencia de las fuerzas tiende, por tanto (por el Teorema 2), hacia aquel segundo cuerpo como centro.
Q. E. D.
Page 40
Corol. 1. Hinc si corpus unum radio ad alterum ducto describit areas temporibus proportionales, atq; de vi tota (sive simplici, sive ex viribus pluribus, juxta Legum Corollarium secundum, composita,) qua corpus prius urgetur, subducatur (per idem Legum Corollarium) vis tota acceleratrix qua corpus alterum urgetur; vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet ad corpus alterum ut centrum.
Corol. 2. Y si esas áreas son proporcionales a los tiempos con la mayor aproximación, la fuerza restante tenderá hacia el otro cuerpo con la mayor aproximación.
Corol. 3. Y viceversa, si la fuerza restante tiende quamproxime hacia el otro cuerpo, aquellas áreas serán temporibus quamproxime proporcionales.
Corol. 4. Si un cuerpo, guiado hacia otro cuerpo, describe áreas que, comparadas con los tiempos, son muy desiguales, y ese otro cuerpo o bien reposa o bien se mueve uniformemente en línea recta; la acción de la fuerza centrípeta tendente hacia ese otro cuerpo, o es nula, o se mezcla y compone con las acciones muy potentes de otras fuerzas: Y la fuerza total compuesta por todas ellas, si son varias las fuerzas, se dirige hacia otro centro (ya inmóvil, ya móvil) alrededor del cual es equable la descripción de las áreas. Lo mismo se verifica cuando el otro cuerpo se mueve con un movimiento cualquiera, con tal de que se tome la fuerza centrípeta que resta tras la sustracción de la fuerza total que actúa sobre ese otro cuerpo.
# Escolio
Quoniam æquabilis arearum descriptio Index est centri quod vis illa respicit qua corpus maxime afficitur, corpus autem vi ad hoc centrum tendente retinetur in orbita sua, & motus omnis circularis recte dicitur circa centrum illud fieri, cujus vi corpus retrahitur de motu rectilineo & retinetur in Orbita: quidni usurpemus in sequentibus æquabilem arearum descriptionem ut Indicem centri circum quod motus omnis circularis in spatiis liberis peragitur?
Page 41
Prop. IV. Theor. IV.
* Que las fuerzas centrípetas de los cuerpos que describen diversos círculos con movimiento uniforme tienden hacia los centros de esos mismos círculos, y son entre sí como los cuadrados de los arcos descritos en el mismo tiempo aplicados a los radios de los círculos.
Cuerpos B, b que giran en las circunferencias de los círculos BD, bd, describan simultáneamente los arcos BD, bd. Puesto que por la sola fuerza insita describirían tangentes BC, bc iguales a estos arcos, es manifiesto que son las fuerzas centrípetas las que retiran perpetuamente a los cuerpos de las tangentes hacia las circunferencias de los círculos, y por tanto estas son entre sí en la razón primera de los espacios nacientes CD, cd: pero tienden hacia los centros de los círculos por el Teorema II, debido a que las áreas descritas por los radios se ponen proporcionales a los tiempos.
Hágase la figura tkb semejante a la figura DCB, y por el Lema V, la lineola CD será a la lineola kt como el arco BD al arco bt: asimismo, por el Lema XI, la lineola naciente tk a la lineola naciente dc como el cuadrado de bt al cuadrado de bd; y ex æquo la lineola naciente DC a la lineola naciente dc como BD × bt al cuadrado de bd, o lo que es igual, como BD × bt ÷ Sb al cuadrado de bd ÷ Sb, por lo tanto (debido a las razones iguales bt ÷ Sb y BD ÷ SB) como el cuadrado de BD ÷ SB al cuadrado de bd ÷ Sb.
Q. E. D.
Corol. 1. Hinc vires centripetæ sunt ut velocitatum quadrata applicata ad radios circulorum.
Corol. 2. Et reciproce ut quadrata temporum periodicorum Page 42 applicata ad radios ita sunt hæ vires inter se. Id est (ut cum Geometris loquar) hæ vires sunt in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum directe & ratione simplici radiorum inverse: necnon in ratione composita ex ratione simplici radiorum directe & ratione duplicata temporum periodicorum inverse.
Corol. 3. Unde si tempora periodica æquantur, erunt tum vires centripetæ tum velocitates ut radii, & vice versa.
Corol. 4. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut radii, vires centripetæ sunt æquales, & velocitates in dimidiata ratione radiorum: Et vice versa.
Corol. 5. Si los cuadrados de los tiempos periódicos son como los cuadrados de los radios, las fuerzas centrípetas son recíprocamente como los radios, y las velocidades iguales; Y viceversa.
Corol. 6. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi radiorum, vires centripetae sunt reciproce ut quadrata radiorum; velocitates autem in radiorum dimidiata ratione: Et vice versa.
Corol. 7. Lo mismo cabe decir de los tiempos, velocidades y fuerzas con que los cuerpos describen las partes de figuras semejantes cualesquiera, que tienen centros situados de manera semejante, y se sigue de la demostración de los anteriores aplicada a estos casos.
# Escolio.
El caso del sexto corolario se cumple en los cuerpos celestes (como también lo concluyeron por separado nuestros compatriotas Wren, Hooke y Halley) y por ello he decidido exponer con más detalle en lo que sigue lo que se refiere a la fuerza centrípeta que decrece en razón duplicada de las distancias a los centros.
Porro præcedentis demonstrationis beneficio colligitur etiam proportio vis centripetæ ad vim quamlibet notam, qualis est ea gravitatis. Nam cum vis illa, quo tempore corpus percurrit arcum BC, impellat ipsum per spatium CD, quod ipso motus initio æquale est quadrato arcus illius BD ad circuli diametrum applicato; & corpus omne vi eadem in eandem semper plagam Page 43 continuata, describat spatia in duplicata ratione temporum: Vis illa, quo tempore corpus revolvens arcum quemvis datum describit, efficiet ut corpus idem recta progrediens describat spatium quadrato arcus illius ad circuli diametrum applicato æquale; adeoq; est ad vim gravitatis ut spatium illud ad spatium quod grave cadendo eodem tempore describit. Et hujusmodi Propositionibus Hugenius, in eximio suo Tractatu de Horologio oscillatorio, vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit.
Demonstrari etiam possunt præcedentia in hunc modum.
In circulo quovis describi intelligatur Polygonum laterum quotcunq; Et si corpus in Polygoni lateribus data cum velocitate movendo, ad ejus angulos singulos a circulo reflectatur; vis qua singulis reflexionibus impingit in circulum erit ut ejus velocitas, adeoq; summa virium in dato tempore erit ut velocitas illa & numerus reflexionum conjunctim, hoc est (si Polygonum detur specie) ut longitudo dato illo tempore descripta & longitudo eadem applicata ad Radium circuli, id est ut quadratum longitudinis illius applicatum ad Radium; adeoq; si Polygonum lateribus infinite diminutis coincidat cum circulo, ut quadratum arcus dato tempore descripti applicatum ad radium. Hæc est vis qua corpus urget circulum, & huic æqualis est vis contraria qua circulus continuo repellit corpus centrum versus.
Prop. V. Prob. I.
* Data cujuscunque in locis velocitate, qua corpus figuram datam viribus ad commune aliquod centrum tendentibus describit, centrum illud invenire.
Toguesen la figura descrita las tres rectas PT, TQV, VR en otros tantos puntos P, Q, R, que concurren en T y V. Sobre las tangentes levántense las perpendiculares PA, QB, RC, recíprocamente proporcionales a las velocidades del cuerpo en aquellos puntos P, Q, R desde los cuales se levantan; esto es, de modo que PA sea a QB como la velocidad en Q es a la velocidad en P, y QB a RC como la velocidad en R es a la velocidad Page 44 en Q. Por los extremos de las perpendiculares A, B, C a ángulos rectos trácense AD, DBE, EC que concurren en D y E: Y las trazadas TD, VE concurrirán en el centro buscado S.
Nam cum corpus in P & Q radiis ad centrum ductis areas describat temporibus proportionales, sintq; areæ illæ simul descriptæ ut velocitates in P & Q ductæ respective in perpendicula a centro in tangentes PT, QT demissa: Erunt perpendicula illa ut velocitates reciproce, adeoq; ut perpendicula AP, BQ directe, id est ut perpendicula a puncto D in tangentes demissa.
Unde facile colligitur quod puncta S, D, T sunt in una recta. Et simili argumento puncta S, E, V sunt etiam in una recta; & propterea centrum S in concursu rectarum TD, VE versatur.
Q. E. D.
Pro. VI. Theor. V.
*Si corpus* P *revolvendo circa centrum* S *, describat lineam quamvis curvam* APQ *, tangat vero recta* ZPR *curvam illam in puncto quovis* P *, & ad tangentem ab alio quovis curvæ* Q *agatur* QR *distantiæ* SP *parallela, ac demittatur* QT *perpendicularis ad distantiam* SP *: Dico quod vis centripeta sit reciproce ut solidum* SP quad. $\times$ QT quad. $\div$ QR *, si modo solidi illius ea semper sumatur quantitas quæ ultimo fit ubi coeunt puncta* P *&* Q *.*
Namq; in figura indefinite parva QRPT lineola nascens QR, dato tempore, est ut vis centripeta (per Leg. II.) & Page 45 data vi, ut quadratum temporis (per Lem. X.) atq; adeo, neutro dato, ut vis centripeta & quadratum temporis conjunctim, adeoq; vis centripeta ut lineola QR directe & quadratum temporis inverse. Est autem tempus ut area SPQ, ejus dupla SP × QT, id est ut SP & QT conjunctim, adeoq; vis centripeta ut QR directe atq; SP quad. in QT quad. inverse, id est ut SP quad. × QT quad. ÷ QR inverse. Q. E. D.
Corol. Hinc si detur figura quævis, & in ea punctum ad quod vis centripeta dirigitur; inveniri potest lex vis centripetæ quæ corpus in figuræ illius perimetro gyrari faciet. Nimirum computandum est solidum SP quad. × QT quad. ÷ QR huic vi reciproce proportionale. Ejus rei dabimus exempla in problematis sequentibus.
**Prop. VII. Prob. II.**
*Gyretur corpus in circumferentia circuli, requiritur lex vis centripetæ tendentis ad punctum aliquod in circumferentia datum.*
Esto circuli circumferentia SQPA, centrum vis centripetæ S, corpus in circumferentia latum P, locus proximus in quem movebitur Q. Ad diametrum SA & rectam SP demitte perpendiculi PK, QT, & per Q ipsi SP parallelam age LR occurrentem circulo in L & tangenti PR in R, & coeant TQ, PR in Z.
Ob similitudinem triangulorum ZQR, ZTP, SPA erit RP quad. (hoc est QRL) ad QT quad. ut SA quad. ad SP quad. Ergo QRL × SP quad. ÷ SA quad. æquatur QT quad.
Ducantur hæc Page 46 æqualia in SP quad. ÷ QR, & punctis P & Q coeuntibus, scribatur SP pro RL. Sic fiet SP qc. ÷ SAq. æquale QTq. × SPq. ÷ QR.
Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut SP qc. ÷ SAq., id est (ob datum SA quad.) ut quadrato-cubus distantiæ SP. Quod erat inveniendum.
# Prop. VIII. Prob. III.
*Moveatur corpus in circulo*PQA*: ad hunc effectum requiritur lex vis centripetæ tendentis ad punctum adeo longinquum, ut lineæ omnes*PS*,*RS*ad id ductæ, pro parallelis haberi possint.*
A circuli centro C agatur semidiameter CA parallelas istas perpendiculariter secans in M & N, & jungantur CP.
Ob similia triangula CPM, & TPZ, vel (per Lem. VIII.) TPQ, est CPq. ad PMq. ut PQq. vel (per Lem. VII.) PRq. ad QTq. & ex natura circuli rectangulum QR × RN + QN æquale est PR quadrato.
Coeuntibus autem punctis P, Q fit RN + QN æqualis 2PM. Ergo est CP quad. ad PM quad. ut QR × 2PM ad QT quad. adeoq; QT quad. ÷ QR æquale 2PM cub. ÷ CP quad., & QT quad. × SP quad. ÷ QR æquale 2PM cub. × SP quad. ÷ CP quad.
Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce ut 2PM cub. × SP quad. ÷ CP quad. hoc est (neglecta ratione determinata 2SP quad. ÷ CP quad.) reciproce ut PM cub.
Q. E. I.
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# Escolio.
Y por un argumento semejante el cuerpo se moverá en una Elipse, o incluso en una Hipérbola o una Parábola, con una fuerza centrípeta que sea recíprocamente como el cubo de la ordenada aplicada tendiente al centro de fuerzas máximo alejado.
Prop. IX. Prob. IV.
*Gyretur corpus in spiral*PQS*secante radios omnes*SP*,*SQ*, &c. in angulo dato: Requiritur lex vis centripetæ tendentis ad centrum spiralis.*
Desígnese un ángulo indefinidamente pequeño PSQ, y por ser dados todos los ángulos, se dará por su especie la figura SPQRT. Luego se da la razón de QT ÷ RQ, y QT al cuad. ÷ QR es como QT, esto es, como SP.
Cámbiese ahora de cualquier modo el ángulo PSQ, y la línea recta QR, que subtiende el ángulo de contacto QPR, cambiará (por el Lema XI.) en la razón duplicada del mismo PR o QT. Por tanto, QT al cuad. ÷ QR permanecerá igual que antes, esto es, como SP.
Por lo cual QTq. × SPq. ÷ QR es como SP al cubo, esto es (por el Corol. del Teore. V.), la fuerza centrípeta es como el cubo de la distancia SP.
Q. E. I.
# Lema XII.
* Parallelogramma omnia circa datam Ellipsin descripta esse inter se æqualia. Idem intellige de Parallelogrammis in Hyperbola circum diametros ejus descriptis.
Constat utrumq; ex Conicis.
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Prop. X. Prob. V.
*Gyretur corpus in Ellipsi: requiritur lex vis centripetæ tendentis ad centrum Ellipseos.*
Sunto CA, CB semiaxes Ellipseos; GP, DK diametri conjugatæ; PF, DK [Nota: en el original dice DK pero en la geometría suele ser PF, mantendré el original: PF] perpendicula ad diametros; Qv ordinatim applicata ad diametrum GP; & si compleatur parallelogrammum QvRP, erit (ex Conicis) PvG ad Qv quad. ut PC quad. ad CD quad. & (ob similia triangula Qvt, PCF) Qv quad. est ad Qt quad. ut PC quad. ad PF quad. & conjunctis rationibus, PvG ad Qt quad. ut PC quad. ad CD quad. & PC quad. ad PF quad. id est vG ad Qt quad. ÷ Pv ut PC quad. ad CDq. × PFq. ÷ PCq..
Scribe QR pro Pv, & (per Lemma XII) BC × CA pro CD × PF, nec non (punctis P & Q coeuntibus) 2PC pro vG, & ductis extremis & medijs in se mutuo, fiet QTq. × PCq. ÷ QR æquale 2BCq. × CAq. ÷ PC. Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce ut 2BCq. × CAq. ÷ PC, id est Page 49 (ob datum 2BCq. × CAq.) ut 1 ÷ PC, hoc est, directe ut distantia PC. Q. E. I.
Corol. 1. Unde vicissim si vis sit ut distantia, movebitur corpus in Ellipsi centrum habente in centro virium, aut forte in circulo, in quem Ellipsis migrare potest.
Corol. 2. Y serán iguales los tiempos periódicos de las revoluciones hechas en todas las Figuras alrededor de un mismo centro. Pues esos tiempos en las Elipses semejantes son iguales por el Corol. 3 y 7 de la Prop. IV: En las Elipses, en cambio, que tienen un eje mayor común, son entre sí como las áreas totales de las elipses directamente y las partes de las áreas descritas simultáneamente inversamente; esto es, como los ejes menores directamente y las velocidades de los cuerpos en los vértices principales inversamente, esto es, como esos ejes directamente y las ordenadas aplicadas a los otros ejes inversamente, y por tanto (por la igualdad de las razones directa e inversa) en razón de igualdad.
# Escolio.
Si la elipse, cuyo centro se aleja hacia el infinito, se convierte en parábola, el cuerpo se moverá en esta parábola, y la fuerza que ahora tiende hacia el centro infinitamente distante se volverá equable. Este es el Teorema de Galileo.
Y si la cónica parabólica, cambiada la inclinación del plano respecto al cono cortado, se convierte en hipérbola, el cuerpo se moverá en el perímetro de esta, convertida la fuerza centrípeta en centrífuga.
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