Sect. VIII. De Motu per Fluida propagato

De Motu per Fluida propagato.

Prop. XLI. Theor. XXXI.

* Pressio non propagatur per Fluidum secundum lineas rectas, nisi ubi particulæ Fluidi in directum jacent.

Si yacen las partículas a, b, c, d, e en línea recta, puede ciertamente la presión propagarse directamente de a a e; pero la partícula e empujará a las partículas situadas oblicuamente f y g oblicuamente, y dichas partículas f y g no sostendrán la presión ejercida, a menos que sean apoyadas por las partículas ulteriores h y k; mas en la medida en que son apoyadas, presionan a las partículas que las apoyan; y estas no sostendrán la presión a menos que Page 355 sean apoyadas por las ulteriores l y m y las presionen, y así sucesivamente hasta el infinito.

La presión por lo tanto, tan pronto como se propaga a las partículas que no yacen en línea recta, comenzará a divaricarse y se propagará oblicuamente hasta el infinito; y después de que comience a propagarse oblicuamente, si incide en partículas ulteriores que no yacen en línea recta, se divaricará de nuevo; y ello tantas veces cuantas incida en partículas que no yacen exactamente en línea recta.

Q. E. D.

Corol. Si una parte cualquiera de la presión propagada desde un punto dado a través de un fluido es interceptada por un obstáculo, la parte restante que no es interceptada se divaricará en los espacios detrás del obstáculo. Lo cual también puede demostrarse así. Propáguese desde el punto A la presión en todas direcciones, y ello, si es posible, según líneas rectas, e interceptada por el obstáculo NBCK perforado en BC, interceptése toda ella, excepto la parte cónica APQ, que pasa a través del orificio circular BC. Distíngase el cono APQ mediante planos transversales de, fg, hi en frustos Page 356 y, entretanto, mientras el cono ABC, al propagar la presión, empuja el frusto cónico siguiente degf en la superficie de, y este frusto empuja al frusto próximo fgih en la superficie fg, y aquel frusto empuja al tercer frusto, y así sucesivamente al infinito; es manifiesto (por la tercera Ley del movimiento) que el primer frusto defg, por la reacción del segundo frusto fghi, será tan urgido y presionado en la superficie fg como ese segundo frusto es urgido y presionado. El frusto degf es comprimido, por tanto, entre el cono Ade y el frusto fhig por ambos lados, y por ello (por el Corol. 6 de la Prop. XIX) no puede conservar su figura a menos que sea comprimido por todas partes con la misma fuerza. Con el mismo ímpetu, por tanto, con que es presionado en las superficies de, fg, procurará ceder hacia los lados df, eg; y allí (como no es rígido, sino un fluido en todo sentido) fluirá y se dilatará, a menos que esté presente el fluido circundante, por el cual sea cohibido este esfuerzo. Por consiguiente, por el esfuerzo de fluir, presionará tanto al fluido circundante en los lados df, eg como al frusto fghi con el mismo ímpetu; y por ello la presión no menos se propagará desde los lados df, eg hacia los espacios NO, KL a uno y otro lado, de lo que se propaga desde la superficie fg hacia PQ. Q. E. D.

Prop. XLII. Theor. XXXII.

*Motus omnis per Fluidum propagatus divergit a recto tramite in spatia immota.*

Cas. 1. Propagétese el movimiento desde el punto A por el orificio BC, y prosiga (si es posible) en el espacio cónico BCQP, según líneas rectas divergentes desde el punto C. Y supongamos primero que este movimiento sea de ondas en la superficie de un agua estancada. Y sean de, fg, hi, kl, etc., las partes más altas de cada una de las ondas, distinguidas entre sí por sendos valles intermedios.

Por tanto, puesto que el agua en las crestas de las ondas es más alta que en las partes inmóviles del fluido LK, NO, la misma fluirá desde los extremos de las crestas e, g, i, l, etc., d, f, h, k, etc., hacia ambos lados hacia KL y NO: y puesto que en los valles de las ondas es más baja que en las partes inmóviles del fluido KL, NO; fluirá la misma Page 357 desde aquellas partes inmóviles hacia los valles de las ondas. Por el flujo primero las crestas de las ondas, y por el segundo los valles, se dilatan y propagan hacia ambos lados hacia KL y NO.

Y puesto que el movimiento de las ondas desde A hasta PQ se realiza mediante el flujo continuo de las crestas hacia los valles próximos, y por tanto no es más veloz que en proporción a la velocidad del descenso; y el descenso del agua hacia ambos lados hacia KL y NO debe efectuarse con la misma velocidad; la dilatación de las ondas se propagará hacia ambos lados hacia KL y NO con la misma velocidad con que las ondas mismas avanzan en línea recta desde A hacia PQ. Y en consecuencia todo el espacio hacia ambos lados hacia KL y NO será ocupado por las ondas dilatadas rfgr, shis, tklt, vmnv, etc.

Q. E. D.

Cualquiera puede experimentar que esto es así en el agua estancada.

Cas. 2. Ponamus jam quod de, fg, hi, kl, mn designent pulsus a puncto A per Medium Elasticum successive propagatos. Pulsus propagari concipe per successivas condensationes & rarefactiones Medii, sic ut pulsus cujusque pars densissima Sphæricam Page 358 occupet superficiem circa centrum A descriptam, & inter pulsus successivos æqualia intercedant intervalla. Designent autem lineæ de, fg, hi, kl, &c. densissimas pulsuum partes per foramen BC propagatas. Et quoniam Medium ibi densius est quam in spatiis hinc inde versus KL & NO, dilatabit sese tam versus spatia illa KL, NO utrinque sita, quam versus pulsuum rariora intervalla; eoq; pacto rarius semper evadens e regione intervallorum ac densius e regione pulsuum, participabit eorundem motum. Et quoniam pulsuum progressivus motus oritur a perpetua relaxatione partium densiorum versus antecedentia intervalla rariora; & pulsus eadem celeritate sese in Medii partes quiescentes KL, NO hinc inde relaxare debent; pulsus illi eadem celeritate sese dilatabunt undique in spatia immota KL, NO, qua propagantur directe a centro A; adeoque spatium totum KLON occupabunt.

Q. E. D.

Hoc experimur in sonis, qui vel domo interposita audiuntur, vel in cubiculum per fenestram admissi sese in omnes cubiculi partes dilatant, inque angulis omnibus audiuntur, non reflexi a parietibus oppositis sed a fenestra directe propagati.

Cas. 3. Supongamos finalmente que el movimiento de cualquier género se propague desde A a través del orificio BC: y puesto que dicha propagación no se verifica sino en cuanto las partes del Medio más cercanas al centro A empujan y mueven las partes más alejadas; y las partes que son empujadas son Fluidas, y por tanto se retiran por todas partes hacia las regiones donde son menos presionadas: estas mismas se retirarán hacia todas las partes en reposo del Medio, tanto las laterales KL y NO, como las anteriores PQ, y de ese modo todo movimiento, tan pronto como ha pasado a través del orificio BC, empezará a dilatarse, y desde allí, como desde un principio y centro, a propagarse directamente en todas direcciones. Q. E. D.

Prop. XLIII. Theor. XXXIII.

*Corpus omne tremulum in Medio Elastico propagabit motum pulsuum undique in directum; in Medio vero non Elastico motum circularem excitabit.*

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Cas. 1. Pues las partes del cuerpo tembloroso, con turnos alternos al ir y volver, con su ida empujarán y propulsarán las partes del Medio más próximas a sí mismas, y al empujar las comprimirán y condensarán; después, con su vuelta, permitirán que las partes comprimidas se retiren y se expanda por sí mismas. Por tanto, las partes del Medio más próximas al cuerpo tembloroso irán y volverán por turnos, a modo de las partes de aquel cuerpo tembloroso; y del modo en que las partes de este cuerpo agitaban estas partes del Medio, estas, agitadas por temblores similares, agitarán las partes más próximas a sí mismas, y aquellas, agitadas de modo similar, agitarán las siguientes, y así sucesivamente hasta el infinito.

Y del mismo modo que las primeras partes del Medio se condensan al ir y se relajan al volver, así las partes restantes, cuantas veces van, se condensarán, y cuantas vuelven, se expandirán por sí mismas. Y por eso no todas irán y volverán al mismo tiempo (pues así, conservando distancias determinadas entre sí, no se rarificarían ni condensarían por turnos), sino que, acercándose entre sí donde se condensan, y alejándose donde se rarifican, algunas de ellas irán mientras otras vuelven; y esto por turnos alternos hasta el infinito.

Por otra parte, las partes que van y que al ir están condensadas, debido a su movimiento progresivo con el que golpean los obstáculos, son pulsos; y por eso los pulsos sucesivos se propagarán en línea recta desde todo cuerpo tembloroso; y esto a distancias más o menos iguales entre sí, debido a los intervalos de tiempo iguales con los que el cuerpo excita con sus temblores individuales los pulsos individuales. Q. E. D.

Y aunque las partes del cuerpo tembloroso vayan y vuelvan según una dirección cierta y determinada, sin embargo, los pulsos propagados desde ahí a través del Medio se dilatarán hacia los lados, por la Proposición precedente; y desde aquel cuerpo tembloroso como centro común, según superficies casi esféricas y concéntricas, se propagarán por todas partes. De cuyo hecho tenemos algún ejemplo en las Olas, las cuales, si son excitadas por un dedo tembloroso, no solo avanzarán de aquí para allá según la dirección del movimiento del dedo, sino que, a modo de círculos concéntricos, rodearán inmediatamente el dedo y se propagarán por todas partes. Pues la gravedad de las olas suplanta el lugar de la fuerza elástica.

Quod si Medium non sit Elasticum: quoniam ejus partes a Page 360 corporis tremuli partibus vibratis pressæ condensari nequeunt, propagabitur motus in instanti ad partes ubi Medium facillime cedit, hoc est ad partes quæ corpus tremulum alioqui vacuas a tergo relinqueret.

Idem est casus cum casu corporis in Medio quocunque projecti. Medium cedendo projectilibus, non recedit in infinitum, sed in circulum eundo pergit ad spatia quæ corpus relinquit a tergo.

Igitur quoties corpus tremulum pergit in partem quamcunque, Medium cedendo perget per circulum ad partes quas corpus relinquit, & quoties corpus regreditur ad locum priorem, Medium inde repelletur & ad locum suum priorem redibit.

Et quamvis corpus tremulum non sit firmum, sed modis omnibus flexile, si tamen magnitudine datum maneat, quoniam tremoribus suis nequit Medium ubivis urgere, quin alibi eidem simul cedat; efficiet ut Medium, recedendo a partibus ubi premitur, pergat semper in Orbem ad partes quæ eidem cedunt.

Corol. Se equivocan, por tanto, quienes creen que la agitación de las partes de la llama contribuye a la transmisión de la presión por el medio circundante según líneas rectas. Dicha presión deberá derivarse no solo de la agitación de las partes de la llama, sino de la dilatación del conjunto.

Prop. XLIV. Theor. XXXIV.

*Si Aqua in canalis cruribus erectis*KL*,*MN*vicibus alternis ascendat & descendat; construatur autem Pendulum cujus longitudo inter punctum suspensionis & centrum oscillationis æquetur semissi longitudinis aquæ in Canali: dico quod aqua ascendet & descendet iisdem temporibus quibus pendulum oscillatur.*

Mido la longitud del agua según los ejes del canal y de las ramas, igualando esta misma a la suma de estos ejes. Designen, por tanto, AB, CD la altura mediocre del agua en cada una de las ramas; y donde el agua en la rama KL asciende a la altura EF, habrá descendido el agua en la rama MN a la altura GH. Sea además P el cuerpo Page 361 péndulo, VP el hilo, V el punto de suspensión, SPQR la cicloide que describe el péndulo, P su punto inferior, PQ el arco igual a la altura AE. La fuerza con la cual el movimiento del agua es alternativamente acelerado y retardado, es el exceso del peso del agua en una u otra rama sobre el peso en la otra, y por tanto, cuando el agua en la rama KL asciende a EF, y en la otra rama desciende a GH, esa fuerza es el peso duplicado del agua EABF, y por lo tanto es al peso del agua total como AE o PQ es a VP o PR. La fuerza también, con la cual el peso P en un lugar cualquiera Q es acelerado y retardado en la cicloide, es a su peso total como su distancia PQ desde el lugar inferior P es a la longitud de la cicloide PR. Por lo cual las fuerzas motrices del agua y del péndulo, que describen espacios iguales AE, PQ, son como los pesos que se han de mover; y por consiguiente dichas fuerzas, si el agua y el péndulo al principio se mueven con igual velocidad, continuarán moviéndose igualmente en tiempos iguales, y harán que con movimiento recíproco vayan y vuelvan a la vez.   Q. E. D.

Corol. 1. Igitur aquæ ascendentis & descendentis, sive motus intensior sit sive remissior, vices omnes sunt Isochronæ.

Corol. 2. Si la longitud de toda el agua en el canal fuere de pies parisienses 6¹/₉, el agua en el tiempo de un minuto segundo descenderá, y en el tiempo de otro minuto segundo ascenderá; y así sucesivamente por turnos alternos hasta el infinito. Pues un péndulo de 3¹/₁₈ pies de longitud oscila en el tiempo de un minuto segundo. Page 362

Corol. 3. Aumentada o disminuida la longitud del agua, se aumenta o disminuye el tiempo de reciprocación en la razón subduplicada de la longitud.

Prop. XLV. Theor. XXXV.

*Undarum velocitas est in dimidiata ratione latitudinum.*

Se sigue de la construcción de la siguiente Proposición.

Prop. XLVI. Prob. XI.

*Invenire velocitatem Undarum.*

Constrúyase un péndulo cuya longitud entre el punto de suspensión y el centro de oscilación sea igual a la latitud de las Olas; y en el tiempo en que dicho péndulo complete sus oscilaciones individuales, las Olas al avanzar recorrerán más o menos su propia latitud.

Llamo latitudud de las ondas a la medida transversal que yace ya sea entre los valles más profundos o entre las cumbres más altas. Designe ABCDEF la superficie de un agua estancada, que asciende y desciende con ondas sucesivas, y sean A, C, E, etc., las cumbres de las ondas, y B, D, F, etc., los valles intermedios. Y puesto que el movimiento de las ondas se realiza mediante el ascenso y descenso sucesivo del agua, de tal modo que sus partes A, C, E, etc., que ahora son las más bajas, pronto se vuelven las más altas; y la fuerza motriz con la que las partes más altas descienden y las más bajas ascienden es el peso del agua elevada; ese ascenso y descenso alternos serán análogos al movimiento recíproco del agua en un canal, y observarán las mismas leyes del tiempo: y por ello (por la Prop. XLIV.) si las distancias entre los lugares más altos de las ondas A, C, E, y los más bajos B, D, F se igualan al doble de la longitud del péndulo, las partes más altas A, C, E se volverán las más bajas en el tiempo de una oscilación, y ascenderán de nuevo en el tiempo de otra oscilación.

Por tanto, entre el tránsito de cada una de las ondas el tiempo será de dos oscilaciones; esto es, la onda describirá su latitud en el tiempo en que ese péndulo oscila dos veces; pero en el mismo tiempo el péndulo cuya longitud es cuádruple, Page 363 y por tanto iguala la latitud de las ondas, oscilará una vez. Q. E. D.

Corol. 1. Igitur Undæ, quæ pedes Parisienses 3¹/₁₈ latæ sunt, tempore minuti unius secundi progrediendo latitudinem suam conficient; adeoque tempore minuti unius primi percurrent pedes 183⅓, & horæ spatio pedes 11000 quamproxime.

Corol. 2. Et undarum majorum vel minorum velocitas augebitur vel diminuetur in dimidiata ratione latitudinis.

Hæc ita se habent ex Hypothesi quod partes aquæ recta ascendunt vel recta descendunt; sed ascensus & descensus ille verius fit per circulum, ideoque tempus hac Propositione non nisi quamproxime definitum esse affirmo.

Prop. XLVII. Theor. XXXVI.

*Pulsuum in Fluido Elastico propagatorum velocitates sunt in ratione composita ex dimidiata ratione vis Elasticæ directe & dimidiata ratione densitatis inverse; si modo Fluidi vis Elastica ejusdem condensationi proportionalis esse supponatur.*

Cas. 1. Si el Medio fuere homogéneo, y las distancias de los pulsos en estos Medios fueren iguales entre sí, pero el movimiento en un Medio fuere más intenso: las contracciones y dilataciones de las partes análogas serán como los mismos movimientos. Ciertamente esta proporción no es exacta. Sin embargo, a menos que las contracciones y dilataciones sean muy intensas, no errará sensiblemente, y por lo tanto puede tenerse por físicamente exacta. Las fuerzas elásticas motrices son, además, como las contracciones y dilataciones; y las velocidades de las partes iguales engendradas al mismo tiempo son como las fuerzas. Por lo tanto, las partes iguales y correspondientes de los pulsos correspondientes realizarán a la vez sus idas y venidas por espacios proporcionales a las contracciones y dilataciones, con velocidades que son como los espacios: y por eso los pulsos, que en el tiempo de una ida y venida recorren su propia anchura avanzando, y suceden siempre en los lugares de los pulsos inmediatamente precedentes, a causa de la igualdad de las distancias, avanzarán con igual velocidad en uno y otro Medio.

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Cas. 2. Sin pulsuum distantiæ seu longitudines sint majores in uno Medio quam in altero; ponamus quod partes correspondentes spatia latitudinibus pulsuum proportionalia singulis vicibus eundo & redeundo describant: & æquales erunt earum contractiones & dilatationes. Ideoque si Media sint homogenea, æquales erunt etiam vires illæ Elasticæ motrices quibus reciproco motu agitantur. Materia autem his viribus movenda, est ut pulsuum latitudo; & in eadem ratione est spatium per quod singulis vicibus eundo & redeundo moveri debent. Estque tempus itus & reditus unius in ratione composita ex ratione dimidiata materiæ & ratione dimidiata spatii, atque adeo ut spatium. Pulsus autem temporibus itus & reditus unius eundo latitudines suas conficiunt, hoc est, spatia temporibus proportionalia percurrunt; & propterea sunt æquiveloces.

Cas. 3. En Medios, por tanto, de igual densidad y fuerza elástica, todos los pulsos son equipeloces. Pero si se aumenta o la densidad o la fuerza elástica del Medio, puesto que la fuerza motriz aumenta en razón de la fuerza elástica, y la materia por mover en razón de la densidad; el tiempo en que los mismos movimientos se ejecutan que antes, aumentará en la razón subduplicada de la densidad, y disminuirá en la razón subduplicada de la fuerza elástica. Y por ello la velocidad de los pulsos estará en la razón compuesta de la razón subduplicada de la densidad del Medio inversa y la razón subduplicada de la fuerza elástica directa.

Q. E. D.

Prop. XLVIII. Theor. XXXVII.

* Pulsibus per Fluidum propagatis, singulæ Fluidi particulæ, motu reciproco brevissimo euntes & redeuntes, accelerantur semper & retardantur pro lege oscillantis Penduli.

Designen AB, BC, CD, &c. las distancias iguales de pulsos sucesivos; ABC la dirección del movimiento de los pulsos propagados desde A hacia B; E, F, G tres puntos físicos del medio en reposo, situados en la línea recta AC a distancias iguales entre sí; Ee, Ff, Gg, los espacios Page 365 iguales y brevísimos a través de los cuales dichos puntos van y vuelven en un movimiento recíproco en cada vibración; ε, φ, γ cualesquiera posiciones intermedias de esos mismos puntos; y EF, FG las lineícolas físicas, o partes lineales del medio interpuestas entre dichos puntos, y trasladadas sucesivamente a las posiciones εφ, φγ y ef, fg.

Trácese una recta PS igual a la recta Ee. Bísecese la misma en O, y con el centro O y el intervalo OP descríbase un círculo SIPi. Mediante toda la circunferencia de este con sus partes, expóngase el tiempo total de una vibración con sus partes proporcionales; de tal manera que, completado un tiempo cualquiera PH o PHSh, si se baja hacia PS una perpendicular HL o hl, y se toma Ee igual a PL o Pl, el punto físico E se encuentre en ε.

Bajo esta ley, cualquier punto E, al ir desde E por ε hasta e, y al volver desde allí por ε hasta E con los mismos grados de aceleración y retardación, ejecutará vibraciones individuales correspondientes a un péndulo oscilante. Debe demostrarse que los puntos físicos individuales del medio deben ser agitados por tal movimiento. Imaginemos, por tanto, que el medio es puesto en movimiento de este modo por una causa cualquiera, y veamos qué se sigue de ello.

In circumferentia PHSh capiantur æquales arcus HI, IK vel hi, ik, eam habentes rationem ad circumferentiam totam quam habent æquales rectæ EF, FG ad pulsuum intervallum totum BC. Et demissis perpendiculis IM, KN vel im, kn; quoniam puncta E, F, G motibus similibus successive agitantur, si PH vel PHSk sit tempus ab initio motus puncti E, erit PI Page 366 vel PHSi tempus ab initio motus puncti F, & PK vel PHSh tempus ab initio motus puncti G; & propterea Eε, Fφ, Gγ erunt ipsis PL, PM, PN in itu punctorum, vel ipsis Pn, Pm, Pl in punctorum reditu, æquales respective. Unde εγ in itu punctorum æqualis erit EG - LN, in reditu autem æqualis EG + ln. Sed εγ latitudo est seu expansio partis Medii EG in loco εγ, & propterea expansio partis illius in itu, est ad ejus expansionem mediocrem ut EG - LN ad EG; in reditu autem ut EG + ln seu EG + LN ad EG. Quare cum sit LN ad KH ut IM ad radium OP, & EG ad BC ut HK ad circumferentiam PHShP, & vicissim EG ad HK ut BC ad circumferentiam PHShP, id est (si circumferentia dicatur Z) ut OP × BC ÷ Z ad OP, & ex æquo LN ad EG ut IM ad OP × BC ÷ Z: erit expansio partis EG in loco εγ ad expansionem mediocrem quam habet in loco suo primo EG, ut {OP × BC ÷ Z} - IM ad OP × BC ÷ Z in itu, utque {OP × BC ÷ Z} + im ad OP × BC ÷ Z in reditu. Unde si OP × BC ÷ Z dicatur V, erit expansio partis EG, punctive Physici F, ad ejus expansionem mediocrem in itu, ut V - IM ad V, in reditu ut V + im ad V; & ejusdem vis elastica ad vim suam elasticam mediocrem in itu, ut 1 ÷ {V - IM} ad 1 ÷ V; in reditu, ut 1 ÷ {V + im} ad 1 ÷ V. Et eodem argumento vires Elasticæ punctorum Physicorum E & G in itu, sunt ut 1 ÷ {V - HL} & 1 ÷ {V - KN} ad 1 ÷ V; & virium differentia ad Medii Page 367 vim elasticam mediocrem, ut

Esto es (si por la brevedad de los impulsos suponemos que HK y KN son indefinidamente menores que la cantidad V) como {HL - KN} ÷ VV a 1 ÷ V, o como HL - KN a V.

Por lo cual, dado que la cantidad V se da, la diferencia de las fuerzas es como HL - KN, esto es (por ser proporcionales HL - KN a HK, y OM a OI o OP, y dadas HK y OP) como OM; esto es, si Ff se biseca en Ω, como Ωφ. Y por el mismo argumento, la diferencia de las fuerzas elásticas de los puntos físicos ε y γ en el retorno de la línea física εγ es como Ωφ.

Mas dicha diferencia (esto es, el exceso de la fuerza elástica del punto ε sobre la fuerza elástica del punto γ) es la fuerza con la que la línea física interpuesta del medio εγ es acelerada; y por tanto la fuerza aceleratriz de la línea física εγ es como su distancia respecto al lugar medio de la vibración Ω. En consecuencia, el tiempo (por la Prop. XXXVIII, Lib. I) se expone rectamente mediante el arco PI; y la parte lineal del medio εγ se mueve según la ley prescrita, esto es, según la ley de un péndulo oscilante: y análoga es la razón de todas las partes lineales de las que se compone todo el medio.

Q. E. D.

Corol. Hinc patet quod numerus pulsuum propagatorum idem sit cum numero vibrationum corporis tremuli, neque multiplicatur in eorum progressu. Nam lineola Physica εγ, quamprimum ad locum suum primum redierit, quiescet; neque deinceps movebitur, nisi vel ab impetu corporis tremuli, vel ab impetu pulsuum qui a corpore tremulo propagantur, motu novo cieatur. Quiescet igitur quamprimum pulsus a corpore tremulo propagari desinunt.

Prop. XLIX. Prob. XII.

* Datis Medii densitate & vi Elastica, invenire velocitatem pulsuum.

Fingamus Medium ab incumbente pondere, pro more Aeris Page 368 nostri comprimi, sitque A altitudo Medii homogenei, cujus pondus adæquet pondus incumbens, & cujus densitas eadem sit cum densitate Medii compressi, in quo pulsus propagantur. Constitui autem intelligatur Pendulum, cujus longitudo inter punctum suspensionis & centrum oscillationis sit A: & quo tempore pendulum illud oscillationem integram ex itu & reditu compositam peragit, eodem pulsus eundo conficiet spatium circumferentiæ circuli radio A descripti æquale.

Nam stantibus quæ in Propositione superiore constructa sunt, si linea quævis Physica, EF singulis vibrationibus describendo spatium PS, urgeatur in extremis itus & reditus cujusque locis P & S, a vi Elastica quæ ipsius ponderi æquetur; peraget hæc vibrationes singulas quo tempore eadem in Cycloide, cujus Perimeter tota longitudini PS æqualis est, oscillari posset: id adeo quia vires æquales æqualia corpuscula per æqualia spatia simul impellent.

Quare cum oscillationum tempora sint in dimidiata ratione longitudinis pendulorum, & longitudo penduli æquetur dimidio arcui Cycloidis totius; foret tempus vibrationis unius ad tempus oscillationis Penduli cujus longitudo est A, in dimidiata ratione longitudinis ½PS seu PO ad longitudinem A.

Sed vis Elastica qua lineola Physica EG, in locis suis extremis P, S existens, urgetur, erat (in demonstratione Propositionis superioris) ad ejus vim totam Elasticam ut HL - KN ad V, hoc est (cum punctum K jam incidat in P) ut HK ad V: & vis illa tota, hoc est pondus incumbens, qua lineola EG comprimitur, est ad pondus lineolæ ut ponderis incumbentis altitudo A ad lineolæ longitudinem EG; adeoque ex æquo, vis qua lineola EG in locis suis P & S urgetur, est ad lineolæ illius pondus ut HK × A ad V × EG.

Quare cum tempora, quibus æqualia corpora per æqualia spatia impelluntur, sint reciproce in dimidiata ratione virium, erit tempus vibrationis unius urgente vi illa Elastica, ad tempus vibrationis urgente vi ponderis, in dimidiata ratione V × EG ad HK × A, atque adeo ad tempus oscillationis Penduli cujus longitudo est A, in dimidiata ratione V × EG ad HK × A & PO ad A conjunctim; Page 369 id est (cùm fuerit, in superiore Propositione, V æqualis PO × BC ÷ Z, & HK æqualis EG × Z ÷ BC) in dimidiata ratione PO qu. × BC × EG ÷ Z ad EG × Z × A qu. ÷ BC seu PO qu. × BC qu. ad Z qu. × A qu. hoc est in ratione PO × BC ad Z × A, seu BC ad Z × A ÷ PO.

Sed tempore vibrationis unius ex itu & reditu compositæ, pulsus progrediendo conficit latitudinem suam BC. Ergo tempus quo pulsus percurrit spatium BC, est ad tempus oscillationis unius ex itu & reditu compositæ, ut BC ad Z × A ÷ PO, id est ut BC ad circumferentiam circuli cujus radius est A. Tempus autem, quo pulsus percurret spatium BC, est ad tempus quo percurret longitudinem huic circumferentiæ æqualem, in eadem ratione; ideoque tempore talis oscillationis pulsus percurret longitudinem huic circumferentiæ æqualem. Q. E. D.

Prop. L. Prob. XIII.

*Invenire pulsuum distantias.*

Del cuerpo, cuyo temblor excita los pulsos, hállese el número de vibraciones en un tiempo dado. Por ese número divídase el espacio que el pulso pueda recorrer en el mismo tiempo, y la parte hallada será la anchura de un solo pulso. Q. E. I.

Schol.

Spectant Propositiones novissimæ ad motum Lucis & Sonorum. Lux enim cum propagetur secundum lineas rectas, in actione sola (per Prop. XLI. & XLII.) consistere nequit. Soni vero propterea quod a corporibus tremulis oriantur, nihil aliud sunt quàm aeris pulsus propagati, per Prop. XLIII. Confirmatur id ex tremoribus quos excitant in corporibus objectis, si modò vehementes sint & Page 370 graves, quales sunt soni Tympanorum. Nam tremores celeriores & breviores difficilius excitantur. Sed & sonos quosvis, in chordas corporibus sonoris unisonas impactos, excitare tremores notissimum est. Confirmatur etiam ex velocitate sonorum. Nam cùm pondera specifica Aquæ pluvialis & Argenti vivi sint ad invicem ut 1 ad 13⅔ circiter, & ubi Mercurius in Barometro altitudinem attingit digitorum Anglicorum 30, pondus specificum Aeris & aquæ pluvialis sint ad invicem ut 1 ad 850 circiter: erunt pondera specifica aeris & argenti vivi ut 1 ad 11617. Proinde cum altitudo argenti vivi sit 30 digitorum, altitudo aeris uniformis, cujus pondus aerem nostrum subjectum comprimere posset, erit 348500 digitorum seu pedum Anglicorum 29042. Estque hæc altitudo illa ipsa quam in constructione superioris Problematis nominavimus A. Circuli radio 29042 pedum descripti circumferentia est pedum 182476. Et cum Pendulum digitos 39¹/₅ longum, oscillationem ex itu & reditu compositam, tempore minutorum duorum secundorum, uti notum est, absolvat; pendulum pedes 29042, seu digitos 348500, longum, oscillationem consimilem tempore minutorum secundorum 188⁴/₇ absolvere debebit. Eo igitur tempore sonus progrediendo conficiet pedes 182476, adeoque tempore minuti unius secundi pedes 968. Scribit Mersennus, in Balisticæ suæ Prop. XXXV. se factis experimentis invenisse quod sonus minutis quinque secundis hexapedas Gallicas 1150 (id est pedes Gallicos 6900) percurrat. Unde cum pes Gallicus sit ad Anglicum ut 1068 ad 1000, debebit sonus tempore minuti unius secundi pedes Anglicos 1474 conficere. Scribit etiam idem Mersennus Robervallum Geometram clarissimum in Obsidione Theodonis observasse tormentorum fragorem exauditum esse post 13 vel 14 ab igne viso minuta secunda, cùm tamen vix dimidiam Leucam ab illis Tormentis abfuerit. Continet Leuca Gallica hexapedas 2500, adeoque sonus tempore 13 vel 14 secundorum, ex Observatione Robervalli, confecit pedes Parisienses 7500, ac tempore minuti unius secundi pedes Parisienses 560, Anglicos Page 371 verò 600 circiter. Multum differunt hæ Observationes ab invicem, & computus noster medium locum tenet. In porticu Collegii nostri pedes 208 longa, sonus in termino alterutro excitatus quaterno recursu Echo quadruplicem efficit. Factis autem experimentis inveni quod singulis soni recursibus pendulum quasi sex vel septem digitorum longitudinis oscillabatur, ad priorem soni recursum eundo & ad posteriorem redeundo. Longitudinem penduli satis accuratè definire nequibam: sed longitudine quatuor digitorum, oscillationes nimis celeris esse, ea novem digitorum nimis tardas judicabam. Unde sonus eundo & redeundo confecit pedes 416 minore tempore quàm pendulum digitorum novem, & majore quàm pendulum digitorum quatuor oscillatur; id est minore tempore quàm 28¾ minutorum tertiorum, & majore quàm 19¹/₆; & propterea tempore minuti unius secundi conficit pedes Anglicos plures quàm 866 & pauciores quàm 1272, atque adeò velocior est quàm pro Observatione Robervalli, ac tardior quàm pro Observatione Mersenni. Quinetiam accuratioribus postea Observationibus definivi quod longitudo penduli major esse deberet quàm digitorum quinque cum semisse, & minor quàm digitorum octo; adeoque quòd sonus tempore minuti unius secundi confecit pedes Anglicos plures quàm 920 & pauciores quàm 1085. Igitur motus sonorum, secundum calculum Geometricum superius allatum, inter hos limites consistens, quadrat cum Phænomenis, quatenus hactenus tentare licuit. Proinde cùm motus iste pendeat ab aeris totius densitate, consequens est quod soni non in motu ætheris vel aeris cujusdam subtilioris, sed in aeris totius agitatione consistat.

Parecen refutarlo ciertos experimentos sobre el sonido propagado en recipientes vacíos de aire, pero los recipientes apenas pueden ser evacuados de todo aire; y cuando son suficientemente evacuados, los sonidos suelen disminuir notablemente; Ex. gr. Si solo la centésima parte del aire total permanece en el recipiente, el sonido deberá ser cien veces más débil, y por lo tanto no deberá oírse menos que si alguien, al escuchar un mismo sonido excitado en el aire libre, se alejara sucesivamente a Página 372 una distancia diez veces mayor del cuerpo sonoro.

Deben compararse, por lo tanto, dos cuerpos igualmente sonoros, de los cuales el uno consista en el recipiente evacuado y el otro en el aire libre, y cuyas distancias respecto al oyente estén en la razón subduplicada de las densidades del aire: y si el sonido del primer cuerpo no supera al sonido del segundo, la objeción cesará.

Conocida la velocidad de los sonidos, se conocen también los intervalos de las pulsaciones. Escribe Mersennus (Lib. I. Harmonicorum Prop. IV.) que él (habiendo realizado ciertos experimentos que allí describe) descubrió que una cuerda tensa vibra 104 veces en el espacio de un segundo, cuando produce el Unísono con un tubo de órgano abierto de cuatro pies o cerrado de dos pies, al que los organeros llaman C fa ut.

Son, por lo tanto, 104 pulsaciones en el espacio de 968 pies, que el sonido recorre en el tiempo de un segundo: y por eso una sola pulsación ocupa un espacio de unos 9¼ pies; es decir, aproximadamente el doble de la longitud del tubo. De ahí es probable que las anchuras de las pulsaciones, en los sonidos de todos los tubos abiertos, sean iguales al doble de las longitudes de los tubos.

Porrò cur Soni cessante motu corporis sonori statim cessant, neque diutiùs audiuntur ubi longissimè distamus à corporibus sonoris, quàm cum proximè absumus, patet ex Corollario Propositionis XLVIII. Libri hujus.

Sed & cur soni in Tubis Stenterophonicis valde augentur, ex allatis principiis manifestum est. Motus enim omnis reciprocus singulis recursibus à causa generante augeri solet. Motus autem in Tubis dilatationem sonorum impedientibus tardiùs amittitur & fortius recurrit, & propterea à motu novo singulis recursibus impresso magis augetur.

Et hæc sunt præcipua Phænomena Sonorum.

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