De motu Corporum in Conicis Sectionibus excentricis.
### Prop. XI. Prob. VI.
*Revolvatur corpus in Ellipsi: Requiritur lex vis centripetæ tendentis ad umbilicum Ellipseos.*
Esto Ellipseos superioris umbilicus S. Agatur SP secans Ellipseos tum diametrum DK in E, tum ordinatim applicatam Qv in x, & compleatur parallelogrammum QxPR.
Pátese que el EP es igual al semieje mayor AC, debido a que, trazada desde el otro foco de la elipse H una línea HI paralela al propio EC (por ser iguales CS, CH), se igualan ES, EI, de modo que EP es la semisuma de los segmentos PS, PI, esto es (por las paralelas HI, PR y los ángulos iguales IPR, HPZ) de los segmentos PS, PH, los cuales tomados conjuntamente equivalen al eje total 2AC.
Ad SP demittatur perpendicularis QT, & Ellipseos latere recto principali (seu 2BC quad. ÷ AC) dicto L, erit L × QR ad L × Pv ut QR ad Pv; id est ut PE (seu AC) ad PC; & L × Pv ad GvP ut L ad Gv; Page 51 & GvP ad Qv quad. ut CP quad. ad CD quad.; & (per Lem. VIII.) Qv quad. ad Qx quad. punctis Q & P coeuntibus, est ratio æqualitatis, & Qx quad. seu Qv quad. est ad QT quad. ut EP quad. ad PF quad., id est ut CA quad. ad PF quad. sive (per Lem. XII.) ut CD quad. ad CB quad.
Y reunidas todas estas razones, L × QR es a QT quad. como AC es a PC + L a Gv + CPq. a CDq. + CDq. a CBq., es decir, como AC × L (o 2CBq.) × CPq. a PC × Gv × CBq. o como 2PC a Gv. Mas coincidiendo los puntos Q y P, se igualan 2PC y Gv. Por tanto, también las cosas proporcionales a estos, L × QR y QT quad., se igualan.
Multiplíquense estos valores por SPq. ÷ QR y resultará L × SPq. igual a SPq. × QTq. ÷ QR. Por tanto (por el Corol. del Teor. V.), la fuerza centrípeta es inversamente proporcional a L × SPq., esto es, en razón duplicada inversa de la distancia SP.
Q. E. I.
Con la misma brevedad con que tradujimos el quinto problema a la parábola y a la hipérbola, nos sería lícito hacer lo mismo aquí; pero, debido a la dignidad del problema y a su uso en lo que sigue, no pesará confirmar los demás casos con una demostración.
**Prop. XII. Prob. VII.**
* Moveatur corpus in Hyperbola: requiritur lex vis centripetæ tendentis ad umbilicum figuræ.
Sunto CA, CB semi-axes Hyperbolæ; PG, KD diametri conjugatæ; PF, Qt perpendicula ad diametros; & Qv ordinatim applicata ad diametrum GP. Agatur SP secans tum diametrum DK in E, tum ordinatim applicatam Qv in x, & compleatur parallelogrammum QRPx.
Patet EP æqualem esse semi-axi transverso AC, eo quod, acta ab altero Hyperbolæ umbilico H linea HI ipsi EC parallela, ob æquales CS, CH, æquentur ES, EI; adeo ut EP semidifferentia sit ipsarum PS, PI, id est (ob parallelas HI, PR & angulos æquales IPR, HPZ) ipsarum PI, PH, quarum differentia axem totum 2AC adæquat.
Ad SP Page 52
demittatur perpendicularis QT. Et Hyperbolæ latere recto principali (seu 2BCq. ÷ AC) dicto L, erit L × QR ad L × Pv ut QR ad Pv, id est, ut PE (seu AC) ad PC; Et L × Pv ad GvP ut L ad Gv; & GvP ad Qvq. ut CPq. ad CDq.; & (per Lem. VIII.) Qvq. ad Qxq., punctis Q & P coeuntibus fit ratio æqualitatis; & Qxq. seu Qvq. est ad QTq. ut EPq. ad PFq., id est ut CAq. ad PFq., sive (per Lem. XII.) ut CDq. ad CBq.: & conjunctis his omnibus rationibus L × QR fit ad QTq. ut AC ad PC + L ad Gv + CPq. ad CDq. + CDq. ad CBq.: id est ut AC × L (seu 2BCq.) × PCq. ad PC × Gv × CB quad. sive ut 2PC ad Gv, sed punctis Q & P coeuntibus æquantur 2PC & Gv. Ergo & his proportionalia L × QR & QTq. æquantur.
Ducantur hæc æqualia in SPq. ÷ QR & fiet L × SPq. æquale SPq. × QTq. ÷ QR.
Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut L × SPq. id est in ratione duplicata distantiæ SP.
Q. E. I.
Page 53
Eodem modo demonstratur quod corpus, hac vi centripeta in centrifugam versa, movebitur in Hyperbola conjugata.
# Lema XIII.
*El lado recto de la parábola correspondiente a cualquier vértice es cuádruplo de la distancia de ese vértice al foco de la figura.* Es evidente por las Cónicas.
# Lema XIV.
*La perpendicular que se baja desde el foco de la parábola a su tangente es media proporcional entre las distancias del foco al punto de contacto y al vértice principal de la figura.*
Sea APQ una parábola, S su foco, A el vértice principal, P el punto de contacto, PO la ordenada aplicada al diámetro principal, PM la tangente que corta al diámetro principal en M, y SN una línea perpendicular desde el foco a la tangente.
Únase AN, y debido a que MS y SP, MN y NP, MA y AO son iguales, las rectas AN y OP serán paralelas, y por tanto el triángulo SAN será rectángulo en A y semejante a los triángulos iguales SMN, SPN. Por lo tanto, PS es a SN como SN es a SA.
Q. E. D.
Corol. 1. PSq. es a SNq. como PS a SA.
Corol. 2. Et ob datam SA, est SNq. ut PS.
Corol. 3. Y el encuentro de cualquier tangente PM con la recta SN, que es perpendicular a ella desde el foco, cae sobre la recta AN, que toca la Parábola en el vértice principal. Page 54
### Prop. XIII. Prob. VIII.
* Moveatur corpus in perimetro Parabolæ: requiritur Lex vis centripetæ tendentis ad umbilicum hujus figuræ.
Maneat constructio Lemmatis, sitq; P corpus in perimetro Parabolæ, & a loco Q in quem corpus proxime movetur, age ipsi SP Parallelam QR & perpendicularem QT, necnon Qv tangentiparallelam & occurrentem tum diametro YPG in v, tum distantiæ SP in x.
Jam ob similia triangula Pxv, MSP & æqualia unius latera SM, SP, æqualia sunt alterius latera Px seu QR & Pv. Sed, ex Conicis, quadratum ordinatæ Qv æquale est rectangulo sub latere recto & segmento diametri Pv, id est (per Lem. XIII.) rectangulo 4PS × Pv seu 4PS × QR; & punctis P & Q coeuntibus, ratio Qv ad Qx (per Lem. 8.) fit æqualitatis.
Ergo Qxq. eo in casu, æquale est rectangulo 4PS × QR. Est autem (ob æquales angulos QxT, MPS, PMO) Qxq. ad QTq. ut PSq. ad SNq. hoc est (per Corol. I. Lem. XIV.) ut PS ad AS, id est ut 4PS × QR ad 4AS × QR, & inde (per Prop. 9. Lib. V. Elem.) QTq. & 4AS × QR æquantur.
Ducantur hæc æqualia in SPq. ÷ QR, & fiet SPq. × QTq. ÷ QR æquale SPq. × 4AS: & propterea (per Corol. Theor. V.) vis centripeta est reciproce ut SPq. × 4AS, id est, ob datam 4AS, reciproce in duplicata ratione distantiæ SP. Q. E. I.
Page 55
Corol. I. Ex tribus novissimis Proportionibus consequens est, quod si corpus quodvis P, secundum lineam quamvis rectam PR, quacunq; cum velocitate exeat de loco P, & vi centripeta quæ sit reciproce proportionalis quadrato distantiæ a centro, simul agitetur; movebitur hoc corpus in aliqua sectionum Conicarum umbilicum habente in centro virium; & contra.
Corol. II. Y si la velocidad con que el cuerpo sale de su lugar P es tal, que la línea pequeña PR puede ser descrita en una partícula de tiempo mínima cualquiera, y la fuerza centrípeta es capaz en el mismo tiempo de mover al mismo cuerpo por el espacio QR: este cuerpo se moverá en alguna sección cónica cuyo lado recto es aquella cantidad QTq. ÷ QR que en última instancia resulta cuando las líneas pequeñas PR, QR se disminuyen hasta el infinito. El círculo en estos Corolarios lo refiero a la elipse, y aexceptúo el caso en que el cuerpo desciende en línea recta hacia el centro.
### Prop. XIV. Teo. VI.
* Si corpora plura revolvantur circa centrum commune, & vis centripeta decrescat in duplicata ratione distantiarum a centro; dico quod Orbium Latera recta sunt in duplicata ratione arearum quas corpora, radiis ad centrum ductis, eodem tempore describunt.
Nam per Corol. II. Prob. VIII. Latus rectum L æquale est quantitati QTq. ÷ QR quæ ultimo fit ubi coeunt puncta P & Q. Sed linea minima QR, dato tempore, est ut vis centripeta generans, hoc est (per Hypothesin) reciproce ut SPq. Ergo QTq. ÷ QR est ut QTq. × SPq. hoc est, latus rectum L in duplicata ratione areæ QT × SP. Q. E. D.
Corol. Hinc Ellipseos area tota, eiq; proportionale rectangulum sub axibus, est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & integra ratione temporis periodici.
Page 56
Prop. XV. Theor. VII.
*Iisdem positis, dico quod tempora periodica in Ellipsibus sunt in ratione sesquiplicata transversorum axium.*
Namque axis minor est medius proportionalis inter axem majorem (quem transversum appello) & latus rectum, atq; adeo rectangulum sub axibus est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & sesquiplicata ratione axis transversi. Sed hoc rectangulum, per Corollarium Theorematis Sexti, est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & integra ratione periodici temporis. Dematur utrobiq; dimidiata ratio lateris recti & manebit sesquiplicata ratio axis transversi æqualis rationi periodici temporis. Q. E. D.
Corol. Son por tanto los tiempos periódicos en las Elipses iguales a los de los círculos, cuyos diámetros son iguales a los ejes mayores de las Elipses.
Prop. XVI. Theor. VIII.
*Iisdem positis, & actis ad corpora lineis rectis, quæ ibidem tangant orbitas, demissisq; ab umbilico communi ad has tangentes perpendicularibus: dico quod velocitates corporum sunt in ratione composita ex ratione perpendiculorum inverse & dimidiata ratione laterum rectorum directe.* > Vide Fig. Prop. X. &. XI.
Ab umbilico S ad tangentem PR demitte perpendiculum SY & velocitas corporis P erit reciproce in dimidiata ratione quantitatis SYq. ÷ L. Nam velocitas illa est ut arcus quam minimus PQ in data temporis particula descriptus, hoc est (per Lem. VII.) ut tangens PR, id est (ob proportionales PR ad QT & SP ad SY) ut SP × QT ÷ SY, sive ut SY reciproce & SP × QT directe; estq; Page 57 SP × QT ut area dato tempore descripta, id est, per Theor. VI. in dimidiata ratione lateris recti Q. E. D.
Corol. 1. Los lados rectos están en razón compuesta de la razón duplicada de las perpendiculares y la razón duplicada de las velocidades.
Corol. 2. Las velocidades de los cuerpos en las mayores y menores distancias desde el foco común están en la razón compuesta de la razón inversa de las distancias y la razón subduplicada directa de los lados rectos. Pues las perpendiculares son ya las distancias mismas.
Corol. 3. Ideoq; velocitas in Conica sectione, in minima ab umbilico distantia, est ad velocitatem in circulo in eadem a centro distantia, in dimidiata ratione lateris recti ad distantiam illam duplicatam.
Corol. 4. Las velocidades de los cuerpos que giran en elipses a distancias medias del umbilico común son las mismas que las de los cuerpos que giran en círculos a las mismas distancias, esto es (por el Corol. VI. Teor. IV.), recíprocamente en la razón semiduplicada de las distancias. Pues las perpendiculares ya son los semiejes menores, y estos son como las medias proporcionales entre las distancias y los lados rectos. Compóngase esta razón inversamente con la razón semiduplicada de los lados rectos directamente, y resultará la razón semiduplicada de las distancias inversamente.
Corol. 5. In eadem vel æqualibus figuris, vel etiam in figuris inæqualibus, quarum latera recta sunt æqualia, velocitas corporis est reciproce ut perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem.
Corol. 6. En la Parábola, la velocidad es recíproca en razón subduplicada de la distancia del cuerpo al foco de la figura; en la Elipse es menor, en la Hipérbola mayor que en esta razón. Pues (por el Corol. 2 del Lem. XIV) la perpendicular bajada desde el foco a la tangente de la Parábola está en razón subduplicada de la distancia.
Corol. 7. En la Parábola, la velocidad en todas partes es a la velocidad del cuerpo que gira en un círculo a la misma distancia, en la razón subduplicada del número binario a la unidad; en la Elipse es menor, en la Hipérbola Página 58 mayor que en esta razón. Pues por el Corolario segundo de este [libro], la velocidad en el vértice de la Parábola está en esta razón, y por los Corolarios sexto de este y cuarto del Teorema, se conserva la misma proporción en todas las distancias. De aquí también en la Parábola la velocidad en todas partes es igual a la velocidad del cuerpo que gira en un círculo a la mitad de la distancia, en la Elipse es menor, en la Hipérbola mayor.
Corol. 8. La velocidad de giro en una Sección Cónica cualquiera es a la velocidad de giro en un círculo a la distancia de la mitad del lado recto de la Sección, como esa distancia es a la perpendicular bajada desde el foco hasta la tangente de la Sección. Es evidente por el Corolario quinto.
Corol. 9. Unde cum (per Corol. 6. Theor. IV.) velocitas gyrantis in hoc circulo sit ad velocitatem gyrantis in circulo quovis alio, reciproce in dimidiata ratione distantiarum; fiet ex æquo velocitas gyrantis in Conica sectione ad velocitatem gyrantis in circulo in eadem distantia, ut media proportionalis inter distantiam illam communem & semissem lateris recti sectionis, ad perpendiculum ab umbilico communi in tangentem sectionis demissum.
Prop. XVII. Prob. IX.
* Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distantiæ a centro, & quod vis illius quantitas absoluta sit cognita; requiritur linea quam corpus describit, de loco dato cum data velocitate secundum datam rectam egrediens.
Vis centripeta tendens ad punctum S ea sit quæ corpus p in orbita quavis data pq gyrare faciat, & cognoscatur hujus velocitas in loco p.
De loco P secundum lineam PR exeat corpus P cum data velocitate, & mox inde, cogente vi centripeta, deflectat illud in Conisectionem PQ. Hanc igitur recta PR tanget in P. Tangat itidem recta aliqua pr orbitam pq in p, & si ab S ad eas tangentes demitti intelligantur perpendicula, erit (per Corol. 1. Theor. VIII.) latus rectum Conisectionis ad latus Page 59 rectum orbitæ datæ, in ratione composita ex duplicata ratione perpendiculorum & duplicata ratione velocitatum, atq; adeo datur. Sit istud L.
Datur præterea Conisectionis umbilicus S. Anguli RPS complementum ad duos rectos fiat angulus RPH, & dabitur positione linea PH, in qua umbilicus alter H locatur. Demisso ad PH perpendiculo SK, & erecto semiaxe conjugato BC, est SPq. - 2KPH + PHq. (per Prop. 13. Lib. II. Elem.) = SHq. = 4CHq. = 4BHq. - 4BCq. = SP + PH quad. - L × SP + PH = SPq. + 2SPH + PHq. - L × SP + PH.
Addantur utrobiq; 2KPH + L × SP + PH - SPq. - PHq. & fiet L × SP + PH = 2SPH + 2KPH, seu SP + PH ad PH ut 2SP + 2KP ad L. Unde datur PH tam longitudine quam positione.
Nimirum si ea sit corporis in P velocitas, ut latus rectum L minus fuerit quam 2SP + 2KP, jacebit PH ad eandem partem tangentis PR cum linea PS, adeoq; figura erit Ellipsis, & ex datis umbilicis S, H, & axe principali SP + PH, dabitur:
Sin tanta sit corporis velocitas ut latus rectum L æquale fuerit 2SP + 2KP, longitudo PH infinita erit, & propterea figura erit Parabola axem habens SH parallelum lineæ PK, & inde dabitur.
Quod si corpus majori adhuc cum velocitate de loco suo P exeat, capienda erit longitudo PH ad alteram partem tangentis, adeoq; tangente inter umbilicos pergente, figura erit Hyperbola axem habens principalem æqualem differentiæ linearum SP & PH, & inde dabitur.
Q. E. I.
Corol. 1. Hinc in omni Conisectione ex dato vertice principali D, latere recto L, & umbilico S, datur umbilicus alter H capiendo DH ad DS ut est latus rectum ad differentiam inter Page 60 latus rectum & 4DS. Nam proportio SP + PH ad PH ut 2SP ad L, in casu hujus Corollarii, fit DS + DH ad DH ut 4DS ad L, & divisim DS ad DH ut 4DS - L ad L.
Corol. 2. Unde si datur corporis velocitas in vertice principali D, invenietur Orbita expedite, capiendo scilicet latus rectum ejus, ad duplam distantiam DS, in duplicata ratione velocitatis hujus datæ ad velocitatem corporis in circulo ad distantiam DS gyrantis: (Per Corol. 3. Theor. VIII.) dein DH ad DS ut latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 4DS.
Corol. 3. Hinc etiam si corpus moveatur in Sectione quacunq; Conica, & ex orbe suo impulsu quocunq; exturbetur; cognosci potest orbis in quo postea cursum suum peraget. Nam componendo proprium corporis motum cum motu illo quem impulsus solus generaret, habebitur motus quocum corpus de dato impulsus loco, secundum rectam positione datam, exibit.
Corol. 4. Y si ese cuerpo fuese perturbado continuamente por alguna fuerza impresa externamente, se conocerá su curso con la mayor aproximación posible, deduciendo las modificaciones que dicha fuerza introduce en ciertos puntos, y estimando, a partir de la analogía de la serie, las modificaciones continuas en los lugares intermedios.
Página 61