Sect. XIII.

De Corporum etiam non Sphæricorum viribus attractivis.

Prop. LXXXV. Theor. XLII.

* Si corporis attracti, ubi attrahenti contiguum est, attractio longe fortior sit, quam cum vel minimo intervallo separantur ab invicem: vires particularum trahentis, in recessu corporis attracti, decrescunt in ratione plusquam duplicata distantiarum a particulis.

Nam si vires decrescunt in ratione duplicata distantiarum a particulis; attractio versus corpus Sphæricum, propterea quod (per Prop. LXXIV.) sit reciproce ut quadratum distantiæ Page 214 attracti corporis a centro Sphæræ, haud sensibiliter augebitur ex contactu; atq; adhuc minus augebitur ex contactu, si attractio in recessu corporis attracti decrescat in ratione minore.

Patet igitur Propositio de Sphæris attractivis. Et par est ratio Orbium Sphæricorum concavorum corpora externa trahentium. Et multo magis res constat in Orbibus corpora interius constituta trahentibus, cum attractiones passim per Orbium cavitates ab attractionibus contrariis (per Prop. LXX.) tollantur, ideoq; vel in ipso contactu nullæ sunt.

Quod si Sphæris hisce Orbibusq; Sphæricis partes quælibet a loco contactus remotæ auferantur, & partes novæ ubivis addantur: mutari possunt figuræ horum corporum attractivorum pro lubitu, nec tamen partes additæ vel subductæ, cum sint a loco contactus remotæ, augebunt notabiliter attractionis excessum qui ex contactu oritur.

Constat igitur Propositio de corporibus figurarum omnium. Q. E. D.

Prop. LXXXVI. Theor. XLIII.

* Si particularum, ex quibus corpus attractivum componitur, vires in recessu corporis attracti decrescunt in triplicata vel plusquam triplicata ratione distantiarum a particulis: attractio longe fortior erit in contactu, quam cum attrahens & attractum intervallo vel minimo separantur ab invicem.

Nam attractionem in accessu attracti corpusculi ad hujusmodi Sphæram trahentem augeri in infinitum, constat per solutionem Problematis XLI. in Exemplo secundo ac tertio exhibitam.

Idem, per Exempla illa & Theorema XLI inter se collata, facile colligitur de attractionibus corporum versus Orbes concavo-convexos, sive corpora attracta collocentur extra Orbes, sive intra in eorum cavitatibus.

Sed & addendo vel auferendo his Sphæris & Orbibus ubivis extra locum contactus materiam quamlibet attractivam, eo ut corpora attractiva induant figuram quamvis assignatam, constabit Propositio de corporibus universis.

Q. E. D.

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# Prop. LXXXVII. Theor. XLIV.

* Si dos cuerpos semejantes entre sí y compuestos de materia igualmente atractiva se atracaran por separado corpusculos proporcionales a ellos mismos y situados de manera semejante respecto a ellos: las atracciones aceleratrices de los corpúsculos hacia los cuerpos enteros serán como las atracciones aceleratrices de los corpúsculos hacia sus partículas proporcionales a los enteros y situadas de manera semejante en los enteros.

Nam si corpora distinguantur in particulas, quæ sint totis proportionales & in totis similiter sitæ; erit, ut attractio in particulam quamlibet unius corporis ad attractionem in particulam correspondentem in corpore altero, ita attractiones in particulas singulas primi corporis ad attractiones in alterius particulas singulas correspondentes; & componendo, ita attractio in totum primum corpus ad attractionem in totum secundum. Q. E. D.

Corol. 1. Ergo si vires attractivæ particularum, augendo distantias corpusculorum attractorum, decrescant in ratione dignitatis cujusvis distantiarum: attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut corpora directe & distantiarum dignitates illæ inverse.

Ut si vires particularum decrescant in ratione duplicata distantiarum a corpusculis attractis, corpora autem sint ut A cub. & B cub. adeoq; tum corporum latera cubica, tum corpusculorum attractorum distantiæ a corporibus, ut A & B: attractiones acceleratrices in corpora erunt ut A cub. ÷ A quad. & B cub. ÷ B quad. id est, ut corporum latera illa cubica A & B.

Si vires particularum decrescant in ratione triplicata distantiarum a corpusculis attractis; attractiones acceleratrices in corpora tota erunt ut A cub. ÷ A cub. & B cub. ÷ B cub. id est, æquales.

Si vires decrescant in ratione quadruplicata, attractiones in corpora erunt ut A cub. ÷ Aqq. & B cub. ÷ Bqq. id est, reciproce ut latera cubica A & B. Et sic in cæteris.

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Corol. 2. Unde vicissim, ex viribus quibus corpora similia trahunt corpuscula ad se similiter posita, colligi potest ratio decrementi virium particularum attractivarum in recessu corpusculi attracti; si modo decrementum illud sit directe vel inverse in ratione aliqua distantiarum.

Prop. LXXXVIII. Theor. XLV.

* Si particularum æqualium corporis cujuscunq; vires attractivæ sint ut distantiæ locorum a particulis: vis corporis totius tendet ad ipsius centrum gravitatis; & eadem erit cum vi globi ex materia consimili & æquali constantis & centrum habentis in ejus centro gravitatis.

Corporis RSTV particulæ A, B trahant corpusculum aliquod Z viribus quæ, si particulæ æquantur inter se, sint ut distantiæ AZ, BZ; sin particulæ statuantur inæquales, sint ut hæ particulæ in distantias suas AZ, BZ respective ductæ.

Et exponantur hæ vires per contenta illa A × AZ & B × BZ. Jungatur AB, & secetur ea in G ut sit AG ad BG ut particula B ad particulam A; & erit G commune centrum gravitatis particularum A & B.

Vis A × AZ per Legum Corol. 2. resolvitur in vires A × GZ & A × AG, & vis B × BZ in vires B × GZ & B × BG. Vires autem A × AG & B × BG, ob proportionales A ad B & BG ad AG, æquantur, adeoq;, cum dirigantur in partes contrarias, se mutuo destruunt.

Restant vires A × GZ & B × GZ. Tendunt hæ ab Z versus centrum G, & vim A + B × GZ componunt; hoc est, vim eandem ac si particulæ attractivæ A & B consisterent in eorum communi gravitatis centro G, globum ibi componentes.

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Si a este mismo argumento se añade una tercera partícula C, y se compone la fuerza de esta con la fuerza A + B × GZ tendente al centro G, la fuerza que de ahí se origina tenderá al centro común de gravedad de aquel globo G y de la partícula C; esto es, al centro común de gravedad de las tres partículas A, B, C; y será la misma que si el globo y la partícula C consistieran en aquel centro común, componiendo allí un globo mayor. Y así se prosigue hasta el infinito. Es, por tanto, la misma la fuerza total de todas las partículas de cualquier cuerpo RSTV que si ese cuerpo, conservado su centro de gravedad, tomara la figura de un globo. Q. E. D.

Corol. Hinc motus corporis attracti Z idem erit ac si corpus attrahens RSTV esset Sphæricum: & propterea si corpus illud attrahens vel quiescat, vel progrediatur uniformiter in directum, corpus attractum movebitur in Ellipsi centrum habente in attrahentis centro gravitatis.

Prop. LXXXIX. Theor. XLVI.

* Si Corpora sint plura ex particulis æqualibus constantia, quarum vires sunt ut distantiæ locorum a singulis: vis ex omnium viribus composita, qua corpusculum quodcunq; trahitur, tendet ad trahentium commune centrum gravitatis, & eadem erit ac si trahentia illa, servato gravitatis centro communi, coirent & in globum formarentur.

Demonstratur eodem modo, atq; Propositio superior.

Corol. Ergo motus corporis attracti idem erit ac si corpora trahentia, servato communi gravitatis centro, coirent & in globum formarentur. Ideoq; si corporum trahentium commune gravitatis centrum vel quiescit, vel progreditur uniformiter in linea recta, corpus attractum movebitur in Ellipsi, centrum habente in communi illo trahentium centro gravitatis.

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Prop. XC. Prob. XLIV.

* Si ad singula circuli cujuscunq; puncta tendant vires centripetæ decrescentes in quacunq; distantiarum ratione: invenire vim qua corpusculum attrahitur ubivis in recta quæ ad planum circuli per centrum ejus perpendicularis consistit.

Centro A intervallo quovis AD, in plano cui recta AP perpendicularis est, describi intelligatur circulus; & invenienda sit vis qua corpus quodvis P in eundem attrahitur.

A circuli puncto quovis E ad corpus attractum P agatur recta PE: In recta PA capiatur PF ipsi PE æqualis, & erigatur Normalis FK, quæ sit ut vis qua punctum E trahit corpusculum P. Sitq; IKL curva linea quam punctum K perpetuo tangit. Occurrat eadem circuli plano in L.

In PA capiatur PH æqualis PD, & erigatur perpendiculum HI curvæ prædictæ occurrens in I; & erit corpusculi P attractio in circulum ut area AHIL ducta in altitudinem AP.   Q. E. I.

Etenim in AE capiatur linea quam minima Ee. Jungatur Pe, & in PA capiatur Pf ipsi Pe æqualis. Et quoniam vis, qua annuli punctum quodvis E trahit ad se corpus P, ponitur esse ut FK, & inde vis qua punctum illud trahit corpus P versus A est ut AP × FK ÷ PE, & vis qua annulus totus trahit corpus P versus A, ut annulus & AP × FK ÷ PE conjunctim; annulus autem iste est ut rectangulum sub radio AE & latitudine Ee, & hoc rectangulum (ob proportionales PE & AE, Ee & cE) æquatur rectangulo PE Page 219 × cE seu PE × Ff; erit vis qua annulus iste trahit corpus P versus A ut PE × Ff & AP × FK ÷ PE conjunctim, id est, ut contentum Ff × AP × FK, sive ut area FKkf ducta in AP. Et propterea summa virium, quibus annuli omnes in circulo, qui centro A & intervallo AD describitur, trahunt corpus P versus A, est ut area tota AHIKL ducta in AP.   Q. E. D.

Corol. 1. Hinc si vires punctorum decrescunt in duplicata distantiarum ratione, hoc est, si sit FK ut 1 ÷ PF quad., atq; adeo area AHIKL ut {1 ÷ PA} - {1 ÷ PH}; erit attractio corpusculi P in circulum 1 - {PA ÷ PH}, id est, ut AH ÷ PH.

Corol. 2. Et universaliter, si vires punctorum ad distantias D sint reciproce ut distantiarum dignitas quælibet Dⁿ, hoc est, si sit FK ut 1 ÷ Dⁿ, adeoq; area AHIKL ut {1 ÷ PA^{n - 1}} - {1 ÷ PH^{n - 1}}; erit attractio corpusculi P in circulum ut {1 ÷ PA^{n - 2}} - {PA ÷ PH^{n - 1}}.

Corol. 3. Y si el diámetro del círculo se aumenta hasta el infinito, y el número n es mayor que la unidad, la atracción del corpúsculo P hacia el plano todo infinito será recíprocamente como PA^{n - 2}, debido a que el otro término PA ÷ PH^{n - 1} evanescerá.

Prop. XCI. Prob. XLV.

*Invenire attractionem corpusculi siti in axe solidi, ad cujus puncta singula tendunt vires centripetæ in quacunq; distantiarum ratione decrescentes.*

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En solidum ADEFG trahatur corpusculum P, situm in ejus axe AB. Circulo quolibet RFS ad hunc axem perpendiculari secetur hoc solidum, & in ejus diametro FS, in plano aliquo PALKB per axem transeunte, capiatur (per Prop. XC.) longitudo FK vi qua corpusculum P in circulum illum attrahitur proportionalis.

Tangat autem punctum K curvam lineam LKI, planis extimorum circulorum AL & BI occurrentem in A & B; & erit attractio corpusculi P in solidum ut area LABI.   Q. E. D.

Corol. 1. De donde si el cilindro fuese sólido, descrito por el paralelogramo ADEB revolucionado en torno al eje AB, y las fuerzas centrípetas tendientes hacia cada uno de sus puntos fuesen recíprocamente como los cuadrados de las distancias desde los puntos: la atracción del corpúsculo P hacia este cilindro será como BA - PE + PD. Pues la ordenada aplicada FK (por el Corol. 1 de la Prop. XC) será como 1 - PF ÷ PR. La parte 1 de esta, multiplicada por la longitud AB, describe el área 1 × AB; y la otra parte PF ÷ PR, multiplicada por la longitud PB, describe el área 1 en PE - AD (lo cual puede mostrarse fácilmente a partir de la cuadratura de la curva LKI); y semejantemente la misma parte, multiplicada por la longitud PA, describe el área 1 en PD - AD, y multiplicada en la diferencia AB de las mismas PB, PA, describe la diferencia de áreas 1 en PE - PD. Del contenido primero 1 × AB quítese el contenido último 1 en PE - PD, y restará el área LABI igual a 1 en AB - PE + PD. Por tanto, la fuerza proporcional a esta área es como AB - PE + PD.

Corol. 2. Hinc etiam vis innotescit qua Sphærois AGBCD Page 221 attrahit corpus quodvis P, exterius in axe suo AB situm. Sit NKRM Sectio Conica cujus ordinatim applicata ER, ipsi PE perpendicularis, æquetur semper longitudini PD, quæ ducitur ad punctum illud D, in quo applicata ista Sphæroidem secat. A Sphæroidis verticibus A, B ad ejus axem AB erigantur perpendicula AK, BM ipsis AP, BP æqualia respective, & propterea Sectioni Conicæ occurrentia in K & M; & jungantur KM auferens ab eadem segmentum KMRK. Sit autem Sphæroidis centrum S & semidiameter maxima SC: & vis qua Sphærois trahit corpus P erit ad vim qua Sphæra, diametro AB descripta, trahit idem corpus, ut

Y calculando sobre el mismo fundamento, es posible hallar las fuerzas de los segmentos del esferoide.

Corol. 3. Quod si corpusculum intra Sphæroidem in data quavis ejusdem diametro collocetur; attractio erit ut ipsius distantia a centro. Id quod facilius colligetur hoc argumento.

Sea AGOF la esfera atrayente, S su centro y P el cuerpo atrayente. Por dicho cuerpo P trácese tanto el semidiámetro SPA, como dos rectas cualesquiera DE, FG que se cortan con la esfera por ambos lados en D y E, F y G: Y sean PCM, HLN las superficies de dos esferas interiores, semejantes a la exterior y concéntricas, de las cuales la primera (Page 222) pase por el cuerpo P y corte las rectas DE y FG en B y C, y la segunda corte las mismas rectas en H, I y K, L.

Tengan además todas las esferas un eje común, y las partes de las rectas interceptadas a uno y otro lado DP y BE, FP y CG, DH y IE, FK y LG serán iguales entre sí; debido a que las rectas DE, PB y HI quedan bisecadas en el mismo punto, así como las rectas FG, PC y KL.

Concipe jam DPF, EPG designare Conos oppositos, angulis verticalibus DPF, EPG infinite parvis descriptos, & lineas etiam DH, EI infinite parvas esse; & Conorum particulæ Sphæroidum superficiebus abscissæ DHKF, GLIE, ob æqualitatem linearum DH, EI, erunt ad invicem ut quadrata distantiarum suarum a corpusculo P, & propterea corpusculum illud æqualiter trahent.

Et pari ratione, si superficiebus Sphæroidum innumerarum similium concentricarum & axem communem habentium dividantur spatia DPF, EGCB in particulas, hæ omnes utrinq; æqualiter trahent corpus P in partes contrarias.

Æquales igitur sunt vires coni DPF & segmenti Conici EGCB, & per contrarietatem se mutuo destruunt. Et par est ratio virium materiæ omnis extra Sphæroidem intimam PCBM.

El cuerpo P es atraído, por tanto, por el esferoide íntimo PCBM solamente, y por ello (por el Corol. 3 de la Prop. LXXII) su atracción es a la fuerza con que el cuerpo A es atraído por el esferoide total AGOD, como la distancia PS a la distancia AS.

Q. E. I.

**Prop. XCII. Prob. XLVI.**

*Dato corpore attractivo, invenire rationem decrementi virium centripetarum in ejus puncta singula tendentium.*

E corpore dato formanda est Sphæra vel Cylindrus aliave Page 223 figura regularis, cujus lex attractionis, cuivis decrementi rationi congruens (per Prop. LXXX. LXXXI. & XCI.) inveniri potest. Dein factis experimentis invenienda est vis attractionis in diversis distantiis, & lex attractionis in totum inde patefacta dabit rationem decrementi virium partium singularum, quam invenire oportuit.

Prop. XCIII. Theor. XLVII.

* Si un sólido es plano por una parte, y por las demás infinito, y consta de partículas iguales igualmente atractivas, cuyas fuerzas al alejarse del sólido decrecen en razón de cualquier potencia de las distancias mayor que la cuadrática, y el cuerpo situado a uno u otro lado del plano es atraído por la fuerza del sólido total: digo que esa fuerza atractiva del sólido, al alejarse de su superficie plana, decrecerá en razón de la potencia cuyo lado es la distancia del corpúsculo al plano, y cuyo índice es menor en tres unidades que el índice de la potencia de las distancias.

Cas. 1. Sea LGl el plano que termina el Sólido. Yaciga empero el sólido por la parte de este plano hacia I, y resuélvase en planos innumerables mHM, nIN, etc., paralelos al mismo GL. Y primeramente colóquese el cuerpo atraído C fuera del sólido. Conduúzcase empero CGHI perpendicular a aquellos planos innumerables, y decrezcan las fuerzas atractivas de los puntos del sólido en razón de la potencia de las distancias, cuyo índice sea el número n no menor que tres. Luego (por el Corol. 3. de la Prop. XC) la fuerza con que cualquier plano mHM atrae al punto C es recíprocamente como CH^{n - 2}. En el plano mHM tómese la longitud HM recíprocamente proporcional a la misma CH^{n - 2}, y dicha fuerza será como HM. Semejantemente en los planos singulares lGL, nIN, oKO, etc., Page 224 tómense las longitudines GL, IN, KO, etc., recíprocamente proporcionales a las mismas CG^{n - 2}, CI^{n - 2}, CK^{n - 2}, etc.; y las fuerzas de los mismos planos serán como las longitudes tomadas, y por tanto la suma de las fuerzas como la suma de las longitudes, esto es, la fuerza del sólido total como el área GLOK prolongada al infinito hacia OK. Mas dicha área por los métodos conocidos de cuadraturas es recíprocamente como CG^{n - 3}, y por lo tanto la fuerza del sólido total es recíprocamente como CG^{n - 3} Q. E. D.

Cas. 2. Colóquese ahora el corpusculum C de la parte del plano lGL dentro del sólido, y tómese la distancia CK igual a la distancia CG. Y la parte del sólido LGloKO, terminada por los planos paralelos lGL, oKO, situado el corpúsculo C en medio, no lo atraerá a ninguna parte, anulándose mutuamente por igualdad las acciones contrarias de los puntos opuestos. Por tanto, el corpúsculo C es atraído solo por la fuerza del sólido situado más allá del plano OK. Esta fuerza, además (por el Caso primero), es recíprocamente como CK^{n - 3}, esto es (por ser CG, CK iguales), recíprocamente como CG^{n - 3}. Q. E. D.

Corol. 1. Hinc si solidum LGIN planis duobus infinitis parallelis LG, IN utrinq; terminetur; innotescit ejus vis attractiva, subducendo de vi attractiva solidi totius infiniti LGKO vim attractivam partis ulterioris NIKO, in infinitum versus KO productæ.

Corol. 2. Si solidi hujus infiniti pars ulterior, quando attractio ejus collata cum attractione partis citerioris nullius pene est momenti, rejiciatur: attractio partis illius citerioris augendo distantiam decrescet quam proxime in ratione potestatis CG^{n - 3}.

Corol. 3. Y de aquí que si un cuerpo cualquiera finito y plano por una parte atrae a un corpúsculo situado frente al medio de ese plano, y la distancia entre el corpúsculo y el plano, comparada con las dimensiones Página 225 del cuerpo atrayente, fuere perexigua, constando además el cuerpo atrayente de partículas homogéneas cuyas fuerzas atractivas decrecen en razón de una potencia cualquiera mayor que la cuádruple de las distancias; la fuerza atractiva del cuerpo entero decrecerá casi exactamente en razón de la potencia cuyo lado sea esa distancia perexigua, y cuyo Índice sea tres unidades menor que el Índice de la potencia anterior.

Acerca del cuerpo que consta de partículas cuyas fuerzas atractivas decrecen en razón de la potencia triple de las distancias, la afirmación no es válida, debido a que, en este caso, la atracción de aquella parte ulterior del cuerpo infinito en el Corolario segundo es siempre infinitamente mayor que la atracción de la parte citerior.

# Escolio.

Si un cuerpo cualquiera es atraído perpendicularmente hacia un plano dado, y a partir de una ley dada de atracción se busca el movimiento del cuerpo: el Problema se resolverá buscando (por la Prop. XXVII.) el movimiento del cuerpo que desciende rectamente hacia este plano, y (por el Corol. 2 de las Leyes) componiendo ese movimiento con un movimiento uniforme efectuado según líneas paralelas al mismo plano.

Y recíprocamente, si se busca la ley de atracción hacia un plano efectuada según líneas perpendiculares con la condición de que el cuerpo atraído se mueva en cualquier línea curva dada, el Problema se resolverá operando según el ejemplo del tercer Problema.

Operationes autem contrahi solent resolvendo ordinatim applicatas in series convergentes.

Ut si ad basem A in angulo quovis dato ordinatim applicetur longitudo B, quæ sit ut basis dignitas quælibet A^m÷n; & quæratur vis qua corpus, secundum positionem ordinatim applicatæ, vel in basem attractum vel a basi fugatum, moveri possit in curva linea quam ordinatim applicata termino suo superiore semper attingit;

Suppono basem augeri Page 226 parte quam minima O, & ordinatim applicatam A + O^m÷n resolvo in Seriem infinitam

atq; hujus termino in quo O duarum est dimensionum, id est termino {mm - mn} ÷ 2nn O² A^{(m - 2n)÷n} vim proportionalem esse suppono.

Est igitur vis quæsita ut {mm - mn} ÷ nn A^{(m - 2n)÷n}, vel quod perinde est, ut {mm - mn} ÷ nn B^{(m - 2n)÷m}.

Ut si ordinatim applicata Parabolam attingat, existente m = 2, & n = 1: fiet vis ut data 2B⁰, adeoq; dabitur. Data igitur vi corpus movebitur in Parabola, quemadmodum Galilæus demonstravit.

Quod si ordinatim applicata Hyperbolam attingat, existente m = 0 - 1, & n = 1; fiet vis ut 2B³: adeoq; vi, quæ sit ut cubus ordinatim applicatæ, corpus movebitur in Hyperbola.

Sed missis hujusmodi Propositionibus, pergo ad alias quasdam de motu, quas nondum attigi.

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