De Corporum circulari Motu in Mediis resistentibus.

LEM. III.

*Sit* PQRr *Spiralis quæ secet radios omnes* SP*,* SQ*,* SR*, &c. in æqualibus angulis. Agatur recta* PT *quæ tangat eandem in puncto quovis* P*, secetque radium* SQ *in* T*; & ad Spiralem erectis perpendiculis* PO*,* QO *concurrentibus in* O*, jungatur* SO*. Dico quod si puncta* P *&* Q *accedant ad invicem & coeant, angulus* PSO *evadet rectus, & ultima ratio rectanguli* TQ *×* PS *ad* PQ *quad. erit ratio æqualitatis.*

Etenim de angulis rectis OPQ, OQR subducantur anguli æquales SPQ, SQR, & manebunt anguli æquales OPS, OQS. Ergo circulus qui transit per puncta O, S, P transibit etiam per punctum Q. Coeant puncta P & Q, & hic circulus in loco coitus PQ tanget Spiralem, adeoque perpendiculariter secabit rectam OP. Fiet igitur OP diameter circuli hujus, & angulus OSP in semicirculo rectus.

Q. E. D.

Desde OP bájense las perpendiculares QD, SE, y las razones últimas de las líneas serán de este tipo: TQ a PD como TS o PS a PE, o PO a PS. Asimismo, PD a PQ como PQ a PO. Y, ex æquo perturbate, TQ a PQ como PQ a PS. De donde resulta que PQq. es igual a TQ × PS.

Q. E. D.

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Prop. XV. Theor. XI.

* Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum a centro immobili, sitque vis centripeta in duplicata ratione densitatis: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quæ radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.

Ponantur quæ in superiore Lemmate, & producatur SQ ad V, ut sit SV æqualis SP. Temporibus æqualibus describat corpus arcus quam minimos PQ & QR, sintque areæ PSQ, QSr æquales.

Et quoniam vis centripeta, qua corpus urgetur in P est reciproce ut SPq. & (per Lem. X. Lib. I.) lineola TQ, quæ vi illa generatur, est in ratione composita ex ratione hujus vis & ratione duplicata temporis quo arcus PQ describitur, (Nam resistentiam in hoc casu, ut infinite minorem quam vis centripeta negligo) erit TQ × SPq. id est (per Lemma novissimum) PQq. × SP, in ratione duplicata temporis, adeoque tempus est ut PQ × √SP, & corporis velocitas qua arcus PQ illo tempore describitur ut PQ ÷ {PQ × √SP} seu 1 ÷ √SP, hoc est in dimidiata ratione ipsius SP reciproce.

Et simili argumento velocitas, qua arcus QR describitur, est in dimidiata ratione ipsius SQ reciproce. Sunt autem arcus illi PQ & QR ut velocitates descriptrices ad invicem, id est in dimidiata ratione SQ ad SP, sive ut SQ ad √SP × √SQ; & ob æquales angulos SPQ, SQr & æquales areas PSQ, QSr, est arcus Page 285 PQ ad arcum Qr ut SQ ad SP. Sumantur proportionalium consequentium differentiæ, & fiet arcus PQ ad arcum Rr ut SQ ad SP - SP^½ × SQ^½, seu ½VQ; nam punctis P & Q coeuntibus, ratio ultima SP - SP^½ × SQ^½ ad ½VQ fit æqualitatis.

In Medio non resistente areæ æquales PSQ, QSr (Theor. I. Lib. I.) temporibus æqualibus describi deberent. Ex resistentia oritur arearum differentia RSr, & propterea resistentia est ut lineolæ Qr decrementum Rr collatum cum quadrato temporis quo generatur. Nam lineola Rr (per Lem. X. Lib. I.) est in duplicata ratione temporis. Est igitur resistentia ut Rr ÷ {PQq. × SP}. Erat autem PQ ad Rr ut SQ ad ½VQ, & inde Rr ÷ {PQq. × SP} fit ut ½VQ ÷ {PQ × SP × SQ} sive ut ½OS ÷ {OP × SPq.}. Namque punctis P & Q coeuntibus, SP & SQ coincidunt; & ob similia triangula PVQ, PSO, fit PQ ad ½VQ ut OP ad ½OS. Est igitur OS ÷ {OP × SPq.} ut resistentia, id est in ratione densitatis Medii in P & ratione duplicata velocitatis conjunctim. Auferatur duplicata ratio velocitatis, nempe ratio 1 ÷ SP, & manebit Medii densitas in P ut OS ÷ {OP × SP}.

Detur Spiralis, & ob datam rationem OS ad OP, densitas Medii in P erit ut 1 ÷ SP. In Medio igitur cujus densitas est reciproce ut distantia a centro SP, corpus gyrari potest in hac Spirali.

Q. E. D.

Corol. 1. Velocitas in loco quovis P ea semper est quacum corpus in Medio non resistente gyrari potest in circulo, ad eandem a centro distantiam SP.

Corol. 2. Medii densitas, si datur distantia SP, est ut OS ÷ OP, Page 286 sin distantia illa non datur, ut OS ÷ {OP × SP}. Et inde Spiralis ad quamlibet Medii densitatem aptari potest.

Corol. 3. La fuerza de la resistencia en un lugar cualquiera P, es a la fuerza centrípeta en el mismo lugar como ½OS a OP. Pues dichas fuerzas son como las líneas Rr y TQ, o sea como ½VQ × PQ ÷ SQ y PQq. ÷ SP que generan al mismo tiempo, esto es, como ½VQ y PQ, o ½OS y OP. Dada, por tanto, la Espiral, se da la proporción de la resistencia a la fuerza centrípeta, y viceversa, a partir de dicha proporción se da la Espiral.

Corol. 4. Corpus itaque gyrari nequit in hac spirali, nisi ubi vis resistentiæ minor est quam dimidium vis centripetæ. Fiat resistentia æqualis dimidio vis centripetæ & Spiralis conveniet cum linea recta PS, inque hac recta corpus descendet ad centrum, dimidia semper cum velocitate qua probavimus in superioribus in casu Parabolæ (Theor. X. Lib. I.) descensum in Medio non resistente fieri. Unde tempora descensus hic erunt dupla majora temporibus illis atque adeo dantur.

Corol. 5. Y puesto que a distancias iguales del centro la velocidad es la misma en la Espiral PQR que en la recta SP, y la longitud de la Espiral a la longitud de la recta PS está en razón dada, a saber, en la razón de OP a OS; el tiempo del descenso en la Espiral será al tiempo del descenso en la recta SP en esa misma razón dada, y por consiguiente queda dado.

Corol. 6. Si centro S intervallis duobus describantur duo circuli; numerus revolutionum quas corpus intra circulorum circumferentias complere potest, est ut PS ÷ OS, sive ut Tangens anguli quem Spiralis continet cum radio PS; tempus vero revolutionum earundem ut OP ÷ OS, id est reciproce ut Medii densitas.

Corol. 7. Si un cuerpo, en un medio cuya densidad es recíprocamente como la distancia de los lugares al centro, hiciere una revolución en una Curva cualquiera AEB Página 287 en torno a dicho centro, y cortare al Radio primero AS en el mismo ángulo en B que antes en A, y ello con una velocidad que fuere respecto a su velocidad primera en A recíprocamente en la razón semiduplicada de las distancias al centro (esto es, como BS a la media proporcional entre AS y CS): dicho cuerpo proseguirá haciendo innumerables revoluciones semejantes BFC, CGD, &c., y por medio de intersecciones distinguirá el Radio AS en partes AS, BS, CS, DS &c. continúan proporcionales. Los tiempos de las revoluciones, en verdad, serán como los perímetros de las órbitas AEB, BFC, CGD &c. directamente, y las velocidades en los principios A, B, C, inversamente; esto es como AS^½, BS^½, CS^½. Y el tiempo total, en el cual el cuerpo llegará al centro, será respecto al tiempo de la revolución primera, como la suma de todas las continuamente proporcionales AS^½, BS^½, CS^½ que prosiguen hasta el infinito, al término primero AS^½; esto es como dicho término primero AS^½ a la diferencia de los dos primeros AS^½ - BS^½, y muy aproximadamente como ⅔AS a AB. De donde dicho tiempo total se encuentra expeditamente.

Corol. 8. Ex his etiam præterpropter colligere licet motus corporum in Mediis, quorum densitas aut uniformis est, aut aliam quamcunque legem assignatam observat. Centro S intervallis continue proportionalibus SA, SB, SC &c. describe Page 288 circulos quotcunque, & statue numerum revolutionum inter perimetros duorum quorumvis ex his circulis, in Medio de quo egimus, esse ad numerum revolutionum inter eosdem in Medio proposito, ut Medii propositi densitas mediocris inter hos circulos ad Medii, de quo egimus, densitatem mediocrem inter eosdem quam proxime; Sed & in eadem quoq; ratione esse Tangentem anguli quo Spiralis præfinita, in Medio de quo egimus, secat radium AS, ad tangentem anguli quo Spiralis nova secat radium eundem in Medio proposito: Atq; etiam ut sunt eorundem angulorum secantes ita esse tempora revolutionum omnium inter circulos eosdem duos quam proxime. Si hæc fiant passim inter circulos binos, continuabitur motus per circulos omnes. Atque hoc pacto haud difficulter imaginari possimus quibus modis ac temporibus corpora in Medio quocunque regulari gyrari debebunt.

Corol. 9. Y aunque los movimientos excéntricos en las Espirales que se aproximan a la forma de Óvalos se realicen; sin embargo, concibiendo que las revoluciones individuales de esas Espirales distan unas de otras por iguales intervalos, y se acercan al centro con los mismos grados que la Espiral descrita anteriormente, entenderemos también cómo se realizan los movimientos de los cuerpos en tales Espirales.

### Prop. XVI. Teor. XII.

* Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut dignitas aliqua distantiæ locorum a centro, sitque vis centripeta reciproce ut distantia in dignitatem illam ducta: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quæ radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.

Demostrase por el mismo método que la Proposición anterior. Pues si la fuerza centrípeta en P es recíprocamente como una potencia cualquiera de la distancia SP, SP^{n + 1}, cuyo índice es n + 1; se colegirá como antes, que el tiempo en que un cuerpo describe un arco cualquiera PQ será como PQ × SP^½n Página 289 y la resistencia en P como Rr ÷ {PQq. × SPⁿ} o como ½nVQ ÷ {PQ × SPⁿ × SQ}, y por tanto como ½OS ÷ {OP × SP^{n + 1}}. Y por consiguiente la densidad en P es recíprocamente como SPⁿ.

# Escolio.

Cæterum hæc Propositio & superiores, quæ ad Media inæqualiter densa spectant, intelligendæ sunt de motu corporum adeo parvorum, ut Medii ex uno corporis latere major densitas quam ex altero non consideranda veniat.

Resistentiam quoque cæteris paribus densitati proportionalem esse suppono. Unde in Mediis quorum vis resistendi non est ut densitas, debet densitas eo usque augeri vel diminui, ut resistentiæ vel tollatur excessus vel defectus suppleatur.

### Prop. XVII. Prob. V.

Invenire & vim centripetam & Medii resistentiam qua corpus in data Spirali data lege revolvi potest. Vide Fig. Prop. XV.

Sea PQR aquella espiral. A partir de la velocidad con que el cuerpo recorre el arco mínimos PQ se dará el tiempo, y a partir de la altura TQ, que es como la fuerza centrípeta y el cuadrado del tiempo, se dará la fuerza.

Después, a partir de la diferencia RSr de las áreas PSQ y QSR, trazadas en partes iguales de tiempo, se dará la retardación del cuerpo, y a partir de la retardación se hallará la resistencia y la densidad del Medio.

### Prop. XVIII. Prob. VI.

* Dada la ley de la fuerza centrípeta, hallar la densidad del medio en cada lugar en que un cuerpo describirá una Espiral dada.

Ex vi centripeta invenienda est velocitas in locis singulis, deinde ex velocitatis retardatione quærenda Medii densitas: ut in Propositione superiore.

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Methodum vero tractandi hæc Problemata aperui in hujus Propositione decima, & Lemmate secundo; & Lectorem in hujusmodi perplexis disquisitionibus diutius detenere nolo.

Addenda jam sunt aliqua de viribus corporum ad progrediendum, deque densitate & resistentia Mediorum, in quibus motus hactenus expositi & his affines peraguntur.