Ecuaciones cuadráticas afectadas

Dado que $(x+b{)}^2=x^2+2bx+b^2,\text{y}(x-b{)}^2=x^2-2bx+b^2,$ es evidente que a la expresión $x^2+2bx$ o $x^2-2bx$ solo le falta el tercer término, $b^2$, para ser un cuadrado perfecto.

Este tercer término es el cuadrado de la mitad del coeficiente de $x$.

Toda ecuación cuadrática afectada puede reducirse a la forma $x^2+2bx=c$ o $x^2-2bx=c$, dividiendo toda la ecuación entre el coeficiente de $x^2$.

Para resolver una ecuación de este tipo:

El primer paso es sumar a ambos miembros el cuadrado de la mitad del coeficiente de $x$. Esto se llama completar el cuadrado.

El segundo paso consiste en extraer la raíz cuadrada de cada miembro de la ecuación resultante.

El tercer paso es reducir las dos ecuaciones simples resultantes.

1. Resuelve la ecuación $x^2-8x=20$.

Tenemos $x^2-8x=20$. Completamos el cuadrado, $x^2-8x+16=36$. Extraemos la raíz cuadrada, $x-4=\pm 6$. Reducimos, usando el signo superior, $x=4+6=10$, o usando el signo inferior, $x=4-6=-2$.

Las raíces son $10$ y $-2$.

Verifica sustituyendo estos números por $x$ en la ecuación dada. $$\begin{gathered} rcl<|>rclx\&=\&10,\&x\&=\&-2, \\ {10}^2-8(10)\&=\&20,\&(-2{)}^2-8(-2)\&=\&20, \\ 100-80\&=\&20.\&4+16\&=\&20. \end{gathered}$$

2. Resuelve la ecuación ${\displaystyle \frac{x+1}{x-1}}={\displaystyle \frac{4x-3}{x+9}}$.

lint Free from fractions, (x + 1)(x + 9) = (x - 1)(4x - 3). lint Therefore, -3x^2 + 17x = -6.

Dado que no se puede extraer la raíz cuadrada de un número negativo, el coeficiente de $x^2$ debe cambiarse a $+$.

lint Dividiendo por $-3$, x^2 - 173x = 2. [1] La mitad del coeficiente de $x$ es $\frac{1}{2}$ de $-\frac{17}{3}=-\frac{17}{6}$, y el cuadrado de $-\frac{17}{6}$ es $\frac{289}{36}$. Sumando el cuadrado de $-\frac{17}{6}$ a ambos lados, tenemos x^2 - 17x3 + (176)^2 = 2 + 28936. [1] lint Ahora 2 + 28936 = 7236 + 28936 = 36136, lintpor lo tanto, x^2 - 173x + (176)^2 = 36136. [1] lint Extrayendo la raíz, x - 176 = ±196. [1] lint Reduciendo, x - 176 = ±196. x = 176 + 196 = 366 = 6, lintor x = 176 - 196 = -26 = -13.

Las raíces son $6$ y $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Verifica sustituyendo estos números por $x$ en la ecuación original. $[t]{rcl<{\qquad}|} x &=& 6. \ \dfrac{6 + 1}{6 - 1} &=& \dfrac{24 - 3}{6 + 9}. \ \dfrac{7}{5} &=& \dfrac{21}{15} \ \dfrac{7}{5} &=& \dfrac{7}{5}