Caso VII.

115. Cuando un trinomio tiene la forma $x^2 + ax + b$.

Donde $a$ es la suma algebraica de dos números, y es positiva o negativa; y $b$ es el producto de estos dos números, y es positivo o negativo.

los factores de $x^{2} + 8 x + 15$ son $x + 5$ y $x + 3$ .

Los factores de $x^{2} + 2 x - 15$ son $(x + 5)$ y $(x - 3)$ .

Por consiguiente, si un trinomio de la forma $x^{2} + a x + b$ es una expresión tal que puede descomponerse en dos factores binomios, es obvio que el primer término de cada factor será $x$ , y que los segundos términos de los factores serán dos números cuyo producto es $b$ , el último término del trinomio, y cuya suma algebraica es $a$ , el coeficiente de $x$ en el término central del trinomio.

Descomponer en factores $x^{2} + 11 x + 30$ .

Se nos pide hallar dos números cuyo producto sea $30$ y cuya suma sea $11$ .

Dos números cuyo producto es $30$ son $1$ y $30$ , $2$ y $15$ , $3$ y $10$ , $5$ y $6$ , y la suma de los dos últimos números es $11$ . Por lo tanto, $x^{2} + 11 x + 30 = (x + 5) (x + 6) .$

Descomponer en factores $x^{2} - 7 x + 12$ .

Se nos pide encontrar dos números cuyo producto sea $12$ y cuya suma algebraica sea $- 7$ .

Dado que el producto es $+ 12$ , los dos números son ambos positivos o ambos negativos, y dado que su suma es $- 7$ , deben ser ambos negativos.

Dos números negativos cuyo producto es $12$ son $- 12$ y $- 1$ , $- 6$ y $- 2$ , $- 4$ y $- 3$ , y la suma de los dos últimos números es $- 7$ . Por lo tanto, $x^{2} - 7 x + 12 = (x - 4) (x - 3) .$

Descomponer en factores $x^{2} + 2 x - 24$ .

Se nos pide encontrar dos números cuyo producto sea $- 24$ y cuya suma algebraica sea $2$ .

Dado que el producto es $- 24$ , uno de los números es positivo y el otro negativo, y dado que su suma es $+ 2$ , el número mayor es positivo.

Dos números cuyo producto es $- 24$ , y el mayor de ellos positivo, son $24$ y $- 1$ , $12$ y $- 2$ , $8$ y $- 3$ , $6$ y $- 4$ , y la suma de los dos últimos números es $+ 2$ . Por lo tanto, $x^{2} + 2 x - 24 = (x + 6) (x - 4) .$

Descomponer en factores $x^{2} - 3 x - 18$ .

Dado que el producto es $- 18$ , uno de los números es positivo y el otro negativo, y dado que su suma es $- 3$ , el número mayor es negativo.