Multiplicación y División de Números Algebraicos

69. Multiplicación.

La multiplicación se define generalmente en aritmética como el proceso de hallar el resultado cuando un número (el multiplicando) se toma tantas veces como unidades hay en otro número (el multiplicador).

Esta definición falla cuando el multiplicador es una fracción. Al multiplicar por una fracción, dividimos el multiplicand en tantas partes iguales como unidades hay en el denominador, y tomamos tantas de estas partes como unidades hay en el numerador.

Si, por ejemplo, multiplicamos $6$ por $\frac{2}{3}$ , dividimos $6$ en tres partes iguales y tomamos dos de estas partes, obteniendo $4$ como producto. El multiplicador, $\frac{2}{3}$ , es $\frac{2}{3}$ de $1$ , y el producto, $4$ , es $\frac{2}{3}$ de $6$ ; en otras palabras, el producto se obtiene del multiplicando exactamente como el multiplicador se obtiene de $1$ .

Esta afirmación también es verdadera cuando el multiplicador es un número entero.

Por lo tanto, en $5 \times 7 = 35$ , el multiplicador, $5$ , es igual a $1 + 1 + 1 + 1 + 1,$ y el producto, $35$ , es igual a $7 + 7 + 7 + 7 + 7 .$

puede definirse, por lo tanto,

Como la operación de hallar a partir de dos números dados, llamados multiplicando y multiplicador, un tercer número llamado producto, el cual se forma a partir del multiplicando de la misma manera que el multiplicador se forma a partir de la unidad.

Según esta definición de multiplicación,

De estos cuatro casos se deduce que, al hallar el producto de dos números algebraicos, si los dos números tienen signos iguales, el producto tendrá el signo más, y si tienen signos distintos, el producto tendrá el signo menos.

De aquí que la Ley de los Signos en la Multiplicación sea:

Signos iguales dan $+$ , y signos distintos dan $-$ .

Si $a$ y $b$ representan dos números cualesquiera, tenemos

73. La ley de los exponentes en la multiplicación.

lint Como $a^{2} = a a$ , $a^{3} = a a a$ , $a^{2} \times a^{3} = a a \times a a a = a a a a a = a^{5} = a^{2 + 3}$ ; $a^{4} \times a = a a a a \times a = a a a a a = a^{5} = a^{4 + 1}$ .

Si $a$ representa cualquier número, y $m$ y $n$ cualquier número entero, $a^{m} \times a^{n} = a^{m + n} . \quad\text{Por tanto,}$