Numera la Idea más simple y universal.

Entre todas las ideas que tenemos, así como no hay ninguna que sea sugerida a la mente por más vías, tampoco hay ninguna más simple que la de UNIDAD, o uno: no tiene sombra alguna de variedad ni de composición: cada objeto del que se ocupan nuestros sentidos; cada idea en nuestro entendimiento; cada pensamiento de nuestra mente, trae consigo esta idea.

Y por eso es la más íntima a nuestros pensamientos, así como es, en su conformidad con todas las demás cosas, la idea más universal que poseemos. Pues el número se aplica a los hombres, a los ángeles, a las acciones, a los pensamientos; a todo lo que existe o puede imaginarse.

Sus modos formados por adición.

Al repetir esta idea en nuestras mentes, y sumar las repeticiones, llegamos a las ideas COMPLEJAS de los MODOS de ella. Así, sumando uno a uno, tenemos la idea compleja de un par; al juntar doce unidades tenemos la idea compleja de una docena; y así de una veintena o un millón, o cualquier otro número.

Cada Modo distinto.

Los MODOS SIMPLES de NÚMERO son de todos los demás los más distintos; cualquier mínima variación, que es una unidad, hace que cada combinación sea tan claramente diferente de la que más se le aproxima como de la más remota; siendo el dos tan distinto del uno como el doscientos, y la idea de dos tan distinta de la idea de tres como la magnitud de toda la tierra lo es de la de un ácaro.

Esto no sucede así en otros modos simples, en los cuales no es tan fácil, ni quizás nos es posible, distinguir entre dos ideas próximas, que sin embargo son realmente diferentes. Pues ¿quién se atreverá a encontrar una diferencia entre el blanco de este papel y el del grado inmediato al mismo?; ¿o quién puede formarse ideas distintas de cada mínimo exceso en la extensión?

Por consiguiente, las Demostraciones en Números son las más precisas.

La claridad y distinción de cada modo de número respecto de todos los demás, incluso de los que más se aproximan, me inclinan a pensar que las demostraciones en los números, si no más evidentes y exactas que en la extensión, son sin embargo más generales en su uso y más determinadas en su aplicación.

Porque las ideas de los números son más precisas y distinguibles que en la extensión, donde toda igualdad y exceso no son tan fáciles de observar o medir; porque nuestros pensamientos no pueden llegar en el espacio a ninguna pequeñez determinada más allá de la cual no pueda ir, como una unidad; y por tanto no se puede descubrir la cantidad o proporción de ningún exceso mínimo; lo cual es evidente de otro modo en el número, donde, como se ha dicho, el 91 es tan distinguible del 90 como del 9000, aunque el 91 sea el exceso inmediato siguiente al 90.

Pero no ocurre lo mismo en la extensión, donde cualquier cosa que sea más que exactamente un pie o una pulgada no es distinguible de la medida estándar de un pie o una pulgada; y en líneas que parecen de igual longitud, una puede ser más larga que la otra por partes innumerables: ni puede nadie señalar un ángulo que sea el inmediatamente mayor que uno recto.

Names necessary to Numbers.

Mediante la repetición, como se ha dicho, de la idea de una unidad, y uniéndola a otra unidad, hacemos de ello una idea colectiva, señalada por el nombre de dos.

Y cualquiera que pueda hacer esto, y proseguir añadiendo uno más a la última idea colectiva que tuvo de cualquier número, y le dio un nombre, puede contar, o tener ideas, de varias colecciones de unidades, distinguidas unas de otras, tan lejos como tenga una serie de nombres para los números sucesivos, y memoria para retener esa serie, con sus varios nombres; siendo toda numeración tan solo el añadir una unidad más, y dar al conjunto, en cuanto comprendido en una idea, un nombre o signo nuevo o distinto, por el cual conocerlo respecto a los anteriores y posteriores, y distinguirlo de cualquier multitud de unidades menor o mayor.

De modo que aquel que puede sumar uno a uno, y así a dos, y continuar así con su cuenta, llevando siempre consigo los nombres distintos pertenecientes a cada progresión; y así de nuevo, restando una unidad de cada colección, retroceder y disminuirlas, es capaz de todas las ideas de números dentro del ámbito de su lenguaje, o para los cuales tiene nombres, aunque tal vez no de más.

Porque, siendo los diversos modos simples de los números en nuestras mentes sino otras tantas combinaciones de unidades, que no tienen variedad, ni son capaces de otra diferencia que no sea más o menos, los nombres o marcas para cada combinación distinta parecen más necesarios que en cualquier otra clase de ideas. Pues, sin tales nombres o marcas, apenas podemos hacer buen uso de los números al calcular, especialmente donde la combinación se compone de una gran multitud de unidades; las cuales, juntas, sin un nombre o marca para distinguir esa colección precisa, difícilmente se evitará que sean un montón en confusión.

Otra de las razones de la necesidad de poner nombres a los números.

Esto creo que es la razón por la cual algunos estadounidenses con quienes he hablado (que por lo demás eran de talento bastante rápido y racional), no podían, como nosotros, de ningún modo contar hasta 1000; ni tenían una idea clara de ese número, aunque sabían contar muy bien hasta 20.

Porque su lengua, al ser escasa y estar adaptada únicamente a las pocas necesidades de una vida menesterosa y sencilla, ajena tanto al comercio como a las matemáticas, no tenía palabras en ella que equivalieran a 1000; de modo que, cuando se les hablaba de esos números mayores, mostraban los cabellos de su cabeza para expresar una gran multitud que no podían numerar; incapacidad que, supongo, provenía de su falta de nombres.

Los tououpinambos no tenían nombres para los números superiores a 5; cualquier número más allá de eso lo indicaban mostrando sus dedos y los dedos de otros que estaban presentes.

Y no dudo de que nosotros mismos podríamos numerar claramente con palabras mucho más allá de lo que solemos hacerlo, si tan solo encontráramos algunas denominaciones adecuadas para significarlos; mientras que, en el método que seguimos ahora para nombrarlos, mediante millones de millones de millones, etc., es difícil pasar de dieciocho, o a lo sumo, veinticuatro progresiones decimales, sin confusión.

Pero para mostrar cuánto contribuyen los nombres precisos a nuestro buen cálculo, o a tener ideas útiles de los números, veamos todas las siguientes cifras en una línea continua, como las marcas de un solo número: v. g.

Nonillones. 857324

Octillones.

162486

Septillones.

345896

Sextillones.

437918

Trillones. 423147

Cuatrillones. 248106

Trillions. 235421

Billones. 261734

Millones. 368149

Unidades. 623137

La manera ordinaria de nombrar este número en inglés será la frecuente repetición de millones, de millones, de millones, de millones, de millones, de millones, de millones, de millones (que es la denominación de las segundas seis cifras).

De este modo, será muy difícil formarse una noción clara de este número.

Pero dejo a consideración si, mediante la asignación a cada grupo de seis cifras de una denominación nueva y ordenada, estas, y tal vez una gran cantidad más de cifras en progresión, no podrían contarse fácilmente con distinción, y si las ideas sobre ellas no podrían adquirirse con mayor facilidad por nosotros mismos y explicarse con mayor claridad a los demás.

Menciono esto solo para mostrar cuán necesarios son los nombres distintos para la numeración, sin pretender introducir nombres nuevos de mi invención.

Por qué el número de Niños no antes.

Así los niños, ya sea por falta de nombres para señalar las diversas progresiones de los números, o por no tener aún la facultad de reunir ideas dispersas en ideas complejas, y ordenarlas de manera regular, reteniéndolas así en sus memorias, como es necesario para contar, no empiezan a numerar muy temprano, ni avanzan en ello muy lejos o con firmeza, hasta bastante después de estar bien provistos de una buena reserva de otras ideas; y a menudo se les puede observar discurrir y razonar bastante bien, y tener concepciones muy claras de varias otras cosas, antes de saber contar hasta veinte. Y algunos, debido a una falla en sus memorias, que no pueden retener las diversas combinaciones de números con sus nombres, asignados en sus órdenes distintos, ni la dependencia de una cadena tan larga de progresiones numéricas y su relación mutua, no son capaces en toda su vida de contar, o de recorrer regularmente ninguna serie moderada de números. Pues quien quiera contar hasta veinte, o tener alguna idea de ese número, debe saber que diecinueve le precedieron, con el nombre o signo distinto de cada uno de ellos, tal como figuran marcados en su orden; porque dondequiera que esto falle, se produce un vacío, la cadena se rompe y el progreso en la numeración no puede avanzar más. De modo que, para contar correctamente, se requiere: (1) Que la mente distinga cuidadosamente dos ideas que se diferencian una de otra únicamente por la adición o sustracción de UNA unidad; (2) Que retenga en la memoria los nombres o marcas de las diversas combinaciones, desde la unidad hasta ese número, y ello no de manera confusa y al azar, sino en el orden exacto en que los números se suceden unos a otros. Si en cualquiera de estas cosas tropieza, todo el asunto de la numeración se verá perturbado, y solo quedará la idea confusa de multitud, sin llegar a alcanzar las ideas necesarias para una numeración distinta.

El Número mide todas las cosas Mensurables.

Esto se observa además en el número, que es aquello de que la mente se sirve al medir todas las cosas que por nosotros son mensurables, las cuales son principalmente la EXPANSIÓN y la DURACIÓN; y nuestra idea de infinito, aun cuando se aplica a estas, parece no ser otra cosa que la infinidad del número.

Pues, ¿qué otra cosa son nuestras ideas de Eternidad e Inmensidad sino las adiciones repetidas de ciertas ideas de partes imaginadas de duración y expansión, junto con la infinidad del número, en el cual no podemos llegar a ningún fin de la adición?

Pues un caudal tan inagotable, el número (de entre todas nuestras demás ideas) es el que más claramente nos proporciona, como es obvio para cualquiera. Pues que un hombre reúna en una sola suma un número tan grande como le plazca, esta multitud, por grande que sea, no disminuye ni un ápice el poder de añadirle algo, ni lo acerca un ápice al final del caudal inagotable del número; donde todavía queda tanto por añadir como si nada se hubiese quitado.

Y esta ADICIÓN ETERNA o ADIBILIDAD (si a alguien le agrada más la palabra) de los números, tan evidente para la mente, es la que, a mi juicio, nos da la idea más clara y distinta de infinito; de lo cual hablaremos más en el capítulo siguiente.