CHAPTER V. DISJUNCTIVE PROPOSITIONS.

En el capítulo anterior he expuesto varios casos de razonamiento deductivo mediante el proceso de sustitución, evitando la introducción de proposiciones disyuntivas; pero no podemos posponer por mucho tiempo la consideración de esta clase más compleja de identidades.

Los términos generales surgen, como hemos visto (p. 24), de clasificar o unir mentalmente a todos los objetos que concuerdan en ciertas cualidades, y el valor de esta unión radica en el hecho de que con ello se multiplica el poder del conocimiento. Al formar tales clases o nociones generales, pasamos por alto o abstraemos los puntos de diferencia que existen entre los objetos unidos, y fijamos nuestra atención únicamente en los puntos de acuerdo.

Pero puede decirse que todo proceso de pensamiento tiene su proceso inverso, el cual consiste en deshacer los efectos del proceso directo. Así como la división deshace la multiplicación y la evolución deshace la involución, debemos tener un proceso que deshaga la generalización o la operación de formar nociones generales.

Este proceso inverso consistirá en distinguir los objetos separados o las clases menores que son las partes constituyentes de cualquier clase más amplia. Si unimos mentalmente ciertos objetos visibles en el cielo y los llamamos planetas, posteriormente necesitaremos distinguir los contenidos de esta noción general, lo cual hacemos en la proposición disyuntiva:

Habiendo formado la clase muy amplia «animal vertebrado», podemos especificar sus subclases de este modo:—«Un animal vertebrado es un mamífero, un ave, un reptil o un pez».

Tampoco hay límite alguno en el número de alternativas posibles.

«Una planta exógena es un ranúnculo, una amapola, una crucífera, una rosa, o bien pertenece a algún otro de los setenta órdenes naturales de exógenas reconocidos en la actualidad por los botánicos».

Una iglesia catedral en Inglaterra ha de ser la de Londres, Canterbury, Winchester, Salisbury, Mánchester, o la de una de las veinticuatro ciudades, poco más o menos, que poseen tales iglesias.

Y si intentáramos especificar el significado del término «estrella», necesitaríamos enumerar como alternativas, no solo los muchos miles de estrellas registrados en los catálogos, sino los muchos millones que no tienen nombre.

Siempre que distinguimos así las partes de una noción general, empleamos una proposición disyuntiva, en al menos uno de cuyos lados hay varias alternativas unidas por la llamada conjunción disyuntiva o, una forma contraída de otro (other).

Debe haber alguna relación entre las partes así conectadas en una proposición; podemos llamarla la relación disyuntiva o alternativa, y debemos investigar cuidadosamente su naturaleza. Esta relación es la de la ignorancia y la duda, que dan lugar a la elección.

Siempre que clasificamos y abstraemos debemos abrir el camino a tal incertidumbre. Al fijar nuestra atención en ciertos atributos con exclusión de otros, dejamos necesariamente en duda cuáles son esos otros atributos.

El término «diente molar» lleva implícito en su propia superficie que es parte del término más amplio «diente». Pero si nos encontramos con el término simple «diente», no hay nada que indique si es un incisivo, un canino o un diente molar.

Esta duda, sin embargo, puede resolverse mediante información adicional, y hemos de considerar cuáles son los procesos lógicos apropiados para tratar las proposiciones disyuntivas en relación con otras proposiciones, ya sean disyuntivas o de otro tipo.

Expresión de la Relación Alternativa.

Para representar las proposiciones disyuntivas con comodidad, necesitamos un signo para la relación alternativa, equivalente a al menos un significado de la pequeña conjunción o tan frecuentemente utilizada en el lenguaje común. Propongo usar para este propósito el símbolo ꖌ.

En mi primer ensayo lógico seguí la práctica de Boole y adopté el signo +; pero este signo no debe emplearse a menos que exista una analogía exacta entre la suma matemática y la alternancia lógica. Veremos que la analogía es imperfecta y que existe una diferencia tan profunda entre los términos lógicos y los matemáticos que debería impedirnos unirlos mediante el mismo símbolo. En consecuencia, he elegido el signo ꖌ, que parece sugerir acertadamente cualquier grado de analogía que pueda existir sin implicar más.

Procederemos ahora a investigar el significado exacto del símbolo.

# Naturaleza de la relación alternativa.

Antes de tratar las proposiciones disyuntivas es indispensable decidir si las alternativas deben considerarse exclusivas o no exclusivas.

Por alternativas exclusivas entendemos aquellas que no pueden contener las mismas cosas.

Si decimos «Los arcos son circulares u ogivales», se debe entender ciertamente que un mismo arco no puede describirse al mismo tiempo como circular y como ogival.

Muchos ejemplos, por otra parte, pueden sugerirse fácilmente en los cuales dos o más alternativas pueden cumplirse en el mismo objeto. Así

Es indudablemente posible, según las leyes de la óptica, que una misma superficie emita luz propia y refleje la luz de otros cuerpos en un mismo instante. Hablamos familiarmente de personas sordas o mudas, sabiendo que la mayoría de los que son sordos de nacimiento son también mudos.

No puede haber duda de que en una gran cantidad de casos, tal vez el mayor número de casos, las alternativas son excluyentes de hecho. Cualquier número es incompatible con cualquier otro; un punto de tiempo o de lugar es excluyente de todos los demás.

Roger Bacon murió en 1284 o en 1292; es seguro que no pudo morir en ambos años. Henry Fielding nació en Dublín o en Somersetshire; no pudo nacer en ambos lugares.

Hay tanta mayor precisión y claridad en el uso de las alternativas excluyentes que sin duda debemos seleccionarlas cuando sea posible. Los antiguos tratados de lógica contenían en consecuencia una regla que ordenaba que los Membra dividentia, las partes de una división o las especies constituyentes de un género, debían ser excluyentes entre sí.

Es sin duda debido a la gran prevalencia y comodidad de las divisiones exclusivas que la mayoría de los lógicos han considerado necesario hacer que cada alternativa en una proposición disyuntiva sea excluyente de cualquier otra.

Aquinas consideró que, cuando este no era el caso, la proposición era en realidad falsa, y Kant adoptó la misma opinión.‍¹

Se podría citar fácilmente una multitud de afirmaciones en el mismo sentido, y si la cuestión hubiera de determinarse por el peso de la evidencia histórica, ciertamente iría en contra de mi punto de vista. Entre los lógicos recientes, Hamilton, así como Boole, tomaron el partido exclusivo.

Pero hay autoridades en sentido contrario.

Whately, Mansel y J. S. Mill han señalado que a menudo podemos tratar las alternativas como composibles, o verdaderas al mismo tiempo. Whately nos da un ejemplo,‍² «La virtud tiende a procurarnos ya sea la estima de la humanidad, o el favor de Dios», y añade: «Aquí ambos miembros son verdaderos y, en consecuencia, a partir de la afirmación de uno no estamos autorizados a negar el otro. Por supuesto, en cada caso se nos deja la tarea de conjeturar, a partir del contexto, si se pretende dar a entender que los miembros son o no excluyentes».

Mansel dice:‍³ “Puede ocurrir que sepamos que dos alternativas no pueden ser verdaderas a la vez, de modo que la afirmación de la segunda exige la negación de la primera; pero esto, como observa Boecio, es una consecuencia material, no formal.”

Mill también ha señalado los absurdos que surgirían si siempre se interpretaran las alternativas como excluyentes.

«Si afirmamos —dice—,‍⁴ que un hombre que ha actuado de cierta manera particular debe ser un bribón o un necio, de ningún modo afirmamos, ni pretendemos afirmar, que no pueda ser ambas cosas».

Nuevamente, «para hacer un uso enteramente desinteresado del poder despótico, un hombre debe ser un santo o un filósofo... ¿Acaso la premisa disyuntiva implica necesariamente, o debe interpretarse en el sentido de suponer, que una misma persona no puede ser a la vez un santo y un filósofo? Tal interpretación sería ridícula».

Trato este asunto extensamente porque es realmente el punto que separa mi sistema lógico del de Boole.

En sus Laws of Thought (p. 32) dice expresamente: «En rigor, las palabras "y", "o", interpuestas entre los términos descriptivos de dos o más clases de objetos, implican que dichas clases son totalmente distintas, de modo que ningún miembro de una se encuentra en otra».

Esto lo refuto por completo. En el uso ordinario de estas conjunciones no unimos únicamente términos distintos; y cuando los términos así unidos resultan ser lógicamente distintos, es en virtud de una premisa tácita, algo en el significado de los nombres y en nuestro conocimiento de ellos que nos enseña que son distintos.

Si nuestro conocimiento de los significados de las palabras unidas es defectuoso, a menudo será imposible decidir si los términos unidos por conjunciones son excluyentes o no.

En la frase «El arrepentimiento no es un acto único, sino un hábito o virtud», no puede deducirse que una virtud no sea un hábito; según la definición de Aristóteles, lo es. Milton emplea la expresión en uno de sus sonetos, «Inmaculado por oro o retribución» (Unstain’d by gold or fee), donde resulta obvio que, si la retribución no siempre es oro, se pretende que el oro sea una retribución o soborno. Tennyson usa la expresión «guirnalda o diadema» (wreath or anadem). La mayoría de los lectores albergarían serias dudas sobre si una guirnalda puede ser una diadema, o una diadema una guirnalda, o si son entidades totalmente distintas o exactamente iguales.

Del Origen de las especies de Darwin, tomo la expresión: «Cuando vemos cualquier parte u órgano desarrollado en un grado o manera notable» (“When we see any part or organ developed in a remarkable degree or manner”). En ella, la conjunción o se utiliza dos veces, y en ninguna de las dos de forma exclusiva. Pues si parte y órgano no son sinónimos, al menos un órgano es una parte. Y es obvio que una parte puede desarrollarse al mismo tiempo tanto en un grado extraordinario como de una manera extraordinaria, aunque tales casos puedan ser comparativamente raros.

Del examen minucioso de los escritos ordinarios, se descubrirá así que los significados de los términos unidos por «y», «o» varían desde la identidad absoluta hasta la contrariedad absoluta. No existe en absoluto una condición lógica de distinción, y cuando optamos por alternativas excluyentes, es porque nuestro tema lo exige. El fondo, no la forma de una expresión, indica si los términos son excluyentes o no.‍⁵ En las facturas, pólizas y otros tipos de documentos legales, a veces es necesario expresar con mucha claridad que las alternativas no son excluyentes. Se utiliza entonces la fórmula y/o y, como ha señalado el Sr. J. J. Murphy, esta fórmula coincide exactamente en significado con el símbolo ꖌ.

En la primera edición de esta obra (vol. i., pág. 81), tomé la proposición disyunta «La materia es sólida, o líquida, o gaseosa», y la traté como un ejemplo de alternativas excluyentes, señalando que una misma porción de materia no puede ser al mismo tiempo sólida y líquida, propiamente hablando, y que menos aún podemos suponer que sea sólida y gaseosa, o sólida, líquida y gaseosa todo al mismo tiempo.

Pero los experimentos del profesor Andrews muestran que, bajo ciertas condiciones de temperatura y presión, no hay un cambio abrupto del estado líquido al gaseoso. Una misma sustancia puede hallarse en un estado tal que pueda describirse indiferentemente como líquida y gaseosa. En muchos casos, también, la transición de sólida a líquida es gradual, de modo que las propiedades de la solidez se unen al menos parcialmente con las de la liquidez.

La proposición entonces, en vez de ser un ejemplo de alternativas excluyentes, parece ofrecer un excelente ejemplo en el sentido opuesto. Cuando tales dudas pueden surgir, es evidentemente imposible tratar las alternativas como absolutamente excluyentes por la naturaleza lógica de la relación. Se convierte puramente en una cuestión de la materia de la proposición.

La cuestión, como veremos más adelante con más detalle, es de la mayor importancia teórica, porque concierne a la verdadera distinción entre las ciencias de la Lógica y de las Matemáticas.

Es el fundamento del número que cada unidad sea distinta de cualquier otra unidad; pero Boole introdujo las condiciones del número en la ciencia de la Lógica, y produjo un sistema que, aunque maravilloso en sus resultados, no era en absoluto un sistema de lógica.

# Leyes de la relación disyuntiva.

Al considerar la combinación o síntesis de términos (p. 30), descubrimos que deben observarse ciertas leyes, las de la Simplicidad y la Conmutatividad. Al unir términos mediante el símbolo disyuntivo, descubriremos que se cumplen las mismas leyes o leyes muy similares.

Las alternativas de cualquier miembro de una proposición disyuntiva son ciertamente conmutativas. Del mismo modo que no podemos distinguir adecuadamente entre gemas ricas y raras y gemas raras y ricas, debemos considerar como idénticas la expresión gemas ricas o raras, y gemas raras o ricas.

En nuestro lenguaje simbólico podemos decir

El orden de las proposiciones, en resumen, no tiene efecto alguno sobre el significado de un conjunto de alternativas, de modo que la Ley de Conmutatividad se cumple para el símbolo disyuntivo.

Como hemos admitido la posibilidad de unir como alternativas términos que no son realmente diferentes, surge la pregunta: ¿Cómo trataremos dos o más alternativas cuando se demuestra claramente que son la misma? Si se afirma que P es Q o R, y posteriormente se prueba que Q no es más que otro nombre para R, el resultado es que P es R o R. ¿Cómo interpretaremos tal afirmación? ¿Cuál sería el significado, por ejemplo, de «guirnalda o diadema» si, al consultar un diccionario, encontráramos que diadema se describe como una guirnalda? Doy por sentado que el significado pasaría a ser simplemente «guirnalda». En consecuencia, podemos afirmar la ley general

Cualquier número de alternativas idénticas puede reducirse siempre a, y es lógicamente equivalente a, cualquiera de esas alternativas.

Esta es una ley que distingue los términos matemáticos de los términos lógicos, porque es obvio que no se aplica a los primeros. Propongo llamarla Ley de la Unidad, porque en realidad debe estar implicada en cualquier definición de una unidad matemática.

Esta ley es muy análoga a la Ley de la Simplicidad, AA = A; y la naturaleza de la conexión es digna de atención.

Pocos lógicos o ninguno, a excepción de De Morgan, han observado adecuadamente la estrecha relación entre los términos combinados y los disyuntivos, a saber, que todo término disyuntivo es la negación de un término combinado correspondiente, y vice versâ. Considérese el término

¿Cómo describiremos la clase de cosas que no son metales maleables densos?

Todo lo que se incluya bajo ese término debe tener todas las cualidades de maleabilidad, densidad y metalicidad. Siempre que falte una o más de las cualidades, el término combinado no será aplicable. Por lo tanto, la negación de todo el término es

En lo anterior, la conjunción o debe interpretarse claramente como no exclusiva; pues fácilmente puede haber objetos que sean a la vez no maleables, no densos y tal vez no metálicos al mismo tiempo. Si de hecho se nos exigiera usar la o de manera estrictamente exclusiva, sería necesario especificar siete alternativas distintas para describir la negación de una combinación de tres términos.

Las negaciones de cuatro o cinco términos consistirían en quince o treinta y una alternativas. Esta sola consideración basta para demostrar que el significado de o no puede ser siempre exclusivo en el lenguaje común.

Expresado simbólicamente, podemos decir que lo negativo de

Recíprocamente, el negativo de

Todo término disyuntivo, por lo tanto, es la negación de un término combinado, y viceversa.

Aplica este resultado al término combinado AAA, y su negativo es

Como AAA es por la Ley de Simplificación equivalente a A, entonces a ꖌ a ꖌ a debe ser equivalente a a, y la Ley de la Unidad se cumple. Cada ley presupone así necesariamente a la otra.

Expresión simbólica de la Ley de la Dualidad.

Podemos emplear ahora nuestro símbolo de alternancia para expresar de un modo claro y formal la tercera Ley Fundamental del Pensamiento, que he denominado la Ley de la Dualidad (p. 6). Tomando $A$ para representar cualquier clase, objeto o cualidad, y $B$ cualquier otra clase, objeto o cualidad, siempre podemos afirmar que $A$ o bien coincide con $B$, o bien no coincide. Así podemos decir

Esta es una fórmula que en adelante se empleará constantemente, y se halla en la base del razonamiento.

Quizás el lector desee saber por qué se inserta A en ambas alternativas del segundo miembro de la identidad, y por qué la ley no se enuncia en la forma

Pero si considera el contenido de la última sección (pág. 73), verá que esta última expresión no puede ser correcta, pues de otro modo ningún término podría tener un término negativo correspondiente. Ya que el negativo de B ꖌ b es bB, o sea, un término auto-contradictorio; por tanto, si A fuera idéntico a B ꖌ b, su negativo a sería inexistente.

Por decirlo suavemente, este resultado sería en la mayoría de los casos absurdo, y veo muchas razones para pensar que, desde un punto de vista estrictamente lógico, siempre lo sería. Con toda probabilidad debemos asumir como un axioma lógico fundamental que todo término tiene su negativo en el pensamiento. No podemos pensar en absoluto sin separar aquello en lo que pensamos de otras cosas, y estas cosas forman necesariamente la noción negativa.‍⁶

De ello se deduce que cualquier proposición de la forma A = B ꖌ b es tan auto-contradictoria como una de la forma A = Bb.

Conviene recapitular en este lugar las tres Leyes del Pensamiento en su forma simbólica, a saber:

# Varias formas de la proposición disyuntiva.

Las proposiciones disyuntivas pueden presentarse en una gran variedad de formas, de las cuales los antiguos lógicos no tomaron suficiente nota.

• Puede haber cualquier número de alternativas, cada una de las cuales puede ser una combinación de cualquier número de términos simples.
• Una proposición, a su vez, puede ser disyuntiva en uno o en ambos miembros.

La proposición es un ejemplo de la forma doblemente disyuntiva. El significado de dicha proposición es que todo lo que cae bajo una o más alternativas de un lado debe caer bajo una o más alternativas del otro lado.

De lo dicho anteriormente, resulta evidente que la proposición corresponderá a que cada miembro de esta última sea la negación de un miembro de la proposición anterior.

Como ejemplo de proposición disyuntiva compleja, puedo citar la definición de riqueza de Senior, que, expresada brevemente, equivale a la proposición: «La riqueza es aquello que es transferible, de oferta limitada y que produce placer o previene el dolor».‍⁷

La definición adopta la forma pero si desarrollamos las alternativas mediante un método que se considerará más adelante con más detalle, se convierte

Un ejemplo de una proposición aún más compleja se encuentra en los escritos de De Morgan,‍⁸ de la siguiente manera: «Éste debió de ser rico y, si no estaba absolutamente loco, era la debilidad misma, sometido ya fuera a malos consejos o a circunstancias de lo más desfavorables».

Si asignamos las letras del alfabeto sucesivamente, de este modo, la proposición tomará la forma y si desarrollamos las alternativas, expresando algunos de los diferentes casos que pueden ocurrir, obtenemos

Lo anterior ofrece la estricta interpretación lógica de la oración, y la primera alternativa ABC es susceptible de desarrollarse en ocho casos, según estén o no presentes D, E y F. Aunque por nuestro conocimiento del asunto podamos inferir que no se puede afirmar debilidad de carácter en una persona absolutamente loca, no existe ninguna declaración explícita en este sentido.

# Inferencia por proposiciones disyuntivas.

Antes de poder hacer un uso libre de las proposiciones disyuntivas en los procesos de inferencia, debemos considerar cómo se pueden combinar los términos disyuntivos entre sí o con términos simples.

En primer lugar, para combinar un término simple con uno disyuntivo, debemos combinarlo con cada alternativa del término disyuntivo. Un vegetal, por ejemplo, es una hierba, un arbusto o un árbol. Por tanto, un vegetal exógeno es una hierba exógena, un arbusto exógeno o un árbol exógeno.

Expresado simbólicamente, este proceso de combinación es el siguiente,

En segundo lugar, para combinar dos términos disyuntivos entre sí, combínese cada alternativa de uno con cada alternativa del otro. Puesto que las plantas con flor son exógenas o endógenas, y son al mismo tiempo hierbas, arbustos o árboles, se sigue que hay en total seis alternativas, a saber: hierbas exógenas, arbustos exógenos, árboles exógenos, hierbas endógenas, arbustos endógenos, árboles endógenos. Este proceso de combinación se muestra en la forma general

Apenas es necesario señalar que, por muy numerosos que sean los términos combinados, o las alternativas en dichos términos, podemos efectuar la combinación, siempre que cada alternativa se combine con cada alternativa de los otros términos, como en el proceso algebraico de la multiplicación.

Algunos procesos de deducción pueden mostrarse de inmediato.

Podemos siempre, por ejemplo, unir el mismo término calificativo a cada lado de una identidad, aun cuando uno o ambos miembros de la identidad sean disyuntivos. Así, sea

Ahora bien, es evidente que, en un lado de esta identidad, podemos sustituir $A$ por su equivalente $B\text{ ꖌ }C$, obteniendo

Dado que «un elemento gaseoso es hidrógeno, o bien oxígeno, o nitrógeno, o cloro, o flúor», se deduce que «un elemento gaseoso libre es hidrógeno libre, o bien oxígeno libre, o nitrógeno libre, o cloro libre, o flúor libre».

Este proceso de combinación conducirá a las deducciones más útiles cuando el adjetivo calificativo combinado con ambos lados de la proposición sea un negativo de una o más alternativas.

Puesto que el cloro es un gas coloreado, podemos deducir que «un elemento gaseoso incoloro es hidrógeno, oxígeno, nitrógeno o flúor (incoloro)». La alternativa cloro desaparece porque el cloro incoloro no existe.

Asimismo, dado que «un diente es incisivo, canino, bicúspide o molar», se deduce que «un diente no incisivo es canino, bicúspide o molar». La regla general es que, a partir de la negación de cualquiera de las alternativas, se puede deducir la afirmación del resto.

Ahora bien, este resultado se sigue claramente de nuestro proceso de sustitución; pues si tenemos la proposición y sustituimos esta expresión por A en un lado de la identidad evidente por sí misma, obtenemos Ab = ABb ꖌ AbC ꖌ AbD;

y, como la primera de las tres alternativas es contradictoria en sí misma, la descartamos de acuerdo con la ley de la contradicción; queda

Así nuestro sistema incluye y explica plenamente aquel modo del Silogismo Disyuntivo llamado técnicamente modus tollendo ponens.

Pero el lector debe observar cuidadosamente que el silogismo disyuntivo del modo ponendo tollens, que afirma una alternativa y de ahí infiere la negación del resto, no puede considerarse válido en este sistema.

Si digo, en efecto, que parece evidente que «el agua salada no es dulce». Pero esta inferencia procede realmente de nuestro conocimiento de que el agua no puede ser al mismo tiempo salada y dulce. Esta incompatibilidad de las alternativas, como he demostrado plenamente, no se cumple siempre. Así, si digo

Las gemas son piedras raras o piedras hermosas, (1)

obviamente no se seguirá que

Una gema rara no es una piedra hermosa, (2)

ni que

Una hermosa gema no es una piedra rara. (3)

Nuestro método simbólico da sólo conclusiones verdaderas; pues si tomamos la proposición (1) es de la forma

pero estas inferencias no son equivalentes a las falsas

(2) y (3).

Podemos representar fácilmente el razonamiento disyuntivo mediante el modus ponendo tollens, cuando es válido, expresando explícitamente la inconsistencia de las alternativas. Así, si recurrimos a nuestro ejemplo de y tomamos , entonces la premisa es aparentemente de la forma pero en realidad hay una condición no expresada de que «lo que es sal no es fresco», de lo cual se sigue, mediante un proceso de inferencia que se describirá más adelante, que «lo que es fresco no es sal». Tenemos entonces, en términos de letras, las dos proposiciones

Si sustituimos estas descripciones en la proposición original, obtenemos que al unir B a cada lado inferimos

es decir,

Fatigaría al lector si intentara ilustrar la multitud de formas que puede adoptar el razonamiento disyuntivo; y como en el siguiente capítulo trataremos constantemente el tema, debo restringirme aquí a un solo ejemplo.

Un proceso de razonamiento muy común consiste en la determinación del nombre de una cosa mediante la exclusión sucesiva de alternativas, un proceso llamado con el viejo nombre de abscissio infiniti. Consideremos el caso:

Asignemos los símbolos alfabéticos de este modo:

Asumiendo que las alternativas cobre u oro deben entenderse como excluyentes, tal como acaba de explicarse en el caso del agua dulce y salada, las premisas pueden formularse en las formas

Sustituyendo C en (1) por medio de (2) obtenemos

De (3) y (4) podemos inferir asimismo y si en esto sustituimos B por su equivalente recién enunciado, se sigue que

Siendo contradictoria la primera de las alternativas, el resultado es el que contiene una descripción completa de «este espécimen», tal como se proporciona en las premisas, pero que por elipsis afirma que es oro.

Se observará que en la expresión simbólica (1) he declarado explícitamente lo que ciertamente está implícito, a saber, que el cobre no es oro y el oro no es cobre, condición sin la cual la inferencia no sería válida.