Todos los resultados de la medición de una magnitud continua solo pueden ser aproximadamente verdaderos. Si se dudara de esta afirmación, podría demostrarse fácilmente mediante la experiencia directa.
Si alguna persona, utilizando un instrumento de la máxima precisión, realiza y registra observaciones sucesivas de manera imparcial, se descubrirá casi invariablemente que los resultados difieren entre sí. Cuando operamos con el cuidado suficiente, no podemos realizar un experimento tan sencillo como pesar un objeto en una buena balanza sin obtener números discordantes.
Únicamente el experimentador burdo y descuidado pensará que sus observaciones coinciden, pero en realidad se advertirá que pasa por alto las diferencias. Las investigaciones más minuciosas, como las emprendidas en relación con los pesos y medidas patrón, siempre ponen de manifiesto que la coincidencia completa está fuera de discusión, y que cuanto más precisos hacemos nuestros modos de observación, más numerosas son las fuentes de error diminuto que se hacen patentes.
Podemos considerar la existencia de error en todas las mediciones como el estado normal de las cosas. Es absolutamente imposible eliminar por separado la multitud de pequeñas influencias perturbadoras, excepto contrarrestando unas con otras. Incluso al calcular una media, es de esperar que nos acerquemos a la verdad más que llegar exactamente a ella.
En la medición de una magnitud continua, la coincidencia absoluta, si parece producirse, debe ser meramente aparente y no constituye indicio alguno de precisión. Es una de las cosas más embarazosas con las que podemos encontrarnos cuando los resultados experimentales coinciden de forma demasiado estrecha. Tales coincidencias deberían suscitar nuestra sospecha de que el aparato en uso está de algún modo limitado en su funcionamiento, de modo que no da realmente el resultado verdadero en absoluto, o de que los resultados reales no han sido registrados fielmente por el asistente a cargo del aparato.
Si entonces no podemos obtener exactamente el mismo resultado dos veces, surge la pregunta: ¿Cómo podemos alcanzar alguna vez la verdad o seleccionar el resultado que pueda suponerse que se aproxima más a ella?
La cantidad de cierto fenómeno se expresa en varios números que difieren entre sí; a lo sumo, no más de uno de ellos puede ser verdadero, y es más probable que todos sean falsos.
Tal vez se sugiera que el observador debería seleccionar la única observación que juzgue mejor realizada, y a menudo habrá, sin duda, la sensación de que uno o más resultados fueron satisfactorios y los demás menos dignos de confianza. Este parece ser el procedimiento adoptado por los primeros astrónomos. Flamsteed, cuando había hecho varias observaciones de una estrella, probablemente eligió de manera arbitraria la que le pareció más cercana a la verdad.1
Cuando Horrocks seleccionó para su estimación del semidiámetro del sol una media entre los resultados de Kepler y Tycho, declaró que no lo hacía por consideración alguna al refrán inútil «Medio tutissimus ibis», sino porque creía, a partir de sus propias observaciones, que era correcto.2
Pero este método no es aplicable en absoluto cuando el observador ha realizado una serie de mediciones que, en su opinión, son igualmente buenas, y es bastante evidente que al utilizar un instrumento o aparato de considerable complejidad, el observador no podrá necesariamente juzgar si causas leves han afectado o no a su funcionamiento.
En esta pregunta, como de hecho en toda la lógica inductiva, tratamos únicamente con probabilidades. No hay un modo infalible de llegar a la verdad absoluta, la cual yace más allá del alcance del intelecto humano y solo puede ser el objeto distante de nuestras prolongadas y penosas aproximaciones.
No obstante, existe un modo señalado tanto por el sentido común como por el razonamiento matemático más elevado, que tiene más probabilidades que cualquier otro, por regla general, de acercarnos a la verdad. El ἄριστον μέτρον, o la aurea mediocritas, era muy estimado en la filosofía antigua de Grecia y Roma; pero no es probable que ninguno de los antiguos haya sido capaz de analizar con claridad y expresar las razones por las que defendían la media como el camino más seguro.
Pero en los últimos dos siglos se ha descubierto que esta cuestión, en apariencia simple, de la media ofrece un campo para el ejercicio de la más extrema destreza matemática. Roger Cotes, el editor de los Principia, parece haber tenido cierta percepción del valor de la media; pero matemáticos profundos como De Moivre, Daniel Bernoulli, Laplace, Lagrange, Gauss, Quetelet, De Morgan, Airy, Leslie Ellis, Boole, Glaisher y otros apenas han agotado el tema.
# Varios usos del Resultado Medio.
La eliminación de errores de fuentes desconocidas se logra casi siempre mediante el simple proceso aritmético de tomar la media, o, como se le suele llamar, el promedio de varios números discrepantes.
Tomar un promedio consiste en sumar las distintas cantidades y dividir por el número de cantidades así sumadas, lo que da un cociente situado entre las distintas cantidades, o en el medio de ellas.
Antes, sin embargo, de investigar a fondo los fundamentos de este procedimiento, es esencial observar que este único proceso aritmético se aplica en realidad al menos en tres casos diferentes, con distintos fines y bajo diferentes principios, y debemos tener mucho cuidado de no confundir una aplicación del proceso con otra. Un resultado medio, por tanto, puede tener cualquiera de los siguientes significados.
(1) Puede dar un número meramente representativo, que exprese la magnitud general de una serie de cantidades y sirva como un modo conveniente de compararlas con otras series de cantidades. Dicho número se denomina propiamente La media ficticia o El resultado promedio.
(2) Puede dar un resultado aproximadamente libre de cantidades perturbadoras, de las que se sabe que afectan a algunos resultados en una dirección y a otros resultados por igual en la dirección opuesta. Podemos decir que en este caso obtenemos un resultado medio preciso.
(3) Puede dar un resultado más o menos libre de errores desconocidos e inciertos; a esto podemos llamarlo el Resultado medio probable.
De estos tres usos de la media, el primero es enteramente distinto en su naturaleza de los dos últimos, ya que no proporciona una aproximación a ninguna cantidad natural, sino que nos suministra un resultado aritmético que compara el agregado de ciertas cantidades con su número.
El tercer uso de la media descansa enteramente en la teoría de la probabilidad, y será considerado con más detalle en una parte posterior de este capítulo.
El segundo uso está estrechamente conectado, o es incluso idéntico, al Método de Inversión ya descrito, pero será conveniente examinar con cierta amplitud los tres empleos del mismo proceso aritmético.
La media y el promedio.
Existe mucha confusión en el uso popular, o incluso científico, de los términos media y promedio, y comúnmente se toman como sinónimos. Es necesario determinar con cuidado qué significados debemos atribuirles.
La palabra inglesa mean es equivalente a medium (medio), derivándose, quizás a través del francés moyen, del latín medius, que a su vez está indudablemente emparentado con el griego μεσος.
Los etimólogos creen también que esta palabra griega está conectada con la preposición μετα, el alemán mitte y el verdadero término inglés mid o middle; de modo que, después de todo, la media (mean) es un término técnico idéntico en su raíz con el equivalente más popular middle (en medio).
Si indagamos qué es la media desde el punto de vista matemático, la verdadera respuesta es que hay varios o muchos tipos de medias. Los antiguos aritméticos reconocieron diez clases, expuestas por Boecio, y Jordanus añadió una undécima.3
La media aritmética es, con mucho, la designada más comúnmente con este término, y la que podemos entender que significa a falta de cualquier otra precisión. Es la suma de una serie de cantidades dividida por su número, y puede representarse mediante la fórmula 1/2(a + b).
Pero también existe la media geométrica, que es la raíz cuadrada del producto, √a × b, o aquella cantidad cuyo logaritmo es la media aritmética de los logaritmos de las cantidades.
También existe la media armónica, que es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de las cantidades. Así, si a y b son las cantidades, como antes, sus recíprocos son 1/a y 1/b, cuya media es 1/2 (1/a + 1/b), y cuyo recíproco nuevamente es 2ab/a + b, que es la media armónica.
Sin duda, podrían inventarse otros tipos de medias para fines particulares, y podríamos aplicar el término, como señaló De Morgan,4 a cualquier cantidad cuya función sea igual a una función de otras dos o más cantidades, y sea tal que el intercambio de estas últimas cantidades entre sí no altere el valor de la función.
Simbólicamente, si Φ (y, y, y ....) = Φ (x1, x2, x3 ....), entonces y es un tipo de media de las cantidades, x1, x2, etc.
La media geométrica se adopta necesariamente en ciertos casos.
Cuando estimamos el trabajo realizado contra una fuerza que varía inversamente al cuadrado de la distancia desde un punto fijo, la fuerza media es la media geométrica entre las fuerzas al principio y al final del trayecto.
Cuando en una balanza imperfecta invertimos los pesos para eliminar el error, el peso verdadero será la media geométrica de los dos pesos aparentes.
En casi todos los cálculos de la estadística y del comercio debería utilizarse, estrictamente hablando, la media geométrica. Si un producto sube de precio un 100 por ciento y otro permanece invariable, la subida media de un precio no es del 50 por ciento porque la razón 150 : 200 no es la misma que 100 : 150. La razón media es como la unidad a √1,00 × 2,00 o de 1 a 1,41.
La diferencia entre los tres tipos de medias en un caso así5 es muy considerable; mientras que el aumento de precio estimado por la media aritmética sería del 50 por ciento, sería de solo el 41 y el 33 por ciento respectivamente según las medias geométrica y armónica.
En todos los cálculos relativos a la tasa media de progreso de una comunidad, o de cualquiera de sus operaciones, debe emplearse la media geométrica.
Pues si una cantidad aumenta un 100 por ciento en 100 años, no aumentaría por término medio un 10 por ciento en cada período de diez años, ya que el 10 por ciento se calcularía al final de cada década sobre cantidades cada vez mayores, y daría al cabo de 100 años mucho más del 100 por ciento, concretamente hasta un 159 por ciento.
La verdadera tasa media en cada década sería 10√2, es decir, aproximadamente 1,07; esto es, el aumento sería de alrededor del 7 por ciento en cada período de diez años.
Pero cuando las cantidades difieren muy poco, las medias aritmética y geométrica son aproximadamente las mismas. Así, la media aritmética de 1,000 y 1,001 es 1,0005, y la media geométrica es de aproximadamente 1,0004998, siendo la diferencia de un orden inapreciable en casi todos los asuntos científicos y prácticos.
Incluso en la comparación de pesos patrón mediante el método de inversión de Gauss, la media aritmética puede utilizarse habitualmente en lugar de la media geométrica, que es el resultado verdadero.
Por lo que respecta a la media —en ausencia de una calificación expresa en contrario como la media aritmética común—, debemos distinguir aún entre sus dos usos: aquel en el que proporciona, con mayor o menor precisión y probabilidad, una cantidad realmente existente, y aquel en el que actúa como un mero representante de otras cantidades.
Si realizo muchos experimentos para determinar el peso atómico de un elemento, existe un número determinado al cual deseo aproximarme, y la media de mis resultados individuales será, a falta de razones en contrario, el resultado aproximado más probable.
Cuando determinamos la densidad media de la tierra, no se debe a que ninguna parte de la tierra tenga esa densidad exacta; puede que no haya ninguna parte que corresponda exactamente a la densidad media y, dado que la corteza terrestre tiene solo alrededor de la mitad de la densidad media, la materia interna del globo debe, por supuesto, estar por encima de la media.
Incluso la densidad de una sustancia homogénea como el carbono o el oro debe considerarse como una media entre la densidad real de sus átomos y la densidad cero del espacio vacío intermedio.
La muy diferente significación de la palabra «media» en estos dos usos fue explicada exhaustivamente por Quetelet,6 y la importancia de dicha distinción fue señalada por sir John Herschel al reseñar su obra.7
Es muy de desear que los hombres de ciencia marcaran la diferencia utilizando la palabra media únicamente en el primer sentido cuando denota la aproximación a una cantidad existente y definida; y promedio, cuando la media es tan solo una cantidad ficticia, utilizada por comodidad de pensamiento y expresión.
La etimología de esta palabra «promedio» es un tanto oscura; pero, según De Morgan,8 proviene de averia, «bienes o posesiones», aplicado especialmente al ganado de granja. Por los azares del lenguaje, averagium pasó a significar el trabajo de los caballos de labranza al que el señor tenía derecho, y probablemente adquirió de esta manera la noción de distribuir un todo en partes, un sentido en el que se aplicó tempranamente a las averías marítimas o contribuciones de los demás propietarios de la carga a aquellos cuyos bienes han sido arrojados por la borda o utilizados para la seguridad de la embarcación.
# Del promedio o media ficticia.
Aunque el promedio, cuando se emplea en su sentido propio de media ficticia, no representa ninguna cantidad realmente existente, es, sin embargo, de la más alta importancia científica, ya que nos permite concebir en un solo resultado una multitud de detalles.
Nos permite hacer una simplificación hipotética de un problema y evitar la complejidad sin cometer error. El peso de un cuerpo es la suma de los pesos de partículas infinitamente pequeñas, cada una actuando en un lugar diferente, de modo que un problema mecánico se reduce, estrictamente hablando, a un número infinito de problemas distintos.
Debemos a Arquímedes la primera introducción de la hermosa idea de que se puede descubrir un punto en un cuerpo gravitatorio tal que el peso de todas las partículas pueda considerarse concentrado en ese punto, y aun así el comportamiento de todo el cuerpo será representado exactamente por el comportamiento de este punto pesado.
Este Centro de Gravedad puede estar dentro del cuerpo, como en el caso de una esfera, o puede estar en el espacio vacío, como en el caso de un anillo. Se puede concebir que dos cuerpos cualesquiera, ya estén conectados o separados, tienen un centro de gravedad; el del sol y la tierra se encuentra dentro del sol y a sólo 267 millas de su centro.
Aunque solemos utilizar la noción de centro o punto medio en relación con la gravedad, la misma noción es aplicable a otros casos.
La gravedad terrestre es un caso de fuerzas aproximadamente paralelas, y el centro de gravedad no es más que un caso especial del más general Centro de Fuerzas Paralelas. Dondequiera que un número de fuerzas, de cualquier magnitud, actúen en líneas paralelas, es posible descubrir un punto en el cual se puede imaginar que actúa la suma algebraica de las fuerzas con exactamente el mismo efecto.
El agua en una cisterna presiona contra la pared con una presión que varía según la profundidad, pero siempre en dirección perpendicular a la pared. Podemos entonces concebir toda la presión como ejercida en un solo punto, que estará a un tercio desde el fondo de la cisterna, y que puede llamarse el Centro de Presión.
El Centro de Oscilación de un péndulo, descubierto por Huyghens, es aquel punto en el cual se puede considerar concentrado todo el peso del péndulo, sin alterar el tiempo de oscilación (p. 315).
Cuando un cuerpo golpea a otro, el Centro de Percusión es aquel punto del cuerpo golpeteador en el cual podría concentrarse toda su masa sin alterar el efecto del golpe. En su posición, el Centro de Percusión no difiere del Centro de Oscilación.
Los matemáticos también han descrito el Centro de Giro, el Centro de Conversión, el Centro de Fricción, etc.
Debemos distinguir cuidadosamente entre aquellos casos en los que se puede asignar un centro invariable y aquellos en los que no. Con absoluta rigor, no existe tal cosa como un verdadero centro de gravedad invariable. Como regla general, un cuerpo es capaz de poseer un centro invariable únicamente para fuerzas perfectamente paralelas, y la gravedad nunca actúa en líneas absolutamente paralelas. Así, como de costumbre, encontramos que nuestras concepciones solo son hipotéticamente correctas y solo aplicables de manera aproximada a las circunstancias reales.
Existen de hecho ciertas formas geométricas llamadas centrobáricas,9 tales que un cuerpo de esa forma atraería a otro exactamente como si la masa estuviera concentrada en el centro de gravedad, ya sea que las fuerzas actúen de manera paralela o no.
Newton demostró que las esferas uniformes de materia poseen esta propiedad, y esta verdad resultó ser de la mayor importancia para simplificar sus cálculos. Pero después de todo es una verdad puramente hipotética, porque en ninguna parte podemos encontrar, ni podemos construir, un cuerpo perfectamente esférico y homogéneo. La más ligera irregularidad o protuberancia en la superficie destruirá la rigurosa exactitud de la suposición.
El esferoide, por otra parte, no tiene un centro invariable en el que su masa pueda considerarse siempre concentrada. El punto desde el cual actúa su atracción resultante se moverá según la distancia y la posición del otro cuerpo atrayente, y solo coincidirá con el centro con respecto a un cuerpo infinitamente distante cuyas fuerzas atractivas puedan considerarse actuando en líneas paralelas.
Los físicos hablan con familiaridad de los polos de un imán, y el término puede emplearse por conveniencia. Pero, si le atribuimos algún significado preciso a la palabra, los polos no son los extremos del imán, ni ningún punto fijo en su interior, sino los puntos variables desde los cuales puede considerarse que actúan las resultantes de todas las fuerzas ejercidas por las partículas de la barra sobre las partículas magnéticas exteriores.
Los polos son, en suma, Centros de Fuerzas Magnéticas; pero como esas fuerzas nunca son verdaderamente paralelas, estos centros variarán de posición según la ubicación relativa del objeto atraído.
Solo cuando consideramos que el imán atrae a una partícula muy distante, o, estrictamente hablando, infinitamente distante, sus centros se convierten en puntos fijos, situados en los imanes cortos aproximadamente a un sexto de la longitud total desde cada extremo de la barra.
Tenemos en los ejemplos anteriores de centros o polos de fuerza suficientes muestras del modo en que la Media o Promedio Ficticio se emplea en las ciencias físicas.
# El resultado medio preciso.
Pasamos ahora a ese modo de emplear el resultado medio que es análogo al método de inversión, pero que se lleva a la práctica de una manera muy extensa en muchas ramas de la ciencia física.
Encontramos el caso más sencillo posible en la determinación de la latitud de un lugar mediante observaciones de la estrella polar. Tycho Brahe sugirió que, si se observaba la elevación de cualquier estrella circumpolar en sus pasos superior e inferior a través del meridiano, la mitad de la suma de las elevaciones sería la latitud del lugar, la cual es igual a la altura del polo.
Una estrella de este tipo está tan por encima del polo en su paso más alto como por debajo en el más bajo, de modo que la media debe dar necesariamente la altura del polo mismo sin lugar a dudas, salvo en lo que respecta a los errores accidentales.
La estrella polar se suele seleccionar para el propósito de tales observaciones porque describe el círculo más pequeño y, por lo tanto, es en general la menos afectada por la refracción atmosférica.
Siempre que actúan varias causas, cada una de las cuales en un momento aumenta y en otro disminuye el efecto conjunto en cantidades iguales, podemos aplicar este método y desentrañar los efectos. Así, las mareas solar y lunar avanzan en una independencia casi total la una de la otra.
Cuando la luna es nueva o llena, la marea solar coincide, o casi, con la causada por la luna, y el efecto conjunto es la suma de los efectos separados. Cuando la luna está en cuadratura, o media llena, las dos mareas actúan en oposición, una elevando y la otra deprimiendo el agua, de modo que observamos únicamente la diferencia de los efectos. De hecho, tenemos—
Solo nos queda entonces sumar las alturas de la marea viva máxima y la marea muerta mínima, y la mitad de la suma es la altura verdadera de la marea lunar. Por otra parte, la mitad de la diferencia entre las mareas viva y muerta da la marea solar.
Los efectos de una cantidad muy pequeña pueden detectarse con un alto grado de certeza en medio de fluctuaciones mucho mayores, siempre que contemos con una serie de observaciones lo suficientemente numerosas y prolongadas como para permitirnos equilibrar todos los efectos mayores entre sí.
Para este propósito, las observaciones deben continuarse durante al menos un ciclo completo, en el cual los efectos recorran todas sus variaciones y regresen exactamente a las mismas posiciones relativas que al principio.
Si existen causas perturbadoras casuales o irregulares, probablemente necesitaremos muchos ciclos de resultados de este tipo para que su efecto sea inapreciable.
Obtenemos el resultado deseado tomando la media de todas las observaciones en las que una causa actúa de forma positiva, y la media de todas en las que actúa de forma negativa. La mitad de la diferencia entre estas medias dará el efecto de la causa en cuestión, siempre que ningún otro efecto coincida en variar en el mismo período o en uno muy cercano.
Dado que la luna provoca un movimiento en el océano, es evidente que su atracción debe tener algún efecto sobre la atmósfera. Las leyes de las mareas atmosféricas fueron investigadas por Laplace, pero como sería impracticable calcular sus magnitudes mediante la teoría, solo podemos determinarlas mediante la observación, tal como Laplace predijo que algún día se determinarían.10
Pero las oscilaciones del barómetro así causadas son mucho menores que las oscilaciones debidas a varias otras causas. Las tormentas, los huracanes o los cambios de tiempo producen movimientos en el barómetro que a veces llegan a ser mil veces mayores que las mareas en cuestión. También existen fluctuaciones regulares diarias, anuales o de otro tipo, todas ellas mayores que la cantidad deseada.
Para detectar y medir la marea atmosférica, era conveniente que las observaciones se realizaran en un lugar lo más libre posible de perturbaciones irregulares. Por esta razón, se realizaron varias series largas de observaciones en Santa Elena, donde el barómetro es mucho más regular en sus movimientos que en un clima continental. El efecto de la atracción de la luna se detectó entonces tomando la media de todas las lecturas cuando la luna estaba en el meridiano y la media equivalente cuando estaba en el horizonte.
Se descubrió que la diferencia entre estas medias era de apenas ·00365, y sin embargo fue posible descubrir incluso la variación de esta marea según la luna estuviera más cerca o más lejos de la tierra, a pesar de que esta diferencia era de tan solo ·00056 pulgadas.11
Es bastante evidente que efectos tan minúsculos jamás podrían descubrirse de una manera puramente empírica. Si no dispusiéramos de más información que la serie de observaciones ante nosotros, no tendríamos ninguna pista sobre el modo de agruparlas que daría una diferencia tan pequeña. Al aplicar este método de las medias de forma extensa, por lo general debemos poseer entonces un conocimiento à priori sobre los períodos en los que una causa actuará en un sentido o en el otro.
A veces podemos eliminar las fluctuaciones y obtener un resultado medio mediante disposiciones puramente mecánicas.
Las variaciones diarias de temperatura, por ejemplo, se vuelven imperceptibles a uno o dos pies por debajo de la superficie de la tierra, de modo que un termómetro colocado con su bulbo a esa profundidad da casi exactamente la verdadera temperatura media diaria.
A una profundidad de veinte pies, incluso las fluctuaciones anuales quedan casi borradas, y el termómetro se sitúa un poco por encima de la temperatura media real de la localidad.
Al registrar el flujo y reflujo de la marea mediante un mareógrafo, es conveniente evitar las oscilaciones procedentes de las olas superficiales, lo cual se logra con gran facilidad colocando el flotador en una cisterna que se comunica con el mar a través de un pequeño orificio.
Solo resulta perceptible entonces un ascenso o descenso general del nivel, al igual que en el barómetro marino el tubo estrecho impide cualquier fluctuación casual y permite que se manifieste únicamente un cambio continuado de presión.
# Determinación del punto cero.
En muchas observaciones importantes, la principal dificultad consiste en definir con exactitud el punto cero a partir del cual debemos medir.
Podemos apuntar un telescopio con gran precisión hacia una estrella y medir con un segundo de arco el ángulo en que el telescopio se eleva o se desciende; pero toda esta precisión será inútil a menos que conozcamos exactamente el punto central de los cielos desde el cual medimos, o, lo que viene a ser lo mismo, la línea horizontal a 90° de distancia de él.
Dado que el horizonte verdadero hace referencia a la figura de la tierra en el lugar de observación, solo podemos determinarlo mediante la dirección de la gravedad, señalada ya sea por la plomada o por la superficie de un líquido. La cuestión se reduce entonces al modo más preciso de observar la dirección de la gravedad y, como hace tiempo que se ha descubierto que la plomada es irremediablemente inexacta, los astrónomos suelen emplear la superficie de mercurio en reposo como criterio de horizontalidad.
Observan ingeniosamente la dirección de la superficie tomando una estrella como índice. De las leyes de la reflexión se deduce que el ángulo entre el rayo directo de una estrella y el reflejado en una superficie de mercurio será exactamente el doble del ángulo entre la superficie y el rayo directo de la estrella.
De ahí que el punto horizontal o cero sea la media entre el lugar aparente de cualquier estrella u otro objeto muy distante y su reflejo en el mercurio.
Una plomada es perpendicular, o la superficie de un líquido es horizontal, solo en un sentido aproximado; pues cualquier irregularidad de la superficie de la tierra, una montaña o incluso una casa debe causar cierta desviación por su fuerza de atracción.
Detectar tal desviación podría parecer muy difícil, ya que cualquier otra plomada o superficie líquida se vería igualmente afectada por la gravedad. Sin embargo, puede detectarse; pues si colocamos una plomada al norte de una montaña y otra al sur, ambas se desviarán de manera aproximadamente igual en direcciones opuestas, y si mediante la observación de la misma estrella podemos medir el ángulo entre las plomadas, la mitad de la inclinación será la desviación de cualquiera de ellas, una vez hecha la corrección por la inclinación debida a la diferencia de latitud de los dos lugares de observación.
Mediante este modo de observación aplicado a la montaña Schiehallion, Maskelyne midió con precisión la desviación de la plomada y se estableció así una comparación entre las fuerzas atractivas de la montaña y del globo terráqueo en su conjunto, lo que condujo a una estimación probable de la densidad de la tierra.
En algunos casos es en realidad preferible determinar el punto cero mediante el promedio de cantidades igualmente divergentes que por observación directa. En pesajes delicados con una balanza química es necesario averiguar con exactitud el punto en el que el Fiel se detiene, y cuando se comparan pesas patrón la posición del fiel se determina mediante una escala cuidadosamente dividida vista a través de un microscopio. Pero cuando el fiel está a punto de detenerse, la fricción, pequeños impedimentos u otras causas accidentales pueden obstruirlo fácilmente, debido a que se encuentra cerca del punto en el que la fuerza de estabilidad se vuelve infinitamente pequeña. De ahí que se considere mejor dejar que el fiel vibre y observar los puntos terminales de las vibraciones. La media entre dos puntos extremos indicará casi la posición de reposo. La fricción y la resistencia del aire tienden a reducir las vibraciones, de modo que esta media será errónea en la mitad de la magnitud de este efecto durante media vibración. Pero tomando varias observaciones podemos determinar este retraso y compensarlo. Así, si a, b, c son las lecturas de los puntos terminales de tres excursiones del fiel respecto al cero de la escala, entonces 1/2 (a + b) será casi tan erróneo en una dirección como 1/2 (b + c) en la otra, de modo que la media de estas dos medias, es decir, 1/4 (a + 2b + c), estará extremadamente cerca del punto de reposo.12 Se puede lograr una aproximación aún mayor tomando cuatro lecturas y reduciéndolas mediante la fórmula 1/6 (a + 2b + 2c + d).
La precisión de los experimentos de Baily, dirigidos a determinar la densidad de la tierra, dependía enteramente de este modo de observar las oscilaciones.
Las bolas cuya gravitación se medía estaban suspendidas con tanta delicadeza mediante una balanza de torsión que nunca llegaban a detenerse.
Se observaron los puntos extremos de las oscilaciones tanto cuando la pesada bola de plomo atractora se encontraba a un lado como al otro. La diferencia entre los puntos medios cuando la bola de plomo estaba a la derecha y cuando estaba a la izquierda dio el doble de la cantidad de la desviación.
Un hermoso ejemplo de cómo evitar el uso de un punto cero se encuentra en las observaciones del Sr. E. J. Stone sobre el calor radiante de las estrellas fijas.
La dificultad de estas observaciones provenía de las cantidades comparativamente grandes de calor que la atmósfera enviaba al telescopio, las cuales bastaban para disimular casi por completo los débiles rayos térmicos de una estrella. Pero el Sr. Stone fijó en el foco de su telescopio una pila termoeléctrica doble cuyas dos partes estaban invertidas en su orden. Ahora bien, cualquier perturbación de la temperatura que actuara uniformemente sobre ambas pilas no producía ningún efecto en la aguja del galvanómetro y, cuando se hacía que los rayos de la estrella cayeran alternativamente sobre una pila y sobre la otra, la cantidad total de la desviación representaba el doble del poder calorífico de la estrella.
Así, el Sr. Stone pudo detectar con gran certeza un efecto térmico de la estrella Arturo que, incluso cuando estaba concentrado por el telescopio, ascendía únicamente a 0°·02 Fahr., y que representa un efecto térmico del rayo directo de solo alrededor de 0°·00000137 Fahr., equivalente al calor que se recibiría de un recipiente cúbico de tres pulgadas lleno de agua hirviendo a una distancia de 400 yardas.13
Es probable que la disposición de la pila del Sr. Stone pueda emplearse útilmente en otros experimentos termométricos delicados sujetos a influencias perturbadoras considerables.
# Determinación de Puntos Máximos.
Empleamos el método de las medias en un cierto número de observaciones destinadas a determinar el momento en que un fenómeno alcanza su punto más alto en cantidad.
Al señalar la posición de una estrella fija en un momento dado, no hay dificultad en determinar el punto que debe observarse, pues una estrella en un buen telescopio presenta un disco sumamente pequeño. Al observar un cuerpo nebuloso que, a partir de un centro brillante, se desvanece gradualmente por todos lados, no será posible seleccionar con certeza el punto medio.
En muchos casos de este tipo, el mejor método no es seleccionar arbitrariamente el supuesto punto medio, sino puntos de igual brillo a uno y otro lado, y luego tomar la media de las observaciones de estos dos puntos para obtener el centro.
Como regla general, una cantidad variable al alcanzar su máximo aumenta a un ritmo cada vez menor y, tras pasar el punto más alto, comienza a disminuir en grados imperceptibles. El máximo puede definirse, en efecto, como aquel punto en el que el aumento o la disminución son nulos. De ahí que suela ser el punto más indefinido y, si podemos medir con precisión el fenómeno, determinaremos mejor la posición del máximo determinando puntos a ambos lados en los que las ordenadas sean iguales.
Existe, además, esta ventaja en el método: que se pueden determinar varios puntos con sus correspondientes al otro lado, y tomar la media del conjunto como la posición real del máximo. Pero este método depende enteramente de la existencia de simetría en la curva, de modo que de dos ordenadas iguales, una se encuentre tan alejada a un lado del máximo como la otra al lado opuesto. El método fracasa cuando prevalecen otras leyes de variación.
En las observaciones mareales se encuentra una gran dificultad para determinar el momento de la pleamar, porque la velocidad a la que el agua sube o baja en ese instante es casi imperceptible. Whewell propuso, por tanto, anotar el tiempo en el que el agua pasa por un punto fijo situado algo por debajo del máximo tanto en el ascenso como en el descenso, y tomar el tiempo medio como el de la pleamar. Pero este modo de proceder desafortunadamente no da un resultado correcto, porque la marea sigue leyes distintas al subir y al bajar. Hay además una dificultad al seleccionar la marea viva máxima, otro objeto de gran importancia en la mareología. Laplace descubrió que la marea del segundo día anterior a la conjunción del Sol y la Luna es casi igual a la del quinto día posterior; y, creyendo que el aumento y la disminución de las mareas procedían de una manera casi simétrica, decidió que la marea más alta se produciría unas treinta y seis horas después de la conjunción, es decir, a medio camino entre el segundo día anterior y el quinto posterior.14
Este método también se emplea para determinar la hora de paso del punto medio o más denso de una corriente de meteoros.
La Tierra tarda dos o tres días en atravesar por completo la corriente de noviembre; pero los astrónomos necesitan para sus cálculos fijar algún punto determinado con un margen de pocos minutos, si es posible.
Cuando están cerca del medio, observan el número de meteoros que entran en la esfera de visión en cada media hora, o cuarto de hora, y luego, suponiendo que la ley de variación es simétrica, seleccionan un momento para el paso del centro equidistante entre los tiempos de igual frecuencia.
Los eclipses de los satélites de Júpiter no solo son de gran interés en lo que respecta a los movimientos de los satélites mismos, sino que fueron, y tal vez aún sean, de utilidad para determinar longitudes, debido a que son eventos que ocurren en momentos fijos de tiempo absoluto y visibles en todas las partes del sistema planetario al mismo tiempo, teniendo en cuenta el intervalo ocupado por la luz en viajar.
Pero, como explica Herschel,15 el momento del evento carece de definición, en parte porque el largo cono de la sombra de Júpiter está rodeado por una penumbra, y en parte porque el propio satélite tiene un disco sensible y le toma tiempo entrar en la sombra.
Diferentes observadores que usen diferentes telescopios por lo general seleccionarían diferentes momentos para el del eclipse. Pero el aumento de luz en la emersión procederá de acuerdo con una ley inversa a la observada en la inmersión, de modo que si un observador anota el tiempo de ambos eventos con el mismo telescopio, estará tan adelantado en una observación como atrasado en la otra, y el momento medio de las dos observaciones representará con considerable exactitud el tiempo en que el satélite se encuentra en el medio de la sombra.
De este modo se elimina el error de juicio del observador, siempre que este se ocupe de actuar en la emersión del mismo modo que lo hizo en la inmersión.