CAPÍTULO XXI. TEORÍA DE LA APROXIMACIÓN.

Para que podamos alcanzar una verdadera comprensión de la índole, el grado y el valor del conocimiento que adquirimos mediante la investigación experimental, es menester que seamos plenamente conscientes de su carácter aproximado.

Debemos aprender a distinguir entre lo que podemos conocer y lo que no podemos conocer, entre las cuestiones que admiten solución y aquellas que solo aparentan estar resueltas.

Muchas personas pueden verse inducidas a error por la expresión ciencia exacta, y pueden pensar que el conocimiento adquirido mediante métodos científicos permite alcanzar leyes absolutamente verdaderas, exactas hasta el último grado.

Existe incluso la impresión generalizada de que, una vez que las fórmulas matemáticas han sido aplicadas con éxito a una rama de la ciencia, esta porción de conocimiento adquiere una naturaleza nueva y admite razonamientos de un orden superior al de aquellas ciencias que aún no son matemáticas.

El grado muy satisfactorio de precisión alcanzado en la ciencia de la astronomía confiere cierta plausibilidad a nociones erróneas de este tipo. Ciertas personas sin duda consideran probado que los planetas se mueven en elipses, de tal manera que todas las leyes de Kepler se cumplen con absoluta exactitud; pero hay un doble error en semejantes nociones.

• En primer lugar, las leyes de Kepler no están probadas, si por prueba entendemos la demostración cierta de su exacta verdad.
• En segundo lugar, aun suponiendo que las leyes de Kepler fuesen exactamente verdaderas desde un punto de vista teórico, los planetas nunca se mueven de acuerdo con dichas leyes.

Aun si pudiéramos observar los movimientos de un planeta, de forma perfectamente esférica, libre de toda fuerza perturbadora o retardadora, nunca podríamos demostrar que se movía en una elipse perfecta. Para demostrar la forma elíptica tendríamos que medir ángulos infinitamente pequeños y fracciones de segundo infinitamente pequeñas; tendríamos que realizar imposibles.

Todo lo que podemos hacer es mostrar que el movimiento de un planeta no perturbado se aproxima muy de cerca a la forma de una elipse, y tanto más cuanto más exactamente se realizan nuestras observaciones. Pero si pasamos a afirmar que la trayectoria es una elipse, vamos más allá de nuestros datos y hacemos una suposición que no puede ser verificada por la observación.

Pero, en segundo lugar, lo cierto es que ningún planeta se mueve en una elipse perfecta, ni manifiesta con exactitud la verdad de las leyes de Kepler. La ley de la gravedad impide que sus propios resultados se manifiesten con claridad, porque las perturbaciones mutuas de los planetas distorsionan las trayectorias elípticas. Esas leyes, además, se cumplen con exactitud únicamente en el caso de cuerpos infinitamente pequeños, y cuando dos grandes globos, como el sol y Júpiter, se atraen mutuamente, la ley debe modificarse.

El tiempo periódico se acorta entonces en la proporción entre la raíz cuadrada del número que expresa la masa del sol y la de la suma de los números que expresan las masas del sol y del planeta, tal como demostró Newton.‍¹

Aun en la actualidad existen discrepancias entre las dimensiones observadas de las órbitas planetarias y sus magnitudes teóricas, incluso después de tener en cuenta todas las causas perturbadoras.‍²

Nada es más seguro en el método científico que el hecho de que solo cabe esperar una coincidencia aproximada. En la medición de magnitudes continuas, la correspondencia perfecta ha de ser accidental y debería suscitar sospechas más que satisfacción.

Un resultado notable del carácter aproximado de nuestras observaciones es que nunca podríamos demostrar la existencia de un movimiento perfectamente circular o parabólico, aun si este existiera.

El círculo es un caso singular de la elipse, para el cual la excentricidad es cero; es infinitamente improbable que un planeta, incluso si no estuviera perturbado por otros cuerpos, tuviera un círculo por órbita; pero si la órbita fuera un círculo, nunca podríamos demostrar la ausencia total de excentricidad. Todo lo que podríamos hacer sería declarar que la divergencia respecto a la forma circular es inapreciable.

Delambre fue incapaz de detectar la más mínima elipticidad en la órbita del primer satélite de Júpiter, pero solo pudo inferir que la órbita era casi circular.

La parábola es el límite singular entre la elipse y la hipérbola. Así como hay cometas elípticos e hiperbólicos, podríamos concebir la existencia de un cometa parabólico. En efecto, si un cometa no perturbado cayera hacia el sol desde una distancia infinita, se movería en una parábola; pero nunca podríamos demostrar que se movió de ese modo.

Sustitución de Hipótesis Simples.

En verdad, los hombres nunca pueden resolver problemas que satisfagan las complejas circunstancias de la naturaleza.

Todas las leyes y explicaciones son, en cierto sentido, hipotéticas, y no se aplican exactamente a nada de lo que podamos saber que existe.

En lugar de los objetos reales que vemos y tocamos, el matemático sustituye objetos imaginarios, que solo se parecen parcialmente a los representados, pero concebidos de tal manera que las discrepancias no llegan a alterar gravemente el carácter de la solución.

Cuando profundizamos en la cuestión hasta el fondo, la astronomía física es tan hipotética como los elementos de Euclides.

Pueden existir en la naturaleza líneas rectas, triángulos, círculos y otras figuras geométricas regulares perfectas; para nuestra ciencia es indiferente que existan o no, porque en cualquier caso deben estar más allá de nuestras facultades de percepción.

Si someternos un círculo perfecto al examen más riguroso, es imposible que descubramos si es perfecto o no.

Sin embargo, en geometría razonamos acerca de curvas perfectas y figuras rectilíneas, y las conclusiones se aplican a los objetos existentes en la medida en que podamos asegurarnos de que coinciden con las condiciones hipotéticas de nuestro razonamiento.

Esto es, en realidad, todo lo que podemos hacer en la más perfecta de las ciencias.

Sin duda, en astronomía nos encontramos con la aproximación más cercana a las condiciones reales. La ley de la gravedad no es compleja en sí misma, y creemos con mucha probabilidad que es exactamente verdadera; pero no podemos calcular en ningún caso real sus resultados exactos.

La ley afirma que cada partícula de materia en el universo atrae a todas las demás partículas, con una fuerza que depende de las masas de las partículas y de sus distancias. No podemos conocer la fuerza que actúa sobre ninguna partícula a menos que conozcamos las masas, las distancias y las posiciones de todas las demás partículas del universo.

El astrónomo físico ha hecho una suposición radical, a saber, que todos los millones de sistemas existentes no ejercen ningún efecto perturbador sobre nuestro sistema planetario, es decir, ningún efecto que sea mínimamente apreciable. El problema se vuelve inmediatamente hipotético, ya que hay pocas dudas de que la gravitación entre nuestro sol y planetas y otros sistemas realmente existe.

Incluso cuando consideran las relaciones de nuestros cuerpos planetarios inter se, todos sus procedimientos son meramente aproximados. En primer lugar, asumen que cada uno de los planetas es un elipsoide perfecto, con una superficie lisa y un interior homogéneo. De que esta suposición es falsa, cada montaña y cada valle, cada mar y cada mina ofrecen pruebas concluyentes.

Si los astrónomos han de hacer que sus cálculos sean perfectos, no solo deben tener en cuenta el Himalaya y los Andes, sino que deben calcular por separado la atracción de cada colina, es decir, de cada hormiguero. Tan lejos están de haber considerado cualquier desigualdad local de la superficie, que todavía no se han decidido sobre la forma general de la tierra; sigue siendo materia de especulación si la tierra es o no un elipsoide con tres ejes desiguales.

Si, como es probable, el globo está irregularmente comprimido en algunas direcciones, los cálculos de los astrónomos tendrán que repetirse y refinarse para poder aproximarse a la fuerza de atracción de semejante cuerpo. Si no podemos conocer con precisión la forma de nuestra propia tierra, ¿cómo podemos esperar averiguar la de la luna, el sol y otros planetas, en algunos de los cuales probablemente existan irregularidades de mayor magnitud proporcional?

De otro modo, la ciencia de la astronomía física es meramente aproximada e hipotética.

Dados elipsoides homogéneos que actúan unos sobre otros según la ley de la gravedad, los mejores matemáticos nunca han determinado, y tal vez nunca determinen, exactamente los movimientos resultantes.

Incluso cuando tres cuerpos se atacan [atraen] simultáneamente, la complicación de los efectos es tan grande que solo se pueden hacer cálculos aproximados.

Los astrónomos ni siquiera han intentado el problema general de las atracciones simultáneas de cuatro, cinco, seis o más cuerpos; resuelven el problema general dividiéndolo en tantos problemas distintos de tres cuerpos.

El principio en el que se basan los cálculos de la astronomía física consiste en despreciar cualquier cantidad que no parezca conducir a un efecto apreciable en la observación, y las cantidades rechazadas son mucho más numerosas y complejas que los pocos términos mayores que se retienen.

Todo, por tanto, es meramente aproximado.

Respecto a otras ramas de la ciencia física, las mismas afirmaciones son aún más evidentemente verdaderas. Hablamos y calculamos sobre barras inflexibles, líneas inextensibles, puntos pesados, sustancias homogéneas, esferas uniformes, fluidos y gases perfectos, y deducimos un gran número de hermosos teoremas; pero todo es hipotético. No existe tal cosa como una barra inflexible, una línea inextensible, ni ninguno de los otros objetos perfectos de la ciencia mecánica; deben ser clasificados junto con esas existencias míticas, la línea recta, el triángulo, el círculo, etc., sobre los cuales Euclides razonaba tan libremente. Tomemos la operación más simple considerada en la estática —el uso de una palanca para levantar una piedra pesada—, y hallaremos, como Thomson y Tait han señalado, que descuidamos mucho más de lo que observamos.‍³ Si suponemos que la barra es bastante rígida, el fulcro y la piedra perfectamente duros, y los puntos de contacto puntos reales, podemos dar la verdadera relación de las fuerzas. Pero en realidad la barra debe doblarse, y la extensión y compresión de diferentes partes nos envuelven en dificultades. Incluso si la barra es homogénea en todas sus partes, no hay teoría matemática capaz de determinar con precisión todo lo que ocurre; si, como es infinitamente más probable, la barra no es homogénea, la solución completa será inmensamente más complicada, pero apenas más desesperada. Apenas habíamos determinado el cambio de forma según principios mecánicos simples, cuando descubriríamos la interferencia de principios termodinámicos. La compresión produce calor y la extensión frío, y así las condiciones del problema quedan modificadas por completo. Al intentar una cuarta aproximación tendríamos que tener en cuenta la conducción del calor de una parte de la barra a otra. Todos estos efectos son totalmente inapreciables desde un punto de vista práctico, si la barra es robusta; pero desde un punto de vista teórico impiden por completo que digamos que hemos resuelto un problema natural. Las facultades de la mente humana, incluso cuando son auxiliadas por los maravillosos poderes de abreviación conferidos por los métodos analíticos, son totalmente incapaces de hacer frente a las complejidades de cualquier problema real. Y si hubiéramos agotado todos los fenómenos conocidos de un problema mecánico, ¿cómo podemos saber que fenómenos ocultos, aún no detectados, no intervienen en las acciones más comunes? Es evidente que ningún fenómeno entra en la esfera de nuestros sentidos a menos que posea un momento capaz de excitar los nervios apropiados. Puede haber entonces mundos de fenómenos demasiado leves para alzarse dentro del alcance de nuestra conciencia.

Todos los instrumentos con los que realizamos nuestras mediciones son defectuosos. Suponemos que una plomada da una línea vertical, pero esto nunca es cierto en un sentido absoluto, debido a la atracción de las montañas y otras irregularidades en la superficie de la tierra.

En un levantamiento trigonométrico preciso, las divergencias de la plomada deben determinarse de forma aproximada y tenerse en cuenta.

Suponemos que una superficie de mercurio es un plano perfecto, pero incluso en una anchura de 5 pulgadas hay una divergencia calculable respecto a un plano verdadero de aproximadamente una diezmillonésima parte de una pulgada; y esta superficie además diverge de la horizontalidad verdadera del mismo modo que la plomada diverge de la verticalidad verdadera.

Ese instrumento casi perfecto, el péndulo, no es teóricamente perfecto, excepto para arcos de vibración infinitamente pequeños, y los delicados experimentos realizados con la balanza de torsión parten de la suposición de que la fuerza de torsión de un hilo es proporcional al ángulo de torsión, lo cual, a su vez, solo es cierto para ángulos infinitamente pequeños.

Tal es el carácter puramente aproximado de todas nuestras operaciones que no es raro hallar que el método teóricamente peor da resultados más veraces que el método teóricamente perfecto.

El péndulo común, que no es isócrono, es mejor para fines prácticos que el péndulo cicloidal, que es isócrono en teoría pero está sujeto a dificultades mecánicas.

La forma esférica no es la forma correcta para un speculum o lente, pero difiere tan ligeramente de la forma verdadera, y se produce de manera tan más fácil mecánicamente, que por lo general es mejor conformarse con la superficie esférica. Incluso en un espejo de seis pies, la diferencia entre la parábola y la esfera es de tan solo cerca de una diezmilésima parte de una pulgada, un espesor que se removería con unas pocas frotadas del pulidor.

El ingenioso movimiento paralelo de Watt tenía la intención de producir un movimiento rectilíneo del vástago del pistón. En realidad, el movimiento era siempre curvilíneo, pero para sus propósitos una cierta parte de la curva se aproximaba lo suficiente a una línea recta.

# Aproximación a las leyes exactas.

Aunque no podamos demostrar las leyes numéricas con perfecta exactitud, sería un gran error suponer que hay alguna inexactitud en las leyes de la naturaleza. Podemos incluso descubrir una ley que creamos que representa la acción de las fuerzas con perfecta exactitud.

La mente puede parecer que se adelanta a sus datos y elige ciertos resultados numéricos como absolutamente verdaderos. Nunca podemos ir realmente más allá de nuestros datos, y en la medida en que interviene la suposición, en esa misma medida la falta de certeza se adherirá a nuestras conclusiones; sin embargo, a veces podemos preferir con razón una suposición probable de una ley precisa a unos resultados numéricos que, en el mejor de los casos, son solo aproximados.

Debemos, por consiguiente, trazar una clara distinción entre las leyes de la naturaleza que creemos formuladas con exactitud en nuestras ecuaciones y aquellas a las que nuestras afirmaciones solo se aproximan, de modo que en un tiempo futuro la ley sea formulada de manera diferente.

La ley de la gravitación se expresa en la forma

F = Mm/D²,

lo que significa que la gravedad es directamente proporcional al producto de las masas gravitantes, e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia. El calor latente del vapor se expresa mediante la ecuación

log F = a + bα^t + cβ^t,

en la cual hay cinco cantidades a, b, c, α, β, que deben determinarse experimentalmente.

Hay razones de sobra para creer que, en el progreso de la ciencia, la ley de la gravedad permanecerá completamente inalterada, y que el único efecto de una investigación más profunda será hacer de ella una expresión cada vez más probable de la verdad absoluta.

La ley del calor latente del vapor, por otra parte, se verá modificada por cada nueva serie de experimentos, y no es improbable que se demuestre que la ley supuesta nunca podrá ajustarse exactamente a los resultados de la experimentación.

Los filósofos no siempre han supuesto que la ley de la gravedad fuera exactamente verdadera. Newton, aunque tenía la más alta confianza en su veracidad, admitía que había movimientos en el sistema planetario que no podía conciliar con la ley. Euler y Clairaut, quienes fueron, junto con D’Alembert, los primeros en aplicar todo el poder del análisis matemático a la teoría de la gravitación como explicación de las perturbaciones de los planetas, no consideraban que la ley estuviera lo suficientemente establecida como para atribuir todas las discrepancias a los errores de cálculo y observación. No se sentían seguros de que la fuerza de la gravedad obedeciera exactamente a la conocida regla.

La ley podría implicar otras potencias de la distancia. Podría expresarse en la forma y los coeficientes a y c podrían ser tan pequeños que dichos términos solo se harían patentes en comparaciones muy precisas con la realidad. Se han hecho intentos de dar cuenta de las dificultades atribuyendo valor a tales términos desdeñados.

Gauss llegó a pensar en un momento dado que el principio aún más fundamental de la gravedad, según el cual la fuerza depende únicamente de la masa y la distancia, tal vez no fuera exactamente verdadero, y emprendió precisos experimentos con péndulos para comprobar esta opinión. Solo a medida que las repetidas dudas se han ido resolviendo una y otra vez a favor de la ley de Newton, se la ha considerado como precisamente correcta.

Pero esta creencia no se basa únicamente en la experiencia o la observación. Los cálculos de la astronomía física, por muy precisos que sean, nunca podrían demostrar que los otros términos de la expresión anterior carecieran absolutamente de valor. Tan solo podría demostrarse que poseían un valor tan leve que nunca llegaba a manifestarse.

Existen, sin embargo, otras razones por las cuales la ley es probablemente completa y verdadera tal como se enuncia comúnmente. Cualquier influencia que se propague desde un punto y se expanda uniformemente por el espacio variará sin duda en intensidad de manera inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, debido a que el área sobre la cual se propaga aumenta como el cuadrado del radio.

Esta parte de la ley de la gravedad puede considerarse debida a las propiedades del espacio, y existe una analogía perfecta a este respecto entre la gravedad y todas las demás fuerzas emanantes, tal como señaló Keill.‍⁴

Así, las ondulaciones de la luz, el calor y el sonido, y las atracciones de la electricidad y el magnetismo obedecen exactamente a la misma ley hasta donde podemos comprobar. Si las moléculas de un gas o las partículas de materia que constituyen un olor partiesen de un punto y se propagasen uniformemente, sus distancias aumentarían y su densidad disminuiría según el mismo principio.

Otras leyes de la naturaleza se encuentran en una posición similar. Las leyes de las proporciones constantes de combinación de Dalton nunca han sido, y nunca podrán ser, exactamente probadas; pero los químicos, habiendo demostrado, en un grado considerable de aproximación, que los elementos se combinan entre sí como si cada elemento tuviera átomos de una masa invariable, asumen que esto es exactamente verdad. Van aún más lejos. Prout señaló en 1815 que los pesos equivalentes de los elementos parecían ser números sencillos; y las investigaciones de Dumas, Pelouze, Marignac, Erdmann, Stas y otros han hecho que sea gradualmente probable que los pesos atómicos del hidrógeno, carbono, oxígeno, nitrógeno, cloro y plata estén en las proporciones de los números 1, 12, 16, 14, 35,5 y 108. Los químicos entonces van más allá de sus datos; desechan sus cifras experimentales reales y asumen que las proporciones verdaderas no son aquellas indicadas exactamente por ninguna pesada, sino las proporciones sencillas de estos números. Asumen audazmente que las discrepancias se deben a errores experimentales, y se ven justificados por el hecho de que cuanto más minuciosas y hábiles son las investigaciones sobre el tema, más se verifica su suposición. El potasio es el único elemento cuyo peso atómico ha sido determinado con gran cuidado, pero que no ha mostrado una aproximación a una proporción sencilla con los otros elementos. Esta excepción puede deberse a alguna causa imprevista de error.‍⁵ Se hace una suposición similar en la ley de los volúmenes de combinación constantes de los gases, y Brodie ha señalado claramente la línea de argumento mediante la cual el químico, al observar que las discrepancias entre la ley y el hecho están dentro de los límites del error experimental, asume que se deben al error.‍⁶

Faraday, en una de sus investigaciones, formula expresamente una suposición de la misma índole. Habiendo demostrado, con cierto grado de precisión experimental, que existe una proporción simple entre las cantidades de energía eléctrica y las cantidades de sustancias químicas que esta puede descomponer —de modo que por cada átomo disuelto en la pila galvánica debería teóricamente, es decir, sin tener en cuenta la disipación de parte de la energía, descomponerse un átomo en la célula electrolítica—, no se detiene en sus resultados numéricos.

«No he dudado», dice,‍⁷ «en aplicar los resultados más rigurosos del análisis químico para corregir los números obtenidos como resultados electrolíticos. Esto, es evidente, puede hacerse en un gran número de casos, sin tomarse demasiadas libertades respecto a la debida severidad de la investigación científica».

La ley de la conservación de la energía, una de las más amplias de todas las generalizaciones físicas, descansa sobre la misma base.

Lo más que podemos hacer mediante la experimentación es demostrar que la energía que entra en cualquier combinación experimental es casi igual a la que sale de ella, y lo es tanto más cuanto más con mayor precisión realizamos las mediciones. La igualdad absoluta es siempre una cuestión de suposición.

Ni siquiera podemos probar la indestructibilidad de la materia; pues si una fracción sumamente diminuta de la materia existente desapareciera en cualquier experimento, digamos una parte en diez millones, nunca podríamos detectar la pérdida.

# Aproximaciones sucesivas a las condiciones naturales.

Cuando examinamos la historia de los problemas científicos, descubrimos que un solo hombre o una sola generación suele ser capaz de dar un único paso a la vez.

Un problema se resuelve por primera vez mediante alguna audaz simplificación hipotética, sobre la cual el investigador siguiente realiza modificaciones hipotéticas que se acercan más a la verdad.

Los errores se señalan sucesivamente en las soluciones anteriores, hasta que al final pudiera parecer que queda poco más que desear. Un examen minucioso, sin embargo, mostrará que una serie de pequeñas inexactitudes aún deben corregirse y explicarse, si nuestras facultades de razonamiento fueran lo suficientemente grandes y el propósito de la importancia adecuada.

La exitosa solución de Newton al problema de los movimientos planetarios dependió al principio enteramente de una gran simplificación. La ley de la gravedad solo se aplica directamente a dos partículas infinitamente pequeñas, de modo que cuando tratamos con globos inmensos como la tierra, Júpiter y el sol, tenemos que habérnoslas con un agregado inmenso de atracciones separadas, y la ley del agregado no tiene por qué coincidir con la ley de las partículas elementales.

Pero Newton, mediante un gran esfuerzo de razonamiento matemático, fue capaz de demostrar que dos esferas homogéneas de materia actúan como si la totalidad de sus masas estuviera concentrada en los centros; en suma, que tales esferas son cuerpos centrobáricos (p. 364).

Luego pudo calcular con relativa facilidad los movimientos de los planetas bajo la hipótesis de que son esferas, y demostrar que los resultados coincidían a grandes rasgos con la observación. Newton, en verdad, fue uno de los pocos hombres que pudieron dar dos grandes pasos a la vez.

No se contentó con la hipótesis esférica; teniendo razones para creer que la tierra era en realidad un esferoide con una protuberancia alrededor del ecuador, procedió a una segunda aproximación, y demostró que la atracción de la materia protuberante sobre la luna explicaba la precesión de los equinoccios y conducía a diversos efectos complejos.

Pero (p. 459), incluso la hipótesis esferoidal dista mucho de la verdad. No tiene en cuenta las irregularidades de la superficie, la gran protuberancia de tierra en Asia Central y América del Sur, y la deficiencia en el lecho del Atlántico.

Determinar la ley según la cual un proyectil, como una bala de cañón, se mueve a través de la atmósfera es un problema muy imperfectamente resuelto en la actualidad, pero en el cual se han dado muchos avances sucesivos. Tan poco se sabía sobre el asunto hace tres o cuatro siglos que se suponía que una bala de cañón se movía al principio en línea recta, y que después de un tiempo era desviada hacia una curva. Tartaglia se atrevió a sostener que la trayectoria era curva en todo su recorrido, como por el principio de continuidad debía serlo; pero se requirió la ingeniosidad de Galileo para demostrar esta opinión y mostrar que la curva era aproximadamente una parábola. Sin embargo, solo bajo hipótesis forzadas podemos afirmar que la trayectoria de un proyectil es verdaderamente una parábola: la trayectoria debe transcurrir a través de un vacío perfecto, donde no haya un medio de resistencia de ningún tipo; la fuerza de gravedad debe ser uniforme y actuar en líneas paralelas; o bien el cuerpo en movimiento debe ser un mero punto, o un cuerpo centrobárico perfecto, es decir, un cuerpo que posee un centro de gravedad definido. Estas condiciones no pueden cumplirse realmente en la práctica. El siguiente gran paso en el problema lo dieron Newton y Huyghens, el último de los cuales afirmó que la atmósfera ofrecería una resistencia proporcional a la velocidad del cuerpo en movimiento, y concluyó que la trayectoria tendría en consecuencia un carácter logarítmico. Newton investigó de manera general el tema de los medios de resistencia y llegó a la conclusión de que la resistencia es más cercana a ser proporcional al cuadrado de la velocidad. El tema cayó entonces en manos de Daniel Bernoulli, quien señaló la enorme resistencia del aire en casos de movimiento rápido, y calculó que una bala de cañón, si se disparaba verticalmente en el vacío, se elevaría ocho veces más alto que en la atmósfera. En tiempos recientes se ha dedicado una inmensa cantidad de investigación tanto teórica como experimental al asunto, ya que es de importancia en el arte de la guerra. Se han hecho aproximaciones sucesivas a la ley verdadera, pero no se ha logrado, ni siquiera esperado, nada parecido a una solución completa y definitiva.

Es de esperar por completo que los primeros experimentadores en cualquier rama de la ciencia pasen por alto errores que más tarde se vuelven de lo más evidentes.

Los astrónomos árabes determinaron el meridiano tomando el punto medio entre las posiciones del sol a alturas iguales en el mismo día. Pasaron por alto el hecho de que el sol tiene su propio movimiento en el tiempo transcurrido entre las observaciones.

Newton pensó que las perturbaciones mutuas de los planetas podían despreciarse, exceptuando quizás el efecto de la atracción mutua de los planetas mayores, Júpiter y Saturno, cerca de su conjunción.‍⁹

La dilatación del azogue se usó durante mucho tiempo como medida de la temperatura, sin poseer una idea clara de la temperatura al margen de algunos de sus efectos más obvios.

Rumford, en el primer experimento que condujo a la determinación del equivalente mecánico del calor, pasó por alto el calor absorbido por el aparato; de otro modo, en opinión del Dr. Joule, habría llegado a un resultado casi correcto.

Es sorprendente conocer el número de causas de error que intervienen en el experimento más simple, cuando nos esforzamos por alcanzar una precisión rigurosa. No podemos realizar con precisión el sencillo experimento de comprimir gas en un tubo doblado por una columna de mercurio, con el fin de poner a prueba la veracidad de la ley de Boyle, sin prestar atención a: (1) las variaciones de la presión atmosférica, que se transmiten al gas a través del mercurio; (2) la compresibilidad del mercurio, que hace que la columna de mercurio varíe en densidad; (3) la temperatura del mercurio a lo largo de la columna; (4) la temperatura del gas, que con dificultad se mantiene invariable; (5) la expansión del tubo de vidrio que contiene el gas. Aunque Regnault tuvo en cuenta todas estas circunstancias en su examen de la ley,‍¹⁰ no hay razón para suponer que agotó las fuentes de inexactitud.

Las primeras investigaciones relativas a la naturaleza de las ondas en medios elásticos partieron de la suposición de que las ondas de distintas longitudes se propagarían con igual velocidad. La teoría del sonido de Newton le condujo a esta conclusión, y la observación (p. 295) había verificado la inferencia.

Cuando la teoría ondulatoria pasó a aplicarse a principios de este siglo para explicar los fenómenos de la luz, se encontró una gran dificultad. El ángulo con el que un rayo de luz se refracta al entrar en un medio más denso depende, según dicha teoría, de la velocidad con la que viaja la onda, de modo que si todas las ondas de luz viajasen con la misma velocidad en el mismo medio, la dispersión de la luz mixta por el prisma y la producción del espectro no podrían tener lugar.

Algunos fenómenos de gran impacto entraban así en conflicto directo con la teoría. Cauchy fue el primero en señalar la explicación: a saber, que todos los investigadores anteriores habían hecho una suposición arbitraria en aras de simplificar los cálculos. Habían asumido que las partículas del medio vibratorio están tan juntas que los intervalos son insignificantes en comparación con la longitud de onda. Esta hipótesis resultaba ser aproximadamente cierta en el caso del aire, por lo que no se descubrió ningún error en los experimentos sobre el sonido. De no haber sido así, los analistas anteriores probablemente no habrían ofrecido ninguna solución, y el progreso de la materia podría haberse visto retrasado.

Cauchy pudo realizar una nueva aproximación bajo el supuesto, más difícil, de que las partículas del medio vibratorio se encuentran a distancias considerables y actúan y reaccionan sobre las partículas vecinas mediante fuerzas de atracción y repulsión. Calcular la velocidad de propagación de una perturbación en tal medio es una tarea de extrema dificultad. La solución completa del problema parece de hecho superar la capacidad humana, por lo que debemos conformarnos, como en el caso de los movimientos planetarios, con aguardar aproximaciones sucesivas.

Todo lo que Cauchy pudo hacer fue demostrar que ciertas cantidades, desdeñadas en las teorías anteriores, adquirían un valor considerable bajo las nuevas condiciones del problema, de modo que existiría una relación entre la longitud de la onda y la velocidad a la que se propaga. Para eliminar, por tanto, las dificultades que obstaculizaban la teoría ondulatoria de la luz, se precisaba un nuevo acercamiento a las condiciones probables.‍¹¹

De manera semejante, la teoría de Fourier sobre la conducción y la radiación del calor se basaba en la hipótesis de que la cantidad de calor que pasa a lo largo de cualquier línea es simplemente proporcional a la velocidad de cambio de la temperatura. Pero Forbes demostró más tarde que la conductividad de un cuerpo disminuye a medida que aumenta su temperatura. Por consiguiente, todos los detalles de la solución de Fourier requieren modificación, y entretanto los resultados deben considerarse solo como aproximadamente verdaderos.‍¹²

Debemos distinguir entre aquellos problemas que son física y aquellos que son meramente matemáticos en su incompletitud. En este último caso, la ley física es comprendida correctamente, pero el matemático desdeña la ley, o con mayor frecuencia es incapaz de seguirla en todos sus resultados. La ley de la gravitación y los principios del movimiento armónico u ondulatorio, aun suponiendo que los datos sean correctos, jamás pueden ser seguidos hasta todos sus resultados últimos.

Young explicó la producción de los anillos de Newton suponiendo que los rayos reflejados en las superficies superior e inferior de una película delgada de cierto espesor se encontraban en fases opuestas y, por lo tanto, se neutralizaban mutuamente. Se señaló, sin embargo, que como la luz reflejada en la superficie más cercana es indudablemente un poco más brillante que la de la superficie más lejana, los dos rayos no deberían neutralizarse tan completamente como se observa que lo hacen. Finalmente, Poisson demostró que la discrepancia surgía únicamente de una solución incompleta del problema; pues la luz que ha penetrado en la película debe ser reflejada en cierta medida hacia adelante y hacia atrás ad infinitum; y si seguimos este curso de la luz mediante un análisis matemático perfecto, se puede demostrar que la oscuridad absoluta resulta de la interferencia de los rayos.‍¹³

En este caso, las leyes naturales involucradas, las de la reflexión y la refracción, se conocen con precisión, y la única dificultad consiste en desarrollar todas sus consecuencias.

# Descubrimiento de Leyes Hipotéticamente Simples.

En algunas ramas de la ciencia nos encontramos con leyes naturales de carácter sencillo que, desde cierto punto de vista, son exactamente verdaderas y, sin embargo, nunca pueden manifestarse como exactamente verdaderas en los fenómenos naturales. Tales son, por ejemplo, las leyes referentes al llamado gas perfecto. El estado gaseoso de la materia es aquel en el que las propiedades de la materia se manifiestan de la manera más sencilla. En consecuencia, hay una gran ventaja en abordar la cuestión de la mecánica molecular desde este lado.

Pero cuando planteamos la pregunta: ¿Qué es un gas?, la respuesta debe ser hipotética. Al comprobar que los gases obedecen casi a la ley de Boyle y Mariotte; que casi se dilatan por el calor a la razón uniforme de una parte por cada 272,9 de su volumen a 0° por cada grado centígrado; y que cumplen más exactamente estas condiciones cuanto más distante esté del punto de licuefacción el punto de temperatura al que los examinamos, pasamos, mediante el principio de continuidad, a la concepción de un gas perfecto.

Dicho gas consistiría probablemente en átomos de materia situados a una distancia tan grande entre sí que no ejercerían fuerzas atractivas unos sobre otros; pero para que esta condición se cumpla, las distancias deben ser infinitas, de modo que no puede existir un gas absolutamente perfecto. Pero el gas perfecto no es meramente un límite al que podemos acercarnos, es un límite rebasado por al menos un gas real.

Despretz, Pouillet, Dulong, Arago y, finalmente, Regnault han demostrado que todos los gases se desvían de la ley de Boyle y que, en casi todos los casos, la densidad del gas aumenta en una proporción algo mayor que la presión, lo que indica una tendencia por parte de las moléculas a aproximarse por propia iniciativa. En los gases más condensables, como el ácido sulfuroso, el amoníaco y el cianógeno, esta tendencia se manifiesta con fuerza cerca del punto de licuefacción. El hidrógeno, por el contrario, se desvía de la ley de un gas perfecto en dirección opuesta, es decir, la densidad aumenta menos que en la proporción de la presión.‍¹⁴ Esta es una excepción singular, cuyo alcance no alcanzo a comprender.

Todos los gases vuelven a desviarse de la ley de la expansión uniforme por el calor, pero la desviación es menor cuanto menos condensable es el gas en cuestión, o cuanto más alejada está su temperatura del punto de licuefacción. Por lo tanto, el gas perfecto debe tener una temperatura infinitamente alta. Según la ley de Dalton, cada gas de una mezcla conserva sus propias propiedades sin que la presencia de ningún otro gas las afecte.‍¹⁵

Esta ley probablemente solo sea cierta por aproximación, pero es obvio que se cumpliría en el gas perfecto con partículas infinitamente distantes.‍¹⁶

# Principios matemáticos de aproximación.

El carácter aproximado de la ciencia física se hará más evidente si la consideramos desde un punto de vista matemático.

A lo largo de las investigaciones cuantitativas tratamos con la relación de una cantidad con otras cantidades, de las cuales es función; pero el asunto es suficientemente complicado si consideramos una cantidad como función de otra sola.

Ahora bien, como regla general, una función puede desarrollarse o expresarse como la suma de cantidades, cuyos valores dependen de las potencias sucesivas de la cantidad variable. Si y es una función de x, entonces podemos decir que

En esta ecuación, A, B, C, D, etc., son cantidades fijas, de diferentes valores en diferentes casos. Los términos pueden ser infinitos en número o después de un tiempo pueden dejar de tener valor alguno. Cualquiera de los coeficientes A, B, C, etc., puede ser cero o negativo; pero, sean cuales sean, son fijos.

La cantidad x, por otra parte, puede hacerse como queramos, al ser variable. Supongamos, en primer lugar, que x e y son ambas longitudes. Asumamos que la 1/10.000 parte de una pulgada es lo mínimo que podemos tener en cuenta. Entonces, cuando x es una centésima de pulgada, tenemos x² = 1/10.000, y si C es menor que la unidad, el término Cx² será inapreciable, al ser menor de lo que podemos medir.

A menos que alguna de las cantidades D, E, etc., resulte ser muy grande, es evidente que todos los términos sucesivos serán también inapreciables, porque las potencias de x se vuelven rápidamente más pequeñas en razón geométrica. Así, cuando x se hace suficientemente pequeña, la cantidad y parece obedecer la ecuación

Si x fuera todavía menor, si llegara a ser tan pequeña, por ejemplo, como 1/1.000.000 de pulgada, y B no fuera muy grande, entonces y parecería ser la cantidad fija A, y no parecería variar con x en absoluto.

Por otra parte, si x llegara a ser mayor, digamos igual a 1/10 de pulgada, y C no fuera muy pequeña, el término Cx² se volvería apreciable, y la ley sería ahora más complicada.

Podemos invertir el modo de ver esta cuestión y suponer que, mientras la cantidad y experimenta variaciones dependientes de muchas potencias de x, nuestra capacidad para detectar los cambios de valor es más o menos aguda.

Mientras nuestras facultades de observación sigan siendo muy rudimentarias, es posible que no podamos detectar ningún cambio en la cantidad, es decir, que Bx sea siempre demasiado pequeño para llamar nuestra atención, del mismo modo que en épocas pasadas las estrellas fijas se llamaban así porque permanecían a distancias aparentemente fijas entre sí.

Con el uso de telescopios y micrómetros somos capaces de detectar la existencia de algún movimiento, de modo que la distancia de una estrella a otra puede expresarse como A + Bx, siendo el término que incluye a x² todavía inapreciable.

Bajo estas circunstancias, la estrella parecerá moverse uniformemente, o en simple proporción con respecto al tiempo x. Con medios de medición muy mejorados, probablemente se descubrirá que esta uniformidad de movimiento es solo aparente y que existe alguna aceleración o retraso.

Una investigación más minuciosa demostrará que la ley es cada vez más compleja de lo que se suponía anteriormente.

Hay todavía otra manera de explicar los aparentes resultados de una ley complicada. Si tomamos cualquier curva y consideramos una porción de ella libre de cualquier tipo de discontinuidad, podemos representar el carácter de dicha porción mediante una ecuación de la forma

Restrinjamos la atención a una porción muy pequeña de la curva, y el ojo será incapaz de distinguir su diferencia respecto a una línea recta, lo que equivale a decir que en la porción examinada el término Cx² no tiene ningún valor apreciable a la vista.

Tómese una porción mayor de la curva y será evidente que posee curvatura, pero será posible trazar una parábola o una elipse de modo que la curva coincida aparentemente con una porción de dicha parábola o elipse.

Del mismo modo, si tomamos arcos cada vez mayores de la curva, esta asumirá sucesivamente el carácter de una curva de tercer, cuarto y tal vez de grados superiores; es decir, corresponde a ecuaciones que implican la tercera, cuarta y mayores potencias de la cantidad variable.

Hemos llegado pues a la conclusión de que todo fenómeno, cuando su magnitud solo puede medirse de forma burda, tendrá una magnitud fija, o bien parecerá variar uniformemente como la distancia entre dos líneas rectas inclinadas.

Una medición más exacta puede mostrar el error de esta primera suposición, y la variación parecerá entonces ser como la de la distancia entre una línea recta y una parábola o elipse. Podemos descubrir más tarde que en realidad se requiere una curva de tercer grado o superior para representar la variación.

Propongo llamar a la variación de una cantidad lineal, elíptica, cúbica, cuártica, quíntica, etc., según se descubra que involucra la primera, segunda, tercera, cuarta, quinta o mayores potencias de la variable.

Es una regla general en la investigación cuantitativa que comencemos descubriendo leyes de variación lineales, para proceder después a las elípticas o más complicadas. Las curvas aproximadas que empleamos son todas, según el uso que De Morgan da al nombre, parábolas de un orden u otro; y dado que la parábola común de segundo orden es aproximadamente la misma que una elipse muy alargada, y es de hecho una elipse infinitamente alargada, es conveniente y apropiado llamar a la variación de segundo orden elíptica. También podría llamarse variación cuádrica.

En lo que respecta a muchos fenómenos importantes, nos encontramos aún solo en la primera etapa de aproximación. Sabemos que el sol y muchas de las llamadas estrellas fijas, especialmente el 61 Cygni, tienen un movimiento propio a través del espacio, y la dirección de este movimiento en la actualidad se conoce con cierto grado de exactitud.

Pero apenas es compatible con la teoría de la gravedad que la trayectoria de cualquier cuerpo sea realmente una línea recta. Por lo tanto, debemos considerar una trayectoria rectilínea como una mera descripción provisional del movimiento, y aguardar el momento en que se detecte su curvatura, aunque quizás deban transcurrir primero siglos.

Estamos acostumbrados a suponer que en la superficie de la tierra la fuerza de la gravedad es uniforme, debido a que la variación es de una magnitud tan leve que apenas somos capaces de detectarla. Pero en el supuesto de que pudiéramos medir la variación, hallaríamos que es simplemente proporcional a la altura.

Tomando el radio de la tierra como la unidad, sea h la altura a la que medimos la fuerza de la gravedad. Entonces, por la bien conocida ley del inverso del cuadrado, dicha fuerza será proporcional a

Pero a todas las alturas que podamos alcanzar h será una fracción tan pequeña del radio de la tierra que 3h² será inesenciable, y la fuerza de la gravedad parecerá seguir la ley de variación lineal, siendo proporcional a 1 - 2h.

Cuando las circunstancias de un experimento se alteran considerablemente, pueden cobrar protagonismo distintas potencias de la variable.

La resistencia de un líquido a un cuerpo que se mueve a través de él puede expresarse de manera aproximada como la suma de dos términos que involucran, respectivamente, la primera y la segunda potencia de la velocidad. A velocidades muy bajas, la primera potencia es la de mayor importancia y la resistencia, como ha demostrado el profesor Stokes, es casi directamente proporcional a la velocidad. Cuando el movimiento es rápido, la resistencia aumenta en un grado aún mayor y es más próxima a ser proporcional al cuadrado de la velocidad.

# Independencia aproximada de efectos pequeños.

Un resultado de la teoría de la aproximación posee tal importancia en la ciencia física, y se aplica con tanta frecuencia, que podemos considerarlo por separado.

La investigación de las causas y los efectos se simplifica inmensamente cuando podemos considerar que cada causa produce su propio efecto de manera invariable, ya sea que actúen otras causas o no. Así, si el cuerpo P produce x, y Q produce y, la cuestión es si P y Q actuando juntos producirán la suma de los efectos separados, x + y.

Es bajo esta suposición que tratamos los métodos para eliminar el error (Cap. XV.), y aún persistirían errores de menor magnitud si dicha suposición fuera forzada.

Probablemente existen algunas partes de la ciencia en las que la suposición de independencia de los efectos se cumple con rigurosa exactitud. La gravedad mutua de dos cuerpos no se ve afectada en absoluto por la presencia de otros cuerpos gravitantes. La gente no suele considerar que este importante principio está implicado en algo tan simple como colocar pesas de dos libras en el plato de una balanza.

¿Cómo sabemos que dos libras juntas pesarán el doble que una? ¿Sabemos que es exactamente así? Al igual que otros resultados basados en la inducción, no podemos probarlo de forma absoluta, pero todos los cálculos de la astronomía física se basan en dicha suposición, de modo que podemos considerarlo probado con un grado muy alto de aproximación.

De no haber sido esto cierto, los cálculos de la astronomía física habrían sido infinitamente más complejos de lo que son en realidad, y el progreso del conocimiento habría sido mucho más lento.

Es un principio general del método científico que si los efectos son de pequeña magnitud en comparación con nuestros medios de observación, todos los efectos combinados serán de un orden superior de pequeñez y, por lo tanto, pueden descartarse en una primera aproximación.

Este principio fue empleado por Daniel Bernoulli en la teoría del sonido, bajo el título de El principio de la coexistencia de las pequeñas vibraciones. Él demostró que si una cuerda se ve afectada por dos tipos de vibraciones, podemos considerar que cada una de ellas ocurre como si la otra no existiera.

No podemos percibir que el sonido de un instrumento musical impida o siquiera modifique el sonido de otro, de modo que todos los sonidos parecerían viajar a través del aire y actuar sobre el oído con independencia unos de otros.

Una suposición similar se hace en la teoría de las mareas, que son grandes olas. Una ola es producida por la atracción de la luna y otra por la atracción del sol, y surge la cuestión de si, cuando estas olas coinciden, como en el momento de las mareas vivas, la ola combinada será simplemente la suma de las olas separadas. Según el principio de Bernoulli esto será así, debido a que las mareas en el océano son muy pequeñas en comparación con la profundidad del océano.

El principio de Bernoulli, sin embargo, solo es aproximadamente verdadero. Una ola nunca es exactamente la misma cuando otra ola interfiere con ella, pero cuanto menor es el desplazamiento de las partículas debido a cada ola, menor es, en un grado aún mayor, el efecto de una ola sobre la otra.

En años recientes, Helmholtz fue llevado a sospechar que algunos de los fenómenos del sonido podrían, después de todo, deberse a efectos resultantes pasados por alto debido a la suposición de físicos anteriores. Investigó las ondas secundarias que surgirían de la interferencia de perturbaciones considerables, y pudo demostrar que debían escucharse ciertas sumas de tonos resultantes, y los experimentos concebidos posteriormente con ese propósito demostraron que efectivamente podían escucharse.

En las ciencias mecánicas, el Principio de Superposición de Pequeños Movimientos es de fundamental importancia,‍¹⁷ y puede explicarse de la siguiente manera.

Supongamos que dos fuerzas, que actúan desde los puntos B y C, mueven simultáneamente un cuerpo A. Sea la fuerza que actúa desde B tal que en un segundo movería A hasta p, y de igual modo sea la segunda fuerza, actuando sola, la que mueve A hasta r. Surge entonces la cuestión de si su acción conjunta impulsará a A hasta q a lo largo de la diagonal del paralelogramo.

¿Podemos afirmar que A se moverá la distancia Ap en la dirección AB, y Ar en la dirección AC, o, lo que es lo mismo, a lo largo de la línea paralela pq? En rigor no podemos afirmarlo; pues cuando A se haya movido hacia p, la fuerza procedente de C ya no actuará a lo largo de la línea AC, y del mismo modo el movimiento de A hacia r modificará la acción de la fuerza procedente de B. Esta interferencia de una fuerza con la línea de acción de la otra será evidentemente tanto mayor cuanto mayor sea la extensión del movimiento considerado; por otra parte, cuanto más reduzcamos el paralelogramo Apqr, en comparación con las distancias AB y AC, menor será la interferencia de las fuerzas.

En consecuencia, los matemáticos evitan todo error considerando los movimientos como infinitamente pequeños, de modo que la interferencia pasa a ser de un orden de pequeñez infinita aún mayor, y puede despreciarse por completo. Mediante los recursos del cálculo diferencial es posible calcular el movimiento de la partícula A como si atravesara un número infinito de diagonales infinitamente pequeñas de paralelogramos.

Los grandes descubrimientos de Newton surgieron en realidad de aplicar este método de cálculo a los movimientos de la luna alrededor de la tierra, la cual, mientras tiende constantemente a avanzar en línea recta, es también desviada hacia la tierra por la gravedad y se desplaza a través de una curva elíptica, compuesta por decirlo así de las diagonales infinitamente pequeñas de paralelogramos infinitamente numerosos. El matemático, en su investigación de una curva, la trata siempre como si estuviera compuesta por un gran número de líneas rectas, y puede dudarse de que pudiese tratarla de cualquier otro modo. No hay error alguno en los resultados finales, porque, una vez obtenidas las fórmulas derivadas de este suposición, cada línea recta pasa a ser considerada entonces como infinitamente pequeña, y la línea poligonal se vuelve indistinguible de una curva perfecta.‍¹⁸

En los teoremas matemáticos abstractos, la aproximación a la verdad absoluta es perfecta, porque podemos tratar con infinitésimos.

En la ciencia física, por el contrario, tratamos con las cantidades más pequeñas que son perceptibles. Sin embargo, al distinguir cuidadosamente entre estos dos casos diferentes, podemos aplicar sin miedo a ambos el principio de la superposición de pequeños efectos. En la ciencia física sólo hemos de procurar que los efectos sean realmente tan pequeños que cualquier efecto conjunto sea indiscutiblemente imperceptible.

Supongamos, por ejemplo, que existe alguna causa que altera las dimensiones de un cuerpo en la proporción de 1 a 1 + α, y otra causa que produce una alteración en la proporción de 1 a 1 + β. Si ambas actúan a la vez, el cambio estará en la proporción de 1 a (1 + α)(1 + β), o de 1 a 1 + α + β + αβ. Pero si α y β son ambas fracciones muy pequeñas de las dimensiones totales, αβ será aún mucho menor y puede despreciarse; la proporción de cambio es entonces aproximadamente la de 1 a 1 + α + β, o el efecto conjunto es la suma de los efectos separados.

Así, si un cuerpo estuviera sometido a tres deformaciones, en ángulos rectos entre sí, el cambio total en el volumen del cuerpo sería aproximadamente igual a la suma de los cambios producidos por las deformaciones separadas, siempre que éstas sean muy pequeñas.

Del mismo modo, no sólo la dilatación de toda sustancia sólida y líquida por el calor es aproximadamente proporcional al cambio de temperatura, cuando este cambio es muy pequeño en su cantidad, sino que la dilatación cúbica también puede considerarse tres veces mayor que la dilatación lineal. Pues si el aumento de temperatura dilata una barra de metal en la proporción de 1 a 1 + α, y la dilatación es igual en todas las direcciones, entonces un cubo del mismo metal se dilataría como 1 a (1 + α)³, o como 1 a 1 + 3α + 3α² + α³. Cuando α es una cantidad muy pequeña, el tercer término 3α² será imperceptible, y aún más el cuarto término α³. Los coeficientes de dilatación de los sólidos son, de hecho, tan pequeños, y tan imperfectamente determinados, que los físicos rara vez tienen en cuenta sus potencias segunda y superiores.

Es consecuencia de estos principios que puede suponerse que todos los pequeños errores varían en simple proporción respecto a sus causas; una nueva razón por la cual, al eliminar errores, debamos ante todo hacerlos lo más pequeños posible.

Supongamos que hay un triángulo rectángulo cuyos dos catetos que forman el ángulo recto tienen realmente longitudes de 3 y 4, de modo que la hipotenusa es √3² + 4² o 5.

Ahora bien, si en dos mediciones del primer cateto cometemos ligeros errores, haciéndolo sucesivamente 4·001 y 4·002, el cálculo arrojará longitudes para la hipotenusa de casi exactamente 5·0008 y 5·0016, de modo que el error en la hipotenusa parecerá variar en simple proporción respecto al del cateto, aunque en realidad no lo haga con perfecta exactitud.

El logaritmo de un número no varía en proporción a ese número; sin embargo, hallamos que la diferencia entre los logaritmos de los números 100000 y 100001 es casi exactamente igual a la que hay entre los números 100001 y 100002.

Es, por tanto, una regla general que las diferencias muy pequeñas entre valores sucesivos de una función son aproximadamente proporcionales a las pequeñas diferencias de la cantidad variable.

Sobre estos principios es fácil formular una serie de reglas como las dadas por Kohlrausch‍¹⁹ para realizar cálculos de forma abreviada cuando la cantidad variable es muy pequeña en comparación con la unidad.

Así, por 1 ÷ (1 + α) podemos sustituir 1 – α; por 1 ÷ (1 – α) podemos poner 1 + α; 1 ÷ √1 + α se convierte en 1 – 1/2α, y así sucesivamente.

# Cuatro significados de la igualdad.

Aunque pudiera parecer que hay pocos términos más libres de ambigüedad que el término igual, los hombres de ciencia lo emplean, sin embargo, con al menos cuatro significados, que conviene distinguir. Estos significados puedo describirlos como

Por igualdad absoluta entendemos aquella que es completa y perfecta en el último grado; pero es obvio que solo podemos conocer tal igualdad de manera teórica o hipotética.

Las áreas de dos triángulos que se apoyan sobre la misma base y entre las mismas paralelas son absolutamente iguales. Hipócrates demostró bellamente que el área de una lúnula o figura comprendida entre dos segmentos de círculos era absolutamente igual a la de cierto triángulo rectángulo.

Como regla general, todos los teoremas geométricos y otros teoremas matemáticos elementales implican una igualdad absoluta.

De Morgan propuso describir como casi iguales aquellas cantidades que son iguales dentro de una cantidad infinitamente pequeña, de modo que x es casi igual a x + dx. Puede decirse que el cálculo diferencial surge de la omisión de las cantidades infinitamente pequeñas, y en la ciencia matemática tal vez deban trazarse otras sutiles distinciones entre clases de igualdad, como De Morgan ha mostrado en una notable memoria «On Infinity; and on the sign of Equality».‍²⁰

La igualdad aparente es aquella de la que se ocupa la ciencia física. Aquellas magnitudes son aparentemente iguales que difieren solo en una cantidad imperceptible. Para el carpintero, todo lo que sea menor que la centésima parte de una pulgada es inexistente; hay pocas artes o artistas para los que la cienmilésima parte de una pulgada tenga alguna importancia. Dado que toda coincidencia entre magnitudes físicas se juzga mediante uno u otro sentido, debemos limitarnos al conocimiento de la igualdad aparente.

En realidad, rara vez cabe esperar siquiera una igualdad aparente. Lo más común es que los experimentos arrojen únicamente una igualdad probable, es decir, que los resultados se acerquen tanto entre sí que la diferencia pueda atribuirse a causas perturbadoras sin importancia.

Los físicos suelen dar por supuesto que las cantidades son iguales siempre que se encuentren dentro de los límites del error probable de los métodos empleados. No podemos esperar que las observaciones concuerden con la teoría con mayor precisión de la que concuerdan entre sí, tal como señaló Newton a propósito de sus investigaciones sobre el cometa Halley.

# Aritmética de cantidades aproximadas.

Considerando que casi todas las cantidades que tratamos en las ciencias físicas y sociales son únicamente aproximadas, parece conveniente que en la enseñanza de la aritmética se preste atención a la interpretación y el tratamiento correctos de las declaraciones numéricas aproximadas.

Parece que necesitamos una notación para expresar la aproximación o exactitud de los números decimales. La fracción ·025 puede significar con precisión una parte en 40, o puede significar cualquier valor entre ·0245 y ·0255.

Propongo que, cuando una fracción decimal se dé completa y exactamente, se añada un cifrador pequeño o círculo para indicar que no hay nada más que añadir, como en ·025◦.

Cuando la primera cifra de los decimales descartados sea 5 o más, la primera cifra retenida deberá aumentarse en una unidad, según una regla aprobada por De Morgan y hoy en día reconocida de manera general.

Para indicar que la fracción así retenida es mayor que la realidad, en algunas tablas de logaritmos se ha colocado un punto sobre la última cifra; pero un punto similar se utiliza para denotar el período de un decimal periódico, por lo que propondría emplear dos puntos (un colon) después de la cifra; así, ·025: significaría que la cantidad real se encuentra entre ·0245° y ·025°, incluyendo el límite inferior pero no el superior.

Cuando la fracción es menor que la realidad, se podrían colocar dos puntos horizontalmente como en ·025.., lo que significaría cualquier valor entre ·025° y ·0255°, sin incluir los límites.

Cuando se suman, restan, multiplican o dividen números aproximados, determinar el grado de precisión del resultado se vuelve un asunto de cierta complejidad. Son pocas las personas que podrían afirmar sin vacilar que la suma de los números aproximados 34·70, 52·693, 80·1 es 167·5 con un margen de error menor de ·07.

El señor Sandeman ha trazado las reglas de la aritmética aproximada de una manera muy exhaustiva, y sus directrices son dignas de una cuidadosa atención.‍²¹

La tercera parte del excelente libro de aritmética de Sonnenschein y Nesbitt‍²² describe detalladamente todo tipo de cálculos aproximados, y muestra tanto cómo evitar un trabajo innecesario como la manera de tener debidamente en cuenta la inexactitud al operar con fracciones decimales aproximadas.

Una investigación sencilla sobre el tema se encuentra en la Algèbre Elémentaire de Sonnet (París, 1848), cap. XIV, «Des Approximations Absolues et Relatives». Hay también una obra estadounidense sobre la materia.‍²³

Aunque la exactitud de las mediciones ha avanzado tanto desde los tiempos de Leslie, no resulta superfluo repetir su protesta contra la injusticia de aparentar, mediante el despliegue de fracciones decimales, un grado de mayor exactitud del que la naturaleza del caso requiere y admite.‍²⁴

He conocido a un hombre de ciencia que registraba el barómetro con una precisión de segundo cuando el cuarto de hora más cercano habría sido más que suficiente.

Los químicos suelen publicar los resultados de sus análisis hasta la diezmilésima o incluso la millonésima parte del total, cuando con toda probabilidad no se puede confiar en los procesos empleados más allá de la centésima parte.

Rara vez es conveniente dar más de una cifra de valor incuestionablemente incierto; sin embargo, hay que admitir que se requiere una fina percepción del grado de exactitud posible y deseable para evitar, por un lado, malentendidos y cálculos innecesarios, y para garantizar, por el otro, toda la precisión alcanzable.