CAPÍTULO VI. EL MÉTODO INDIRECTO DE INFERENCIA.

Las formas de razonamiento deductivo consideradas hasta ahora son en su mayoría casos de deducción directa, en contraste con aquellas de las que vamos a tratar ahora.

El método de deducción indirecta puede describirse como aquel que señala lo que una cosa es, al demostrar que no puede ser ninguna otra cosa. Podemos definir un determinado espacio en un mapa coloreando dicho espacio, o bien coloreando todo excepto dicho espacio; el primer modo es positivo, el segundo negativo.

La diferencia, como se verá fácilmente, es exactamente análoga a la que existe entre los modos directo e indirecto de demostración en geometría. Euclides a menudo demuestra que dos líneas son iguales al demostrar que no pueden ser desiguales, y la demostración se apoya en el número conocido de alternativas —mayor, igual o menor— que son las únicas concebibles. En otros casos, como por ejemplo en la séptima proposición del primer libro, demuestra que dos líneas deben encontrarse en un punto determinado al demostrar que no pueden encontrarse en ninguna otra parte.

En lógica siempre podemos definir con certeza el número máximo de alternativas concebibles. La Ley de la Dualidad (págs. 6, 74) nos permite afirmar siempre que cualquier cualidad o circunstancia, sea cual sea, está presente o ausente. Cualquiera que sea el significado de los términos A y B, es ciertamente verdad que

Estas son premisas tácitas universales que pueden emplearse en la solución de todo problema, y que son condiciones tan invariables y necesarias de todo pensamiento, que no es necesario establecerlas de manera especial.

La Ley de la Contradicción es una condición ulterior de todo pensamiento y de todo símbolo lógico; nos permite, y de hecho nos obliga, a rechazar de nuestra consideración posterior todos los términos que implican la presencia y la ausencia de una misma cualidad.

Ahora bien, siempre que ponemos en acción explícita ambas Leyes del Pensamiento mediante el método de sustitución, empleamos el Método Indirecto de Inferencia. Se verá que podemos tratar no solo aquellos argumentos ya expuestos según el método directo, sino que podemos incluir una multitud infinita de otros argumentos que son incapaces de resolverse por ningún otro medio.

Algunos filósofos, especialmente los de Francia, han sostenido que el Método Indirecto de Demostración tiene cierta inferioridad respecto al método directo, lo cual debería impedirnos usarlo salvo cuando estemos obligados a ello.

Pero hay muchas verdades que solo podemos demostrar indirectamente. Podemos demostrar que un número es primo únicamente mediante el método puramente indirecto de mostrar que no es ninguno de los números que tienen divisores, y el notable proceso conocido como la Criba de Eratóstenes es el único modo mediante el cual podemos seleccionar los números primos.‍¹

Este guarda una fuerte analogía con el método indirecto que aquí se va a describir. Podemos demostrar que el lado y el diámetro de un cuadrado son incomensurables, pero solo de manera negativa o indirecta, mostrando que la suposición contraria conduce inevitablemente a una contradicción.‍²

Muchas otras demostraciones en diversas ramas de las ciencias matemáticas proceden según un método similar. Ahora bien, si hay tan solo una verdad importante que debe ser, y solo puede ser, demostrada indirectamente, podemos decir que el proceso es necesario y suficiente, y la cuestión de su excelencia o utilidad comparativa no merece ser discutida.

De hecho, creo que casi la mitad de nuestras conclusiones lógicas descansan en su empleo.

Ilustraciones simples.

Al trazar los poderes y resultados de este método, comenzaremos con el ejemplo más simple posible. Tomemos una proposición de la forma común, $A=AB$, por ejemplo, yanquemos investiguemos su significado completo. Cualquier persona que tenga la más mínima formación lógica es consciente de que podemos extraer de la proposición anterior otra aparentemente diferente, a saber,

Mientras que algunos lógicos, como por ejemplo De Morgan,‍³ han considerado que la relación entre estas dos proposiciones es puramente evidente por sí misma, y que no necesita ni permite análisis, muchísimas más personas, según he observado al enseñar lógica, son incapaces al principio de percibir la estrecha conexión entre ellas. Creo que un sistema de lógica verdadero y completo proporcionará un claro análisis de este proceso, que ha sido llamado Conversión por contraposición; el proceso completo es el siguiente:‍—

En primer lugar, por la Ley de la Dualidad sabemos que

Si es metal, sabemos por la premisa que es un elemento; estaríamos suponiendo así que una misma cosa es un elemento y un no-elemento, lo cual se opone a la Ley de la Contradicción. Según la única otra alternativa, por lo tanto, el no-elemento debe ser un no-metal.

Para representar este proceso de inferencia simbólicamente, tomamos la premisa en la forma

A = AB. (1)

Observamos que por la Ley de Dualidad el término no-B se describe así

b = A b ꖌ ab . (2)

Para A en esta proposición sustituimos su descripción tal como se da en (1), obteniendo

Pero según la Ley de la Contradicción, el término ABb debe excluirse del pensamiento, o

De donde resulta que b o bien no es nada en absoluto, o es ab; y la conclusión es

Como con frecuencia será necesario referirse a una conclusión de esta clase, la llamaré, como es habitual, la Proposición Contrapuesta de la original. Apenas es necesario advertir al lector que de que todos los A son B no se sigue que todos los no-A no sean no-B.

Pues por la Ley de Dualidad tenemos y no será posible hacer ninguna sustitución en esto mediante nuestra premisa original A = AB. Sigue siendo dudoso, por lo tanto, si el no-metal es elemento o no-elemento.

La demostración de la Proposición Contrapositiva dada anteriormente es exactamente la misma que la que aplica Euclides en el caso de las nociones geométricas. De Morgan describe el proceso de Euclides de la siguiente manera‍⁴:—«De todo no-B es no-A produce Todo A es B, así: Si fuera posible, sea este A no-B, pero todo no-B es no-A, por tanto este A es no-A, lo cual es absurdo: de donde todo A es B». Ahora bien, De Morgan piensa que esta demostración es totalmente innecesaria, porque la lógica común proporciona la inferencia sin el uso de ningún razonamiento geométrico. Sin embargo, considero que la lógica proporciona la inferencia únicamente mediante un proceso indirecto. De Morgan pretende «ver la identidad en Todo A es B y todo no-B es no-A, mediante un proceso de pensamiento previo al silogismo». Ya sea previo al silogismo o no, sostengo que no es previo a las leyes del pensamiento y al proceso de inferencia sustitutiva, por el cual puede ser demostrado indudablemente.

# Empleo de la proposición contrapositiva.

Con frecuencia podemos emplear la forma contrapositiva de una proposición mediante el método de sustitución; y ciertos modos del antiguo silogismo, que hasta ahora habíamos pasado por alto, pueden así comprenderse de manera satisfactoria en nuestro sistema. Tomemos, por ejemplo, el siguiente silogismo en el modo Camestres:—

Tomemos

Las premisas son de las formas

Ahora, por el procedimiento de la contraposición obtenemos a partir de la segunda premisa y podemos sustituir esta expresión por c en (1), obteniendo o «Las ballenas no son peces verdaderos, al no respirar agua».

El modo Cesare no difiere realmente de Camestres, excepto en el orden de las premisas, y podría exponerse de una manera exactamente similar.

El modo Baroko dio muchos quebraderos de cabeza a los viejos lógicos, que no pudieron reducirlo a la primera figura de la misma manera que a los otros modos, y se vieron obligados a inventar, especialmente para él y para Bokardo, un método de Reducción Indirecta estrechamente análogo a la demostración indirecta de Euclides.

Pues bien, estos modos no requieren un tratamiento excepcional en este sistema. Tomemos como ejemplo de Baroko el argumento

Tratando la pequeña palabra some como un adjetivo indeterminado de selección, al que le asignamos un símbolo como a cualquier otro adjetivo, dejemos

Las premisas pasan entonces a ser

Ahora de (1) obtenemos por el método indirecto la proposición contrapositiva y si sustituimos esta expresión por c en (2) tenemos que el significado completo de esto es que «algunas nebulosas no dan espectros continuos y no son sólidos incandescentes».

Podríamos aplicar de manera similar la contraposición en muchos otros casos. Tomemos el argumento: «Todas las estrellas fijas son autoluminosas; pero algunos de los cuerpos celestes no son autoluminosos y, por tanto, no son estrellas fijas». Tomando nuestros términos, tenemos las premisas

Ahora de (1) podemos deducir la contraposición y sustituyendo esta expresión por b en (2) obtenemos lo cual expresa la conclusión del argumento de que algunos cuerpos celestes no son estrellas fijas.

# Contrapositiva de una identidad simple.

El lector debe observar cuidadosamente que cuando aplicamos el proceso de Inferencia Indirecta a una identidad simple de la forma podemos obtener resultados adicionales.

Si deseamos saber cuál es el término no-$B$, tenemos como antes, por la Ley de Dualidad, y sustituyendo por $A$ obtenemos

Pero ahora también podemos extraer una segunda contraposición; pues

tenemos y sustituyendo a B por su equivalente A tenemos

Por tanto, a partir de la identidad única A = B podemos extraer las dos proposiciones y observando que estas proposiciones tienen un término común ab, podemos hacer una nueva sustitución, obteniendo

Este resultado está en estricta conformidad con los principios fundamentales de la inferencia, y cabe preguntarse si no es un resultado evidente por sí mismo, independiente de los pasos de deducción mediante los cuales lo hemos alcanzado.

Pues donde dos clases son coincidentes como A y B, todo lo que es verdadero de la una lo es de la otra; lo que está excluido de la una debe excluirse de la otra de manera similar.

Ahora bien, como a guarda con A exactamente la misma relación que b guarda con B, la identidad de cualquiera de los pares se sigue de la identidad del otro par. En toda identidad, igualdad o similitud, podemos argumentar a partir de la negación de un lado hacia la negación del otro.

Así, a temperaturas ordinarias, de ahí se sigue obviamente o puesto que se deduce que cualquier estrella que no sea la más brillante no es Sirio, y viceversa.

Toda definición correcta tiene la forma A = B, y a menudo puede requerir ser aplicada en su forma negativa equivalente.

Tomemos como ilustración del modo de usar este resultado el siguiente argumento:

Aquí tenemos una definición (1), y una comparación de una cosa con esa definición (2), lo que lleva a la exclusión de la cosa de la clase definida.

Tomando los términos, las premisas son claramente de las formas

Ahora, por el método indirecto, obtenemos de (1) la contrapositiva y, al insertar en (2) el equivalente para b, tenemos

C = a C, (3)

o “la letra w no es una vocal.”

Ejemplos misceláneos del método.

Podemos aplicar el Método Indirecto de Inferencia cualquiera que sea el número de términos implicados o de premisas que contengan dichos términos. Como el funcionamiento del método se aprende mejor con ejemplos, tomaré un caso de dos premisas que forman el silogismo Bárbara: así

Si queremos averiguar qué inferencia es posible en relación con el término Hierro, desarrollamos el término mediante la Ley de la Dualidad. El hierro debe ser metal o no-metal; el hierro que es metal debe ser elemento o no-elemento; y de manera similar el hierro que no es metal debe ser elemento o no-elemento. Hay entonces en total cuatro alternativas entre las cuales debe estar contenida la descripción del hierro; por lo tanto

Nuestra primera premisa nos informa que el hierro es un metal, y si sustituimos esta descripción en (γ) y (δ) tendremos combinaciones contradictorias en sí mismas. Nuestra segunda premisa asimismo nos informa que el metal es un elemento, y al aplicar esta descripción a (β) tenemos de nuevo una contradicción interna, de modo que solo queda (α) como descripción del hierro—nuestra inferencia es

Para representar este proceso de razonamiento en símbolos generales,

sea

Las premisas del problema adoptan las formas

Por la Ley de Dualidad tenemos

Ahora bien, si sustituimos en el segundo miembro de (3) la expresión de A dada en (4), obtenemos lo que denominaré el desarrollo de A respecto de B y C, a saber

A = ABC ꖌ AB c ꖌ A b C ꖌ A bc . (5)

Dondequiera que las letras A o B aparezcan en el segundo lado de (5), sustitúyanse por sus equivalentes dados en (1) y (2), y los resultados expresados por extenso son

Las últimas tres alternativas rompen el Principio de Contradicción, de modo que

Esta conclusión es, en efecto, no más de lo que podríamos obtener mediante el proceso directo de sustitución, es decir, sustituyendo en (1) su descripción en (2) como en la p. 55; es característica del proceso indirecto que proporcione todas las conclusiones lógicas posibles, tanto aquellas que hemos obtenido previamente como un número inmenso de otras de las que la lógica antigua apenas tomó nota o no tomó ninguna. A partir de las mismas premisas, por ejemplo, podemos obtener una descripción de la clase no-elemento o c. Por la Ley de Dualidad podemos desarrollar c en cuatro alternativas, de este modo

Si sustituimos A y B como antes, obtenemos y, tachando los términos que infringen la Ley de Contradicción, queda o lo que no es elemento tampoco es hierro ni metal.

Este Método Indirecto de Inferencia proporciona así una solución completa al siguiente problema: Dadas cualquier número de premisas o condiciones lógicas, se requiere la descripción de cualquier clase de objetos, o de cualquier término, según esté gobernado por dichas condiciones.

Los pasos del proceso de inferencia pueden así declararse concisamente—

1. Por la Ley de Dualidad, desarrollad el mayor número posible de alternativas que puedan existir en la descripción de la clase o término requerido en lo que respecta a los términos involucrados en las premisas.

2. Sustituye cada término de estas alternativas por su descripción tal como se da en las premisas.

3. Tachar todas las alternativas que entonces se encuentre que infringen la Ley de Contradicción.

4. Los términos restantes pueden igualarse al término en cuestión como la descripción deseada.

# El problema del señor Venn.

La necesidad de algún método lógico más potente y amplio que la antigua lógica de Aristóteles queda llamativamente ilustrada por el señor Venn en su interesantísimo y competente artículo sobre la lógica de Boole.‍⁵

Un ejemplo sencillo, obtenido originalmente, según dice, con la ayuda de mi método tal como se describe de forma simple en las Elementary Lessons in Logic, fue propuesto en exámenes y aulas a unos ciento cincuenta estudiantes como un problema de la lógica ordinaria.

Fue respondido por, a lo sumo, cinco o seis de ellos. Posteriormente se planteó, como ejemplo del método de Boole, a una pequeña clase que había asistido a unas pocas conferencias sobre la naturaleza de estos métodos simbólicos. Fue respondido con facilidad por la mitad o más de sus integrantes.

El problema era el siguiente: «Los miembros de una junta eran todos ellos obligacionistas o accionistas, pero no ambas cosas; y los obligacionistas, da la casualidad, estaban todos en la junta. ¿Qué conclusión puede extraerse?». La conclusión requerida es: «Ningún accionista es obligacionista».

Ahora bien, como dice el señor Venn, nada puede parecer más sencillo que el siguiente razonamiento, una vez expuesto: «No puede haber obligacionistas que sean accionistas; pues, de haberlos, tendrían que estar en la junta o fuera de ella. Pero no están en ella, según la primera de las afirmaciones dadas; ni fuera de ella, según la segunda».

Sin embargo, debido a la falta de un método sistemático para tratar tal cuestión, solo cinco o seis de unos ciento cincuenta estudiantes lograron resolver un problema tan sencillo.

Mediante una declaración simbólica el problema se resuelve al instante.

Tomando las premisas son evidentemente

La clase C o los accionistas puede, con respecto a A y B, desarrollarse en cuatro alternativas,

Pero sustituyendo A en la primera y B en la tercera alternativa obtenemos

La primera, la segunda y la cuarta alternativas de lo anterior son combinaciones contradictorias en sí mismas, y solo estas; tachándolas quedan las respuestas requeridas.

Este razonamiento simbólico es, según creo, el equivalente exacto del razonamiento del Sr. Venn, y no creo que el resultado pueda lograrse de una manera más sencilla. El Sr. Venn añade que podría aducir otros ejemplos similares, es decir, ejemplos que muestran la necesidad de un mejor método lógico.

# Abreviación del Proceso.

Antes de pasar a otras ilustraciones del uso de este método, debo señalar cuánto se puede simplificar su empleo práctico y cuán más fácil es de lo que parecería por la descripción.

Cuando queremos llevar a cabo una solución general y completa de un problema lógico, lo mejor es formar, en primer lugar, una serie completa de todas las combinaciones de términos que intervienen en él. Si hay dos términos A y B, la máxima variedad de combinaciones en las que pueden aparecer son

El término A aparece en la primera y segunda; B en la primera y tercera; a en la tercera y cuarta; y b en la segunda y cuarta. Ahora bien, si tenemos cualquier premisa, digamos que debemos averiguar cuál de estas combinaciones resultará autodestructiva por sustitución; la segunda y la tercera tendrán que tacharse, y solo quedarán

Por consiguiente, extraemos las siguientes deducciones

Exactamente el mismo método debe seguirse cuando una cuestión involucra un mayor número de términos. Así, por la Ley de Dualidad, los tres términos A, B, C, dan lugar a ocho combinaciones concebibles, a saber

El desarrollo del término A está formado por los primeros cuatro de estos; para B debemos seleccionar (α), (β), (ε), (ζ); C consta de (α), (γ), (ε), (η); b de (γ), (δ), (η), (θ), y así sucesivamente.

Ahora bien, si queremos investigar por completo el significado de las premisas

examinamos cada una de las ocho combinaciones con respecto a cada premisa; (γ) y (δ) son contradichas por (1), y (β) y (ζ) por (2), de modo que solo quedan

Para describir cualquier término bajo las condiciones de las premisas (1) y (2), simplemente tenemos que extraer las combinaciones adecuadas de esta lista; así, A está representado únicamente por ABC, es decir

Para B tenemos dos alternativas así enunciadas, y para b tenemos

Cuando tenemos un problema que involucra cuatro términos distintos, necesitamos duplicar el número de combinaciones, y a medida que añadimos cada nuevo término, las combinaciones se vuelven dos veces más numerosas. Así

y así sucesivamente.

Propongo llamar a cualquier serie semejante de combinaciones el Alfabeto Lógico. Este ocupa en la ciencia lógica una posición cuya importancia no puede exagerarse y, a medida que avancemos de las consideraciones lógicas a las matemáticas, se hará evidente que existe una estrecha conexión entre estas combinaciones y los teoremas fundamentales de la ciencia matemática.

Para la comodidad del lector que pueda desear emplear el Alfabeto en cuestiones lógicas, he mandado imprimir en la página siguiente una serie completa de las combinaciones hasta las de seis términos.

Ya en el comienzo mismo, en la primera columna, se coloca una sola letra X, la cual podría parecer superfluas. Esta letra sirve para denotar que siempre es alguna clase superior la que se divide. Así, la combinación AB significa en realidad ABX, o aquella parte de alguna clase mayor, digamos X, que posee las cualidades de A y B presentes. La letra X se omite en la mayor parte de la tabla meramente por razones de brevedad y claridad.

En un capítulo posterior sobre Combinaciones se hará evidente que la introducción de esta clase unitaria es necesaria para completar la analogía con el Triángulo Aritmético allí descrito.

El lector debe tener en cuenta que, aunque el Alfabeto Lógico parece ofrecer meras listas de combinaciones, estas combinaciones pretenden en todo caso constituir el desarrollo de un término de una proposición. Así, las cuatro combinaciones AB, Ab, aB, ab significan en realidad que cualquier clase X está descrita por la siguiente proposición,

Si seleccionamos las A, obtenemos la siguiente proposición

Por consiguiente, cualquier grupo de combinaciones que tratemos debe concebirse como parte de una clase superior, summum genus o universo simbolizado en el término X; pero, teniendo esto presente, es innecesario complicar nuestras fórmulas introduciendo siempre la letra.

Toda inferencia consiste en pasar de proposiciones a proposiciones, y las combinaciones per se carecen de significado. Deben, por lo tanto, considerarse en todos los casos como partes integrantes de proposiciones.

# El Alfabeto Lógico.

Desde un punto de vista teórico, podemos concebir que el Alfabeto Lógico se extiende infinitamente. Toda nueva cualidad o circunstancia que pueda pertenecer a un objeto subdivide cada combinación o clase, de modo que el número de tales combinaciones, cuando no está restringido por condiciones lógicas, está representado por una potencia de dos infinitamente alta. El aumento extremadamente rápido en el número de subdivisiones nos obliga a limitar nuestra atención a unas pocas cualidades a la vez.

Al contemplar las propiedades de este Alfabeto, a menudo me inclino a pensar que Pitágoras percibió la profunda importancia lógica de la dualidad; pues mientras la unidad era el símbolo de la identidad y la armonía, él describió el número dos como el origen de los contrastes, o el símbolo de la diversidad, la división y la separación.

El número cuatro, o la Tetractys, también era considerado por él como uno de los elementos principales de la existencia, pues representaba la virtud generadora de donde provienen todas las combinaciones. En uno de los versos áureos atribuidos a Pitágoras, conjura a su discípulo a ser virtuoso:‍⁶

Now four and the higher powers of duality do represent in this logical system the numbers of combinations which can be generated in the absence of logical restrictions.

The followers of Pythagoras may have shrouded their master’s doctrines in mysterious and superstitious notions, but in many points these doctrines seem to have some basis in logical philosophy.

# La pizarra lógica.

Para una persona que ha comprendido alguna vez la extrema importancia y utilidad del Alfabeto Lógico, el proceso indirecto de inferencia se reduce a la repetición de unas pocas operaciones uniformes de clasificación, selección y eliminación de contradictorios.

La deducción lógica, incluso en las cuestiones más complicadas, se convierte en una cuestión de mera rutina, y la cantidad de trabajo requerida es el único impedimento, una vez que el significado de las premisas ha quedado claro. Pero a menudo se descubre que la cantidad de trabajo es considerable.

• El simple hecho de escribir sesenta y cuatro combinaciones de seis letras cada una no es una tarea pequeña y, si tuviéramos un problema de cinco premisas, cada una de las sesenta y cuatro combinaciones tendría que examinarse en relación con cada premisa.
• La comparación requerida es a menudo de carácter muy tedioso y media una posibilidad considerable de error.

He prestado mucha atención, por lo tanto, a disminuir tanto la labor manual como la mental del proceso, y describiré varios dispositivos que pueden adoptarse para ahorrar molestias y riesgo de error.

En primer lugar, como los mismos conjuntos de combinaciones ocurren una y otra vez en diferentes problemas, podemos evitar el trabajo de escribirlos teniendo los conjuntos de letras ya impresos en pequeñas hojas de papel de escritura.

Un corresponsal también ha sugerido que, si se marcara cualquier serie de combinaciones en el margen de una hoja de papel y se hiciera un corte entre cada par de combinaciones, sería fácil doblar hacia abajo cualquier combinación en particular y, por lo tanto, ocultarla a la vista. Las combinaciones coherentes con las premisas quedarían entonces en una serie discontinua. Este método funciona bastante bien para un uso ocasional.

Un método más conveniente, sin embargo, consiste en grabar la serie de letras que se muestra en la pág. 94 sobre una pizarra escolar común, de un tamaño tal que las letras ocupuen solo alrededor de un tercio del espacio en el lado izquierdo de la pizarra. Las condiciones del problema pueden entonces escribirse en la parte desocupada de la pizarra y, elegida la serie adecuada de combinaciones, las combinaciones contradictorias pueden tacharse con el lápiz.

He utilizado una pizarra de este tipo, a la que llamo Pizarra Lógica, durante más de doce años, y me ha ahorrado muchos problemas. Es casi imposible aplicar este proceso a problemas de más de seis términos, debido al gran número de combinaciones que requerirían examen.

Abstracción de Circunstancias Indiferentes.

Existe un proceso de inferencia simple pero sumamente importante que nos permite abstraer, eliminar o pasar por alto todas las circunstancias indiferentemente presentes y ausentes.

Así, si yo afirmara que «un triángulo es una figura rectilínea de tres lados, ya sea grande o no grande», estas dos alternativas serian superfluas, porque, por la Ley de la Dualidad, sé que todo debe ser grande o no grande. Añadir la cualificación no aporta ningún conocimiento nuevo, ya que la existencia de las dos alternativas se dará por entendida a falta de cualquier información en contrario.

En consecuencia, cuando dos alternativas difieren únicamente en lo que respecta a un único término componente que es positivo en una y negativo en la otra, podemos reducirlas a un solo término tachando su parte indiferente. Es realmente un proceso de sustitución el que nos permite hacer esto; pues teniendo cualquier proposición de la forma

A = ABC ꖌ AB c , (1)

sabemos por la Ley de la Dualidad que

AB = ABC ꖌ AB c . (2)

Como el segundo miembro de esto es idéntico al segundo miembro de (1), podemos sustituir, obteniendo

Este proceso de reducción de alternativas inútiles puede aplicarse una y otra vez; pues es evidente que no comunica más información que la de que A es B.

La abstracción de términos indiferentes es, de hecho, el proceso inverso al del desarrollo descrito en la pág. 89; y es una de las operaciones más importantes en toda la esfera del razonamiento.

El lector debe observar que en la proposición no podemos abstraer C e inferir sino que podemos abstraer toda referencia al término C.

Debe señalarse cuidadosamente, sin embargo, que las alternativas que parecen carecer de sentido a menudo implican un conocimiento importante.

Así, si digo que «un triángulo es una figura rectilínea de tres lados, con o sin tres ángulos iguales», las últimas alternativas expresan en realidad una propiedad de los triángulos, a saber, que algunos triángulos tienen tres ángulos iguales y otros no los tienen.

Si ponemos P = «Algunos», entendiendo por el adjetivo indefinido «Algunos» una o más de las propiedades indefinidas de los triángulos con tres ángulos iguales, y tomamos entonces el conocimiento implícito, este se expresa en las dos proposiciones

Estos también pueden reducirse a la forma de una sola proposición, a saber, pero estas alternativas no pueden reducirse, y la proposición es muy diferente de

# Ilustraciones del método indirecto.

Aquí se podría introducir una gran variedad de argumentos y problemas lógicos para mostrar el carácter integral y las capacidades del Método Indirecto. Podemos tratar ya sea una sola premisa o una serie de premisas.

Tomemos en primer lugar una definición sencilla, como «un triángulo es una figura rectilínea de tres lados». Sea entonces la definición de la forma

Si tomamos la serie de ocho combinaciones de tres letras en el Alfabeto Lógico (p. 94) y tachamos aquellas que son incompatibles con la definición, obtenemos el siguiente resultado:—

Para la descripción de la clase C tenemos que es,

“una figura rectilínea es o bien un triángulo y de tres lados, o no es un triángulo y no es de tres lados”.

Para la clase b tenemos

A la segunda parte de esto podemos aplicar el proceso de simplificación por abstracción descrito en la última sección; pues por la Ley de Dualidad y como tenemos dos proposiciones idénticas en la segunda parte de cada una, podemos sustituir, obteniendo o lo que no es de tres lados no es un triángulo (ya sea rectilíneo o no).

Segundo Ejemplo.

Tratemos por este método el siguiente argumento:—

Tomando así nuestras cartas—

las premisas son de las formas

No se puede hacer ninguna sustitución inmediata; pero si tomamos la contrapositiva de (2) (véase la p. 86), a saber, b = c , (3)

podemos sustituir en (1) obteniendo la conclusión

Pero puede obtenerse el mismo resultado tomando las ocho combinaciones de A, B, C, del Alfabeto Lógico; se hallará que solo tres combinaciones, a saber, son compatibles con las premisas, de donde resulta que o bien mediante el proceso de Elipsis anteriormente descrito (p. 57)

Tercer ejemplo.

Como un ejemplo algo más complejo tomo el argumento tal como se enuncia, uno que no podría adoptar la forma silogística:—

Hay más implícito en esta afirmación de lo que se afirma claramente; su significado completo es el siguiente:

Tomando así nuestras cartas—

podemos enunciar las premisas en las formas

Para obtener una solución completa de la cuestión, tomamos las dieciséis combinaciones de A, B, C y D, y tachando aquellas que son incompatibles con las premisas, solo quedan

La expresión para las cosas no opacas consta de las tres combinaciones que contienen d, por lo que

En el lenguaje ordinario, lo no opaco es o bien metal que es oro, y entonces no plata, o plata y entonces no oro, ni oro ni plata si no es metal.

Cuarto Ejemplo.

Un buen ejemplo para la ilustración del Método Indirecto se encuentra en el libro Formal Logic de De Morgan (p. 123), cuyas premisas son sustancialmente las siguientes:—

De A se sigue B, y de C se sigue D; pero B y D son incompatibles entre sí; por lo tanto, A y C son incompatibles.

El significado indudable es que donde esté A, se encontrará B, o que todo A es un B, y de manera similar todo C es un D; pero B y D no pueden ocurrir juntos. Las premisas, por tanto, parecen ser de las formas

Al examinar la serie de dieciséis combinaciones, solo cinco resultan ser compatibles con las condiciones anteriores, a saber:

En estas combinaciones, la única A que aparece está unida a c, y de manera similar, C está unida a a, o bien A es incompatible con C.

Quinto Ejemplo.

Un argumento más complejo, dado también por De Morgan,‍⁷ consta de cinco términos y se enuncia tal como sigue, salvo que se han alterado las letras.

El significado de las premisas anteriores es difícil de interpretar, pero parece ser susceptible de expresarse en las siguientes formas simbólicas:

Como cinco términos entran en estas premisas, es necesario tratar sus treinta y dos combinaciones, y se verá que catorce de ellas siguen siendo consistentes con las premisas, a saber

Si examinamos las cuatro primeras combinaciones, las cuales contienen todas ellas A, encontramos que ninguna de ellas contiene D; o bien, si seleccionamos aquellas que contienen D, tenemos solo dos, a saber:

De donde resulta evidente que ningún A es D, y viceversa ningún D es A.

Podríamos extraer muchas otras conclusiones de las mismas premisas; por ejemplo—

o D y E nunca se encuentran sino en ausencia de A, B y C.

# Falacias analizadas por el Método Indirecto.

Quizá se ha demostrado suficientemente que mediante el Método Indirecto de Inferencia podemos extraer toda la verdad de una serie de proposiciones, y exponerla de nuevo en cualquier forma de conclusión requerida.

Pero también puede ser necesario mostrar mediante ejemplos que, mientras sigamos correctamente las reglas casi mecánicas del método, no podemos caer en ninguna de las falacias o paralogismos que a menudo se cometen en la discusión ordinaria.

Tomemos el ejemplo de un argumento falaz, tratado previamente mediante el Método de Inferencia Directa (p. 62),

y averigüemos si se puede extraer alguna conclusión precisa acerca de la relación entre el granito y el basalto.

Tomando como antes las premisas se vuelven

De las ocho combinaciones posibles de A, B y C, cinco cumplen con estas condiciones, a saber:

Seleccionando las combinaciones que contienen A, hallamos que la descripción del granito es, esto es, el granito no es una roca sedimentaria, y es o basalto o no-basalto. Si queremos una descripción del basalto, la respuesta es de forma semejante, es decir, el basalto no es una roca sedimentaria, y es o granito o no-granito.

Como ya resulta perfectamente evidente que el basalto debe ser o granito o no, y viceversa, las premisas no logran darnos información alguna sobre el punto; es decir, el Método de Inferencia Indirecta nos salva de caer en cualquier conclusión falaz.

Este ejemplo ilustra suficientemente tanto la falacia de las premisas negativas como la del Término Medio No Distribuido de la lógica antigua.

La falacia denominada proceso ilícito del término mayor tampoco puede cometerse al seguir las reglas del método. Nuestro ejemplo fue (p. 65)

La falsa conclusión es que «las estrellas fijas no están sujetas a la gravedad». Los términos son

Y las premisas son

Las combinaciones que no resultan contradichas al compararlas con estas premisas son

Para estrella fija tenemos la descripción que dice,

“una estrella fija no es un planeta, sino que está sujeta o no a la gravedad, según sea el caso.”

Aquí no tenemos ninguna conclusión acerca de la conexión entre las estrellas fijas y la gravedad.

# El ábaco lógico.

El Método Indirecto de Inferencia ya ha sido descrito suficientemente, y un examen minucioso de sus capacidades mostrará que es capaz de proporcionar un análisis y una solución completos de cualquier cuestión que implique únicamente relaciones lógicas.

La principal dificultad del método consiste en el gran número de combinaciones que puede ser necesario examinar; no sólo la labor requerida puede volverse formidable, sino que surge una posibilidad considerable de error. Por consiguiente, he prestado mucha atención a los modos de facilitar el trabajo, y he logrado reducir el método a una forma casi mecánica. Pronto pareció evidente que si las combinaciones concebibles del Alfabeto Lógico, para cualquier número de letras, en lugar de estar impresas en un orden fijo sobre un trozo de papel o pizarra, se marcaban en piezas de madera ligeras y móviles, se podrían idear fácilmente dispositivos mecánicos para seleccionar cualquier clase requerida de las combinaciones.

La labor de comparación y rechazo podría reducirse así inmensamente. Esta idea se llevó a cabo por primera vez en el Ábaco Lógico, el cual me ha resultado útil en la sala de conferencias para mostrar la solución completa de problemas lógicos. Ya se ha dado una descripción detallada de la construcción y el uso del Ábaco, junto con figuras de las piezas, en mi ensayo titulado The Substitution of Similars,‍⁸ y aquí daré únicamente una descripción general.

El ábaco lógico consiste en una pizarra escolar común colocada en posición inclinada y provista de cuatro listones horizontales y equidistantes. Las combinaciones de las letras que se muestran en las cuatro primeras columnas del alfabeto lógico están impresas en un tipo de letra algo grande, de modo que cada letra dista una pulgada de la vecina, pero las letras se colocan una encima de la otra en lugar de estar en líneas horizontales como en la p. 94.

Cada combinación de letras se fija por separado a la superficie de una tira delgada de madera de una pulgada de ancho y aproximadamente un octavo de pulgada de grosor. A continuación, se clavan pequeños pasadores de acero en posición inclinada en la madera.

• Cuando una letra es una mayúscula grande que representa un término positivo, el pasador se fija en la parte superior de su espacio;
• cuando la letra es una cursiva pequeña que representa un término negativo, el pasador se fija en la parte inferior del espacio.

Ahora bien, si una de las series de combinaciones se alinea sobre un listón de la pizarra, el borde afilado de una regla plana se puede introducir debajo de los pasadores pertenecientes a cualquier letra —digamos A—, de modo que todas las combinaciones marcadas con A puedan extraerse y colocarse en un listón separado.

De este modo hemos representado el acto del pensamiento que separa la clase A de lo que no es A.

La operación puede repetirse; de entre las A podemos seleccionar de la misma manera aquellas que son B, obteniendo las AB; y de igual modo podemos seleccionar cualesquiera otras clases como las aB, las ab o las abc.

Si ahora tomamos la serie de ocho combinaciones de las letras A, B, C, a, b, c, y deseamos analizar el argumento llamado antiguamente Barbara, teniendo las premisas

procedemos del siguiente modo: levantamos las combinaciones marcadas con a, dejando atrás las A; a partir de estas A pasamos a una repisa inferior como las b, y a las AB restantes les unimos las a que han sido levantadas. El resultado es que hemos dividido todas las combinaciones en dos clases, a saber, las Ab, que son incapaces de existir de manera consistente con la premisa (1), y las combinaciones que son consistentes con la premisa. Pasando ahora a la segunda premisa, levantamos de entre las que concuerdan con (1) las b, luego bajamos las Bc; por último, unimos las b a las BC. Ahora encontramos nuestras combinaciones dispuestas como se indica a continuación.

La línea inferior contiene todas las combinaciones que son incongruentes con cualquiera de las premisas; hemos llevado a cabo de una manera mecánica esa exclusión de las autocontradictorias que antiguamente se hacía sobre la pizarra o sobre el papel.

En consecuencia, de las combinaciones que quedan en la línea superior podemos extraer cualquier inferencia que produzcan las premisas.

• Si elevamos las A, encontramos solo una, y esa es C, de modo que A debe ser C.
• Si seleccionamos las c, encontramos de nuevo solo una, que es a y también b; así probamos que no-C es no-A y no-B.

Cuando ocurre una proposición disyuntiva entre las premisas, los movimientos requeridos se vuelven bastante más complicados. Tomemos el argumento disyuntivo

Las premisas se representan con precisión de la siguiente manera:‍—

Como hay cuatro términos, elegimos la serie de dieciséis combinaciones y las colocamos en el penúltimo saliente superior del tablero. Subimos las a y, de las A que quedan, bajamos las b. Pero no debemos rechazar todas las Ab por contradictorias, porque según la primera premisa las A pueden ser B, C o D. En consecuencia, de las Ab debemos seleccionar las c, y de estas a su vez las d, de modo que solo quede Abcd para ser rechazada finalmente.

Uniendo de nuevo las otras quince combinaciones y pasando a la premisa (2), subimos las a y bajamos las AC, rechazando así las combinaciones incompatibles con (2); de igual modo rechazamos las AD que son incompatibles con (3). Se verá que quedan, además de las ocho combinaciones que contienen a, solo una que contiene A, a saber, de donde resulta evidente que A debe ser B, la conclusión ordinaria del argumento.

En mi obra «Substitution of Similars» (págs. 56-59) he descrito el funcionamiento en el Ábaco de otros dos problemas lógicos, cuya repetición resultaría tediosa en este lugar.

# La Máquina Lógica.

Aunque el Ábaco Lógico reducía considerablemente la labor de utilizar el Método Indirecto, no estaba libre de la posibilidad de error. Pensé además que ofrecería una prueba conspicua de la generalidad y el poder del método si pudiera reducirlo a una forma puramente mecánica.

Los lógicos llevaban mucho tiempo acostumbrados a hablar de la Lógica como un Organon o Instrumento, e incluso lord Bacon, si bien rechazó la vieja lógica silogística, había insistido, en el segundo aforismo de su «Nuevo Instrumento», en que la mente requería algún tipo de ayuda sistemática.

En la ciencia afín de las matemáticas hacía tiempo que se empleaba asistencia mecánica de un tipo u otro.

• Los planetarios, los globos, los relojes mecánicos e instrumentos similares son en realidad ayudas para el cálculo y poseen una antigüedad considerable.
• El ábaco aritmético sigue estando en uso común en Rusia y China.
• La máquina de calcular de Pascal tiene más de dos siglos, habiendo sido construida en 1642–45.
• El Sr. Thomas de Colmar fabrica una máquina aritmética basada en los principios de Pascal que es empleada por ingenieros y otras personas que necesitan multiplicar o dividir con frecuencia.
• A Babbage y Scheutz se debe el mérito de materializar el cálculo de diferencias en una máquina, que se volvió así capaz de calcular las tablas numéricas más complicadas.

Parecía extraño que en la más intrincada ciencia de la cantidad el mecanismo fuera aplicable, mientras que en la simple ciencia del razonamiento cualitativo, el silogismo solo se denominara instrumento por una figura retórica.

Es verdad que Swift describió satíricamente a los Profesores de Laputa como poseedores de una máquina de pensar, y en 1851 el Sr. Alfred Smee propuso de hecho la construcción de una máquina relacional y una máquina diferencial, la primera de las cuales sería un diccionario mecánico y la segunda un modo de comparar ideas; pero salvo por estas excepciones, todavía no he encontrado ni la más mínima sugerencia de una máquina de razonar.

Puede añadirse que los diseños del Sr. Smee, aunque muy ingeniosos, parecen impracticables, y en cualquier caso no intentan realizar inferencias lógicas.‍⁹

El Ábaco Lógico sugirió pronto la noción de una Máquina Lógica, la cual, tras dos intentos infructuosos, logré construir en una forma comparativamente simple y eficaz.

Los detalles de la Máquina Lógica han sido descritos exhaustivamente con la ayuda de láminas en las Philosophical Transactions,‍¹⁰ y sería innecesario repetir aquí la descripción de los movimientos, algo complejos, de la máquina.

El aspecto general de la máquina se muestra en una lámina frente a la portada de este volumen. Se asemeja un poco a un piano vertical o a un órgano muy pequeños, y tiene un teclado que contiene veintiuna teclas.

Estas teclas son de dos clases; dieciséis de ellas representan los términos o letras A, a, B, b, C, c, D, d, que tan a menudo se han empleado en nuestra notación lógica.

Cuando las letras aparecen en el lado izquierdo de una proposición, antiguamente llamado sujeto, cada una está representada por una tecla en la mitad izquierda del teclado; pero cuando aparecen en el lado derecho, o como solía llamarse, el predicado de la proposición, las teclas de letras del lado derecho del teclado son las representantes adecuadas.

Las otras cinco teclas pueden llamarse teclas de operación, para distinguirlas de las teclas de letras o términos. Representan los puntos, la cópula y las conjunciones disyuntivas de una proposición.

La tecla del centro de todas es la cópula, que debe pulsarse cuando se encuentra el verbo es o el signo =. La tecla del extremo derecho se llama Punto Final, porque debe pulsarse cuando se completa una proposición, de hecho en el lugar propio del punto final. La tecla del extremo izquierdo se utiliza para terminar un argumento o para restablecer la máquina a su estado inicial; se llama la tecla Finis. Las penúltimas teclas de la derecha y de la izquierda completan toda la serie, y representan la conjunción o en su significado no exclusivo, o el signo ꖌ que he empleado, según aparezca en el lado derecho o izquierdo de la proposición.

Todo el teclado está dispuesto como se muestra en la página siguiente—

Para trabajar la máquina solo se requiere pulsar las teclas sucesivamente tal como lo indican las letras y los signos de una proposición simbólica.

Todas las premisas de un argumento se suponen reducidas a la notación simple que se ha empleado en las páginas anteriores.

Tomando entonces una proposición tan simple como pulsamos las teclas A (izquierda), cópula, A (derecha), B (derecha) y punto.

Si hay una segunda premisa, por ejemplo, si pulsamos de la misma manera las teclas—

El proceso es exactamente el mismo por numerosas que sean las premisas. Cuando se completan, el operador verá indicadas en la esfera de la máquina las combinaciones exactas de letras que son coherentes con las premisas según los principios del pensamiento.

Como se muestra en la figura frente a la portilla, la máquina exhibe al frente un Alfabeto Lógico de dieciséis combinaciones, exactamente igual al del ábaco, excepto que las letras de cada combinación están separadas por un cierto intervalo.

Una vez que el problema anterior ha sido procesado en la máquina, el Alfabeto Lógico se habrá modificado de modo que presentará el siguiente aspecto:

El operador recopilará fácilmente las diversas conclusiones de la manera descrita en las páginas anteriores, como, por ejemplo, que A es siempre C, que no-C no es ni B ni A; y que no-C no es A, sino C o no-C. Los resultados deben leerse, por tanto, exactamente igual que en el caso de la Pizarra Lógica o del Ábaco Lógico.

Las proposiciones disyuntivas deben tratarse de una manera exactamente similar. Así, para operar con las premisas

solo es necesario pulsar sucesivamente las teclas

Las combinaciones que entonces queden serán las siguientes

Al pulsar la tecla de la izquierda A, desaparecerán todas las combinaciones posibles que no contengan A, y la descripción de A puede deducirse de lo que queda, a saber, que es siempre D.

La tecla del punto restaura todas las combinaciones coherentes con las premisas y se puede hacer cualquier otra selección, como por ejemplo no-D, la cual se comprobará que es siempre no-A, no-B y no-C.

Al final de cada problema, cuando no es necesario plantear más preguntas a la máquina, pulsamos la tecla Finis, la cual tiene el efecto de hacer visible el conjunto de todas las combinaciones concebibles del alfabeto.

Esta tecla de hecho borra las condiciones impuestas a la máquina al devolver a sus lugares ordinarios aquellas combinaciones que habían sido rechazadas por ser incongruentes con las premisas.

Antes de comenzar cualquier nuevo problema es necesario observar que las dieciséis combinaciones al completo sean visibles.

Después de haber utilizado la tecla Finis, la máquina representa una mente dotada de facultades de pensamiento, pero totalmente carente de conocimiento. En ese estado no daría ninguna respuesta que no consistiera en las leyes primarias del pensamiento mismo.

Pero cuando se introduce cualquier proposición mediante las teclas, la máquina analiza y digiere su significado y se carga con el conocimiento incorporado en dicha proposición. En consecuencia, es capaz de devolver como respuesta cualquier descripción de un término o clase en la medida en que esa proposición se lo proporcione de acuerdo con las Leyes del Pensamiento.

La máquina es, por tanto, la encarnación de un verdadero sistema lógico. Las combinaciones son clasificadas, seleccionadas o rechazadas, tal como deben serlo por una mente razonante, de modo que en cada paso de un problema, el Alfabeto Lógico representa la condición adecuada de una mente exenta de errores.

No puede afirmarse en verdad que la máquina desplace por completo la intervención del pensamiento consciente; se requiere labor mental para interpretar el significado de las expresiones gramaticales y para imprimir correctamente dicho significado en la máquina; se requiere además para extraer la conclusión de las combinaciones restantes.

No obstante, el verdadero proceso de inferencia lógica se lleva a cabo realmente de un modo puramente mecánico.

Es digno de mención que la máquina puede detectar cualquier contradicción interna que exista entre las premisas que se le presentan; si las premisas son contradictorias entre sí, se observará que uno o más de los términos con letra desaparecen por completo del Alfabeto Lógico.

Así, si procesamos las dos proposiciones: A es B, y A no es B, y luego pedimos una descripción de A, la máquina se negará a darla al no mostrar ninguna combinación en absoluto que contenga a A. Este resultado concuerda con la ley, que he explicado, de que todo término debe tener su negativo (p. 74).

En consecuencia, siempre que cualquiera de las letras A, B, C, D, a, b, c, d, desaparezca por completo del alfabeto, se puede inferir con seguridad que se ha cometido algún acto de contradicción interna.

Conviene observar cuidadosamente que la máquina lógica no puede recibir una simple identidad de la forma A = B sino bajo la forma doble de A = B y B = A.

Para operar con la proposición A = B, es necesario, por lo tanto, pulsar las teclas—

La misma doble operación será necesaria siempre que la proposición no sea del tipo llamado identidad parcial (p. 40). Así, AB = CD, AB = AC, A = B ꖌ C, A ꖌ B = C ꖌ D, todas exigen ser leídas por ambos extremos separadamente.

La regla adecuada para el uso de la máquina puede, de hecho, darse de la siguiente manera:—(1) Léase cada proposición tal como se presenta y tóquense las teclas correspondientes; (2) Conviértase la proposición y léanse y tóquense las teclas de nuevo en el orden transpuesto de los términos. Siempre que se observe esta regla, se obtendrá necesariamente el resultado verdadero. No puede haber error. Pero se observará que, en el caso de las identidades parciales y algunas otras formas similares de proposiciones, la lectura transpuesta no tiene efecto alguno sobre las combinaciones del Alfabeto Lógico. Una sola lectura es en tales casos todo lo que se necesita en la práctica. Tras haber adquirido cierta experiencia en el uso de la máquina, el operador se ahorra naturalmente la molestia de la segunda lectura siempre que es posible.

Sin duda es un hecho notable que una identidad simple no pueda inculcarse en la máquina sino bajo la forma de dos identidades parciales, y esto puede parecerle a algunos lógicos que va en contra del modo equacional de representar las proposiciones.

Antes de abandonar el tema, puedo señalar que es poco probable que estos dispositivos mecánicos posean una gran utilidad práctica. En la vida común no necesitamos estar resolviendo constantemente cuestiones lógicas complejas.

Incluso en el cálculo matemático, las reglas ordinarias de la aritmética suelen ser suficientes, y una máquina de calcular solo puede utilizarse con ventaja en casos particulares. Pero la máquina y el ábaco tienen, sin embargo, dos usos importantes.

En primer lugar, espero que no esté muy distante el tiempo en que la predominio de la antigua lógica aristotélica sea tan solo un asunto de la historia, y en que la enseñanza de la lógica sea colocada en un pie más digno de su suprema importancia.

Se descubrirá entonces que la solución de las cuestiones lógicas es un ejercicio mental al menos tan valioso y necesario como el cálculo matemático. Creo que estos dispositivos mecánicos, o algo de la misma índole, llegarán a ser útiles entonces para exhibir ante una clase de estudiantes un análisis claro y visible de problemas lógicos de cualquier grado de complejidad, haciéndose evidente la naturaleza de cada paso ante los ojos de los estudiantes.

A menudo usé la máquina o ábaco para este propósito en mis clases magistrales mientras fui profesor de lógica en el Owens College.

En segundo lugar, la importancia más inmediata de la máquina parece consistir en la prueba indiscutible que ofrece de que ya se han alcanzado visiones correctas sobre los principios fundamentales del razonamiento, aunque estos eran desconocidos para Aristóteles y sus seguidores.

Debe llegar el momento en que los inevitables resultados de las admirables investigaciones del difunto Dr. Boole sean reconocidos en su verdadero valor, y la forma clara y palpable en que la máquina presenta dichos resultados, espero, acelerará ese momento.

Indudablemente, la vida de Boole marca una era en la ciencia de la razón humana. Puede parecer extraño que le hubiera correspondido a él ser el primero en plantear en toda su extensión el problema de la lógica, pero no me consta que nadie antes que él hubiera tratado la lógica como un método simbólico para deducir a partir de cualquier premisa la descripción de cualquier clase concebible definida por dichas premisas.

A pesar de varios errores graves en los que incurrió, probablemente se admitirá que Boole descubrió la forma verdadera y general de la lógica, y situó a la ciencia sustancialmente en la forma que debe mantener para siempre jamás. Efectuó así una reforma con la que apenas hay nada comparable en la historia de la lógica entre su época y la remota era de Aristóteles.

No obstante, apenas podía considerarse el sistema cuasimatemático de Boole como una solución definitiva e irreprochable del problema. No solo exigía la manipulación de símbolos matemáticos de un modo muy intrincado y desconcertante, sino que los resultados, una vez obtenidos, carecían de fuerza demostrativa, debido a que dependían del empleo de símbolos incomprensibles que solo adquirían significado por analogía.

También he señalado que introdujo en su sistema una condición relativa a la naturaleza exclusiva de las alternativas (p. 70), la cual no es necesariamente aplicable a los términos lógicos.

Tendré que demostrar en el próximo capítulo que la lógica es en realidad la base de toda la ciencia del razonamiento matemático, de modo que Boole invirtió el verdadero orden de la demostración al proponerse inferir verdades lógicas mediante procesos algebraicos. Constituye un testimonio admirable de su potencia mental el hecho de que, mediante métodos fundamentalmente falsos, lograra alcanzar conclusiones verdaderas y ampliar la esfera de la razón.

El desempeño mecánico de la inferencia lógica ofrece una demostración tanto de la verdad de los resultados de Boole como de la naturaleza errónea de su modo de deducirlos.

Las conclusiones que él solo podía obtener mediante páginas de intrincado cálculo son exhibidas por la máquina tras uno o dos minutos de manipulación. Y no solo se alcanzan fácilmente esas conclusiones, sino que son demostrativamente verdaderas, porque cada paso del proceso no entraña nada más oscuro que las tres Leyes Fundamentales del Pensamiento.

# El orden de las premisas.

Antes de abandonar el tema del razonamiento deductivo, puedo señalar que el orden en que se colocan las premisas de un argumento es una cuestión de indiferencia lógica.

Mucha discusión ha tenido lugar en diversos momentos acerca de la disposición de las premisas de un silogismo; y se ha sostenido generalmente, de acuerdo con la opinión de Aristóteles, que la llamada premisa mayor, que contiene el término mayor, o el predicado de la conclusión, debe ir en primer lugar. Sin embargo, esta distinción se viene abajo en nuestro sistema, ya que la proposición se reduce a una forma idéntica, en la cual no hay distinción de sujeto y predicado.

Desde un punto de vista estrictamente lógico, el orden de los enunciados carece por completo de significado. Las premisas son simultáneamente coexistentes y no están relacionadas entre sí según las propiedades del espacio y del tiempo.

Así como las cualidades de un mismo objeto no son anteriores ni posteriores unas a otras en la naturaleza (p. 33), y solo se piensan en un determinado orden debido a la limitada capacidad de la mente, las premisas de un argumento tampoco son anteriores ni posteriores unas a otras, y solo se piensan en sucesión porque la mente no puede abarcar muchas ideas a la vez.

Las combinaciones del alfabeto lógico son exactamente las mismas cualquiera que sea el orden en que se traten las premisas en la pizarra o máquina lógica.

Cierta diferencia puede existir sin duda en lo que respecta a la conveniencia para la memoria humana. La mente puede asimilar los resultados de un argumento más fácilmente en un modo de exposición que en otro, aunque no haya ninguna diferencia real en los resultados lógicos.

Pero desde este punto de vista creo que Aristóteles y los antiguos lógicos se equivocaban claramente. Es más fácil inferir la conclusión de que «todos los A son C» a partir de «todos los A son B y todos los B son C», que a partir de las mismas proposiciones en orden inverso: «todos los B son C y todos los A son B».

# La equivalencia de proposiciones .

Una gran ventaja que se deriva del estudio de este Método Indirecto de Inferencia consiste en la noción clara que obtenemos de la Equivalencia de las Proposiciones.

Los antiguos lógicos mostraron cómo a partir de ciertas premisas simples podíamos extraer una inferencia, pero no lograron señalar si dicha inferencia contenía la totalidad, o solo una parte, de la información incorporada en las premisas.

Cualquier proposición o grupo de proposiciones puede clasificarse, con respecto a otra proposición u otro grupo de proposiciones, como

Tomando la proposición «Todos los hombres son mortales» como la original, entonces «Todos los inmortales no son hombres» es su equivalente; «Algunos mortales son hombres» es inferible, o capaz de inferencia, pero no es equivalente; «Todos los no-hombres no son mortales» no puede inferirse, pero es consistente, es decir, puede ser verdadera al mismo tiempo; «Todos los hombres son inmortales» es, por supuesto, contradictoria.

Una prueba suficiente de equivalencia es la capacidad de inferencia mutua. Así, a partir de

Puedo inferir y vice versâ de lo último puedo volver a lo primero. En resumen, A = B es equivalente a a = b. De nuevo, de la unión de las dos proposiciones, A = AB y B = AB, obtengo A = B, y de esto podría deducir con la misma facilidad las dos con las que comencé. En este caso, una proposición es equivalente a otras dos proposiciones. De hecho, no hay menos de cuatro modos en los que podemos expresar la identidad de dos clases A y B, a saber:

El Método Indirecto de Inferencia proporciona un criterio universal y claro en cuanto a la relación de las proposiciones.

El significado de un enunciado debe medirse siempre por las combinaciones de términos que destruye. Por lo tanto, dos proposiciones son equivalentes cuando eliminan del Alfabeto Lógico las mismas combinaciones, ni más ni menos.

Una proposición es deducible pero no equivalente a otra cuando elimina algunas de las combinaciones que la otra elimina, pero no todas, y ninguna salvo las que esta otra elimina.

Asimismo, las proposiciones son consistentes siempre que permitan conjuntamente que cada término y la negación de cada término permanezcan en algún lugar del Alfabeto Lógico. Si, tras tachar todas las combinaciones inconsistentes con dos proposiciones, todavía aparece cada una de las letras A, a, B, b, C, c, D, d, que estaban allí antes, entonces no existe inconsistencia alguna entre las proposiciones, aunque puedan no ser equivalentes ni tampoco deducibles.

Finalmente, las proposiciones contradictorias son aquellas que, tomadas en conjunto, eliminan uno o más términos de letra cualesquiera del Alfabeto Lógico.

Lo que es verdad de las proposiciones simples se aplica también a los grupos de proposiciones, por grandes o complicados que sean; es decir, un grupo puede ser equivalente, deducible, consistente o contradictorio con respecto a otro, y podemos de manera similar comparar una proposición con un grupo de proposiciones.

Para dar en este lugar ilustraciones de las cuatro clases de relación se requeriría mucho espacio; como los ejemplos dados en secciones o capítulos anteriores pueden servir más o menos para explicar las relaciones de inferencia, consistencia y contradicción, solo añadiré unos cuantos ejemplos de proposiciones o grupos equivalentes.

En la lista siguiente, cada proposición o grupo de proposiciones es exactamente equivalente en significado al correspondiente de la otra columna, y la veracidad de esta afirmación puede comprobarse resolviendo las combinaciones del alfabeto, las cuales deberían resultar exactamente iguales en el caso de cada par de equivalentes.

Aunque en estos y muchos otros casos los equivalentes de ciertas proposiciones pueden darse fácilmente, creo, sin embargo, que no se puede señalar ningún procedimiento uniforme e infalible mediante el cual se puedan determinar los equivalentes exactos de las premisas.

La inferencia deductiva ordinaria por lo general nos da solo una porción de la información contenida. Es verdad que las combinaciones consistentes con un conjunto de premisas siempre pueden adoptar la forma de una proposición que debe ser lógicamente equivalente a dichas premisas; pero la dificultad consiste en detectar las otras formas de proposiciones que serán equivalentes a las premisas.

La tarea aquí es de un carácter diferente al de cualquiera que hayamos intentado hasta ahora. Es en realidad un proceso inverso, y es tanto más problemático e incierto que el proceso directo como lo es buscar en comparación con esconder. No solo pueden aplicarse por igual varias respuestas diferentes, sino que no hay ningún método para descubrir ninguna de esas respuestas excepto mediante un ensayo repetido.

El problema con el que nos hemos encontrado aquí es realmente el de la inducción, lo inverso de la deducción; y, como pronto mostraré, la inducción es siempre tentativa y, a menos que se lleve a cabo con una habilidad y perspicacia peculiares, debe ser sumamente laboriosa en casos de complejidad.

De Morgan fue desafortunadamente llevado por esta equivalencia de proposiciones al más grave error de su ingenioso sistema de lógica. Sostenía que debido a que la proposición «Todos los A son todos los B» no es sino otra expresión para las dos proposiciones «Todos los A son B» y «Todos los B son A», debía de ser una forma compuesta y no realmente elemental de proposición.‍¹¹

Pero si se adopta una visión general de la equivalencia de proposiciones, tal objeción parece carecer de peso. Los lógicos han sostenido persistentemente, con pocas excepciones, el error original de Aristóteles al rechazar de su ciencia la única relación simple de identidad sobre la cual deben descansar realmente todas las relaciones lógicas más complejas.

# La naturaleza de la inferencia.

La pregunta, ¿Qué es la inferencia?, está envuelta, incluso hasta el día de hoy, en tanta incertidumbre como aquella antigua pregunta, ¿Qué es la verdad?

Intentaré en más de una parte de esta obra demostrar que la inferencia nunca hace más que explicitar, desplegar o desarrollar la información contenida en ciertas premisas o hechos.

Ni en el razonamiento deductivo ni en el inductivo podemos añadir un ápice a nuestro conocimiento implícito, el cual es semejante al contenido en un libro no leído o en una carta sellada.

Sir W. Hamilton ha dicho con acierto: «Razonar es mostrar explícitamente que una proposición no concedida ni supuesta está implícitamente contenida en algo diferente que es concedido o supuesto».‍¹²

El profesor Bowen ha explicado‍¹³ con gran claridad que la conclusión de un argumento enuncia explícitamente lo que se piensa virtual o implícitamente.

“El proceso del razonamiento no es tanto un modo de desarrollar una nueva verdad, como de establecer o probar una vieja, al mostrar cuánto se admitía en la concesión de las dos premisas tomadas en conjunto.”

Es verdad que todo el significado de estas afirmaciones descansa sobre el de palabras tales como «explícito», «implícito», «virtual». Es implícito aquello que está envuelto, y lo volvemos explícito cuando lo desenvolvemos.

Del mismo modo que la concepción de un círculo entraña un centenar de propiedades geométricas importantes, todas ellas derivadas de lo que sabemos si poseemos la agudeza para desplegar los resultados, así cada hecho y afirmación entraña más significado del que parece a primera vista.

El razonamiento explicita o trae a la posesión consciente lo que antes era inconsciente. No crea ni destruye, sino que transmuta y presenta la misma materia en una nueva forma.

Todavía sigue en pie la difícil pregunta: ¿Dónde comienza la novedad de forma? ¿Se trata de un caso de inferencia cuando pasamos de «La sinceridad es la madre de la verdad» a «La madre de la verdad es la sinceridad»?

Los antiguos lógicos habrían llamado a este cambio conversión, un caso de inferencia inmediata. Pero como toda identidad es necesariamente recíproca, y el significado mismo de tal proposición es que los dos términos son idénticos en su significación, no logro ver diferencia alguna entre los enunciados. Bien podríamos decir que x = y y y = x son ecuaciones diferentes.

Otro punto de dificultad consiste en decidir cuándo un cambio es meramente gramatical y cuándo entraña una verdadera transformación lógica.

Entre una mesa de madera y una mesa de madera [n. del t.: en inglés, «a table of wood» y «a wooden table»] no hay diferencia lógica (p. 31), siendo el adjetivo meramente un sustituto conveniente de la frase preposicional. Pero a mi juicio no es seguro que el paso de «Todos los hombres son mortales» a «Ningún hombre es no mortal» sea puramente gramatical.

El cambio lógico tal vez pueda describirse mejor como consistente en la determinación de una relación entre ciertas clases de objetos a partir de una relación entre otras clases determinadas. Así, considero una inferencia verdaderamente lógica cuando pasamos de «Todos los hombres son mortales» a «Todos los inmortales son no-hombres», porque las clases inmortales y no-hombres son distintas de mortales y hombres, y sin embargo las proposiciones contienen en el fondo exactamente la misma verdad, tal como se muestra en las combinaciones del Alfabeto Lógico.

El paso del modo cualitativo al cuantitativo de expresar una proposición es otro tipo de cambio que debemos discriminar de la verdadera inferencia lógica.

Expresamos la misma verdad cuando decimos que «la mortalidad pertenece a todos los hombres», que cuando afirmamos que «todos los hombres son mortales». Aquí no pasamos de una clase a otra, sino de un tipo de término, el abstracto, a otro tipo, el concreto. Pero la inferencia probablemente interviene cuando pasamos de cualquiera de las proposiciones anteriores a la afirmación de que la clase de los hombres inmortales es cero, o no contiene ningún objeto.

Es por supuesto una cuestión de palabras a qué procesos aplicaremos o no el nombre de «inferencia», y no tengo ningún deseo de continuar las vanas discusiones que ya han tenido lugar sobre el tema. Lo que necesitamos hacer es definir con precisión el sentido en el que empleamos la palabra «inferencia» y distinguir la relación de las proposiciones inferibles de otras relaciones posibles. Parece suficiente reconocer cuatro modos en los que dos proposiciones aparentemente diferentes pueden estar relacionadas. Así, dos proposiciones pueden ser—

1. Tautológica o idéntica, que implica la misma relación entre los mismos términos y clases, y solo difiere en el orden del enunciado; así, «Victoria es la reina de Inglaterra» es tautológica respecto a «La reina de Inglaterra es Victoria».

2. Relacionadas gramaticalmente, cuando las clases u objetos son los mismos y están relacionados de manera similar, y la única diferencia está en las palabras; así, «Victoria es la reina de Inglaterra» es gramaticalmente equivalente a «Victoria es la reina de Inglaterra».

3. Equivalentes en forma cualitativa y cuantitativa, siendo las clases las mismas, pero vistas de manera diferente.

4. Lógicamente inferibles, la una de la otra, o puede ser equivalente, cuando las clases y las relaciones son diferentes, pero implican el mismo conocimiento de las combinaciones posibles.